1
00:00:00,256 --> 00:00:01,903
Wiesz dobrze, że mieszając

2
00:00:01,903 --> 00:00:03,180
barwy podstawowe

3
00:00:03,180 --> 00:00:05,244
możemy uzyskać różne kolory.

4
00:00:05,376 --> 00:00:07,028
W sztuce przyjęło się

5
00:00:07,028 --> 00:00:08,957
że barwami podstawowymi

6
00:00:08,957 --> 00:00:11,520
jest czerwony, żółty i niebieski.

7
00:00:12,032 --> 00:00:13,784
Są jednak różne zestawy

8
00:00:13,784 --> 00:00:15,259
tych barw podstawowych

9
00:00:15,259 --> 00:00:16,868
na przykład w monitorach

10
00:00:16,868 --> 00:00:19,335
i innych wyświetlaczach kolor żółty

11
00:00:19,375 --> 00:00:21,608
został zastąpiony kolorem zielonym.

12
00:00:22,016 --> 00:00:24,596
Natomiast drukarki wykorzystują zestaw

13
00:00:24,596 --> 00:00:27,496
cyjan, magenta, żółty i czarny.

14
00:00:38,656 --> 00:00:40,968
Na początku zastanówmy się

15
00:00:40,968 --> 00:00:42,756
ile punktów wspólnych

16
00:00:42,756 --> 00:00:44,544
mogą mieć dwa okręgi.

17
00:00:45,568 --> 00:00:47,869
W odpowiedzi na to pytanie

18
00:00:47,869 --> 00:00:49,664
pomogą nam dwa okręgi.

19
00:00:50,944 --> 00:00:54,440
Niebieski okrąg o promieniu równym 3

20
00:00:54,440 --> 00:00:56,557
i środku w punkcie S

21
00:00:56,557 --> 00:01:00,162
oraz żółty okrąg o promieniu równym 2

22
00:01:00,162 --> 00:01:02,208
i środku w punkcie O.

23
00:01:03,232 --> 00:01:05,209
W tym momencie mamy sytuację

24
00:01:05,209 --> 00:01:06,789
w której środki okręgów

25
00:01:06,789 --> 00:01:09,706
są oddalone od siebie o 7 jednostek.

26
00:01:10,144 --> 00:01:12,713
Jak widzisz, nie mamy żadnych punktów

27
00:01:12,713 --> 00:01:14,680
wspólnych tych okręgów.

28
00:01:15,776 --> 00:01:17,206
Okręgi będące w takim

29
00:01:17,206 --> 00:01:19,604
wzajemnym położeniu nazywamy

30
00:01:19,604 --> 00:01:22,688
okręgami rozłącznym zewnętrznie.

31
00:01:23,200 --> 00:01:25,899
Przesuńmy teraz nasz żółty okrąg

32
00:01:25,899 --> 00:01:28,313
w taki sposób, aby odległość

33
00:01:28,313 --> 00:01:30,342
między środkami okręgów

34
00:01:30,342 --> 00:01:32,734
wynosiła dokładnie 5 jednostek.

35
00:01:36,134 --> 00:01:36,924
Zobacz.

36
00:01:37,024 --> 00:01:40,003
Teraz mamy dokładnie jeden punkt

37
00:01:40,003 --> 00:01:42,144
wspólny naszych okręgów.

38
00:01:44,192 --> 00:01:46,240
Pamiętasz jak nazywaliśmy prostą

39
00:01:46,240 --> 00:01:48,635
która miała dokładnie jeden punkt wspólny

40
00:01:48,635 --> 00:01:49,568
z okręgiem?

41
00:01:50,080 --> 00:01:52,384
Nazwaliśmy ją styczną do okręgu.

42
00:01:52,896 --> 00:01:53,878
Bardzo podobnie

43
00:01:53,878 --> 00:01:55,712
nazwiemy teraz nasze okręgi.

44
00:01:55,968 --> 00:01:59,136
Są to okręgi styczne zewnętrznie.

45
00:02:00,320 --> 00:02:02,688
Kontynuujmy nasz eksperyment.

46
00:02:02,744 --> 00:02:05,824
Przesuńmy teraz żółty okrąg w taki sposób

47
00:02:05,824 --> 00:02:07,657
aby odległość między środkami

48
00:02:07,657 --> 00:02:10,962
naszych okręgów wynosiła 4 jednostki.

49
00:02:13,376 --> 00:02:14,912
Teraz otrzymaliśmy

50
00:02:15,168 --> 00:02:16,960
takie dwa punkty wspólne.

51
00:02:18,752 --> 00:02:20,988
Okręgi, które mają dokładnie

52
00:02:20,988 --> 00:02:23,613
dwa punkty wspólne nazywamy

53
00:02:23,613 --> 00:02:25,920
okręgami przecinającymi się.

54
00:02:26,688 --> 00:02:28,770
A co by było, gdyby odległość

55
00:02:28,770 --> 00:02:31,066
między środkami naszych okręgów

56
00:02:31,066 --> 00:02:33,312
wynosiła jedną jednostkę?

57
00:02:36,160 --> 00:02:37,940
Ponownie mamy dokładnie

58
00:02:37,940 --> 00:02:39,488
jeden punkt wspólny.

59
00:02:41,536 --> 00:02:44,730
Jednak tym razem, żółty okrąg znajduje się

60
00:02:44,730 --> 00:02:46,912
wewnątrz niebieskiego okręgu.

61
00:02:47,424 --> 00:02:50,987
Okręgi będące w takim wzajemnym położeniu

62
00:02:51,097 --> 00:02:54,688
nazywamy okręgami stycznymi wewnętrznie.

63
00:02:55,616 --> 00:02:57,920
Sprawdźmy jeszcze jeden scenariusz.

64
00:02:58,432 --> 00:03:01,281
Ustawmy żółty okrąg w taki sposób

65
00:03:01,281 --> 00:03:03,025
aby odległość między środkami

66
00:03:03,025 --> 00:03:06,032
naszych okręgów wynosiła na przykład

67
00:03:06,042 --> 00:03:07,136
pół jednostki.

68
00:03:08,416 --> 00:03:11,208
Cały czas żółty okrąg znajduje się

69
00:03:11,208 --> 00:03:12,768
wewnątrz niebieskiego.

70
00:03:13,536 --> 00:03:15,174
Jednak tym razem nie mamy

71
00:03:15,174 --> 00:03:16,808
żadnych punktów wspólnych.

72
00:03:16,864 --> 00:03:18,880
Tak wzajemnie położone okręgi

73
00:03:18,880 --> 00:03:22,500
nazywamy okręgami rozłącznym wewnętrznie.

74
00:03:25,426 --> 00:03:28,128
Spróbujmy teraz określić ogólne reguły

75
00:03:28,128 --> 00:03:30,516
w jaki sposób wzajemne położenie

76
00:03:30,516 --> 00:03:32,422
dwóch okręgów zależy

77
00:03:32,422 --> 00:03:34,243
od długości ich promieni

78
00:03:34,243 --> 00:03:36,576
oraz odległości między ich środkami.

79
00:03:36,832 --> 00:03:38,734
Ponownie wykorzystamy okręgi

80
00:03:38,734 --> 00:03:40,500
z poprzedniej planszy.

81
00:03:40,672 --> 00:03:43,909
Zapiszmy sumę oraz różnicę promieni

82
00:03:43,929 --> 00:03:45,294
naszych okręgów.

83
00:03:45,514 --> 00:03:47,976
Suma naszych promieni to oczywiście 5

84
00:03:47,976 --> 00:03:49,969
natomiast różnica naszych promieni

85
00:03:49,969 --> 00:03:51,338
wynosi 1.

86
00:03:51,680 --> 00:03:54,141
W pierwszym przypadku mieliśmy odległość

87
00:03:54,141 --> 00:03:56,289
między środkami okręgów wynoszącą

88
00:03:56,379 --> 00:03:57,538
7 jednostek.

89
00:03:57,824 --> 00:04:00,508
Zwróć uwagę, że odległość między środkami

90
00:04:00,508 --> 00:04:02,988
naszych okręgów jest większa od sumy

91
00:04:03,018 --> 00:04:04,368
naszych promieni.

92
00:04:04,480 --> 00:04:06,602
Mamy 7, jest większe od pięciu.

93
00:04:06,954 --> 00:04:09,079
Gdy suma promieni jest mniejsza

94
00:04:09,079 --> 00:04:11,118
od odległości między środkami

95
00:04:11,118 --> 00:04:13,546
to mamy okręgi rozłączne zewnętrznie.

96
00:04:16,256 --> 00:04:18,514
Ustawmy teraz te okręgi w odległości

97
00:04:18,524 --> 00:04:19,953
pięciu jednostek.

98
00:04:21,887 --> 00:04:23,350
W tym przypadku odległość

99
00:04:23,350 --> 00:04:26,714
między środkami okręgów oraz suma promieni

100
00:04:26,714 --> 00:04:28,791
mają taką samą wartość.

101
00:04:31,359 --> 00:04:34,301
Gdy suma promieni jest równa odległości

102
00:04:34,301 --> 00:04:36,362
między środkami okręgów

103
00:04:36,362 --> 00:04:39,295
to mamy okręgi styczne zewnętrznie.

104
00:04:39,295 --> 00:04:41,682
Dzieje się tak, ponieważ środki okręgów

105
00:04:41,682 --> 00:04:44,545
oraz punkt styczności są współliniowe.

106
00:04:44,671 --> 00:04:46,463
Czyli leżą na jednej prostej.

107
00:04:47,999 --> 00:04:50,233
Przeanalizujmy kolejny przypadek

108
00:04:50,233 --> 00:04:52,992
w którym odległość między środkami okręgów

109
00:04:53,012 --> 00:04:55,727
będzie wynosić cztery jednostki.

110
00:04:57,983 --> 00:04:59,385
Tym razem odległość

111
00:04:59,385 --> 00:05:02,058
między środkami okręgów jest mniejsza

112
00:05:02,058 --> 00:05:03,359
niż suma promieni.

113
00:05:03,615 --> 00:05:05,513
Jednak wciąż większa

114
00:05:05,543 --> 00:05:07,379
niż różnica promieni.

115
00:05:08,735 --> 00:05:10,385
W takim przypadku, gdy odległość

116
00:05:10,385 --> 00:05:12,854
między środkami okręgów jest większa

117
00:05:12,914 --> 00:05:14,959
od różnicy promieni, ale mniejsza

118
00:05:15,035 --> 00:05:16,282
niż suma promieni

119
00:05:16,282 --> 00:05:17,529
mamy do czynienia

120
00:05:17,529 --> 00:05:20,079
z okręgami przecinającymi się.

121
00:05:21,535 --> 00:05:23,351
W kolejnym przypadku odległość

122
00:05:23,351 --> 00:05:24,981
między środkami okręgów

123
00:05:24,981 --> 00:05:26,971
wynosiła jedną jednostkę.

124
00:05:30,495 --> 00:05:32,134
Widzimy, że odległość

125
00:05:32,134 --> 00:05:33,763
między środkami okręgów

126
00:05:33,763 --> 00:05:36,109
jest mniejsza od sumy promieni

127
00:05:36,139 --> 00:05:39,299
ale jednocześnie równa różnicy promieni.

128
00:05:40,991 --> 00:05:43,117
Gdy różnica promieni jest równa

129
00:05:43,117 --> 00:05:45,826
odległości między środkami okręgów

130
00:05:45,856 --> 00:05:47,938
to mamy do czynienia z okręgami

131
00:05:47,938 --> 00:05:49,579
stycznymi wewnętrznie.

132
00:05:49,695 --> 00:05:52,347
Dzieje się tak, ponieważ środki okręgów

133
00:05:52,347 --> 00:05:55,747
oraz punkt styczności są współliniowe.

134
00:05:58,143 --> 00:05:59,908
Ustawmy teraz nasze okręgi

135
00:05:59,908 --> 00:06:01,858
w taki sposób, aby odległość

136
00:06:01,858 --> 00:06:03,807
między ich środkami wynosiła

137
00:06:03,953 --> 00:06:05,185
pół jednostki.

138
00:06:06,335 --> 00:06:09,557
Mamy teraz sytuację, w której odległość

139
00:06:09,567 --> 00:06:11,929
między środkami okręgów jest mniejsza

140
00:06:11,939 --> 00:06:13,383
od różnicy promieni.

141
00:06:15,039 --> 00:06:17,483
Gdy odległość między środkami okręgów

142
00:06:17,483 --> 00:06:19,433
jest mniejsza od różnicy promieni

143
00:06:19,433 --> 00:06:22,246
to takie okręgi zawsze stanowią parę

144
00:06:22,286 --> 00:06:24,511
okręgów rozłącznych wewnętrznie.

145
00:06:28,351 --> 00:06:30,879
Przećwiczmy teraz zdobytą wiedzę.

146
00:06:31,167 --> 00:06:33,846
Współliniowe punkty S, A i O

147
00:06:33,846 --> 00:06:36,451
są środkami odpowiednich okręgów.

148
00:06:36,451 --> 00:06:39,219
Niebieski okrąg jest styczny zarówno

149
00:06:39,249 --> 00:06:42,355
do różowego jak i do żółtego okręgu.

150
00:06:42,687 --> 00:06:44,735
Oblicz długość odcinka SO.

151
00:06:46,783 --> 00:06:49,261
Oznaczmy środek niebieskiego okręgu

152
00:06:49,291 --> 00:06:50,471
literką A.

153
00:06:51,135 --> 00:06:52,770
Wiemy, że gdy okręgi

154
00:06:52,770 --> 00:06:54,067
są styczne zewnętrznie

155
00:06:54,067 --> 00:06:56,436
to suma ich promieni jest równa

156
00:06:56,436 --> 00:06:59,663
odległości między środkami tych okręgów.

157
00:07:00,095 --> 00:07:02,612
Niebieski i różowy okrąg niewątpliwie

158
00:07:02,612 --> 00:07:05,471
są okręgami stycznymi zewnętrzne.

159
00:07:06,751 --> 00:07:09,468
Oznacza to, że długość odcinka SA

160
00:07:09,488 --> 00:07:10,611
wynosi 8.

161
00:07:11,359 --> 00:07:14,279
Żółty i niebieski okrąg także są

162
00:07:14,299 --> 00:07:15,825
styczne zewnętrznie.

163
00:07:16,479 --> 00:07:19,551
Oznacza to, że długość odcinka OA

164
00:07:19,807 --> 00:07:21,343
wynosi 6.

165
00:07:21,599 --> 00:07:24,415
Zatem jaką długość ma odcinek SO?

166
00:07:24,927 --> 00:07:27,999
Dokładnie tak, 8 plus 6, czyli 14.

167
00:07:31,255 --> 00:07:32,881
Świetnie sobie poradziliśmy

168
00:07:32,881 --> 00:07:34,277
z poprzednim przykładem.

169
00:07:34,399 --> 00:07:36,703
Spójrzmy teraz na taki przykład.

170
00:07:37,471 --> 00:07:39,047
Punkty S, A i O

171
00:07:39,047 --> 00:07:41,823
są środkami odpowiednich okręgów.

172
00:07:41,823 --> 00:07:44,598
Niebieski okrąg jest styczny zarówno

173
00:07:44,598 --> 00:07:47,761
do różowego jak i do żółtego okręgu.

174
00:07:47,967 --> 00:07:50,271
Oblicz długość odcinka SO.

175
00:07:50,783 --> 00:07:52,588
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

176
00:07:52,588 --> 00:07:55,511
samodzielnie obliczyć długość odcinka SO.

177
00:07:59,231 --> 00:08:01,099
Co możemy powiedzieć o promieniu

178
00:08:01,099 --> 00:08:02,529
niebieskiego okręgu?

179
00:08:03,327 --> 00:08:06,655
Jest to średnica żółtego okręgu.

180
00:08:07,167 --> 00:08:09,471
Czyli promień niebieskiego okręgu

181
00:08:09,727 --> 00:08:11,007
ma długość 2.

182
00:08:12,799 --> 00:08:14,781
Czy musimy obliczyć coś jeszcze?

183
00:08:16,127 --> 00:08:18,485
Nie, bo długość odcinka SO

184
00:08:18,485 --> 00:08:19,755
jest taka sama

185
00:08:19,771 --> 00:08:22,271
jak promień niebieskiego okręgu.

186
00:08:22,271 --> 00:08:24,063
Czyli ma długość 2.

187
00:08:28,415 --> 00:08:31,487
Na koniec rozwiążmy jeszcze takie zadanie.

188
00:08:31,999 --> 00:08:35,590
Jak położone są względem siebie dwa okręgi

189
00:08:35,620 --> 00:08:38,834
jeśli jeden z nich ma środek w punkcie S

190
00:08:38,834 --> 00:08:41,123
o współrzędnych minus 2, 4

191
00:08:41,123 --> 00:08:42,883
i promień długości 3

192
00:08:43,473 --> 00:08:46,165
a drugi ma środek w punkcie O

193
00:08:46,165 --> 00:08:48,291
o współrzędnych 5, zero

194
00:08:48,291 --> 00:08:49,919
i promień długości 5?

195
00:08:50,687 --> 00:08:53,037
Jak myślisz, czego będziemy potrzebowali

196
00:08:53,037 --> 00:08:54,707
aby rozwiązać to zadanie?

197
00:08:55,295 --> 00:08:58,367
Będziemy potrzebowali długości odcinka SO

198
00:08:59,391 --> 00:09:02,719
sumy promieni oraz różnicy promieni.

199
00:09:03,743 --> 00:09:05,791
Narysujmy układ współrzędnych.

200
00:09:06,559 --> 00:09:09,536
Zaznaczmy punkt S, którego współrzędne

201
00:09:09,576 --> 00:09:11,583
wynoszą minus 2, 4

202
00:09:12,703 --> 00:09:15,293
oraz punkt O, którego współrzędne

203
00:09:15,343 --> 00:09:17,005
wynoszą 5, zero.

204
00:09:18,079 --> 00:09:20,765
Narysujmy też pierwszy okrąg o środku

205
00:09:20,765 --> 00:09:22,943
w punkcie S i promieniu równym 3.

206
00:09:23,967 --> 00:09:26,505
Narysujmy też drugi okrąg o środku

207
00:09:26,505 --> 00:09:29,193
w punkcie O i promieniu długości 5.

208
00:09:29,599 --> 00:09:32,894
Z rysunku wynikałoby, że te okręgi są

209
00:09:32,894 --> 00:09:34,675
styczne zewnętrznie.

210
00:09:34,675 --> 00:09:36,113
Czy na pewno tak jest?

211
00:09:36,159 --> 00:09:37,951
Sprawdźmy to rachunkowo.

212
00:09:38,303 --> 00:09:40,220
Zacznijmy od obliczenia

213
00:09:40,220 --> 00:09:41,887
długości odcinka SO.

214
00:09:43,423 --> 00:09:46,621
Połączmy punkt S oraz punkt O

215
00:09:46,621 --> 00:09:49,629
a długość poszukiwanego odcinka

216
00:09:49,629 --> 00:09:51,473
oznaczmy literką a.

217
00:09:53,407 --> 00:09:55,473
Czy wiesz z czego możemy skorzystać

218
00:09:55,473 --> 00:09:57,557
aby obliczyć długość tego odcinka?

219
00:09:59,295 --> 00:10:01,087
Z twierdzenia Pitagorasa.

220
00:10:01,599 --> 00:10:03,543
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

221
00:10:03,543 --> 00:10:06,469
samodzielnie obliczyć długość odcinka SO.

222
00:10:10,303 --> 00:10:12,132
Widzimy, że długość poziomej

223
00:10:12,132 --> 00:10:14,884
przyprostokątnej wynosi 7

224
00:10:14,884 --> 00:10:17,693
a długość pionowej przyprostokątnej

225
00:10:17,693 --> 00:10:19,007
wynosi 4.

226
00:10:19,007 --> 00:10:21,311
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymamy

227
00:10:21,567 --> 00:10:23,976
4 do kwadratu plus 7 do kwadratu

228
00:10:23,976 --> 00:10:25,407
równa się a kwadrat.

229
00:10:25,919 --> 00:10:30,271
Da nam to 16 plus 49 równa się a kwadrat.

230
00:10:30,527 --> 00:10:32,586
Po wykonaniu dodawania otrzymamy

231
00:10:32,586 --> 00:10:34,819
65 równa się a kwadrat.

232
00:10:35,391 --> 00:10:38,465
Skoro a jest długością boku trójkąta

233
00:10:38,475 --> 00:10:40,645
to musi mieć wartość dodatnią.

234
00:10:40,767 --> 00:10:42,759
A jaka dodatnia liczba podniesiona

235
00:10:42,759 --> 00:10:44,943
do kwadratu da nam 65?

236
00:10:45,631 --> 00:10:48,000
Niestety, bez kalkulatora ciężko byłoby

237
00:10:48,000 --> 00:10:49,445
wyznaczyć tę liczbę.

238
00:10:49,471 --> 00:10:51,707
Ale wiemy, że pierwiastek

239
00:10:51,727 --> 00:10:54,203
z sześćdziesięciu czterech to 8.

240
00:10:54,335 --> 00:10:57,645
A 65 jest liczbą większą niż 64

241
00:10:57,645 --> 00:11:00,560
zatem nasze a będzie musiało być

242
00:11:00,560 --> 00:11:02,603
nieco większe niż 8.

243
00:11:02,783 --> 00:11:06,111
Obliczmy teraz sumę oraz różnicę promieni.

244
00:11:06,879 --> 00:11:09,183
Suma będzie wynosić 8

245
00:11:10,207 --> 00:11:13,279
natomiast różnica będzie wynosić 2.

246
00:11:14,815 --> 00:11:17,721
Otrzymaliśmy, że długość odcinka SO

247
00:11:17,721 --> 00:11:20,188
jest większa nie tylko od różnicy

248
00:11:20,188 --> 00:11:21,983
ale i od sumy promieni.

249
00:11:22,495 --> 00:11:25,022
A taka nierówność charakteryzowała

250
00:11:25,022 --> 00:11:27,103
okręgi rozłączne zewnętrznie.

251
00:11:27,871 --> 00:11:29,430
Oczywiście, jak przy każdym

252
00:11:29,430 --> 00:11:30,602
zadaniu tekstowym

253
00:11:30,602 --> 00:11:32,215
zapiszmy jeszcze odpowiedź.

254
00:11:32,295 --> 00:11:34,425
Może ona brzmieć na przykład tak:

255
00:11:34,783 --> 00:11:37,855
takie dwa okręgi są rozłączne zewnętrznie.

256
00:11:38,367 --> 00:11:39,516
Czyli bardzo dobrze

257
00:11:39,516 --> 00:11:41,075
że nie zasugerowaliśmy się

258
00:11:41,075 --> 00:11:42,376
wcześniej rysunkiem

259
00:11:42,376 --> 00:11:44,601
ale sprawdziliśmy to rachunkowo.

260
00:11:49,375 --> 00:11:51,705
W zależności od długości promieni

261
00:11:51,705 --> 00:11:53,756
oraz odległości między środkami

262
00:11:53,756 --> 00:11:54,714
dwóch okręgów

263
00:11:54,714 --> 00:11:56,334
mogą się one znajdować

264
00:11:56,374 --> 00:11:58,751
w różnym wzajemnym położeniu.

265
00:11:58,847 --> 00:12:01,670
Wyróżniamy okręgi przecinające się

266
00:12:01,670 --> 00:12:03,589
mające dwa punkty wspólne.

267
00:12:03,639 --> 00:12:06,635
Okręgi styczne zewnętrznie i wewnętrznie

268
00:12:06,675 --> 00:12:09,651
mające dokładnie jeden punkt wspólny

269
00:12:09,697 --> 00:12:12,562
oraz okręgi rozłączne zewnętrznie

270
00:12:12,562 --> 00:12:13,790
i wewnętrznie

271
00:12:13,790 --> 00:12:16,805
nie mające żadnych punktów wspólnych.

272
00:12:19,839 --> 00:12:21,447
Jeśli chcesz być na bieżąco

273
00:12:21,447 --> 00:12:22,951
z naszymi materiałami

274
00:12:22,951 --> 00:12:25,116
zachęcam Cię do zasubskrybowania

275
00:12:25,116 --> 00:12:27,029
naszego kanału na YouTube

276
00:12:27,029 --> 00:12:28,919
 PistacjaMatematyka.