1
00:00:00,256 --> 00:00:02,182
Tor biegu na 200 metrów

2
00:00:02,182 --> 00:00:04,086
stanowi fragment bieżni.

3
00:00:04,086 --> 00:00:06,400
Łuki, które pokonują zawodnicy

4
00:00:06,400 --> 00:00:08,077
mają różne promienie

5
00:00:08,077 --> 00:00:09,863
więc żeby każdy przebiegł

6
00:00:09,863 --> 00:00:11,750
dokładnie tę samą drogę

7
00:00:11,750 --> 00:00:14,540
musi mieć nieco inny punkt startu.

8
00:00:25,088 --> 00:00:27,502
Wyobraź sobie, że jest to działka

9
00:00:27,502 --> 00:00:28,672
w kształcie koła.

10
00:00:29,184 --> 00:00:32,256
To koło ma promień równy 12 metrom.

11
00:00:33,024 --> 00:00:35,072
Jaki obwód ma ta działka?

12
00:00:35,584 --> 00:00:38,100
Jak pamiętasz, wzór na obwód koła

13
00:00:38,100 --> 00:00:39,308
to 2pi r.

14
00:00:39,936 --> 00:00:42,496
Obwód obliczymy zatem w ten sposób:

15
00:00:42,752 --> 00:00:47,616
2 razy pi razy 12, co da nam 24pi metrów.

16
00:00:49,152 --> 00:00:50,944
Przetnijmy tę działkę na pół.

17
00:00:52,736 --> 00:00:55,212
Teraz nie będziemy już mówić o obwodzie

18
00:00:55,242 --> 00:00:58,578
ale o długości łuku dla takiego półokręgu.

19
00:00:59,392 --> 00:01:01,127
Jak na pewno się domyślasz

20
00:01:01,127 --> 00:01:02,452
długość tego łuku

21
00:01:02,452 --> 00:01:05,024
będzie równa połowie obwodu koła.

22
00:01:05,536 --> 00:01:07,731
Zapiszmy jeszcze obliczenia.

23
00:01:07,731 --> 00:01:09,835
Długość łuku bardzo często

24
00:01:09,835 --> 00:01:11,680
oznaczamy literką L.

25
00:01:12,448 --> 00:01:15,008
Otrzymamy 2pi r przez 2

26
00:01:15,520 --> 00:01:18,314
co po podstawieniu za r liczby 12

27
00:01:18,354 --> 00:01:20,046
da nam ostatecznie

28
00:01:20,046 --> 00:01:21,174
12pi metrów.

29
00:01:21,540 --> 00:01:23,506
Dokonajmy kolejnego podziału.

30
00:01:23,712 --> 00:01:26,528
Ile wynosi długość łuku takiej ćwiartki?

31
00:01:27,040 --> 00:01:29,344
2pi r przez 4.

32
00:01:30,112 --> 00:01:31,764
Da nam to ostatecznie

33
00:01:31,764 --> 00:01:32,932
6pi metrów.

34
00:01:33,184 --> 00:01:35,099
A ile wynosi długość łuku

35
00:01:35,149 --> 00:01:37,666
dla 1/8 całej działki?

36
00:01:37,792 --> 00:01:40,608
Oczywiście 2pi r przez 8

37
00:01:41,120 --> 00:01:43,192
co da nam w ostatecznym rozrachunku

38
00:01:43,192 --> 00:01:44,378
3pi metrów.

39
00:01:48,032 --> 00:01:50,336
Przyjrzyjmy się takiemu wycinkowi.

40
00:01:50,592 --> 00:01:53,920
Zobacz, możemy wyróżnić tu kąt środkowy.

41
00:01:54,432 --> 00:01:56,770
Oznaczmy ten kąt, jako alfa.

42
00:01:56,870 --> 00:01:59,167
Jeżeli mówimy na przykład

43
00:01:59,167 --> 00:02:00,923
o 1/4 koła czy 1/8 koła

44
00:02:00,923 --> 00:02:02,985
to nie potrzebujemy żadnych

45
00:02:02,985 --> 00:02:04,335
specjalnych wzorów.

46
00:02:05,215 --> 00:02:07,535
Dla takich przypadków długość łuku

47
00:02:07,535 --> 00:02:09,052
możemy obliczać w sposób

48
00:02:09,052 --> 00:02:11,328
jaki pokazaliśmy sobie przed chwilą.

49
00:02:11,328 --> 00:02:12,552
Problem powstaje

50
00:02:12,552 --> 00:02:14,656
kiedy kąt jest mniej oczywisty.

51
00:02:14,912 --> 00:02:17,216
Ma na przykład 216 stopni.

52
00:02:17,984 --> 00:02:20,698
Pokażę Ci teraz, jak można sobie poradzić

53
00:02:20,698 --> 00:02:21,824
w takim przypadku.

54
00:02:22,336 --> 00:02:24,967
Pierwsza metoda polega na ułożeniu

55
00:02:24,967 --> 00:02:26,526
odpowiedniej proporcji.

56
00:02:27,200 --> 00:02:28,784
Obliczyliśmy wcześniej

57
00:02:28,784 --> 00:02:32,350
że obwód naszego koła wynosi 24pi.

58
00:02:33,344 --> 00:02:35,647
Był to obwód całego koła

59
00:02:35,647 --> 00:02:37,183
 czyli ta wartość

60
00:02:37,183 --> 00:02:39,608
odpowiada kątowi pełnemu.

61
00:02:40,256 --> 00:02:43,584
Natomiast nas interesuje długość łuku.

62
00:02:44,864 --> 00:02:47,341
A kąt środkowy związany z tym łukiem

63
00:02:47,341 --> 00:02:48,880
ma 216 stopni.

64
00:02:49,000 --> 00:02:51,366
Po wymnożeniu elementów na krzyż

65
00:02:51,366 --> 00:02:55,275
otrzymamy 24pi razy 216 stopni

66
00:02:55,275 --> 00:02:58,782
równa się L razy 360 stopni.

67
00:02:59,456 --> 00:03:01,452
Po rozwiązaniu takiego równania

68
00:03:01,452 --> 00:03:05,750
powinniśmy otrzymać 14,4pi metrów.

69
00:03:06,368 --> 00:03:08,822
To tyle, jeżeli chodzi o pierwszą metodę.

70
00:03:08,928 --> 00:03:11,728
Druga metoda polega na zastosowaniu

71
00:03:11,728 --> 00:03:12,768
takiego wzoru.

72
00:03:13,024 --> 00:03:15,078
Długość łuku równa się

73
00:03:15,078 --> 00:03:18,680
2pi r razy alfa, przez 360 stopni.

74
00:03:19,168 --> 00:03:21,368
Sprawdźmy teraz czy za pomocą wzoru

75
00:03:21,368 --> 00:03:22,883
dla ćwiartki działki

76
00:03:22,883 --> 00:03:24,518
także wyjdzie nam 6pi.

77
00:03:24,800 --> 00:03:27,872
Wiemy, że promień działki to 12 metrów

78
00:03:28,128 --> 00:03:31,200
a ten kąt środkowy ma 90 stopni.

79
00:03:32,480 --> 00:03:34,784
Podstawmy te dane do wzoru.

80
00:03:35,296 --> 00:03:36,064
Otrzymamy:

81
00:03:36,576 --> 00:03:40,130
Długość łuku równa się 2pi razy 12

82
00:03:40,130 --> 00:03:43,488
razy 90 stopni przez 360 stopni.

83
00:03:44,512 --> 00:03:46,533
Po wykonaniu odpowiednich obliczeń

84
00:03:46,563 --> 00:03:48,874
powinniśmy otrzymać 6pi metrów.

85
00:03:49,632 --> 00:03:52,000
Jak widzisz, zgadza się to z wynikiem

86
00:03:52,000 --> 00:03:53,216
otrzymanym wcześniej.

87
00:03:56,744 --> 00:03:59,104
Spójrzmy teraz na takie zadanie.

88
00:03:59,360 --> 00:04:02,176
Oblicz obwody zaznaczonych wycinków.

89
00:04:02,944 --> 00:04:05,504
Zacznijmy od niebieskiego wycinka.

90
00:04:06,016 --> 00:04:08,274
Jak widzisz, te dwa odcinki

91
00:04:08,274 --> 00:04:11,648
to tak naprawdę promienie naszego okręgu.

92
00:04:12,416 --> 00:04:14,976
A ten odcinek jest łukiem okręgu.

93
00:04:16,000 --> 00:04:17,853
Wyświetlmy sobie na ekranie wzór

94
00:04:17,853 --> 00:04:19,583
z którego będziemy korzystali.

95
00:04:20,351 --> 00:04:21,753
Co będzie nam potrzebne

96
00:04:21,753 --> 00:04:22,911
do obliczenia łuku?

97
00:04:23,677 --> 00:04:25,676
Oczywiście promień oraz miara

98
00:04:25,696 --> 00:04:27,051
kąta środkowego.

99
00:04:27,775 --> 00:04:30,847
Średnica okręgu to 16 centymetrów.

100
00:04:31,103 --> 00:04:34,431
Zatem promień musi mieć 8 centymetrów.

101
00:04:34,687 --> 00:04:36,616
Natomiast kąt środkowy

102
00:04:36,616 --> 00:04:40,219
oparty na tym łuku ma 45 stopni.

103
00:04:41,343 --> 00:04:43,973
Świetnie, teraz bez problemu obliczymy

104
00:04:43,973 --> 00:04:45,439
długość tego łuku.

105
00:04:46,463 --> 00:04:47,841
Po podstawieniu do wzoru

106
00:04:47,841 --> 00:04:50,665
odpowiednich wartości powinniśmy otrzymać:

107
00:04:51,327 --> 00:04:56,699
L1 równa się 2pi razy 8 razy 45 stopni

108
00:04:56,729 --> 00:04:58,945
przez 360 stopni.

109
00:04:59,007 --> 00:05:01,016
Po wykonaniu wszystkich obliczeń

110
00:05:01,016 --> 00:05:02,237
powinniśmy otrzymać

111
00:05:02,237 --> 00:05:05,221
że długość tego łuku to 2pi centymetrów.

112
00:05:05,919 --> 00:05:07,598
Jednak to jeszcze nie koniec.

113
00:05:07,598 --> 00:05:09,748
Musimy obliczyć obwód całego

114
00:05:09,808 --> 00:05:11,215
zaznaczonego wycinka.

115
00:05:12,319 --> 00:05:15,647
Mamy 2pi dodać 8 dodać 8.

116
00:05:16,159 --> 00:05:17,503
Bo jak ustaliliśmy wcześniej

117
00:05:17,503 --> 00:05:19,624
te dwa odcinki to tak naprawdę

118
00:05:19,624 --> 00:05:21,585
promienie naszego okręgu.

119
00:05:21,791 --> 00:05:23,372
Da nam to ostatecznie

120
00:05:23,442 --> 00:05:26,053
16 plus 2pi centymetrów.

121
00:05:27,167 --> 00:05:28,984
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

122
00:05:28,984 --> 00:05:31,753
samodzielnie rozwiązać drugi przypadek.

123
00:05:35,359 --> 00:05:38,687
Tym razem promień okręgu ma 9 centymetrów.

124
00:05:39,199 --> 00:05:41,670
Jednak nie znamy miary kąta środkowego

125
00:05:41,690 --> 00:05:43,521
opartego na tym łuku.

126
00:05:44,319 --> 00:05:46,623
Ale bez problemu obliczymy ją sami.

127
00:05:47,903 --> 00:05:51,743
Widzimy, że ten kąt ma 252 stopnie.

128
00:05:51,999 --> 00:05:54,303
To ile brakuje do kąta pełnego?

129
00:05:55,839 --> 00:05:58,399
Masz rację, brakuje 108 stopni.

130
00:05:58,911 --> 00:06:01,053
Zatem, miara kąta środkowego

131
00:06:01,053 --> 00:06:03,861
opartego na tym łuku ma 108 stopni.

132
00:06:05,055 --> 00:06:07,297
Podstawmy te wartości do wzoru.

133
00:06:07,615 --> 00:06:10,886
Powinniśmy otrzymać 2pi razy 9 razy

134
00:06:10,886 --> 00:06:13,503
108 stopni przez 360 stopni.

135
00:06:15,039 --> 00:06:19,135
Powinno nam to dać 5,4pi centymetrów.

136
00:06:19,903 --> 00:06:22,131
Świetnie, znamy już długość łuku.

137
00:06:22,207 --> 00:06:24,767
Teraz obliczmy obwód całego wycinka.

138
00:06:25,535 --> 00:06:27,102
Zrobimy to analogicznie

139
00:06:27,102 --> 00:06:28,707
do poprzedniego przypadku.

140
00:06:28,707 --> 00:06:32,349
Mamy 5,4pi dodać 9 dodać 9

141
00:06:32,399 --> 00:06:37,055
co da nam 18 plus 5,4pi centymetrów.

142
00:06:40,383 --> 00:06:41,169
I na koniec

143
00:06:41,169 --> 00:06:43,455
rozwiążmy jeszcze takie zadanie.

144
00:06:44,479 --> 00:06:47,080
Na okręgu wybrano 3 punkty

145
00:06:47,080 --> 00:06:50,323
w taki sposób, że dzielą okrąg na łuki

146
00:06:50,323 --> 00:06:52,609
których stosunek wynosi

147
00:06:52,609 --> 00:06:54,787
trzy do czterech do pięciu.

148
00:06:54,975 --> 00:06:57,253
Oblicz miary kątów trójkąta

149
00:06:57,253 --> 00:06:59,281
wyznaczonego przez te punkty.

150
00:07:00,607 --> 00:07:02,574
Zanim zaczniemy cokolwiek liczyć

151
00:07:02,604 --> 00:07:04,763
musimy wykonać rysunek.

152
00:07:05,471 --> 00:07:06,820
Co tak naprawdę znaczy

153
00:07:06,820 --> 00:07:08,134
że łuki są w stosunku

154
00:07:08,134 --> 00:07:09,823
trzy do czterech do pięciu?

155
00:07:10,591 --> 00:07:13,407
Na ile części należy podzielić okrąg?

156
00:07:13,919 --> 00:07:17,503
Na 3 plus 4 plus 5, czyli 12.

157
00:07:19,039 --> 00:07:21,087
Które punkty są szukanymi?

158
00:07:21,599 --> 00:07:23,647
Pierwszy punkt wybieramy dowolnie.

159
00:07:24,671 --> 00:07:26,975
Następny musi znaleźć się

160
00:07:26,975 --> 00:07:29,279
w odległości trzech łuków.

161
00:07:32,095 --> 00:07:34,911
I ostatni punkt, cztery łuki dalej.

162
00:07:38,495 --> 00:07:39,775
Połączmy te punkty.

163
00:07:41,311 --> 00:07:43,563
Świetnie, otrzymaliśmy trójkąt

164
00:07:43,563 --> 00:07:46,431
o którym wspomniano nam w treści zadania.

165
00:07:46,943 --> 00:07:48,857
Będziemy musieli obliczyć miary

166
00:07:48,857 --> 00:07:50,447
tych trzech kątów.

167
00:07:51,039 --> 00:07:52,935
Zanim jednak do tego dojdziemy

168
00:07:52,935 --> 00:07:55,273
obliczmy miary odpowiadających im

169
00:07:55,273 --> 00:07:56,415
kątów środkowych.

170
00:07:56,927 --> 00:07:58,719
Najpierw łuk KL.

171
00:07:59,743 --> 00:08:02,646
Cały okrąg podzieliliśmy na 12

172
00:08:02,646 --> 00:08:03,839
równych łuków.

173
00:08:04,095 --> 00:08:07,059
Zatem liczbie 12 będzie odpowiadać

174
00:08:07,059 --> 00:08:09,285
wartość 360 stopni.

175
00:08:10,495 --> 00:08:13,149
Analizowany przez nas łuk KL

176
00:08:13,149 --> 00:08:15,103
składa się z trzech łuków.

177
00:08:17,151 --> 00:08:20,991
Na łuku KL, oparty jest taki kąt środkowy.

178
00:08:22,015 --> 00:08:23,962
Jego miarę wyznaczymy

179
00:08:23,962 --> 00:08:25,923
obliczając alfę z proporcji

180
00:08:25,923 --> 00:08:28,159
którą przygotowaliśmy wcześniej.

181
00:08:28,159 --> 00:08:31,694
Powinniśmy otrzymać, że alfa to 90 stopni.

182
00:08:32,104 --> 00:08:34,011
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

183
00:08:34,011 --> 00:08:36,698
samodzielnie obliczyć miarę kąta

184
00:08:36,708 --> 00:08:38,803
opartego na łuku LM

185
00:08:38,803 --> 00:08:42,791
oraz miarę kąta opartego na łuku MK.

186
00:08:46,591 --> 00:08:49,663
Powinniśmy otrzymać następujące wartości.

187
00:08:49,919 --> 00:08:52,067
Dla niebieskiego kąta powinno wyjść

188
00:08:52,067 --> 00:08:53,403
120 stopni

189
00:08:55,295 --> 00:08:57,852
a dla różowego kąta powinno wyjść

190
00:08:57,852 --> 00:08:59,135
150 stopni.

191
00:09:00,415 --> 00:09:02,148
Czy wiesz, jak korzystając

192
00:09:02,148 --> 00:09:03,880
z miar kątów środkowych

193
00:09:03,880 --> 00:09:07,477
obliczyć miary kątów trójkąta KML?

194
00:09:11,167 --> 00:09:13,983
Przyjrzyjmy się kątowi KML.

195
00:09:15,775 --> 00:09:18,335
Na którym łuku jest on oparty?

196
00:09:19,359 --> 00:09:22,943
Masz rację, jest on oparty na łuku KL.

197
00:09:24,223 --> 00:09:26,678
Zwróć uwagę, że ten żółty kąt

198
00:09:26,678 --> 00:09:29,559
także oparty jest na łuku KL.

199
00:09:31,135 --> 00:09:33,320
Zatem, korzystając z twierdzenia

200
00:09:33,320 --> 00:09:35,584
o kątach wpisanym i środkowym

201
00:09:35,584 --> 00:09:37,696
opartych na tym samym łuku

202
00:09:37,696 --> 00:09:40,793
możemy obliczyć miarę kąta KML.

203
00:09:41,375 --> 00:09:43,253
Wiemy, że kąt środkowy

204
00:09:43,925 --> 00:09:45,973
jest zawsze 2 razy większy.

205
00:09:46,239 --> 00:09:49,150
Zatem miara kąta KML będzie równa

206
00:09:49,210 --> 00:09:50,741
45 stopniom.

207
00:09:50,847 --> 00:09:52,575
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

208
00:09:52,575 --> 00:09:55,078
samodzielnie wykonać analogiczne działania

209
00:09:55,078 --> 00:09:56,625
dla kąta LKM.

210
00:10:00,831 --> 00:10:03,903
Jest on oparty na łuku LM.

211
00:10:04,927 --> 00:10:07,648
Także ten niebieski kąt oparty jest

212
00:10:07,648 --> 00:10:09,389
na łuku LM.

213
00:10:11,071 --> 00:10:13,500
W związku z tym na podstawie twierdzenia

214
00:10:13,500 --> 00:10:15,308
o którym mówiliśmy przed chwilą

215
00:10:15,308 --> 00:10:18,648
możemy stwierdzić, że miara kąta LKM

216
00:10:18,738 --> 00:10:19,775
to 60 stopni.

217
00:10:20,543 --> 00:10:22,333
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

218
00:10:22,333 --> 00:10:25,975
samodzielnie obliczyć miarę kąta KLM.

219
00:10:30,015 --> 00:10:33,523
Kąt KLM oparty jest na tym samym łuku

220
00:10:33,523 --> 00:10:35,135
co ten różowy kąt.

221
00:10:35,391 --> 00:10:38,135
A skoro kąt środkowy ma 150 stopni

222
00:10:38,165 --> 00:10:42,273
to kąt wpisany KLM musi mieć 75 stopni.

223
00:10:44,095 --> 00:10:46,282
Świetnie, udało nam się wyznaczyć

224
00:10:46,282 --> 00:10:49,039
miary kątów trójkąta KLM.

225
00:10:49,727 --> 00:10:51,775
Zapiszmy jeszcze odpowiedź.

226
00:10:52,031 --> 00:10:53,954
Miary kątów tego trójkąta

227
00:10:53,954 --> 00:10:58,795
mają 45 stopni, 60 stopni i 75 stopni.

228
00:11:04,319 --> 00:11:06,873
Długość łuku okręgu możemy obliczyć

229
00:11:06,873 --> 00:11:08,795
korzystając ze wzoru

230
00:11:08,795 --> 00:11:11,777
alfa przez 360 stopni razy 2pi r

231
00:11:11,777 --> 00:11:14,479
gdzie alfa oznacza miarę kąta

232
00:11:14,479 --> 00:11:17,173
środkowego opartego na tym łuku

233
00:11:17,229 --> 00:11:20,301
a r to długość promienia danego okręgu.

234
00:11:23,775 --> 00:11:25,435
Jeśli lekcja Ci pomogła

235
00:11:25,435 --> 00:11:27,448
zachęcam Cię do zasubskrybowania

236
00:11:27,448 --> 00:11:29,173
naszego kanału na YouTubie

237
00:11:29,173 --> 00:11:31,003
PistacjaMatematyka.