1
00:00:01,024 --> 00:00:03,187
Wiele twierdzeń trygonometrycznych

2
00:00:03,287 --> 00:00:05,299
było znanych starożytnym Grekom

3
00:00:05,399 --> 00:00:07,324
jednakże w postaci odpowiedników

4
00:00:07,424 --> 00:00:11,520
operujących długościami cięciw i średnic

5
00:00:11,776 --> 00:00:13,182
a nie miarami kątów

6
00:00:13,282 --> 00:00:15,202
i długościami boków w trójkącie.

7
00:00:15,616 --> 00:00:18,801
W tej lekcji pokażę Ci, jak obliczyć tangens

8
00:00:18,901 --> 00:00:21,916
dowolnego kąta, korzystając z sinusa

9
00:00:22,016 --> 00:00:24,064
i cosinusa tego samego kąta.

10
00:00:35,584 --> 00:00:37,376
Widzisz trójkąt prostokątny.

11
00:00:37,632 --> 00:00:40,561
Przyprostokątne mają długości 3 i 4

12
00:00:40,686 --> 00:00:42,572
a przeciwprostokątna 5.

13
00:00:43,008 --> 00:00:45,312
W tym miejscu zaznaczono kąt alfa.

14
00:00:45,824 --> 00:00:47,847
Samodzielnie podaj sinus alfa

15
00:00:47,947 --> 00:00:50,144
cosinus alfa i tangens alfa.

16
00:00:50,688 --> 00:00:52,125
Te wartości wykorzystamy 

17
00:00:52,225 --> 00:00:53,553
w dalszych obliczeniach 

18
00:00:53,653 --> 00:00:55,447
do wyprowadzenia pewnego wzoru.

19
00:00:59,136 --> 00:01:01,718
Sinus alfa to stosunek długości boku

20
00:01:01,818 --> 00:01:03,614
leżącego naprzeciw kąta alfa

21
00:01:03,714 --> 00:01:05,436
do długości przeciwprostokątnej.

22
00:01:05,883 --> 00:01:08,008
W naszym trójkącie to 3/5.

23
00:01:08,352 --> 00:01:11,004
Cosinus alfa to stosunek długości boku

24
00:01:11,104 --> 00:01:12,766
leżącego przy kącie alfa

25
00:01:12,866 --> 00:01:15,006
do długości przeciwprostokątnej.

26
00:01:15,140 --> 00:01:17,056
W naszym trójkącie to 4/5.

27
00:01:17,907 --> 00:01:21,411
Tangens alfa to stosunek długości przyprostokątnej

28
00:01:21,511 --> 00:01:24,124
naprzeciw kąta alfa do drugiej przyprostokątnej

29
00:01:24,224 --> 00:01:26,016
czyli 3/4.

30
00:01:26,528 --> 00:01:28,576
Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie.

31
00:01:29,088 --> 00:01:30,553
Oblicz samodzielnie

32
00:01:30,653 --> 00:01:34,344
ile wynosi iloraz sinusa i cosinusa kąta alfa.

33
00:01:37,992 --> 00:01:40,950
Sinus alfa podzielić przez cosinus alfa

34
00:01:41,050 --> 00:01:44,348
to 3/5 podzielić przez 4/5

35
00:01:44,448 --> 00:01:47,776
czyli 3/5 x 5/4, a to daje nam 3/4.

36
00:01:48,288 --> 00:01:52,384
Zauważ, że tyle samo wynosi tangens kąta alfa.

37
00:01:52,896 --> 00:01:55,922
Ciekawe, czy w każdym trójkącie prostokątnym

38
00:01:56,022 --> 00:01:59,129
iloraz sinusa kąta ostrego przez cosinus

39
00:01:59,229 --> 00:02:02,112
tego samego kąta, da tangens tego kąta.

40
00:02:02,624 --> 00:02:04,160
Sprawdźmy to na literkach.

41
00:02:04,928 --> 00:02:07,488
Narysujmy drugi trójkąt prostokątny.

42
00:02:08,000 --> 00:02:11,230
Długości boków oznaczymy literami a, b i c

43
00:02:11,393 --> 00:02:14,447
gdzie a oznacza długość tej przyprostokątnej

44
00:02:14,656 --> 00:02:16,960
b długość tej przyprostokątnej

45
00:02:17,216 --> 00:02:19,520
a c długość przeciwprostokątnej.

46
00:02:20,032 --> 00:02:22,592
Zaznaczmy w tym miejscu kąt alfa.

47
00:02:23,790 --> 00:02:27,887
Sinus alfa to a/c, cosinus alfa to b/c

48
00:02:28,098 --> 00:02:29,916
a tangens alfa to a/b.

49
00:02:30,712 --> 00:02:33,856
Podzielmy teraz sinus alfa przez cosinus alfa.

50
00:02:34,368 --> 00:02:38,284
Otrzymamy: a/c podzielić przez b/c

51
00:02:38,552 --> 00:02:40,850
czyli a/c razy c/b.

52
00:02:41,175 --> 00:02:43,923
C się skróci i zostaje a/b

53
00:02:44,095 --> 00:02:47,063
a to nic innego jak tangens kąta alfa.

54
00:02:48,448 --> 00:02:51,103
Teraz samodzielnie oblicz ten iloraz

55
00:02:51,203 --> 00:02:53,841
dla drugiego kąta ostrego w tym trójkącie.

56
00:02:57,664 --> 00:02:59,456
Nazwijmy ten kąt beta.

57
00:02:59,968 --> 00:03:02,016
Sinus beta to b/c

58
00:03:02,272 --> 00:03:06,368
cosinus beta to a/c, a tangens beta to b/a.

59
00:03:07,136 --> 00:03:09,828
Sinus beta podzielić przez cosinus beta

60
00:03:09,943 --> 00:03:12,949
to b/c podzielić przez a/c

61
00:03:13,121 --> 00:03:16,608
co możemy zapisać jako b/c razy c/a

62
00:03:17,120 --> 00:03:19,936
c się skróci i otrzymamy b/a.

63
00:03:20,704 --> 00:03:23,949
Widzisz zatem, że iloraz sinusa i cosinusa

64
00:03:24,049 --> 00:03:25,753
dowolnego kąta ostrego 

65
00:03:25,853 --> 00:03:29,283
w trójkącie prostokątnym jest zawsze taki sam

66
00:03:29,383 --> 00:03:31,059
jak tangens tego kąta.

67
00:03:31,712 --> 00:03:34,528
Ta równość zachodzi dla każdego kąta

68
00:03:34,718 --> 00:03:35,808
nie tylko ostrego.

69
00:03:37,088 --> 00:03:38,043
Przećwiczmy teraz 

70
00:03:38,143 --> 00:03:40,159
wykorzystanie tej wiedzy w zadaniach.

71
00:03:43,430 --> 00:03:45,689
Czy istnieje taki kąt ostry alfa

72
00:03:45,862 --> 00:03:48,351
dla którego tangens alfa to 1/6

73
00:03:48,513 --> 00:03:50,400
a sinus alfa to 1/3?

74
00:03:51,168 --> 00:03:54,240
Załóżmy na chwilę, że taki kąt istnieje.

75
00:03:54,496 --> 00:03:56,800
Zastanówmy się, co by z tego wynikało.

76
00:03:57,568 --> 00:03:59,606
Jeżeli podstawimy znane wartości

77
00:03:59,706 --> 00:04:00,895
 do poznanego wzoru

78
00:04:01,152 --> 00:04:03,968
to możemy z niego obliczyć cosinus tego kąta.

79
00:04:04,480 --> 00:04:06,272
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

80
00:04:10,112 --> 00:04:13,440
Tangens alfa to sinus alfa przez cosinus alfa.

81
00:04:13,952 --> 00:04:15,347
Podstawmy do tego wzoru

82
00:04:15,447 --> 00:04:17,319
wartości dane w treści zadania.

83
00:04:17,645 --> 00:04:18,645
Otrzymujemy:

84
00:04:18,815 --> 00:04:23,423
1/6 równa się 1/3 dzielona przez cosinus alfa.

85
00:04:23,935 --> 00:04:25,727
Mamy równanie z jedną niewiadomą.

86
00:04:26,239 --> 00:04:27,661
Ponieważ ta niewiadoma

87
00:04:27,761 --> 00:04:30,070
jest w mianowniku ułamka, zaczynamy 

88
00:04:30,170 --> 00:04:32,998
od pomnożenia obu stron przez cosinus alfa.

89
00:04:33,663 --> 00:04:34,903
Otrzymujemy: 

90
00:04:35,003 --> 00:04:38,526
1/6 razy cosinus alfa równa się 1/3.

91
00:04:39,039 --> 00:04:40,803
Teraz pozbądźmy się ułamków

92
00:04:40,903 --> 00:04:42,928
mnożąc obie strony przez 6.

93
00:04:43,391 --> 00:04:47,743
Z tego wynika, że cosinus alfa to 6/3, czyli 2.

94
00:04:48,255 --> 00:04:51,839
Zastanówmy się, czy istnieje trójkąt prostokątny

95
00:04:52,095 --> 00:04:55,167
w którym przyprostokątna przyległa do kąta alfa

96
00:04:55,423 --> 00:04:58,495
byłaby 2 razy dłuższa od przeciwprostokątnej.

97
00:04:58,775 --> 00:04:59,775
Sprawdźmy to!

98
00:05:00,287 --> 00:05:04,152
Zapiszmy, że przeciwprostokątna ma długość x

99
00:05:04,430 --> 00:05:07,711
a przyprostokątna przy kącie alfa 2x.

100
00:05:08,223 --> 00:05:11,039
Drugą przyprostokątną oznaczmy jako y.

101
00:05:11,807 --> 00:05:14,037
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy 

102
00:05:14,137 --> 00:05:15,134
w takim przypadku

103
00:05:15,391 --> 00:05:19,163
y do kwadratu dodać, w nawiasie 2 x

104
00:05:19,263 --> 00:05:21,435
zamykamy nawias, do kwadratu

105
00:05:21,535 --> 00:05:23,071
równa się x kwadrat.

106
00:05:23,583 --> 00:05:26,812
Mamy zatem: y do kwadratu równa się 

107
00:05:26,912 --> 00:05:30,000
x do kwadratu odjąć, w nawiasie 2 x

108
00:05:30,100 --> 00:05:32,550
zamykamy nawias, do kwadratu

109
00:05:32,650 --> 00:05:35,920
czyli x do kwadratu odjąć 4 x kwadrat

110
00:05:36,020 --> 00:05:38,429
a to równa się -3x kwadrat.

111
00:05:39,455 --> 00:05:41,915
Kiedy y do kwadratu może być równe

112
00:05:42,015 --> 00:05:43,294
 -3 x do kwadratu?

113
00:05:44,319 --> 00:05:46,418
Po lewej stronie mamy liczbę nieujemną

114
00:05:46,518 --> 00:05:47,768
a po prawej niedodatnią

115
00:05:48,159 --> 00:05:50,295
czyli równość zachodzi tylko wtedy

116
00:05:50,534 --> 00:05:53,090
kiedy x i y są równe 0.

117
00:05:53,791 --> 00:05:56,029
Trójkąt nie może mieć przecież boków

118
00:05:56,129 --> 00:05:57,293
o zerowej długości.

119
00:05:57,655 --> 00:06:00,703
Stąd wynika, że taki trójkąt nie istnieje

120
00:06:00,959 --> 00:06:04,031
a co za tym idzie, taki kąt alfa również.

121
00:06:08,639 --> 00:06:10,878
Jaką zatem największą wartość

122
00:06:10,978 --> 00:06:13,405
może przyjąć cosinus kąta ostrego?

123
00:06:14,113 --> 00:06:16,932
Okazuje się, że najwyżej 1, ponieważ 

124
00:06:17,032 --> 00:06:20,266
w trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna

125
00:06:20,366 --> 00:06:23,418
jest zawsze dłuższa od przyprostokątnej.

126
00:06:23,999 --> 00:06:26,023
Takie samo ograniczenie istnieje 

127
00:06:26,123 --> 00:06:27,582
dla sinusa kąta ostrego.

128
00:06:28,095 --> 00:06:30,143
Zawsze będzie mniejszy niż 1.

129
00:06:30,655 --> 00:06:32,703
Ale to nie jest prawda dla tangensa.

130
00:06:33,215 --> 00:06:35,701
Jedna przyprostokątna może być przecież

131
00:06:35,801 --> 00:06:37,549
dowolnie dłuższa od drugiej

132
00:06:37,823 --> 00:06:39,740
więc tangens może przyjmować

133
00:06:39,840 --> 00:06:41,406
dowolnie duże wartości.

134
00:06:41,919 --> 00:06:43,455
Warto to zapamiętać.

135
00:06:43,711 --> 00:06:46,308
Może się przydać przy rozwiązywaniu zadania

136
00:06:46,408 --> 00:06:48,922
lub do sprawdzenia, czy w obliczenia 

137
00:06:49,022 --> 00:06:50,357
nie wkradł się błąd.

138
00:06:51,391 --> 00:06:53,431
Jeżeli w trakcie rozwiązywania zadania

139
00:06:53,531 --> 00:06:56,485
wyjdzie Ci na przykład, że sinus alfa to 5

140
00:06:56,585 --> 00:06:58,734
to znak, że trzeba jeszcze raz

141
00:06:58,834 --> 00:07:00,505
uważnie sprawdzić obliczenia.

142
00:07:01,375 --> 00:07:03,167
Przejdźmy do kolejnego wyzwania.

143
00:07:06,495 --> 00:07:09,823
Polecenie brzmi: oblicz wartość wyrażenia

144
00:07:10,079 --> 00:07:13,919
w liczniku 4 sinus alfa odjąć 5 cosinus alfa

145
00:07:14,175 --> 00:07:18,015
a w mianowniku cosinus alfa dodać 3 sinus alfa

146
00:07:18,271 --> 00:07:21,599
jeśli wiadomo, że tangens alfa równa się 5.

147
00:07:22,367 --> 00:07:25,183
Masz jakiś pomysł, jak rozwiązać to zadanie?

148
00:07:29,279 --> 00:07:32,423
W wyrażeniu mamy wyłącznie sinusy i cosinusy

149
00:07:32,643 --> 00:07:34,988
a znamy tylko wartość tangensa.

150
00:07:35,679 --> 00:07:37,812
Wiemy jednak, że tangens alfa

151
00:07:37,912 --> 00:07:41,862
to sinus alfa przez cosinus alfa i że równa się 5.

152
00:07:42,335 --> 00:07:44,399
Mnożąc to równanie obustronnie

153
00:07:44,499 --> 00:07:46,304
przez cosinus alfa otrzymamy

154
00:07:46,943 --> 00:07:50,271
sinus alfa równa się 5 cosinus alfa.

155
00:07:50,783 --> 00:07:52,393
W miejsce sinusa alfa

156
00:07:52,493 --> 00:07:55,169
możemy zatem wstawić 5 cosinus alfa.

157
00:07:55,903 --> 00:07:56,903
Otrzymamy:

158
00:07:57,003 --> 00:08:00,767
20 cosinus alfa odjąć 5 cosinus alfa

159
00:08:01,023 --> 00:08:03,010
podzielić przez cosinus alfa 

160
00:08:03,110 --> 00:08:04,606
dodać 15 cosinus alfa.

161
00:08:05,119 --> 00:08:08,703
W liczniku zostanie nam 15 razy cosinus alfa

162
00:08:08,959 --> 00:08:12,031
a w mianowniku 16 razy cosinus alfa.

163
00:08:12,543 --> 00:08:16,895
Cosinus alfa się skróci i zostanie nam 15/16.

164
00:08:17,407 --> 00:08:20,479
Wartość tego wyrażenia to 15/16.

165
00:08:20,735 --> 00:08:22,271
I już. Gotowe!

166
00:08:22,783 --> 00:08:25,343
Wykonaliśmy wszystkie zadania w tej lekcji.

167
00:08:25,623 --> 00:08:26,623
Gratulacje!

168
00:08:30,975 --> 00:08:33,692
Jedna z najważniejszych tożsamości 

169
00:08:33,792 --> 00:08:36,696
trygonometrycznych wiąże ze sobą sinus

170
00:08:36,796 --> 00:08:40,174
cosinus i tangens jednego kąta. Tangens alfa

171
00:08:40,274 --> 00:08:43,415
równa się sinus alfa przez cosinus alfa. 

172
00:08:43,515 --> 00:08:47,101
Ten wzór jest prawdziwy dla każdego kąta alfa.

173
00:08:50,943 --> 00:08:53,595
Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji

174
00:08:53,695 --> 00:08:55,480
z tego działu oraz do polubienia

175
00:08:55,580 --> 00:08:56,983
naszej strony na Facebooku.