1
00:00:00,156 --> 00:00:02,401
Za ojca trygonometrii uważa się

2
00:00:02,401 --> 00:00:05,199
Hipparcha z Nikei, który w drugim wieku

3
00:00:05,199 --> 00:00:07,463
przed naszą erą ułożył pierwsze

4
00:00:07,463 --> 00:00:09,216
tablice trygonometryczne

5
00:00:09,472 --> 00:00:12,051
choć wcale nie opierał ich na stosunkach

6
00:00:12,051 --> 00:00:14,536
boków i kątów w trójkącie.

7
00:00:26,424 --> 00:00:28,672
Przyjrzyjmy się takiemu przykładowi:

8
00:00:29,184 --> 00:00:31,688
oblicz sinus stu dziesięciu stopni.

9
00:00:31,900 --> 00:00:34,458
Ta umiejętność przydaje się na przykład

10
00:00:34,458 --> 00:00:37,278
jeżeli chcielibyśmy obliczyć pole trójkąta

11
00:00:37,278 --> 00:00:40,999
korzystając ze wzoru: 1/2 razy a razy b

12
00:00:40,999 --> 00:00:43,052
razy sinus kąta między nimi.

13
00:00:43,264 --> 00:00:44,658
Ten wzór jest prawdziwy

14
00:00:44,758 --> 00:00:46,692
dla trójkątów rozwartokątnych

15
00:00:46,848 --> 00:00:47,972
takich jak ten.

16
00:00:48,128 --> 00:00:50,376
Wiesz już, że do obliczenia sinusa

17
00:00:50,376 --> 00:00:52,784
tego kąta potrzeba współrzędnych

18
00:00:52,784 --> 00:00:54,060
punktu na ramieniu.

19
00:00:54,272 --> 00:00:55,925
Często, tak jak tutaj

20
00:00:55,925 --> 00:00:57,502
ramię nie będzie przechodziło

21
00:00:57,522 --> 00:00:59,136
przez żaden punkt kratowy

22
00:00:59,392 --> 00:01:01,525
i odczytanie współrzędnych będzie

23
00:01:01,525 --> 00:01:04,113
obarczone błędem, więc nie dostaniemy

24
00:01:04,113 --> 00:01:05,324
dokładnego wyniku.

25
00:01:05,536 --> 00:01:07,765
W tej lekcji pokażę Ci, jak obliczać

26
00:01:07,865 --> 00:01:09,994
wartości funkcji trygonometrycznych

27
00:01:10,094 --> 00:01:11,845
kąta rozwartego bez użycia

28
00:01:11,845 --> 00:01:13,260
układu współrzędnych.

29
00:01:13,472 --> 00:01:15,458
Zanim jednak się tego nauczymy

30
00:01:15,458 --> 00:01:17,617
wytłumaczę Ci na podstawie układu

31
00:01:17,617 --> 00:01:20,521
współrzędnych dlaczego tak można i pokażę

32
00:01:20,621 --> 00:01:23,244
skąd się biorą odpowiednie wzory.

33
00:01:27,352 --> 00:01:29,506
Zacznijmy od obliczenia wartości

34
00:01:29,506 --> 00:01:31,541
funkcji trygonometrycznych kątów

35
00:01:31,541 --> 00:01:33,640
przedstawionych na tym układzie.

36
00:01:33,852 --> 00:01:36,227
Aby to zrobić, wybieramy na ramieniu

37
00:01:36,227 --> 00:01:37,720
kąta dowolny punkt.

38
00:01:37,792 --> 00:01:40,195
Najlepiej taki, którego współrzędne

39
00:01:40,295 --> 00:01:41,932
można łatwo odczytać

40
00:01:42,144 --> 00:01:44,325
i liczymy r, czyli jego odległość

41
00:01:44,425 --> 00:01:46,696
od początku układu współrzędnych.

42
00:01:47,008 --> 00:01:49,100
Zacznijmy od kąta alfa.

43
00:01:49,568 --> 00:01:53,608
Wybieramy punkt A o współrzędnych 2 i 1.

44
00:01:53,920 --> 00:01:56,298
Jego odległość od początku układu

45
00:01:56,298 --> 00:01:58,552
współrzędnych liczymy, korzystając

46
00:01:58,552 --> 00:02:00,364
z twierdzenia Pitagorasa.

47
00:02:00,888 --> 00:02:04,352
r do kwadratu to 1 do kwadratu dodać

48
00:02:04,352 --> 00:02:07,321
2 do kwadratu, czyli 1 dodać 4

49
00:02:07,321 --> 00:02:08,556
a to jest 5.

50
00:02:09,280 --> 00:02:12,040
W takim razie r to pierwiastek z pięciu.

51
00:02:12,352 --> 00:02:13,832
Teraz możemy obliczyć.

52
00:02:14,044 --> 00:02:16,632
Sinus alfa to y przez r

53
00:02:16,632 --> 00:02:19,208
czyli 1 przez pierwiastek z pięciu.

54
00:02:19,520 --> 00:02:21,924
Cosinus alfa to x przez r

55
00:02:22,080 --> 00:02:24,328
czyli 2 przez pierwiastek z pięciu.

56
00:02:24,696 --> 00:02:27,643
Tangens alfa to y przez x

57
00:02:27,643 --> 00:02:29,348
czyli 1 przez 2.

58
00:02:29,504 --> 00:02:32,045
Korzystając z tej wiedzy, samodzielnie

59
00:02:32,045 --> 00:02:34,924
oblicz wartości funkcji kąta beta.

60
00:02:38,092 --> 00:02:39,864
Wybieram punkt na ramieniu

61
00:02:39,864 --> 00:02:42,148
o współrzędnych –2 i 1.

62
00:02:42,304 --> 00:02:45,335
Jego r, czyli odległość od początku układu

63
00:02:45,335 --> 00:02:46,804
współrzędnych, to znowu

64
00:02:46,804 --> 00:02:48,292
pierwiastek z pięciu.

65
00:02:48,760 --> 00:02:51,198
Wykonując obliczenia, otrzymamy:

66
00:02:51,298 --> 00:02:53,335
sinus beta to 1 przez

67
00:02:53,335 --> 00:02:54,792
pierwiastek z pięciu.

68
00:02:55,104 --> 00:02:57,024
Cosinus beta to –2 przez

69
00:02:57,024 --> 00:02:58,406
pierwiastek z pięciu

70
00:02:58,432 --> 00:03:01,348
a tangens beta to 1 przez –2.

71
00:03:01,504 --> 00:03:03,340
Widzisz coś ciekawego?

72
00:03:03,708 --> 00:03:06,468
Sinusy obu kątów są takie są same

73
00:03:06,624 --> 00:03:09,519
natomiast wartości tangensów oraz

74
00:03:09,519 --> 00:03:11,688
cosinusów są przeciwne.

75
00:03:12,000 --> 00:03:13,224
Czy to przypadek?

76
00:03:13,592 --> 00:03:14,760
Nie sądzę.

77
00:03:15,072 --> 00:03:17,359
Jeżeli przyjrzysz się rysunkowi

78
00:03:17,359 --> 00:03:19,786
to zauważysz, że ramiona tych kątów

79
00:03:19,786 --> 00:03:22,745
nieleżące na osi x są symetryczne

80
00:03:22,745 --> 00:03:24,332
względem osi y.

81
00:03:24,700 --> 00:03:27,460
Czy zależności między wartościami sinusów

82
00:03:27,616 --> 00:03:30,050
cosinusów i tangensów zawsze będą

83
00:03:30,050 --> 00:03:31,730
takie same, jeżeli ramiona

84
00:03:31,730 --> 00:03:33,192
będą symetryczne?

85
00:03:33,504 --> 00:03:35,852
Zastanówmy się i zbadajmy to.

86
00:03:39,256 --> 00:03:41,028
Rozważmy taką sytuację.

87
00:03:41,596 --> 00:03:44,639
Wybierzmy dowolny punkt na ramieniu kąta

88
00:03:44,639 --> 00:03:46,395
położony w pierwszej ćwiartce

89
00:03:46,395 --> 00:03:48,040
układu współrzędnych.

90
00:03:48,352 --> 00:03:51,724
Oznaczmy jego współrzędne literami a i b.

91
00:03:52,092 --> 00:03:54,411
Czy wiesz, jakie współrzędne będzie miał

92
00:03:54,511 --> 00:03:57,100
punkt symetryczny do tego punktu A

93
00:03:57,100 --> 00:03:59,304
leżący na drugim ramieniu?

94
00:03:59,616 --> 00:04:01,824
Ponieważ te punkty leżą na tej samej

95
00:04:01,824 --> 00:04:05,044
wysokości, druga współrzędna nie ulegnie

96
00:04:05,044 --> 00:04:07,752
zmianie i wciąż będzie to b.

97
00:04:08,064 --> 00:04:10,438
Natomiast pierwsza współrzędna

98
00:04:10,508 --> 00:04:12,360
zmieni znak na przeciwny.

99
00:04:12,572 --> 00:04:14,152
Otrzymamy –a.

100
00:04:14,514 --> 00:04:16,388
Czy odległości tych punktów

101
00:04:16,388 --> 00:04:18,253
od początku układu współrzędnych

102
00:04:18,353 --> 00:04:19,783
będą takie same?

103
00:04:20,151 --> 00:04:21,063
Tak.

104
00:04:21,375 --> 00:04:22,855
To wynika z symetrii.

105
00:04:23,067 --> 00:04:25,019
Można to również sprawdzić

106
00:04:25,119 --> 00:04:27,975
korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

107
00:04:28,287 --> 00:04:30,410
Jakie będą wartości funkcji

108
00:04:30,410 --> 00:04:32,783
trygonometrycznych dla tych kątów?

109
00:04:33,151 --> 00:04:36,935
Sinus alfa to y przez r, czyli b przez r.

110
00:04:37,247 --> 00:04:39,615
Cosinus alfa to x przez r

111
00:04:39,615 --> 00:04:41,131
czyli a przez r.

112
00:04:41,599 --> 00:04:44,158
Tangens alfa to y przez x

113
00:04:44,158 --> 00:04:45,795
czyli b przez a.

114
00:04:45,951 --> 00:04:48,803
Oblicz samodzielnie te wartości

115
00:04:48,803 --> 00:04:50,091
dla kąta beta.

116
00:04:53,175 --> 00:04:55,623
Sinus beta to b przez r.

117
00:04:55,935 --> 00:04:58,851
Cosinus beta to –a przez r.

118
00:04:59,007 --> 00:05:02,279
A tangens beta to b przez –a.

119
00:05:02,591 --> 00:05:05,404
Zauważ, że zależności między wartościami

120
00:05:05,404 --> 00:05:07,109
tych funkcji są takie same

121
00:05:07,109 --> 00:05:08,935
jak w poprzednim przykładzie.

122
00:05:09,147 --> 00:05:11,651
Sinusy tych kątów są takie same

123
00:05:11,807 --> 00:05:15,079
natomiast cosinusy i tangensy, przeciwne.

124
00:05:15,547 --> 00:05:18,863
Jaka jest zależność między tymi kątami?

125
00:05:19,387 --> 00:05:21,635
Skoro te ramiona są symetryczne

126
00:05:21,791 --> 00:05:24,451
to miara tej części jest taka sama

127
00:05:24,551 --> 00:05:26,353
jak miara kąta alfa.

128
00:05:26,569 --> 00:05:29,694
Czyli alfa plus beta daje razem

129
00:05:29,694 --> 00:05:31,819
180 stopni.

130
00:05:32,287 --> 00:05:34,643
To oznacza, że beta to inaczej

131
00:05:34,743 --> 00:05:37,351
180 stopni odjąć alfa.

132
00:05:37,663 --> 00:05:39,811
Jak możemy to wykorzystać?

133
00:05:40,449 --> 00:05:42,111
Skoro sinus kąta beta

134
00:05:42,211 --> 00:05:44,834
jest taki sam, jak sinus alfa

135
00:05:44,834 --> 00:05:47,074
to sinus stu osiemdziesięciu stopni

136
00:05:47,174 --> 00:05:49,539
odjąć alfa to sinus alfa.

137
00:05:49,825 --> 00:05:50,919
Dlaczego?

138
00:05:51,131 --> 00:05:53,123
Sinus alfa to b przez r

139
00:05:53,279 --> 00:05:55,371
i sinus beta to b przez r.

140
00:05:55,809 --> 00:05:59,868
Podstawiając za beta 180 stopni odjąć alfa

141
00:05:59,868 --> 00:06:02,782
otrzymamy, że sinus stu osiemdziesięciu

142
00:06:02,782 --> 00:06:05,811
stopni odjąć alfa to sinus alfa.

143
00:06:06,079 --> 00:06:08,495
Podobnie, skoro cosinus beta

144
00:06:08,595 --> 00:06:11,012
jest równy minus cosinus alfa

145
00:06:11,112 --> 00:06:13,347
bo jeden wynosi –a przez r

146
00:06:13,503 --> 00:06:14,983
a drugi a przez r

147
00:06:15,295 --> 00:06:17,492
to cosinus stu osiemdziesięciu stopni

148
00:06:17,492 --> 00:06:19,747
odjąć alfa to jest to samo

149
00:06:19,903 --> 00:06:21,995
co minus cosinus alfa.

150
00:06:22,559 --> 00:06:24,629
Spróbuj samodzielnie sformułować

151
00:06:24,729 --> 00:06:27,215
taki wniosek dla tangensa.

152
00:06:30,199 --> 00:06:32,469
Skoro tangens beta jest równy

153
00:06:32,659 --> 00:06:34,527
minus tangens alfa

154
00:06:34,627 --> 00:06:36,790
to tangens stu osiemdziesięciu stopni

155
00:06:36,890 --> 00:06:39,815
odjąć alfa to minus tangens alfa.

156
00:06:40,127 --> 00:06:42,086
Jak zaraz zobaczysz, ta wiedza

157
00:06:42,186 --> 00:06:44,679
bardzo przydaje się w obliczeniach.

158
00:06:44,991 --> 00:06:46,785
Przedstawione tutaj wzory

159
00:06:46,885 --> 00:06:49,443
nazywają się wzorami redukcyjnymi.

160
00:06:49,599 --> 00:06:52,109
Znajomość tych wzorów czasami jest

161
00:06:52,209 --> 00:06:54,829
sprawdzana na maturze, ale nie martw się.

162
00:06:54,875 --> 00:06:57,323
Znajdziesz je w tablicach maturalnych.

163
00:07:02,003 --> 00:07:04,447
Wróćmy do przykładu z początku filmu.

164
00:07:04,859 --> 00:07:06,795
Obliczmy pole trójkąta

165
00:07:06,895 --> 00:07:09,923
którego boki mają długości 4 i 5

166
00:07:10,079 --> 00:07:12,839
a kąt między nimi ma 110 stopni.

167
00:07:13,407 --> 00:07:14,631
Czego potrzebujemy?

168
00:07:14,943 --> 00:07:16,679
Sinusa tego kąta.

169
00:07:16,991 --> 00:07:19,258
Do jego obliczenia możemy skorzystać

170
00:07:19,358 --> 00:07:21,031
ze wzoru redukcyjnego.

171
00:07:21,599 --> 00:07:25,098
Zauważ, że 110 stopni to jest to samo

172
00:07:25,198 --> 00:07:28,811
co 180 stopni odjąć 70 stopni.

173
00:07:29,179 --> 00:07:31,813
Ten rachunek może wydawać się dziwaczny

174
00:07:31,913 --> 00:07:33,731
ale będzie bardzo pomocny.

175
00:07:33,887 --> 00:07:36,891
Żeby skorzystać z pokazanych chwilę temu

176
00:07:36,891 --> 00:07:39,835
wzorów, należy otrzymać wyrażenie postaci

177
00:07:39,935 --> 00:07:43,303
180 stopni odjąć miara jakiegoś kąta.

178
00:07:43,615 --> 00:07:47,086
110 stopni to właśnie 180 stopni

179
00:07:47,086 --> 00:07:49,091
odjąć 70 stopni.

180
00:07:49,247 --> 00:07:51,559
Czyli sinus stu dziesięciu stopni możemy

181
00:07:51,559 --> 00:07:54,160
zamienić na sinus stu osiemdziesięciu

182
00:07:54,160 --> 00:07:57,813
stopni odjąć 70 stopni, a to jest nic

183
00:07:57,813 --> 00:08:00,611
innego jak sinus siedemdziesięciu stopni.

184
00:08:01,087 --> 00:08:03,300
Tę wartość możemy zaś znaleźć

185
00:08:03,300 --> 00:08:04,907
w odpowiednich tablicach.

186
00:08:05,279 --> 00:08:07,435
Jeżeli nie pamiętasz, jak odczytuje się

187
00:08:07,535 --> 00:08:09,727
wartości funkcji trygonometrycznych

188
00:08:09,883 --> 00:08:12,633
to obejrzyj lekcję o odczytywaniu wartości

189
00:08:12,633 --> 00:08:14,335
funkcji trygonometrycznych

190
00:08:14,491 --> 00:08:16,783
z tablic trygonometrycznych.

191
00:08:17,151 --> 00:08:18,698
Właśnie po to korzysta się

192
00:08:18,698 --> 00:08:20,357
ze wzorów redukcyjnych.

193
00:08:20,479 --> 00:08:22,862
Abyśmy mogli odczytać wartości

194
00:08:22,862 --> 00:08:24,619
funkcji z tablic.

195
00:08:24,987 --> 00:08:27,767
Wartość sinusa siedemdziesięciu stopni

196
00:08:27,867 --> 00:08:32,299
to około 0,9397.

197
00:08:32,767 --> 00:08:34,123
Pole takiego trójkąta

198
00:08:34,223 --> 00:08:37,515
to zatem około 1/2 razy 4 razy 5

199
00:08:37,515 --> 00:08:45,811
razy 0,9397, czyli 9,397.

200
00:08:49,161 --> 00:08:51,689
Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć

201
00:08:51,689 --> 00:08:53,017
ile wynosi cosinus

202
00:08:53,017 --> 00:08:55,083
stu siedemdziesięciu stopni.

203
00:08:58,935 --> 00:09:01,299
170 stopni to to samo

204
00:09:01,399 --> 00:09:04,611
co 180 stopni odjąć 10 stopni.

205
00:09:04,867 --> 00:09:06,891
Wiemy także, ze cosinus

206
00:09:06,891 --> 00:09:09,500
stu osiemdziesięciu stopni odjąć alfa

207
00:09:09,500 --> 00:09:11,367
to minus cosinus alfa.

208
00:09:11,935 --> 00:09:15,019
Mamy zatem: cosinus stu siedemdziesięciu

209
00:09:15,019 --> 00:09:17,061
stopni równa się cosinus

210
00:09:17,061 --> 00:09:20,483
stu osiemdziesięciu stopni odjąć 10 stopni

211
00:09:20,539 --> 00:09:22,094
a to z kolei równa się

212
00:09:22,194 --> 00:09:24,879
minus cosinus dziesięciu stopni.

213
00:09:25,247 --> 00:09:26,861
Cosinus dziesięciu stopni

214
00:09:26,961 --> 00:09:28,775
możesz znaleźć w tablicach.

215
00:09:29,233 --> 00:09:30,732
Cosinus dziesięciu stopni

216
00:09:30,732 --> 00:09:35,587
wynosi około 0,9848

217
00:09:35,743 --> 00:09:41,931
więc naszym wynikiem jest –0,9848.

218
00:09:42,655 --> 00:09:45,003
Ostatnie przykłady są dla Ciebie.

219
00:09:49,271 --> 00:09:51,488
Samodzielnie oblicz tangens

220
00:09:51,488 --> 00:09:53,295
stu dwudziestu stopni.

221
00:09:56,479 --> 00:10:01,287
120 stopni to 180 stopni odjąć 60 stopni.

222
00:10:01,599 --> 00:10:04,221
Tangens stu dwudziestu stopni równa się

223
00:10:04,221 --> 00:10:06,323
zatem tangensowi stu osiemdziesięciu

224
00:10:06,323 --> 00:10:09,653
stopni odjąć 60 stopni, czyli minus

225
00:10:09,653 --> 00:10:11,883
tangensowi sześćdziesięciu stopni.

226
00:10:12,351 --> 00:10:14,755
Tangens sześćdziesięciu stopni znamy

227
00:10:14,911 --> 00:10:17,359
to dokładnie pierwiastek z trzech.

228
00:10:17,983 --> 00:10:19,853
Tangens stu dwudziestu stopni

229
00:10:19,953 --> 00:10:22,123
to minus pierwiastek z trzech.

230
00:10:22,335 --> 00:10:23,403
Gotowe!

231
00:10:26,451 --> 00:10:28,065
Teraz samodzielnie oblicz

232
00:10:28,165 --> 00:10:30,571
sinus stu pięćdziesięciu stopni.

233
00:10:33,855 --> 00:10:35,789
Sinus stu pięćdziesięciu stopni

234
00:10:35,889 --> 00:10:37,283
to oczywiście to samo

235
00:10:37,339 --> 00:10:39,799
co sinus stu osiemdziesięciu stopni

236
00:10:39,899 --> 00:10:41,618
odjąć 30 stopni

237
00:10:41,718 --> 00:10:43,527
czyli sinus trzydziestu stopni.

238
00:10:44,095 --> 00:10:46,243
Sinus trzydziestu stopni znamy

239
00:10:46,399 --> 00:10:48,235
to dokładnie 1/2.

240
00:10:48,703 --> 00:10:50,900
Sinus stu pięćdziesięciu stopni

241
00:10:50,900 --> 00:10:52,843
to także 1/2.

242
00:10:53,311 --> 00:10:55,255
Wykonaliśmy wszystkie zadania

243
00:10:55,255 --> 00:10:56,127
w tej lekcji!

244
00:10:56,383 --> 00:10:57,707
Gratulacje!

245
00:11:02,583 --> 00:11:04,756
Do obliczenia wartości funkcji

246
00:11:04,756 --> 00:11:07,291
trygonometrycznych kątów rozwartych

247
00:11:07,391 --> 00:11:09,587
przydatne są wzory redukcyjne.

248
00:11:09,783 --> 00:11:11,787
Sinus stu osiemdziesięciu stopni

249
00:11:11,787 --> 00:11:13,635
odjąć alfa to sinus alfa.

250
00:11:13,791 --> 00:11:15,961
Cosinus stu osiemdziesięciu stopni

251
00:11:15,961 --> 00:11:18,143
odjąć alfa to minus cosinus alfa.

252
00:11:18,579 --> 00:11:21,352
I tangens stu osiemdziesięciu odjąć alfa

253
00:11:21,352 --> 00:11:23,407
to minus tangens alfa.

254
00:11:26,781 --> 00:11:28,116
Ten dział dotyczy funkcji

255
00:11:28,116 --> 00:11:30,531
trygonometrycznych kąta rozwartego.

256
00:11:30,687 --> 00:11:32,109
Zasubskrybuj nasz kanał

257
00:11:32,209 --> 00:11:34,827
aby być na bieżąco z nowymi działami.