1
00:00:00,006 --> 00:00:01,556
Stosując metodę punktów

2
00:00:01,556 --> 00:00:03,478
możemy dowolną figurę podzielić

3
00:00:03,478 --> 00:00:05,524
na nieskończoną liczbę trójkątów.

4
00:00:05,544 --> 00:00:07,309
Wystarczy, że wewnątrz figury

5
00:00:07,309 --> 00:00:09,510
narysujesz punkt w dowolnym miejscu

6
00:00:09,510 --> 00:00:11,204
a następnie połączysz go

7
00:00:11,204 --> 00:00:12,854
ze wszystkimi wierzchołkami.

8
00:00:12,854 --> 00:00:14,690
Potem dorysujesz punkt wewnątrz

9
00:00:14,690 --> 00:00:16,707
każdego z trójkątów i połączysz go

10
00:00:16,707 --> 00:00:18,574
z wierzchołkami danego trójkąta.

11
00:00:18,576 --> 00:00:20,358
W taki sposób mogą powstawać

12
00:00:20,358 --> 00:00:22,240
niesamowite wzory.

13
00:00:35,424 --> 00:00:37,807
Spróbujmy rozwiązać takie zadanie.

14
00:00:37,867 --> 00:00:40,364
Oblicz pole trójkąta ABS wiedząc

15
00:00:40,364 --> 00:00:42,423
że długość odcinka AB

16
00:00:42,423 --> 00:00:44,481
wynosi 10 centymetrów

17
00:00:44,521 --> 00:00:47,544
długość odcinka CD wynosi 2 centymetry

18
00:00:47,614 --> 00:00:49,864
a wysokość trapezu ABCD

19
00:00:49,864 --> 00:00:52,000
wynosi 6 centymetrów.

20
00:00:52,000 --> 00:00:53,707
Zanim przejdziemy do obliczeń

21
00:00:53,707 --> 00:00:55,180
przyjrzymy się dokładniej

22
00:00:55,180 --> 00:00:58,428
naszemu trapezowi ABCD.

23
00:00:58,492 --> 00:01:01,000
Wewnątrz niego znalazły się aż

24
00:01:01,090 --> 00:01:02,736
cztery trójkąty, prawda?

25
00:01:02,796 --> 00:01:05,289
Jednak nas w szczególności interesuje

26
00:01:05,289 --> 00:01:07,554
trójkąt ABS.

27
00:01:07,844 --> 00:01:10,912
Bo to właśnie jego pole mamy policzyć.

28
00:01:11,680 --> 00:01:14,752
Znamy długość podstawy AB.

29
00:01:15,264 --> 00:01:17,568
Ma ona 10 centymetrów.

30
00:01:18,592 --> 00:01:21,032
Wiemy także, że pole trójkąta

31
00:01:21,032 --> 00:01:23,055
możemy obliczyć ze wzoru

32
00:01:23,705 --> 00:01:27,164
długość podstawy razy wysokość przez 2.

33
00:01:28,064 --> 00:01:30,624
Tutaj moglibyśmy podstawić 10.

34
00:01:31,136 --> 00:01:33,347
Jednak nie znamy niestety jeszcze

35
00:01:33,347 --> 00:01:35,152
wysokości naszego trójkąta.

36
00:01:36,000 --> 00:01:38,941
Dzięki informacji z polecenia wiemy

37
00:01:38,961 --> 00:01:42,335
że podstawa CD trójkąta CDS

38
00:01:42,575 --> 00:01:44,718
ma długość 2 centymetrów.

39
00:01:44,960 --> 00:01:48,884
Czyli znamy długości podstaw tego trójkąta

40
00:01:48,910 --> 00:01:50,702
oraz tego trójkąta.

41
00:01:51,616 --> 00:01:53,654
Musimy tylko znaleźć wysokości

42
00:01:53,654 --> 00:01:55,654
poprowadzone z tych podstaw.

43
00:01:56,992 --> 00:02:00,064
Wysokość poprowadzona z podstawy DC

44
00:02:00,320 --> 00:02:02,728
prezentuje się w taki sposób.

45
00:02:03,392 --> 00:02:06,208
A wysokość poprowadzona z podstawy AB

46
00:02:06,464 --> 00:02:08,260
wygląda w ten sposób.

47
00:02:08,432 --> 00:02:09,244
Zobacz.

48
00:02:09,324 --> 00:02:11,224
Te dwie wysokości razem

49
00:02:11,224 --> 00:02:12,956
mają taką samą długość

50
00:02:12,956 --> 00:02:15,160
jak wysokość naszego trapezu

51
00:02:15,180 --> 00:02:16,080
prawda?

52
00:02:16,192 --> 00:02:18,234
Mając takie informacje

53
00:02:18,234 --> 00:02:21,412
spróbujmy udowodnić, że duży trójkąt

54
00:02:21,412 --> 00:02:24,278
jest podobny do małego trójkąta.

55
00:02:24,640 --> 00:02:27,360
Bo wtedy w prosty sposób moglibyśmy

56
00:02:27,360 --> 00:02:30,628
obliczyć wysokość trójkąta ABS.

57
00:02:30,694 --> 00:02:31,686
To do dzieła.

58
00:02:31,808 --> 00:02:35,350
Chcemy sprawdzić czy trójkąt SAB

59
00:02:35,370 --> 00:02:39,984
jest podobny do trójkąta SCD.

60
00:02:40,014 --> 00:02:41,272
Schowajmy na chwilę

61
00:02:41,282 --> 00:02:43,464
wysokości naszych trójkątów.

62
00:02:43,554 --> 00:02:45,054
Aby mieć więcej miejsca

63
00:02:45,120 --> 00:02:47,688
na zaznaczanie odpowiednich kątów.

64
00:02:48,192 --> 00:02:51,520
Na początku porównajmy te dwa kąty.

65
00:02:51,776 --> 00:02:55,252
Widzimy, że są to kąty wierzchołkowe.

66
00:02:55,338 --> 00:02:57,674
Zatem ich miary są równe.

67
00:02:58,176 --> 00:03:00,432
Sprawdźmy teraz, czy miary kątów

68
00:03:00,432 --> 00:03:03,040
zaznaczonych na różowo są identyczne.

69
00:03:03,466 --> 00:03:05,222
Kąty te stanowią

70
00:03:05,222 --> 00:03:07,674
parę kątów naprzemianległych.

71
00:03:07,754 --> 00:03:10,349
A jak wiemy, kąty naprzemianległe

72
00:03:10,349 --> 00:03:12,160
mają takie same miary.

73
00:03:12,176 --> 00:03:14,348
Czyli w tym miejscu możemy wpisać beta

74
00:03:14,348 --> 00:03:17,054
oraz w tym miejscu możemy wpisać beta.

75
00:03:17,376 --> 00:03:19,241
Pozostało nam tylko sprawdzić

76
00:03:19,271 --> 00:03:22,064
czy te dwa kąty także są takie same.

77
00:03:22,240 --> 00:03:24,818
Udowodniliśmy, że dwa kąty

78
00:03:24,818 --> 00:03:27,452
w naszych trójkątach są identyczne

79
00:03:27,452 --> 00:03:30,176
zatem z sumy miar kątów w trójkącie

80
00:03:30,176 --> 00:03:31,867
wynika, że ten kąt

81
00:03:31,867 --> 00:03:33,980
jest taki sam jak ten kąt.

82
00:03:34,272 --> 00:03:37,636
Świetnie, udowodniliśmy, że trójkąt SAB

83
00:03:37,666 --> 00:03:40,586
jest podobny do trójkąta SCD.

84
00:03:40,672 --> 00:03:42,902
Wróćmy więc do postaci rysunku

85
00:03:42,902 --> 00:03:44,357
gdzie mieliśmy zaznaczone

86
00:03:44,387 --> 00:03:46,624
wysokości naszych trójkątów.

87
00:03:47,584 --> 00:03:49,742
Oznaczmy poszukiwaną przez nas

88
00:03:49,742 --> 00:03:53,138
wysokość trójkąta ABS, jako h.

89
00:03:54,240 --> 00:03:56,745
Skoro badane trójkąty są podobne

90
00:03:56,765 --> 00:04:00,562
możemy wyznaczyć skalę podobieństwa k.

91
00:04:01,152 --> 00:04:03,686
Zrobimy to, obliczając stosunek

92
00:04:03,712 --> 00:04:06,452
długości podstawy dużego trójkąta

93
00:04:06,528 --> 00:04:09,088
do długości podstawy małego trójkąta.

94
00:04:09,344 --> 00:04:12,451
Gdy podzielimy długość odcinka AB

95
00:04:12,451 --> 00:04:15,653
czyli 10, przez długość odcinka DC

96
00:04:15,653 --> 00:04:18,326
czyli 2, otrzymamy 5.

97
00:04:18,499 --> 00:04:20,767
Skoro wyszło nam, że skala podobieństwa

98
00:04:20,767 --> 00:04:22,825
naszych trójkątów wynosi 5

99
00:04:22,911 --> 00:04:26,284
to wiemy, że wysokość trójkąta SAB

100
00:04:26,284 --> 00:04:29,259
jest 5 razy większa od wysokości

101
00:04:29,279 --> 00:04:30,877
trójkąta SCD.

102
00:04:31,103 --> 00:04:32,842
Mając te informacje

103
00:04:32,852 --> 00:04:35,193
zapiszmy odpowiednie proporcje.

104
00:04:35,455 --> 00:04:39,184
Stosunek długości wysokości trójkąta ABS

105
00:04:39,224 --> 00:04:42,689
czyli h do wysokości tego trójkąta.

106
00:04:43,135 --> 00:04:45,835
A tę wysokość możemy zapisać jako

107
00:04:45,927 --> 00:04:50,243
6 minus ta wysokość h, prawda?

108
00:04:50,559 --> 00:04:52,863
Czyli wysokość małego trójkąta

109
00:04:53,127 --> 00:04:56,601
wynosi 6 minus h i ze skali podobieństwa

110
00:04:56,601 --> 00:04:59,559
wiemy, że ten stosunek równa się 5.

111
00:04:59,675 --> 00:05:01,407
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

112
00:05:01,407 --> 00:05:03,831
samodzielnie z zapisanego równania

113
00:05:03,937 --> 00:05:07,379
wyznaczyć naszą wysokość h.

114
00:05:10,271 --> 00:05:13,599
Mnożymy stronami razy 6 minus h

115
00:05:13,855 --> 00:05:17,864
co da nam h równa się 30 minus 5h

116
00:05:17,914 --> 00:05:21,097
następnie 5h przenosimy na lewą stronę

117
00:05:21,127 --> 00:05:23,709
co da nam 6h równa się 30.

118
00:05:23,779 --> 00:05:26,674
Następnie dzielimy stronami przez 6

119
00:05:26,724 --> 00:05:29,098
i otrzymujemy, że nasze h

120
00:05:29,098 --> 00:05:31,507
jest równe pięciu centymetrom.

121
00:05:31,587 --> 00:05:35,013
Czyli ta wysokość tutaj ma dokładnie

122
00:05:35,073 --> 00:05:36,593
5 centymetrów.

123
00:05:36,639 --> 00:05:40,011
Możemy teraz obliczyć pole trójkąta ABS.

124
00:05:40,047 --> 00:05:42,124
Mamy długość podstawy

125
00:05:42,124 --> 00:05:45,687
czyli 10 razy długość wysokości

126
00:05:45,687 --> 00:05:47,602
poprowadzonej z tej podstawy

127
00:05:47,602 --> 00:05:49,708
czyli 5 podzielone na 2

128
00:05:49,708 --> 00:05:53,007
da nam 25 centymetrów kwadratowych.

129
00:05:53,281 --> 00:05:54,453
I to jest odpowiedź

130
00:05:54,453 --> 00:05:56,107
do pierwszego zadania.

131
00:06:00,191 --> 00:06:02,203
Treść drugiego zadania brzmi.

132
00:06:02,239 --> 00:06:04,799
Trapez ABCD jest równoramienny.

133
00:06:05,055 --> 00:06:06,380
Jego dłuższa podstawa

134
00:06:06,380 --> 00:06:08,545
ma długość 12 centymetrów

135
00:06:08,545 --> 00:06:10,741
a każde z ramion 5 centymetrów.

136
00:06:10,943 --> 00:06:13,420
Punkt S wyznaczono w miejscu przecięcia

137
00:06:13,420 --> 00:06:15,723
przedłużenia ramion AD i CB.

138
00:06:15,807 --> 00:06:18,486
Wiedząc, że długość odcinka CS

139
00:06:18,486 --> 00:06:20,049
to 10 centymetrów

140
00:06:20,049 --> 00:06:22,085
oblicz długość krótszej podstawy.

141
00:06:22,207 --> 00:06:25,150
To znaczy, musimy ustalić jaka liczba

142
00:06:25,160 --> 00:06:28,107
ukryła się pod tym x, bo to właśnie on

143
00:06:28,137 --> 00:06:30,042
oznacza wartość długości

144
00:06:30,072 --> 00:06:31,258
krótszej podstawy.

145
00:06:31,258 --> 00:06:33,830
Aby to zrobić, posłużymy się ponownie

146
00:06:33,844 --> 00:06:35,625
podobieństwem trójkątów.

147
00:06:35,775 --> 00:06:37,717
Zobacz, mamy tu dwa trójkąty.

148
00:06:37,823 --> 00:06:44,239
Duży ABS oraz mniejszy DCS.

149
00:06:44,479 --> 00:06:47,551
Mają one wspólny kąt alfa.

150
00:06:47,807 --> 00:06:50,429
Co oznacza, że znaleźliśmy już jeden kąt

151
00:06:50,429 --> 00:06:53,322
który ma taką samą miarę w małym trójkącie

152
00:06:53,322 --> 00:06:54,975
jak i w dużym trójkącie.

153
00:06:55,999 --> 00:06:58,550
Spójrzmy teraz na te dwa kąty

154
00:06:58,580 --> 00:07:00,659
zaznaczone na niebiesko.

155
00:07:02,399 --> 00:07:05,460
Wiemy, że odcinek AB jest równoległy

156
00:07:05,500 --> 00:07:07,599
względem odcinka DC

157
00:07:07,775 --> 00:07:10,335
ponieważ są to dwie podstawy trapezu.

158
00:07:10,847 --> 00:07:14,934
Zatem możemy stwierdzić, że odcinek BS

159
00:07:14,934 --> 00:07:18,187
jest nachylony względem odcinka AB

160
00:07:18,247 --> 00:07:19,915
pod takim samym kątem

161
00:07:19,965 --> 00:07:23,597
jak względem odcinka DC.

162
00:07:24,671 --> 00:07:26,592
Powstała nam tutaj para

163
00:07:26,612 --> 00:07:28,239
kątów odpowiadających

164
00:07:28,511 --> 00:07:29,974
które, jak pamiętasz

165
00:07:29,974 --> 00:07:31,583
mają takie same miary.

166
00:07:31,839 --> 00:07:33,670
Z tych samych powodów

167
00:07:33,670 --> 00:07:36,111
te kąty są odpowiadające

168
00:07:36,111 --> 00:07:38,223
zatem mają takie same miary.

169
00:07:38,239 --> 00:07:40,389
Wykazaliśmy, że nasze trójkąty

170
00:07:40,389 --> 00:07:41,823
mają takie same kąty.

171
00:07:42,079 --> 00:07:45,795
Co pozwala nam stwierdzić, że trójkąt ABS

172
00:07:45,919 --> 00:07:49,661
jest podobny do trójkąta DCS

173
00:07:49,853 --> 00:07:52,831
na podstawie cechy kąt, kąt, kąt .

174
00:07:52,831 --> 00:07:55,543
Zapisujemy proporcje odpowiednich boków

175
00:07:55,543 --> 00:07:58,361
czyli podstawa do podstawy

176
00:07:58,551 --> 00:08:01,489
oraz ramię do ramienia.

177
00:08:02,047 --> 00:08:04,061
Po wymnożeniu na krzyż otrzymamy

178
00:08:04,061 --> 00:08:07,025
15x równa się 120

179
00:08:07,025 --> 00:08:09,951
następnie dzielimy stronami przez 15

180
00:08:09,951 --> 00:08:11,749
czyli ostatecznie wychodzi

181
00:08:11,749 --> 00:08:14,469
że x jest równy 8 centymetrom.

182
00:08:14,591 --> 00:08:16,477
Możemy podać odpowiedź.

183
00:08:16,639 --> 00:08:18,620
Długość krótszej podstawy

184
00:08:18,620 --> 00:08:20,497
to 8 centymetrów.

185
00:08:24,831 --> 00:08:27,135
Rozwiążmy teraz takie zadanie.

186
00:08:27,391 --> 00:08:29,877
W deltoidzie ABCD przekątne

187
00:08:29,877 --> 00:08:31,501
przecinają się w punkcie S

188
00:08:31,501 --> 00:08:33,892
tak, że długość odcinka DS

189
00:08:33,892 --> 00:08:36,285
jest równa długości odcinka BS.

190
00:08:36,607 --> 00:08:39,167
Oblicz pole tego deltoidu wiedząc

191
00:08:39,263 --> 00:08:43,026
że trójkąty ASD i BSC są podobne.

192
00:08:43,046 --> 00:08:46,279
Przekątna BD ma długość 12 centymetrów

193
00:08:46,339 --> 00:08:49,617
a odcinek AS ma długość 4 centymetrów.

194
00:08:49,663 --> 00:08:52,072
Zacznijmy od zakolorowania trójkątów

195
00:08:52,102 --> 00:08:54,105
o których wiemy, że są podobne.

196
00:08:54,271 --> 00:08:57,871
Z polecenia wiemy, że trójkąt ASD

197
00:08:57,931 --> 00:09:01,575
jest podobny do trójkąta BSC.

198
00:09:01,895 --> 00:09:04,252
Z własności deltoidu wiemy

199
00:09:04,252 --> 00:09:06,463
że jego przekątne przecinają się

200
00:09:06,493 --> 00:09:07,839
pod kątem prostym.

201
00:09:07,839 --> 00:09:09,234
Zatem wiemy, że nasze

202
00:09:09,234 --> 00:09:10,545
zakolorowane trójkąty

203
00:09:10,545 --> 00:09:13,043
to trójkąty prostokątne.

204
00:09:13,471 --> 00:09:16,381
Spójrzmy teraz na przekątną BD.

205
00:09:17,055 --> 00:09:20,111
Wiemy, że długość odcinka DS

206
00:09:20,111 --> 00:09:24,157
jest równa długości odcinka BS.

207
00:09:24,735 --> 00:09:27,345
Zatem te 12 centymetrów

208
00:09:27,411 --> 00:09:29,789
możemy zamienić na taki zapis

209
00:09:30,111 --> 00:09:32,668
bo gdy 12 podzielimy na 2

210
00:09:32,668 --> 00:09:35,231
to otrzymamy 6 centymetrów tutaj

211
00:09:35,231 --> 00:09:37,579
i 6 centymetrów tutaj.

212
00:09:37,669 --> 00:09:40,348
Świetnie, opisaliśmy już bardzo dokładnie

213
00:09:40,368 --> 00:09:41,555
nasz deltoid.

214
00:09:41,631 --> 00:09:44,852
Teraz zastanówmy się, jak wykorzystać fakt

215
00:09:44,902 --> 00:09:48,214
że trójkąt ASD jest podobny

216
00:09:48,264 --> 00:09:51,163
do trójkąta BSC.

217
00:09:51,871 --> 00:09:53,652
Skoro są one podobne

218
00:09:53,652 --> 00:09:55,637
to wiemy że stosunek długości

219
00:09:55,637 --> 00:09:58,059
dłuższej przyprostokątnej do krótszej

220
00:09:58,059 --> 00:10:00,169
przyprostokątnej będzie taki sam

221
00:10:00,169 --> 00:10:01,600
w różowym trójkącie

222
00:10:01,630 --> 00:10:03,315
i w niebieskim trójkącie.

223
00:10:03,647 --> 00:10:05,174
Stosunek długości dłuższej

224
00:10:05,174 --> 00:10:06,854
przyprostokątnej do krótszej

225
00:10:06,854 --> 00:10:09,181
przyprostokątnej w niebieskim trójkącie

226
00:10:09,301 --> 00:10:11,776
będzie wynosił 6 centymetrów

227
00:10:12,026 --> 00:10:13,917
przez 4 centymetry.

228
00:10:14,399 --> 00:10:16,165
A w różowym trójkącie

229
00:10:16,165 --> 00:10:19,207
x centymetrów przez 6 centymetrów.

230
00:10:19,207 --> 00:10:20,953
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

231
00:10:20,953 --> 00:10:23,829
samodzielnie wyznaczyć wartość x.

232
00:10:27,455 --> 00:10:29,335
Po wymnożeniu na krzyż otrzymamy

233
00:10:29,335 --> 00:10:31,831
że 4x równa się 36.

234
00:10:32,063 --> 00:10:34,446
Zatem gdy podzielimy stronami przez 4

235
00:10:34,536 --> 00:10:38,161
otrzymamy, że x jest równy 9 centymetrom.

236
00:10:38,463 --> 00:10:40,715
Pole deltoidu obliczymy ze wzoru

237
00:10:40,805 --> 00:10:43,427
P równa się e razy f przez 2.

238
00:10:43,583 --> 00:10:46,963
Gdzie e oznacza długość jednej przekątnej

239
00:10:47,039 --> 00:10:49,269
a f długość drugiej przekątnej.

240
00:10:49,727 --> 00:10:53,898
Przekątna BD ma długość 12 centymetrów

241
00:10:53,958 --> 00:10:57,804
a przekątna AC ma 4 plus 9

242
00:10:57,834 --> 00:10:59,711
czyli 13 centymetrów.

243
00:10:59,711 --> 00:11:02,927
Musimy zatem pomnożyć 12 razy 13

244
00:11:02,973 --> 00:11:05,057
a następnie otrzymany wynik

245
00:11:05,077 --> 00:11:06,367
podzielić przez 2.

246
00:11:06,367 --> 00:11:09,269
Co da nam 156 podzielić na 2

247
00:11:09,339 --> 00:11:11,326
czyli ostatecznie otrzymamy

248
00:11:11,326 --> 00:11:13,757
że pole naszego deltoidu

249
00:11:13,757 --> 00:11:16,595
to 78 centymetrów kwadratowych.

250
00:11:22,239 --> 00:11:24,656
W czworokątach także możemy znaleźć

251
00:11:24,666 --> 00:11:25,777
trójkąty podobne.

252
00:11:25,857 --> 00:11:28,010
Przekątne w rombie i równoległoboku

253
00:11:28,010 --> 00:11:30,367
dzielą te figury na trójkąty podobne.

254
00:11:30,387 --> 00:11:32,637
Przedłużenie ramion dowolnego trapezu

255
00:11:32,667 --> 00:11:34,521
do przecięcia w jednym punkcie

256
00:11:34,527 --> 00:11:36,971
także pozwala zauważyć trójkąty podobne.

257
00:11:40,365 --> 00:11:42,565
Zachęcam Cię do obejrzenia pozostałych

258
00:11:42,565 --> 00:11:44,696
naszych filmów oraz polubienia naszej

259
00:11:44,696 --> 00:11:48,413
strony na Facebook 'u PistacjaMatematyka.