1
00:00:00,256 --> 00:00:02,131
Narysujmy żółty okrąg

2
00:00:02,131 --> 00:00:04,096
i wyjmijmy jego część.

3
00:00:04,352 --> 00:00:05,376
Co otrzymaliśmy?

4
00:00:05,888 --> 00:00:08,346
Jedną z najsłynniejszych postaci

5
00:00:08,346 --> 00:00:10,496
w historii gier wideo, Pacmana.

6
00:00:11,008 --> 00:00:13,489
Inspiracją do stworzenia tej postaci

7
00:00:13,489 --> 00:00:14,702
była ponoć pizza

8
00:00:14,702 --> 00:00:16,880
z brakującymi dwoma kawałkami.

9
00:00:17,152 --> 00:00:19,712
Inspiracje kryją się na każdym kroku.

10
00:00:30,976 --> 00:00:33,280
Zacznijmy od krótkiej powtórki.

11
00:00:34,304 --> 00:00:36,613
Jak pamiętasz, wierzchołek kąta

12
00:00:36,613 --> 00:00:38,400
wpisanego leży na okręgu.

13
00:00:39,424 --> 00:00:42,291
Natomiast wierzchołek kąta środkowego

14
00:00:42,291 --> 00:00:45,312
jak sama nazwa wskazuje, w środku okręgu.

15
00:00:45,568 --> 00:00:47,197
Sformułowaliśmy również

16
00:00:47,197 --> 00:00:49,493
i wykorzystywaliśmy twierdzenie

17
00:00:49,493 --> 00:00:52,074
o kątach wpisanym i środkowym

18
00:00:52,074 --> 00:00:54,456
opartych na tym samym łuku.

19
00:00:54,784 --> 00:00:57,003
Łuk to ten fragment okręgu

20
00:00:57,003 --> 00:00:59,136
który kąt wycina z okręgu.

21
00:00:59,392 --> 00:01:02,208
Przypomnijmy sobie treść tego twierdzenia.

22
00:01:02,720 --> 00:01:06,314
Miara kąta wpisanego jest 2 razy mniejsza

23
00:01:06,324 --> 00:01:08,229
od miary kąta środkowego

24
00:01:08,229 --> 00:01:10,364
opartego na tym samym łuku.

25
00:01:10,400 --> 00:01:12,355
W tym filmie, pokażę Ci dowód

26
00:01:12,355 --> 00:01:13,842
tego twierdzenia.

27
00:01:14,240 --> 00:01:16,297
Będziemy to chcieli udowodnić

28
00:01:16,297 --> 00:01:17,666
dla każdych możliwych

29
00:01:17,666 --> 00:01:19,360
położeń i wielkości kątów.

30
00:01:19,616 --> 00:01:21,242
Zobaczmy jak położenie

31
00:01:21,242 --> 00:01:23,171
wierzchołka kąta wpisanego

32
00:01:23,171 --> 00:01:25,248
może mieć wpływ na sytuację.

33
00:01:25,760 --> 00:01:28,664
Zauważ, że wierzchołek kąta środkowego

34
00:01:28,714 --> 00:01:30,608
może leżeć wewnątrz

35
00:01:30,608 --> 00:01:33,480
lub na zewnątrz wpisanego.

36
00:01:33,696 --> 00:01:36,127
Ponadto mamy sytuację graniczną

37
00:01:36,137 --> 00:01:38,601
kiedy wierzchołek kąta środkowego

38
00:01:38,601 --> 00:01:40,828
leży na ramieniu kąta wpisanego.

39
00:01:40,864 --> 00:01:43,447
I te trzy sytuacje, to trzy przypadki

40
00:01:43,447 --> 00:01:45,672
którymi będziemy się zajmowali.

41
00:01:45,728 --> 00:01:47,543
Zacznijmy nasze rozważania

42
00:01:47,543 --> 00:01:49,170
od tego przypadku.

43
00:01:52,128 --> 00:01:54,953
Zacznijmy od udowodnienia twierdzenia

44
00:01:54,953 --> 00:01:56,630
przy parametrach takich

45
00:01:56,630 --> 00:01:58,016
jak na tym rysunku.

46
00:01:58,784 --> 00:02:01,361
Musimy uzasadnić, że kąt beta

47
00:02:01,361 --> 00:02:04,160
jest 2 razy mniejszy od kąta alfa.

48
00:02:05,440 --> 00:02:07,678
Tak, jak większość zadań na dowodzenie

49
00:02:07,678 --> 00:02:09,767
tak i to możemy potraktować

50
00:02:09,767 --> 00:02:11,350
jako zwykłe zadanie

51
00:02:11,350 --> 00:02:13,349
w którym znając kąt beta

52
00:02:13,609 --> 00:02:15,168
należy obliczyć alfę.

53
00:02:16,448 --> 00:02:17,790
Nie podano nam jednak

54
00:02:17,790 --> 00:02:20,109
konkretnych wartości liczbowych

55
00:02:20,109 --> 00:02:21,754
ale ogólne oznaczenia.

56
00:02:22,974 --> 00:02:24,172
To nic dziwnego.

57
00:02:24,172 --> 00:02:26,688
W końcu chcemy to wykazać w ogólności

58
00:02:26,688 --> 00:02:29,248
aby móc potem stosować to twierdzenie

59
00:02:29,504 --> 00:02:30,665
dla różnych liczb

60
00:02:30,665 --> 00:02:32,712
a nie tylko w jednym przypadku

61
00:02:32,712 --> 00:02:35,340
dla którego przeprowadziliśmy dowód.

62
00:02:35,392 --> 00:02:37,320
Ze względu na to, że rozumowanie

63
00:02:37,320 --> 00:02:38,583
w ogólnym przypadku

64
00:02:38,583 --> 00:02:40,341
trudniej jest przeprowadzić

65
00:02:40,341 --> 00:02:41,571
rozważmy najpierw

66
00:02:41,571 --> 00:02:43,380
jeden konkretny przykład.

67
00:02:43,530 --> 00:02:45,986
Jak widzisz, zajmiemy się wersją zadania

68
00:02:46,046 --> 00:02:48,598
w której beta ma 20 stopni.

69
00:02:48,960 --> 00:02:50,495
Naszym zadaniem będzie

70
00:02:50,495 --> 00:02:53,126
wyznaczenie miary kąta alfa.

71
00:02:54,080 --> 00:02:56,785
Zatrzymaj teraz firm i zastanów się

72
00:02:56,785 --> 00:02:59,563
miary których kątów możemy obliczyć

73
00:02:59,603 --> 00:03:02,326
korzystając z już poznanych twierdzeń.

74
00:03:05,600 --> 00:03:10,105
Zauważ, że odcinki CO i OB

75
00:03:10,151 --> 00:03:12,512
są promieniami okręgu.

76
00:03:12,512 --> 00:03:15,454
Oznacza to, że trójkąt CBO

77
00:03:15,494 --> 00:03:17,440
jest równoramienny.

78
00:03:17,632 --> 00:03:19,066
Co z tego wynika?

79
00:03:19,424 --> 00:03:23,264
Kąt CBO bo również ma miarę 20 stopni.

80
00:03:24,288 --> 00:03:25,440
Aby potem pamiętać

81
00:03:25,440 --> 00:03:27,472
co robiliśmy przy tym kącie

82
00:03:27,472 --> 00:03:29,804
napiszmy cyfrę 1 w takim kółku.

83
00:03:29,920 --> 00:03:32,404
Niech ta jedynka przypomina nam krok

84
00:03:32,480 --> 00:03:34,182
w którym zauważyliśmy

85
00:03:34,182 --> 00:03:36,876
że trójkąt BCO jest równoramienny.

86
00:03:37,344 --> 00:03:38,517
A co za tym idzie

87
00:03:38,517 --> 00:03:40,035
te dwa kąty muszą mieć

88
00:03:40,035 --> 00:03:41,684
taką samą miarę.

89
00:03:43,488 --> 00:03:45,704
Zauważ, że w trójkącie CBO

90
00:03:45,704 --> 00:03:47,370
brakuje nam już tylko

91
00:03:47,370 --> 00:03:48,878
miary jednego kąta.

92
00:03:49,120 --> 00:03:51,689
Możemy ją obliczyć, korzystając z sumy

93
00:03:51,689 --> 00:03:53,436
miar kątów w trójkącie.

94
00:03:53,472 --> 00:03:55,114
Czy wiesz ile będzie wynosić

95
00:03:55,114 --> 00:03:57,536
miara tego brakującego kąta?

96
00:04:00,358 --> 00:04:03,485
Oczywiście, po odjęciu od 180

97
00:04:03,485 --> 00:04:05,045
2 razy po 20

98
00:04:05,045 --> 00:04:07,452
otrzymujemy 140 stopni.

99
00:04:08,320 --> 00:04:10,053
Zanim przejdziemy dalej

100
00:04:10,053 --> 00:04:12,808
przy rysunku zapiszmy dwójkę w kółku.

101
00:04:13,184 --> 00:04:15,470
I zapiszmy, że korzystaliśmy tutaj

102
00:04:15,470 --> 00:04:17,874
z sumy miar kątów w trójkącie.

103
00:04:17,944 --> 00:04:19,855
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

104
00:04:19,855 --> 00:04:22,599
samodzielnie obliczyć miarę kąta alfa.

105
00:04:25,727 --> 00:04:29,823
Zwróć uwagę, że kąt alfa i kąt COB

106
00:04:30,079 --> 00:04:32,001
który przed chwilą obliczyliśmy

107
00:04:32,127 --> 00:04:34,175
są kątami przyległymi.

108
00:04:34,687 --> 00:04:38,667
Oznacza to, że ich suma wynosi 180 stopni.

109
00:04:39,039 --> 00:04:43,105
Odejmując od 180 stopni 140 stopni

110
00:04:43,125 --> 00:04:45,569
otrzymujemy 40 stopni.

111
00:04:45,951 --> 00:04:48,767
Wstawmy w miejsce alfa obliczoną wartość.

112
00:04:49,791 --> 00:04:51,969
Dodatkowo zapiszmy jeszcze tutaj

113
00:04:52,095 --> 00:04:53,375
trójkę w kółku.

114
00:04:53,887 --> 00:04:56,135
Tym razem będzie nam ona przypominać

115
00:04:56,135 --> 00:04:57,922
że korzystaliśmy z własności

116
00:04:57,922 --> 00:04:59,457
kątów przyległych.

117
00:05:00,229 --> 00:05:02,056
Brawo, udało nam się obliczyć

118
00:05:02,146 --> 00:05:03,569
miarę kąta alfa.

119
00:05:04,127 --> 00:05:07,389
Teraz zróbmy to samo tylko na literkach.

120
00:05:07,967 --> 00:05:09,929
Mamy naszą jedynkę.

121
00:05:10,015 --> 00:05:12,831
Obliczyliśmy tam miarę kąta CBO.

122
00:05:13,599 --> 00:05:16,399
Z zapisków widzimy, że korzystaliśmy

123
00:05:16,399 --> 00:05:19,143
z własności trójkąta równoramiennego.

124
00:05:19,143 --> 00:05:20,213
Zapiszmy to.

125
00:05:20,255 --> 00:05:23,583
Miara kąta CBO to...

126
00:05:23,839 --> 00:05:25,267
No właśnie, ile?

127
00:05:25,267 --> 00:05:27,521
Tyle, co kąta BCO

128
00:05:27,521 --> 00:05:28,979
czyli beta.

129
00:05:29,983 --> 00:05:31,840
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

130
00:05:31,840 --> 00:05:35,093
samodzielnie obliczyć miarę kąta COB.

131
00:05:38,687 --> 00:05:41,042
Jak pamiętamy, suma miar kątów

132
00:05:41,042 --> 00:05:42,981
wewnętrznych w każdym trójkącie

133
00:05:42,981 --> 00:05:44,485
to 180 stopni.

134
00:05:44,831 --> 00:05:48,772
Czyli miara kąta COB to 180 stopni

135
00:05:48,772 --> 00:05:50,279
minus 2 beta.

136
00:05:50,279 --> 00:05:52,250
Zostało nam już tylko obliczyć

137
00:05:52,250 --> 00:05:53,881
miarę kąta alfa.

138
00:05:54,815 --> 00:05:56,351
Skoro to kąty przyległe

139
00:05:56,607 --> 00:05:58,911
to dają w sumie 180 stopni.

140
00:05:59,935 --> 00:06:02,845
Otrzymujemy, że kąt alfa jest równy

141
00:06:02,845 --> 00:06:06,467
180 stopni minus 180 stopni

142
00:06:06,467 --> 00:06:08,384
minus 2 razy beta.

143
00:06:08,474 --> 00:06:10,662
Po uproszczeniu otrzymujemy

144
00:06:10,662 --> 00:06:12,949
że jest to 2 razy beta.

145
00:06:13,247 --> 00:06:15,757
Na końcu, ponieważ jest to dowód

146
00:06:15,757 --> 00:06:18,111
stawiamy jeszcze znak końca dowodu.

147
00:06:18,623 --> 00:06:20,503
W ten sposób otrzymaliśmy dowód

148
00:06:20,503 --> 00:06:23,215
twierdzenia w jednym z trzech przypadków.

149
00:06:26,041 --> 00:06:28,318
Zajmijmy się teraz sytuacją

150
00:06:28,318 --> 00:06:31,032
w której środek okręgu leży

151
00:06:31,032 --> 00:06:33,215
wewnątrz kąta wpisanego.

152
00:06:34,239 --> 00:06:36,172
Moglibyśmy analogicznie do tego

153
00:06:36,172 --> 00:06:37,350
co było poprzednio

154
00:06:37,350 --> 00:06:39,323
przeprowadzić rachunek kątów.

155
00:06:39,359 --> 00:06:41,663
Spróbujmy jednak nieco innej metody.

156
00:06:41,919 --> 00:06:44,735
W tym celu narysujmy średnicę okręgu

157
00:06:44,991 --> 00:06:46,783
wychodzącą z punktu C.

158
00:06:47,295 --> 00:06:49,513
Pojawił się nowy punkt na przecięciu

159
00:06:49,543 --> 00:06:51,175
okręgu i średnicy.

160
00:06:51,903 --> 00:06:53,695
Nazwijmy ten punkt D.

161
00:06:53,951 --> 00:06:57,189
Średnica podzieliła zarówno kąt środkowy

162
00:06:57,209 --> 00:07:00,045
jak i kąt wpisany na dwa kąty.

163
00:07:00,863 --> 00:07:03,679
Na razie narysujmy tylko te kąty wpisane.

164
00:07:03,935 --> 00:07:07,263
I nazwijmy je na przykład gamma i omega.

165
00:07:07,519 --> 00:07:10,591
Zauważ, że kąty po jednej stronie średnicy

166
00:07:10,847 --> 00:07:13,446
tworzą taki sam przypadek jak ten

167
00:07:13,446 --> 00:07:15,967
który udowodniliśmy przed chwilą.

168
00:07:16,223 --> 00:07:19,039
Przyjrzyjmy się kątowi DOB

169
00:07:19,551 --> 00:07:21,855
oraz kątowi DCB.

170
00:07:23,903 --> 00:07:27,359
Są to, kąt środkowy oraz kąt wpisany

171
00:07:27,359 --> 00:07:29,050
oparty na jednym łuku

172
00:07:29,050 --> 00:07:31,472
a środek okręgu leży na ramieniu

173
00:07:31,472 --> 00:07:32,607
kąta wpisanego.

174
00:07:32,863 --> 00:07:34,310
A jak już doskonale wiemy

175
00:07:34,310 --> 00:07:36,826
w takim przypadku kąt środkowy

176
00:07:36,826 --> 00:07:39,507
jest 2 razy większy od kąta wpisanego.

177
00:07:39,547 --> 00:07:42,359
Czyli ten kąt to 2 gamma.

178
00:07:42,591 --> 00:07:43,615
Zapiszmy to.

179
00:07:44,127 --> 00:07:45,437
W nawiasie zapiszmy

180
00:07:45,437 --> 00:07:47,740
że korzystaliśmy tutaj z dowodu

181
00:07:47,740 --> 00:07:50,399
na miarę kąta wpisanego i środkowego

182
00:07:50,399 --> 00:07:52,319
opartych na tym samym łuku

183
00:07:52,575 --> 00:07:54,320
który pokazaliśmy sobie

184
00:07:54,320 --> 00:07:55,647
w przypadku pierwszym.

185
00:07:56,415 --> 00:07:57,973
W zadaniach na dowodzeni

186
00:07:57,973 --> 00:08:00,158
trzeba bardzo starannie uzasadniać

187
00:08:00,158 --> 00:08:01,695
wszystkie stwierdzenia.

188
00:08:01,791 --> 00:08:03,709
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

189
00:08:03,709 --> 00:08:06,795
samodzielnie wyznaczyć miarę kąta AOD.

190
00:08:09,983 --> 00:08:13,311
Kąt AOD ma miarę 2 omega.

191
00:08:13,567 --> 00:08:15,885
Nie możemy zapomnieć o uzasadnieniu.

192
00:08:16,127 --> 00:08:17,699
Teraz wystarczy połączyć

193
00:08:17,699 --> 00:08:19,263
te dwie informacje.

194
00:08:20,991 --> 00:08:23,390
Zauważ, że kąt alfa składa się

195
00:08:23,400 --> 00:08:24,871
z dwóch części

196
00:08:24,871 --> 00:08:26,763
2 gamma i 2 omega.

197
00:08:28,159 --> 00:08:30,852
Jeżeli wyłączymy wspólny czynnik

198
00:08:30,852 --> 00:08:31,721
przed nawias

199
00:08:31,721 --> 00:08:33,313
to w nawiasie zostanie

200
00:08:33,333 --> 00:08:35,011
gamma plus omega.

201
00:08:36,095 --> 00:08:38,655
A jak widzisz, to wyrażenie z nawiasu

202
00:08:38,695 --> 00:08:40,663
równe jest kątowi beta.

203
00:08:41,727 --> 00:08:43,501
Udało nam się uzasadnić

204
00:08:43,501 --> 00:08:45,813
że alfa równa się 2 beta.

205
00:08:46,079 --> 00:08:48,197
Jeszcze tylko uzasadnienie

206
00:08:48,197 --> 00:08:49,663
i znak końca dowodu.

207
00:08:53,503 --> 00:08:56,063
I pozostał nam już tylko trzeci przypadek.

208
00:08:56,575 --> 00:08:59,071
Znowu dorysujmy średnicę okręgu

209
00:08:59,071 --> 00:09:00,761
wychodzącą z punktu C.

210
00:09:01,439 --> 00:09:03,109
Czy masz pomysł, co dalej

211
00:09:03,109 --> 00:09:04,511
będziemy mogli zrobić?

212
00:09:04,767 --> 00:09:07,071
Zatrzymaj film i zastanów się chwilę.

213
00:09:10,655 --> 00:09:14,744
Zauważ, że ten kąt gamma oraz kąt DOB

214
00:09:14,744 --> 00:09:17,049
tworzą taką samą konfigurację

215
00:09:17,055 --> 00:09:18,847
jak w przypadku pierwszym.

216
00:09:19,871 --> 00:09:22,198
Właśnie dlatego kąt DOB

217
00:09:22,198 --> 00:09:24,991
będzie 2 razy większy niż gamma.

218
00:09:25,503 --> 00:09:27,265
Zapiszmy jeszcze oczywiście

219
00:09:27,265 --> 00:09:29,081
odpowiednie uzasadnienie.

220
00:09:29,855 --> 00:09:31,814
Teraz przyjrzyj się różowej

221
00:09:31,844 --> 00:09:33,327
części rysunku.

222
00:09:33,695 --> 00:09:35,999
Czy tutaj dostrzegasz jakąś zależność?

223
00:09:39,327 --> 00:09:40,316
Masz rację

224
00:09:40,316 --> 00:09:43,183
kąt DOA będzie 2 razy większy

225
00:09:43,183 --> 00:09:44,285
od omegi.

226
00:09:44,959 --> 00:09:47,263
Umieśćmy jeszcze odpowiedni opis.

227
00:09:49,055 --> 00:09:51,765
Czy jesteśmy w stanie wyrazić kąt alfa

228
00:09:51,765 --> 00:09:53,919
w zależności od gammy i omegi?

229
00:09:54,431 --> 00:09:57,759
Będzie to 2 gamma odjąć 2 omega.

230
00:09:58,527 --> 00:09:59,807
Spróbuj samodzielnie

231
00:09:59,807 --> 00:10:01,643
skończyć przekształcenia.

232
00:10:05,439 --> 00:10:07,743
Wyciągamy dwójkę przed nawias.

233
00:10:08,255 --> 00:10:11,114
Okazuje się, że to wyrażenie w nawiasie

234
00:10:11,144 --> 00:10:13,069
opisuje kąt beta.

235
00:10:13,375 --> 00:10:15,815
Ale skoro mamy dwójkę przed nawiasem

236
00:10:15,815 --> 00:10:18,223
to mamy to, co było nam potrzebne.

237
00:10:18,239 --> 00:10:20,287
Alfa równa się 2 beta.

238
00:10:20,799 --> 00:10:22,796
Oznacza to, że możemy skończyć

239
00:10:22,796 --> 00:10:24,527
dowód tego przypadku.

240
00:10:24,895 --> 00:10:27,106
Jeżeli chcesz się nauczyć stosować

241
00:10:27,106 --> 00:10:29,974
twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym

242
00:10:29,974 --> 00:10:31,878
zachęcam Cię do obejrzenia

243
00:10:31,878 --> 00:10:33,343
odpowiedniego filmu.

244
00:10:37,951 --> 00:10:39,823
Dowód twierdzenia o kątach

245
00:10:39,823 --> 00:10:41,273
wpisanym i środkowym

246
00:10:41,273 --> 00:10:43,159
opartych na tym samym łuku

247
00:10:43,159 --> 00:10:45,439
przeprowadzamy w trzech przypadkach.

248
00:10:46,143 --> 00:10:48,053
Gdy wierzchołek kąta środkowego

249
00:10:48,053 --> 00:10:50,234
leży na zewnątrz lub wewnątrz

250
00:10:50,234 --> 00:10:53,422
kąta wpisanego lub też gdy wierzchołek

251
00:10:53,472 --> 00:10:56,046
kąta środkowego leży na ramieniu

252
00:10:56,046 --> 00:10:57,411
kąta wpisanego.

253
00:10:58,175 --> 00:11:00,723
Jeżeli chcesz się nauczyć stosować

254
00:11:00,723 --> 00:11:03,529
twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym

255
00:11:03,539 --> 00:11:05,380
zachęcam Cię do obejrzenia

256
00:11:05,420 --> 00:11:07,173
odpowiedniego filmu.

257
00:11:11,999 --> 00:11:13,725
Jeśli film Ci się spodobał

258
00:11:13,725 --> 00:11:14,854
i chcesz zobaczyć

259
00:11:14,854 --> 00:11:16,358
więcej naszych materiałów

260
00:11:16,358 --> 00:11:18,212
zachęcam Cię do zasubskrybowania

261
00:11:18,212 --> 00:11:20,494
naszego kanału oraz odwiedzenia strony

262
00:11:20,494 --> 00:11:21,684
pi-stacja.tv