1
00:00:00,256 --> 00:00:01,792
Po 10-minutowej przerwie

2
00:00:01,792 --> 00:00:03,584
zaczynasz lekcję matematyki.

3
00:00:03,840 --> 00:00:06,912
Trwa ona od 12:10 do 12:55.

4
00:00:07,168 --> 00:00:09,577
Kolejna przerwa też trwa 10 minut.

5
00:00:09,847 --> 00:00:12,355
Czy między 12:00 a 12:10

6
00:00:12,355 --> 00:00:14,397
wskazówka minutowa zegara

7
00:00:14,397 --> 00:00:16,113
zakreśla taki sam kąt

8
00:00:16,113 --> 00:00:19,396
jak między 12:55 a 13:05?

9
00:00:19,712 --> 00:00:21,112
Z tej lekcji dowiesz się

10
00:00:21,112 --> 00:00:23,025
co to jest kąt środkowy

11
00:00:23,025 --> 00:00:25,322
i jaki jest jego związek z zegarem.

12
00:00:36,096 --> 00:00:38,127
W czasie tej lekcji omówimy

13
00:00:38,127 --> 00:00:39,315
szczególne kąty

14
00:00:39,315 --> 00:00:41,020
które można znaleźć w okręgu.

15
00:00:41,020 --> 00:00:42,856
Spójrz na takie dwa kąty.

16
00:00:43,016 --> 00:00:45,216
Co mają one ze sobą wspólnego?

17
00:00:48,896 --> 00:00:49,754
Po pierwsze

18
00:00:49,754 --> 00:00:52,224
oba te kąty są kątami wypukłymi.

19
00:00:52,480 --> 00:00:53,417
Po drugie

20
00:00:53,417 --> 00:00:56,123
wierzchołki obu tych kątów

21
00:00:56,123 --> 00:00:57,600
leżą na okręgu.

22
00:00:58,624 --> 00:00:59,955
A po trzecie

23
00:00:59,955 --> 00:01:01,952
ramiona tych kątów

24
00:01:04,512 --> 00:01:07,328
zawierają cięciwy naszych okręgów.

25
00:01:08,096 --> 00:01:11,680
Takie kąty nazywamy kątami wpisanymi.

26
00:01:15,264 --> 00:01:18,080
Teraz spójrzmy na taką parę kątów.

27
00:01:18,592 --> 00:01:21,476
Jakie tym razem znajdziemy cechy wspólne?

28
00:01:24,736 --> 00:01:26,696
Wierzchołki naszych kątów

29
00:01:26,696 --> 00:01:28,832
leżą w środkach okręgów

30
00:01:29,856 --> 00:01:31,904
a ramiona naszych kątów

31
00:01:32,928 --> 00:01:35,744
wyznaczają promienie naszych okręgów.

32
00:01:36,256 --> 00:01:39,840
Takie kąty nazywamy kątami środkowymi.

33
00:01:43,222 --> 00:01:45,263
Żeby przećwiczyć zdobytą wiedzę

34
00:01:45,263 --> 00:01:47,008
rozwiążmy takie zadanie:

35
00:01:47,520 --> 00:01:49,800
sprawdź, które z poniższych kątów

36
00:01:49,800 --> 00:01:51,945
możemy nazwać kątami środkowymi

37
00:01:51,955 --> 00:01:53,664
lub kątami wpisanymi.

38
00:01:53,920 --> 00:01:55,935
Wyświetlmy na ekranie definicję

39
00:01:55,935 --> 00:01:57,085
którą poznaliśmy

40
00:01:57,085 --> 00:01:58,944
aby było nam po prostu łatwiej.

41
00:01:59,040 --> 00:02:00,832
Spójrzmy na pierwszy przykład.

42
00:02:01,600 --> 00:02:03,906
Widzimy, że wierzchołek tego kąta

43
00:02:03,946 --> 00:02:05,424
leży na okręgu.

44
00:02:06,208 --> 00:02:07,756
A ramiona tego kąta

45
00:02:07,756 --> 00:02:09,792
zawierają cięciwy okręgu.

46
00:02:10,816 --> 00:02:12,623
Czy mamy tu zatem do czynienia

47
00:02:12,623 --> 00:02:13,820
z którymś z naszych

48
00:02:13,820 --> 00:02:15,402
charakterystycznych kątów?

49
00:02:15,558 --> 00:02:17,234
Oczywiście, masz rację.

50
00:02:17,374 --> 00:02:19,962
Mamy tu do czynienia z kątem wpisanym.

51
00:02:20,544 --> 00:02:22,848
Spójrz teraz na drugi okrąg.

52
00:02:23,104 --> 00:02:25,042
Czy mamy tu do czynienia z kątem

53
00:02:25,042 --> 00:02:27,334
wpisanym lub kątem środkowym?

54
00:02:30,272 --> 00:02:32,576
Kąt beta jest kątem wpisanym.

55
00:02:33,088 --> 00:02:35,136
Wierzchołek leży na okręgu.

56
00:02:36,160 --> 00:02:39,232
A ramiona zawierają cięciwy tego okręgu.

57
00:02:40,512 --> 00:02:42,280
Być może nieco zaskoczyła Cię

58
00:02:42,280 --> 00:02:43,252
ta odpowiedź.

59
00:02:43,328 --> 00:02:46,354
Ale spójrz, równie dobrze moglibyśmy

60
00:02:46,354 --> 00:02:48,960
to ramię narysować w ten sposób.

61
00:02:49,472 --> 00:02:50,806
Niezależnie od tego

62
00:02:50,806 --> 00:02:52,927
jak długie to ramię narysujem

63
00:02:52,927 --> 00:02:54,316
będzie to cały czas

64
00:02:54,316 --> 00:02:55,294
ten sam kąt.

65
00:02:55,360 --> 00:02:57,408
Spójrz teraz na trzeci okrąg.

66
00:02:57,664 --> 00:02:59,467
Tym razem wierzchołek kąta

67
00:02:59,467 --> 00:03:00,992
nie leży ani na okręgu

68
00:03:01,248 --> 00:03:02,784
ani w środku okręgu.

69
00:03:03,040 --> 00:03:04,414
Czy mamy tu do czynienia

70
00:03:04,414 --> 00:03:07,144
z kątem wpisanym lub kątem środkowym?

71
00:03:10,464 --> 00:03:11,754
Biorąc pod uwagę cechy

72
00:03:11,754 --> 00:03:13,971
o których powiedzieliśmy przed chwilą

73
00:03:13,971 --> 00:03:15,948
możemy stwierdzić, że nie jest to

74
00:03:15,948 --> 00:03:18,852
ani kąt środkowy, ani kąt wpisany.

75
00:03:19,680 --> 00:03:20,990
A co możemy powiedzieć

76
00:03:20,990 --> 00:03:22,240
o ostatnim przypadku?

77
00:03:22,496 --> 00:03:23,950
Zastanów się chwilę.

78
00:03:27,872 --> 00:03:29,536
Wierzchołek tego kąta

79
00:03:29,536 --> 00:03:31,200
leży w środku okręgu.

80
00:03:31,968 --> 00:03:33,927
A jego ramiona wyznaczają

81
00:03:33,927 --> 00:03:35,808
promienie naszego okręgu.

82
00:03:36,832 --> 00:03:39,179
Oznacza to, że mamy tu do czynienia

83
00:03:39,179 --> 00:03:41,098
z kątem środkowym.

84
00:03:44,256 --> 00:03:46,816
Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną rzecz.

85
00:03:47,584 --> 00:03:49,349
Mamy tutaj dwa kąty wpisane

86
00:03:49,349 --> 00:03:50,866
i jeden kąt środkowy.

87
00:03:50,912 --> 00:03:53,639
Każdy z tych kątów ma część wspólną

88
00:03:53,639 --> 00:03:54,846
z okręgiem.

89
00:03:55,008 --> 00:03:58,012
Ta wspólna część to pewien łuk okręgu.

90
00:03:58,012 --> 00:04:00,156
Mówimy, że jest to łuk

91
00:04:00,156 --> 00:04:02,176
na którym oparty jest kąt.

92
00:04:02,688 --> 00:04:03,955
W pierwszym przypadku

93
00:04:03,955 --> 00:04:06,016
ten łuk wygląda następująco.

94
00:04:06,528 --> 00:04:08,719
Możemy powiedzieć, że kąt wycina

95
00:04:08,719 --> 00:04:10,295
pewien fragment okręgu

96
00:04:10,295 --> 00:04:12,362
i ten zamknięty fragment okręgu

97
00:04:12,362 --> 00:04:13,696
jest właśnie łukiem.

98
00:04:14,208 --> 00:04:15,528
W drugim przypadku

99
00:04:15,528 --> 00:04:18,357
nasz kąt oparty jest na takim łuku.

100
00:04:18,559 --> 00:04:20,423
A jak myślisz, na jakim łuku

101
00:04:20,423 --> 00:04:22,267
oparty jest ten trzeci kąt?

102
00:04:22,911 --> 00:04:23,685
Masz rację.

103
00:04:23,685 --> 00:04:25,727
Oparty jest on na takim łuku.

104
00:04:26,495 --> 00:04:28,543
Przeanalizujmy taki przypadek.

105
00:04:29,311 --> 00:04:31,704
Co moglibyśmy powiedzieć o zależnościach

106
00:04:31,704 --> 00:04:34,165
między kątem środkowym, a kątem wpisanym

107
00:04:34,431 --> 00:04:36,291
gdyby były one oparte

108
00:04:36,317 --> 00:04:37,759
na tych samych łukach

109
00:04:37,759 --> 00:04:40,181
tak, jak w naszych trzech okręgach.

110
00:04:40,831 --> 00:04:43,135
Po zmierzeniu naszych kątów

111
00:04:43,135 --> 00:04:45,183
otrzymano takie wartości.

112
00:04:45,439 --> 00:04:46,751
W pierwszym przypadku

113
00:04:46,751 --> 00:04:49,179
kąt środkowy ma 150 stopni

114
00:04:49,179 --> 00:04:50,845
a kąt wpisany 75.

115
00:04:51,583 --> 00:04:54,584
W kolejnym, kąt środkowy 66 stopni

116
00:04:54,584 --> 00:04:56,703
a kąt wpisany 33 stopnie.

117
00:04:57,471 --> 00:04:59,007
No i w ostatnim przypadku

118
00:04:59,263 --> 00:05:01,758
kąt środkowy ma 154 stopnie

119
00:05:01,758 --> 00:05:04,423
a kąt wpisany 77 stopni.

120
00:05:05,151 --> 00:05:07,711
Możemy tu zauważyć pewną zależność.

121
00:05:07,967 --> 00:05:11,039
Dla kątów opartych na tym samym łuku

122
00:05:11,551 --> 00:05:14,187
miara kąta środkowego jest zawsze

123
00:05:14,187 --> 00:05:17,475
2 razy większa od miary kąta wpisanego.

124
00:05:18,207 --> 00:05:20,405
Tę zależność nazywamy twierdzeniem

125
00:05:20,405 --> 00:05:22,773
o kątach wpisanym i środkowym

126
00:05:22,803 --> 00:05:24,791
opartych na tym samym łuku.

127
00:05:25,375 --> 00:05:27,676
Zachęcam Cię do obejrzenia naszej lekcji

128
00:05:27,676 --> 00:05:29,004
w której udowadniamy

129
00:05:29,004 --> 00:05:31,015
prawdziwość tego twierdzenia.

130
00:05:31,263 --> 00:05:33,653
Przejdźmy do kolejnego zadania.

131
00:05:36,383 --> 00:05:38,943
Treść tego zadania brzmi następująco:

132
00:05:39,199 --> 00:05:41,748
dany jest okrąg o środku S.

133
00:05:41,748 --> 00:05:44,575
Zaznaczono w nim kąty alfa i beta

134
00:05:44,831 --> 00:05:46,623
które spełniają warunek

135
00:05:46,879 --> 00:05:50,207
alfa plus beta równa się 132 stopnie.

136
00:05:50,719 --> 00:05:53,279
Znajdź miary kątów alfa i beta.

137
00:05:54,047 --> 00:05:56,351
Przepiszmy dane z treści zadania.

138
00:05:56,863 --> 00:05:58,527
Jak widzisz, kąt alfa

139
00:05:58,527 --> 00:06:00,191
jest kątem środkowym.

140
00:06:00,959 --> 00:06:03,263
A co możesz powiedzieć o kącie beta?

141
00:06:06,847 --> 00:06:08,895
Beta jest kątem wpisanym.

142
00:06:09,151 --> 00:06:10,687
I co łatwo zauważyć

143
00:06:10,943 --> 00:06:14,015
opartym na tym samym łuku, co kąt alfa.

144
00:06:14,783 --> 00:06:16,204
Znamy już twierdzenie

145
00:06:16,204 --> 00:06:18,095
które mówi, że dla kątów

146
00:06:18,095 --> 00:06:19,978
wpisanego i środkowego

147
00:06:19,998 --> 00:06:21,951
opartych na tym samym łuku

148
00:06:22,207 --> 00:06:23,968
miara kąta środkowego

149
00:06:23,968 --> 00:06:25,695
jest dwa razy większa

150
00:06:25,695 --> 00:06:27,583
od miary kąta wpisanego.

151
00:06:28,095 --> 00:06:29,654
Możemy zatem zapisać

152
00:06:29,654 --> 00:06:31,909
że alfa równa się 2 beta.

153
00:06:31,935 --> 00:06:34,724
Podstawmy zatem 2 beta w miejsce alfy

154
00:06:34,724 --> 00:06:36,886
do równania zapisanego powyżej.

155
00:06:36,886 --> 00:06:38,013
Otrzymamy:

156
00:06:38,079 --> 00:06:42,175
2 beta plus beta równa się 132 stopnie.

157
00:06:42,431 --> 00:06:46,215
Mamy zatem 3 beta równa się 132 stopnie

158
00:06:46,527 --> 00:06:49,023
i po podzieleniu stronami przez 3

159
00:06:49,023 --> 00:06:52,891
otrzymamy, że beta równa się 44 stopniom.

160
00:06:53,439 --> 00:06:56,255
A jak wiemy, alfa równa się 2 beta.

161
00:06:57,023 --> 00:07:00,759
Zatem alfa równa się 2 razy 44 stopnie

162
00:07:00,759 --> 00:07:03,037
co da nam 88 stopni.

163
00:07:03,423 --> 00:07:05,215
Zapiszmy jeszcze odpowiedź.

164
00:07:05,727 --> 00:07:08,543
Miara kąta alfa to 88 stopni

165
00:07:08,543 --> 00:07:11,579
a miara kąta beta to 44 stopnie.

166
00:07:14,687 --> 00:07:16,991
Zmierzmy się teraz z takim zadaniem.

167
00:07:17,247 --> 00:07:19,807
Punkt S jest środkiem okręgu.

168
00:07:20,063 --> 00:07:22,111
Oblicz miarę kąta alfa.

169
00:07:22,879 --> 00:07:24,983
Wiemy na pewno, że kąt alfa

170
00:07:24,983 --> 00:07:26,463
jest kątem wpisanym.

171
00:07:27,231 --> 00:07:29,791
A na jakim łuku oparty jest ten kąt?

172
00:07:33,375 --> 00:07:36,703
Dokładnie tak, jest on oparty na tym łuku.

173
00:07:37,471 --> 00:07:40,031
Teraz potrzebujemy kąta środkowego.

174
00:07:40,287 --> 00:07:43,446
Mamy podaną miarę jednego takiego kąta.

175
00:07:43,496 --> 00:07:45,191
Ma on 150 stopni.

176
00:07:45,407 --> 00:07:48,479
Niestety, jest on oparty na innym łuku.

177
00:07:49,247 --> 00:07:51,473
Nas interesuje kąt środkowy

178
00:07:51,473 --> 00:07:54,111
oparty na tym samym łuku, co alfa.

179
00:07:54,367 --> 00:07:57,203
Zatem nas będzie interesował ten kąt

180
00:07:57,203 --> 00:07:59,666
bo jest on oparty na tym samym łuku

181
00:07:59,666 --> 00:08:00,511
co kąt alfa.

182
00:08:00,767 --> 00:08:04,095
Wiemy też, że będzie on miał miarę 2 alfa.

183
00:08:04,351 --> 00:08:08,382
Zobacz, kąt 2 alfa oraz kąt 150 stopni

184
00:08:08,382 --> 00:08:10,495
tworzą razem kąt pełny.

185
00:08:11,263 --> 00:08:13,288
Oznacza to, że możemy zapisać

186
00:08:13,288 --> 00:08:14,335
takie równanie:

187
00:08:14,847 --> 00:08:17,466
2 alfa plus 150 stopni

188
00:08:17,466 --> 00:08:19,711
równa się 360 stopni.

189
00:08:20,223 --> 00:08:22,081
Po przerzuceniu 150 stopni

190
00:08:22,081 --> 00:08:24,063
na prawą stronę, otrzymamy

191
00:08:24,319 --> 00:08:26,990
2 alfa równa się 360 stopni

192
00:08:26,990 --> 00:08:28,671
minus 150 stopni.

193
00:08:28,927 --> 00:08:30,719
Wykonajmy odejmowanie.

194
00:08:30,975 --> 00:08:34,303
Da nam to 2 alfa równa się 210 stopni.

195
00:08:35,071 --> 00:08:36,863
Po podzieleniu stronami przez 2

196
00:08:37,375 --> 00:08:40,447
otrzymamy, że alfa równa się 105 stopni.

197
00:08:40,959 --> 00:08:42,783
Świetnie, znaleźliśmy odpowiedź

198
00:08:42,783 --> 00:08:44,491
do naszego zadania.

199
00:08:46,847 --> 00:08:48,613
Pokażę Ci jeszcze jeden

200
00:08:48,613 --> 00:08:49,919
ciekawy przypadek.

201
00:08:50,175 --> 00:08:52,991
Narysujmy średnicę tego okręgu.

202
00:08:53,247 --> 00:08:55,950
A teraz narysujmy kąt wpisany

203
00:08:55,950 --> 00:08:58,367
który będzie oparty na tej średnicy.

204
00:08:58,623 --> 00:09:01,439
Spróbujmy ustalić miarę tego kąta.

205
00:09:02,207 --> 00:09:04,534
Czy wiesz, gdzie na rysunku jest kąt

206
00:09:04,534 --> 00:09:07,583
środkowy oparty na tym samym łuku?

207
00:09:07,839 --> 00:09:09,419
Spróbuj go znaleźć.

208
00:09:12,191 --> 00:09:15,775
Ten kąt wpisany jest oparty na tym łuku.

209
00:09:16,287 --> 00:09:18,715
To w takim razie naszym kątem środkowym

210
00:09:18,735 --> 00:09:21,111
musi być taki kąt półpełny.

211
00:09:21,663 --> 00:09:24,246
Teraz możemy skorzystać z twierdzenia

212
00:09:24,246 --> 00:09:26,311
o kątach wpisanym i środkowym

213
00:09:26,311 --> 00:09:28,037
opartych na tym samym łuku.

214
00:09:28,063 --> 00:09:29,716
Jak już doskonale wiesz

215
00:09:29,716 --> 00:09:32,159
kąt wpisany będzie 2 razy mniejszy.

216
00:09:32,671 --> 00:09:35,487
Czyli będzie on miał 90 stopni.

217
00:09:35,999 --> 00:09:38,345
Kąt wpisany oparty na średnicy

218
00:09:38,345 --> 00:09:40,255
zawsze ma 90 stopni.

219
00:09:40,351 --> 00:09:42,143
Warto to zapamiętać.

220
00:09:47,007 --> 00:09:48,249
Charakterystyczne kąty

221
00:09:48,249 --> 00:09:50,159
które możemy wyróżnić w okręgu

222
00:09:50,159 --> 00:09:51,177
to między innymi

223
00:09:51,217 --> 00:09:53,301
kąt środkowy i kąt wpisany.

224
00:09:53,407 --> 00:09:56,212
Kąt środkowy to taki, którego wierzchołek

225
00:09:56,212 --> 00:09:57,759
leży w środku okręgu.

226
00:09:58,015 --> 00:10:00,299
Natomiast kąt wpisany to taki

227
00:10:00,299 --> 00:10:03,091
którego wierzchołek leży na okręgu

228
00:10:03,091 --> 00:10:05,183
a oba ramiona przecinają okrąg.

229
00:10:05,695 --> 00:10:08,102
Bardzo przydatne jest także twierdzenie

230
00:10:08,102 --> 00:10:10,069
o kącie wpisanym i środkowym.

231
00:10:10,069 --> 00:10:12,801
Mówi ono, że kąt wpisany ma miarę

232
00:10:12,861 --> 00:10:15,313
2 razy mniejszą od kąta środkowego

233
00:10:15,523 --> 00:10:17,471
opartego na tym samym łuku.

234
00:10:21,567 --> 00:10:23,113
Zachęcam Cię do polubienia

235
00:10:23,113 --> 00:10:24,909
naszej strony na Facebook' u

236
00:10:24,909 --> 00:10:27,159
PistacjaMatematyka.