1
00:00:00,256 --> 00:00:02,717
Autorem twierdzenia z dzisiejszego filmu

2
00:00:02,717 --> 00:00:03,992
jest Tales z Miletu

3
00:00:03,992 --> 00:00:06,940
który żył ponad 2,5 tysiąca lat temu.

4
00:00:06,940 --> 00:00:08,962
Był nie tylko wybitnym matematykiem.

5
00:00:08,962 --> 00:00:10,738
Przypisuje mu się między innymi

6
00:00:10,738 --> 00:00:12,646
opracowanie morskiej mapy gwiazd

7
00:00:12,646 --> 00:00:14,086
czy umiejętność przewidywania

8
00:00:14,086 --> 00:00:17,228
zaćmienia słońca na podstawie obserwacji.

9
00:00:30,976 --> 00:00:33,115
Treść pierwszego zadania brzmi:

10
00:00:33,115 --> 00:00:36,170
oblicz wysokość drzewa, jeśli wiadomo, że:

11
00:00:36,196 --> 00:00:38,656
rzuca ono cień o długości siedmiu metrów

12
00:00:38,912 --> 00:00:40,696
oraz wiemy, że człowiek

13
00:00:40,696 --> 00:00:43,212
o wzroście 1 metr 75 centymetrów

14
00:00:43,520 --> 00:00:46,450
rzuca cień o długości 4 metrów.

15
00:00:46,592 --> 00:00:48,640
Naszym zadaniem jest obliczyć

16
00:00:48,896 --> 00:00:50,432
tę wysokość drzewa

17
00:00:50,688 --> 00:00:53,282
które rzuca cień o długości siedmiu metrów

18
00:00:53,282 --> 00:00:56,320
jeżeli wiemy, że człowiek o takim wzroście

19
00:00:56,576 --> 00:00:59,984
rzuca cień o długości czterech metrów.

20
00:01:00,160 --> 00:01:02,976
Aby zaoszczędzić trochę miejsca na ekranie

21
00:01:03,232 --> 00:01:05,550
nałóżmy na siebie oba rysunki.

22
00:01:05,792 --> 00:01:08,457
Wiemy, że drzewo rzuca cień

23
00:01:08,457 --> 00:01:11,729
o długości siedmiu metrów, a człowiek

24
00:01:11,729 --> 00:01:14,470
rzuca cień o długości czterech metrów.

25
00:01:14,496 --> 00:01:18,848
Zatem jaką długość ma odcinek DB?

26
00:01:20,896 --> 00:01:23,450
Oczywiście będą to 3 metry

27
00:01:23,456 --> 00:01:24,992
skoro cały odcinek

28
00:01:24,992 --> 00:01:27,170
ma mieć długość siedmiu metrów.

29
00:01:27,322 --> 00:01:29,392
Gdyby udało nam się udowodnić

30
00:01:29,392 --> 00:01:32,726
że trójkąt ABC jest podobny

31
00:01:32,726 --> 00:01:35,266
do trójkąta ADE

32
00:01:35,266 --> 00:01:37,167
to bez problemu moglibyśmy

33
00:01:37,167 --> 00:01:38,560
obliczyć wysokość drzewa

34
00:01:38,816 --> 00:01:41,782
którą oznaczyliśmy sobie jako x.

35
00:01:41,888 --> 00:01:45,276
Zatem sprawdźmy, czy trójkąt ABC

36
00:01:45,276 --> 00:01:48,252
jest podobny do trójkąta ADE.

37
00:01:48,800 --> 00:01:51,360
Kąt, który oznaczyłem jako alfa

38
00:01:51,872 --> 00:01:54,944
jest wspólny dla obu trójkątów.

39
00:01:55,200 --> 00:01:57,504
Zatem zaznaczony na niebiesko kąt

40
00:01:57,760 --> 00:01:59,303
musi mieć taką samą miarę

41
00:01:59,303 --> 00:02:03,968
w trójkącie ABC oraz w trójkącie ADE.

42
00:02:04,928 --> 00:02:08,106
Aby poznać wysokość jakiegoś ciała

43
00:02:08,106 --> 00:02:11,056
musimy odcinek oznaczający tę wysokość

44
00:02:11,328 --> 00:02:14,656
ustawić prostopadle do powierzchni

45
00:02:15,424 --> 00:02:18,152
a między odcinkami prostopadłymi

46
00:02:18,152 --> 00:02:21,290
zawsze będziemy mieli kąt prosty.

47
00:02:21,290 --> 00:02:23,921
Zatem w tym miejscu i w tym miejscu

48
00:02:23,921 --> 00:02:26,150
możemy zaznaczyć kąty proste. 

49
00:02:26,176 --> 00:02:28,375
Pozostało nam już tylko sprawdzić

50
00:02:28,375 --> 00:02:34,076
czy żółte kąty DEA oraz BCA

51
00:02:34,112 --> 00:02:35,904
także mają identyczne miary.

52
00:02:36,416 --> 00:02:38,679
Skoro dwa kąty w tych trójkątach

53
00:02:38,679 --> 00:02:40,768
są sobie równe to trzecia para

54
00:02:41,024 --> 00:02:42,560
także ma takie same miary.

55
00:02:42,816 --> 00:02:45,736
Wynika to z sumy kątów w trójkącie.

56
00:02:45,888 --> 00:02:47,358
Udało nam się udowodnić

57
00:02:47,424 --> 00:02:50,500
na podstawie cechy kąt-kąt-kąt

58
00:02:50,752 --> 00:02:54,043
że trójkąt ABC jest podobny

59
00:02:54,043 --> 00:02:55,872
do trójkąta ADE.

60
00:02:56,128 --> 00:02:58,137
Czyli możemy korzystać ze skali

61
00:02:58,137 --> 00:03:00,788
podobieństwa odpowiadających sobie boków.

62
00:03:00,788 --> 00:03:01,762
Na przykład

63
00:03:01,762 --> 00:03:06,482
stosunek długości boku ED o długości x 

64
00:03:06,624 --> 00:03:10,252
do boku leżącego przy takich samych kątach

65
00:03:10,464 --> 00:03:14,584
który w naszym przypadku mierzy 1,75

66
00:03:14,816 --> 00:03:20,000
będzie równy stosunkowi boku DA

67
00:03:20,000 --> 00:03:23,564
który jak widzimy, ma długość 7 

68
00:03:23,776 --> 00:03:26,105
do boku, który leży

69
00:03:26,105 --> 00:03:28,384
przy takich samych kątach jak bok DA 

70
00:03:28,640 --> 00:03:30,152
czyli w tym zadaniu będzie

71
00:03:30,152 --> 00:03:33,076
to bok BA o długości 4.

72
00:03:34,016 --> 00:03:37,088
Mnożymy na krzyż, co da nam

73
00:03:37,600 --> 00:03:41,696
4x równa się 12,25.

74
00:03:42,208 --> 00:03:44,256
Aby pozbyć się czwórki przy x

75
00:03:44,512 --> 00:03:47,840
musimy teraz obustronnie podzielić przez 4

76
00:03:48,864 --> 00:03:51,253
co da nam ostatecznie, że długość naszego

77
00:03:51,253 --> 00:03:53,170
x to w przybliżeniu 3.

78
00:03:53,728 --> 00:03:55,429
I oczywiście na samym końcu

79
00:03:55,429 --> 00:03:57,824
musi znaleźć się odpowiednia jednostka.

80
00:03:58,080 --> 00:04:00,384
W naszym przypadku były to metry.

81
00:04:00,640 --> 00:04:02,445
Czyli obliczyliśmy, że wysokość

82
00:04:02,445 --> 00:04:05,844
naszego drzewa to w przybliżeniu 3 metry.

83
00:04:12,160 --> 00:04:13,624
Na poprzedniej planszy

84
00:04:13,624 --> 00:04:15,488
liczyliśmy wysokość drzewa. 

85
00:04:16,000 --> 00:04:17,952
Na tej planszy pokażę Ci

86
00:04:17,952 --> 00:04:20,069
jak w prosty i szybki sposób

87
00:04:20,095 --> 00:04:23,423
liczyć długości takich odcinków.

88
00:04:23,935 --> 00:04:25,946
Posłużymy się w tym celu

89
00:04:25,946 --> 00:04:27,751
twierdzeniem Talesa.

90
00:04:27,751 --> 00:04:29,969
Mówi ono, że jeśli ramiona kąta

91
00:04:29,969 --> 00:04:31,714
utworzonego przez półproste

92
00:04:31,714 --> 00:04:34,369
przetniemy dwiema prostymi równoległymi

93
00:04:34,369 --> 00:04:35,713
to odcinki utworzone 

94
00:04:35,713 --> 00:04:37,641
na jednym ramieniu tego kąta

95
00:04:37,641 --> 00:04:39,981
są proporcjonalne do odcinków

96
00:04:40,023 --> 00:04:41,943
utworzonych na drugim ramieniu

97
00:04:42,023 --> 00:04:46,105
czyli ramiona tego kąta przecięto 

98
00:04:46,105 --> 00:04:48,329
prostymi równoległymi.

99
00:04:48,511 --> 00:04:50,510
Odpowiadające sobie odcinki

100
00:04:50,510 --> 00:04:52,805
możemy oznaczyć na dwa sposoby.

101
00:04:52,805 --> 00:04:54,655
Po pierwsze, gdy odcinki te

102
00:04:54,741 --> 00:04:56,403
leżą na dwóch ramionach

103
00:04:56,403 --> 00:04:57,953
mamy odcinki

104
00:04:57,953 --> 00:05:00,203
od wierzchołka do pierwszej prostej

105
00:05:00,203 --> 00:05:02,289
i odcinki od pierwszej prostej

106
00:05:02,289 --> 00:05:03,743
do drugiej prostej

107
00:05:03,743 --> 00:05:05,678
a zapis takiej proporcji

108
00:05:05,678 --> 00:05:07,635
wygląda następująco.

109
00:05:07,917 --> 00:05:09,880
Taką sytuację obrazuje

110
00:05:09,880 --> 00:05:11,475
następujący schemat.

111
00:05:11,551 --> 00:05:14,367
Rysujemy poziomo zarówno kreski ułamkowe

112
00:05:14,623 --> 00:05:15,903
jak i znak równości

113
00:05:16,159 --> 00:05:20,199
i mamy a przez b równa się c przez d.

114
00:05:20,199 --> 00:05:22,317
Czyli otrzymaliśmy dokładnie to samo

115
00:05:22,317 --> 00:05:24,863
co w zapisanej przed chwilą proporcji.

116
00:05:25,119 --> 00:05:27,224
Natomiast drugi sposób zapisu

117
00:05:27,224 --> 00:05:29,983
odpowiadających sobie odcinków to taki

118
00:05:30,239 --> 00:05:31,306
gdy odcinki te

119
00:05:31,306 --> 00:05:33,055
leżą na jednym ramieniu kąta.

120
00:05:33,567 --> 00:05:40,117
To znaczy mamy a przez c oraz b przez d.

121
00:05:40,223 --> 00:05:42,527
Możemy to zapisać w taki sposób.

122
00:05:42,783 --> 00:05:45,087
Tutaj także możemy narysować schemat

123
00:05:45,343 --> 00:05:46,513
który ułatwi nam

124
00:05:46,513 --> 00:05:48,415
zapamiętanie tej proporcji.

125
00:05:48,671 --> 00:05:51,456
Jednak tym razem kreski ułamkowe

126
00:05:51,456 --> 00:05:53,023
oraz znak równości

127
00:05:53,535 --> 00:05:55,839
ustawione są bardziej pionowo

128
00:05:56,095 --> 00:05:57,337
więc proporcja

129
00:05:57,337 --> 00:05:59,647
będzie tu wyglądała następująco.

130
00:05:59,647 --> 00:06:04,543
a przez c równa się b przez d.

131
00:06:05,055 --> 00:06:07,147
Czyli otrzymaliśmy dokładnie to samo

132
00:06:07,147 --> 00:06:09,663
co w zapisanej przed chwilą proporcji.

133
00:06:10,687 --> 00:06:13,848
Obie te metody są równoważne

134
00:06:13,848 --> 00:06:16,675
i tylko od Ciebie zależy, którą będziesz

135
00:06:16,675 --> 00:06:19,119
rozwiązywać napotykane zadania.

136
00:06:24,255 --> 00:06:26,517
W tej części lekcji pokażę Ci

137
00:06:26,517 --> 00:06:29,113
jak układać takie proporcje w praktyce.

138
00:06:29,113 --> 00:06:30,399
Mamy takie zadanie:

139
00:06:30,655 --> 00:06:33,064
Oblicz długość odcinka CE

140
00:06:33,064 --> 00:06:35,775
jeśli wiadomo, że odcinek CB

141
00:06:36,031 --> 00:06:38,847
jest równoległy do odcinka ED.

142
00:06:39,103 --> 00:06:40,383
Spójrzmy na rysunek.

143
00:06:40,639 --> 00:06:43,171
Odcinek CE, którego szukamy

144
00:06:43,171 --> 00:06:44,643
jest tutaj.

145
00:06:44,735 --> 00:06:47,807
Dodatkowo widzimy, że odcinek CB

146
00:06:48,063 --> 00:06:50,879
jest równoległy do odcinka ED

147
00:06:51,135 --> 00:06:54,463
czyli ramiona tego kąta alfa

148
00:06:54,719 --> 00:06:58,559
przecięto dwiema prostymi równoległymi.

149
00:06:59,071 --> 00:07:00,753
Zatem możemy skorzystać

150
00:07:00,753 --> 00:07:02,143
z naszego schematu.

151
00:07:02,399 --> 00:07:04,396
Schemat w wersji pierwszej

152
00:07:04,396 --> 00:07:07,175
gdzie kreski ułamkowe oraz znak równości

153
00:07:07,175 --> 00:07:09,023
są poziomo

154
00:07:09,055 --> 00:07:12,639
czyli otrzymamy a przez b.

155
00:07:13,151 --> 00:07:14,847
A w naszym konkretnym przypadku

156
00:07:14,847 --> 00:07:17,539
będzie to 4 przez 2,5.

157
00:07:17,539 --> 00:07:18,877
Zapiszmy to.

158
00:07:22,111 --> 00:07:25,183
Następnie mamy znak równości

159
00:07:25,823 --> 00:07:27,567
i c przez d.

160
00:07:27,743 --> 00:07:29,601
Czyli w naszym przypadku

161
00:07:29,601 --> 00:07:32,775
x centymetrów przez 2 centymetry.

162
00:07:32,775 --> 00:07:34,015
Zapiszmy to.

163
00:07:35,679 --> 00:07:37,215
Wymnażamy na krzyż

164
00:07:37,215 --> 00:07:40,543
co da nam 2,5x równa się 8.

165
00:07:44,639 --> 00:07:48,712
Dzielimy stronami przez 2,5 i otrzymamy

166
00:07:48,712 --> 00:07:52,619
że x jest równy 3,2 centymetra.

167
00:07:52,619 --> 00:07:54,496
Zatem widzimy, że nasz wynik

168
00:07:54,496 --> 00:07:58,245
przy pierwszej metodzie to 3,2 centmetra.

169
00:07:58,245 --> 00:08:00,389
Zmażmy teraz poprzednie obliczenia

170
00:08:00,389 --> 00:08:02,031
aby przygotować miejsce

171
00:08:02,047 --> 00:08:04,365
na drugą wersję naszego schematu.

172
00:08:04,607 --> 00:08:06,911
Druga wersja naszego schemat

173
00:08:07,167 --> 00:08:09,215
wyglądała następująco.

174
00:08:09,471 --> 00:08:11,421
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

175
00:08:11,421 --> 00:08:13,567
samodzielnie według tego schematu

176
00:08:13,961 --> 00:08:16,383
ułożyć odpowiednią proporcję.

177
00:08:19,711 --> 00:08:22,217
Otrzymamy tu a przez c

178
00:08:22,217 --> 00:08:24,991
czyli w naszym przypadku 4 przez x

179
00:08:27,903 --> 00:08:32,169
znak równości b przez d

180
00:08:32,255 --> 00:08:35,583
czyli 2,5 przez 2 centymetry.

181
00:08:37,887 --> 00:08:39,386
Po wymnożeniu na krzyż

182
00:08:39,386 --> 00:08:42,495
otrzymamy 2,5x równa się 8

183
00:08:42,751 --> 00:08:43,566
czyli tak samo

184
00:08:43,566 --> 00:08:45,721
jak było to w pierwszej wersji.

185
00:08:45,721 --> 00:08:48,071
Więc wiemy, że z tego równania

186
00:08:48,639 --> 00:08:51,309
wyjdzie nam, że x jest równy

187
00:08:51,309 --> 00:08:53,503
3,2 centymetra.

188
00:08:53,629 --> 00:08:54,359
Spójrz.

189
00:08:54,359 --> 00:08:57,294
Wyniki z wersji pierwszej naszego schematu

190
00:08:57,294 --> 00:08:59,391
jak i z wersji drugiej naszego schematu

191
00:08:59,647 --> 00:09:01,064
są identyczne.

192
00:09:01,064 --> 00:09:03,702
Zatem te metody są równoważne

193
00:09:03,702 --> 00:09:05,407
i tylko od Ciebie zależy 

194
00:09:05,407 --> 00:09:06,657
którą sobie wybierzesz

195
00:09:06,657 --> 00:09:08,687
w trakcie rozwiązywania zadań

196
00:09:08,687 --> 00:09:11,135
związanych z twierdzeniem Talesa.

197
00:09:16,287 --> 00:09:17,970
Tym razem naszym zadaniem

198
00:09:17,970 --> 00:09:20,457
jest sprawdzić czy odcinek BC

199
00:09:20,457 --> 00:09:23,199
jest równoległy do odcinka DE.

200
00:09:23,455 --> 00:09:25,717
Mamy tutaj kąt alfa

201
00:09:26,015 --> 00:09:29,599
którego ramiona przecięto dwiema prostymi.

202
00:09:30,367 --> 00:09:33,148
Wiemy, że jeżeli długości odcinków

203
00:09:33,148 --> 00:09:34,674
na jednym ramieniu kąta

204
00:09:34,674 --> 00:09:36,511
będą w takiej samej proporcji

205
00:09:36,767 --> 00:09:38,454
jak odpowiadające im odcinki

206
00:09:38,454 --> 00:09:40,099
na drugim ramieniu kąta

207
00:09:40,099 --> 00:09:42,592
to te proste, które przecięły

208
00:09:42,592 --> 00:09:44,035
ramiona naszego kąta

209
00:09:44,191 --> 00:09:46,495
są względem siebie równoległe.

210
00:09:47,295 --> 00:09:49,055
Zatem zapiszmy te proporcje.

211
00:09:49,311 --> 00:09:51,456
Ja posłużę się poziomą wersją

212
00:09:51,456 --> 00:09:52,639
naszego schematu

213
00:09:52,895 --> 00:09:55,711
co da nam 3 przez 4,5

214
00:09:58,015 --> 00:09:59,551
znak równości

215
00:10:00,063 --> 00:10:03,741
i mamy 8 przez 12 centymetrów.

216
00:10:05,951 --> 00:10:07,921
Po wymnożeniu wszystkiego na krzyż

217
00:10:07,921 --> 00:10:11,071
otrzymamy 36 równa się 36

218
00:10:11,327 --> 00:10:13,887
co oczywiście jest równością prawdziwą.

219
00:10:14,143 --> 00:10:15,804
Co pozwala nam stwierdzić

220
00:10:15,804 --> 00:10:17,243
że odcinek BC

221
00:10:17,243 --> 00:10:19,775
jest równoległy do odcinka DE

222
00:10:20,031 --> 00:10:22,171
bo odpowiadające sobie odcinki

223
00:10:22,171 --> 00:10:24,663
pozostają w takiej samej proporcji.

224
00:10:25,663 --> 00:10:27,939
Zależność taką opisuje twierdzenie

225
00:10:27,939 --> 00:10:30,015
odwrotne do twierdzenia Talesa.

226
00:10:30,527 --> 00:10:32,896
Mówi ono, że jeżeli ramiona kąta

227
00:10:32,896 --> 00:10:34,859
przetniemy dwiema prostymi

228
00:10:34,859 --> 00:10:37,695
i odcinki utworzone na jednym z ramion

229
00:10:37,951 --> 00:10:40,200
są proporcjonalne do odpowiednich odcinków

230
00:10:40,200 --> 00:10:41,805
na drugim ramieniu

231
00:10:42,047 --> 00:10:44,095
to te dwie proste są równoległe.

232
00:10:44,607 --> 00:10:46,271
Czyli w naszym przypadku

233
00:10:46,271 --> 00:10:47,935
mieliśmy dwa ramiona kąta

234
00:10:48,191 --> 00:10:49,727
przecięte prostymi.

235
00:10:50,239 --> 00:10:52,153
Powstały nam dzięki temu odcinki

236
00:10:52,153 --> 00:10:55,453
AC, CE, AB oraz BD.

237
00:10:55,871 --> 00:10:59,455
Jeżeli stosunek długości odcinka DB

238
00:10:59,455 --> 00:11:02,305
do odcinka EC będzie taki sam

239
00:11:02,305 --> 00:11:05,004
jak stosunek długości odcinka AB

240
00:11:05,004 --> 00:11:06,607
do odcinka AC

241
00:11:06,623 --> 00:11:09,323
to proste, które przecięły ramiona kąta

242
00:11:09,323 --> 00:11:10,673
są równoległe.

243
00:11:10,975 --> 00:11:12,812
Również poprawnym rozwiązaniem

244
00:11:12,812 --> 00:11:15,206
byłoby przyjęcie pionowej wersji

245
00:11:15,206 --> 00:11:17,375
naszych elementów ze schematu.

246
00:11:17,631 --> 00:11:19,421
Skoro w obliczeniach otrzymaliśmy

247
00:11:19,421 --> 00:11:22,971
równość prawdziwą 36 równa się 36

248
00:11:23,007 --> 00:11:25,037
możemy sformułować wniosek

249
00:11:25,037 --> 00:11:28,147
że odcinki BC i DE

250
00:11:28,147 --> 00:11:30,533
 są względem siebie równoległe.

251
00:11:30,533 --> 00:11:32,479
Wyczyśćmy teraz tablicę.

252
00:11:34,015 --> 00:11:36,027
Spójrzmy na kolejny przykład.

253
00:11:36,063 --> 00:11:37,936
Tutaj także mamy sprawdzić

254
00:11:37,936 --> 00:11:39,391
czy odcinek BC

255
00:11:39,647 --> 00:11:43,237
jest równoległy do odcinka DE.

256
00:11:43,237 --> 00:11:44,626
Zatrzymaj teraz film i

257
00:11:44,626 --> 00:11:46,433
spróbuj sprawdzić samodzielnie

258
00:11:46,433 --> 00:11:48,591
czy te odcinki są równoległe.

259
00:11:51,679 --> 00:11:53,276
Ja tym razem posłużę się

260
00:11:53,276 --> 00:11:56,031
pionowym ułożeniem elementów ze schematu.

261
00:11:56,287 --> 00:11:58,163
Jednak, jeśli Twój wybór padł

262
00:11:58,163 --> 00:12:00,067
na poziome ułożenie elementów

263
00:12:00,067 --> 00:12:02,431
to wyniki i tak otrzymamy takie same.

264
00:12:02,687 --> 00:12:05,141
Moja proporcja wygląda następująco.

265
00:12:05,247 --> 00:12:07,679
2,5 metra przez 4 metry

266
00:12:07,679 --> 00:12:10,111
równa się 2 metry przez 5 metrów

267
00:12:10,367 --> 00:12:12,829
co po wymnożeniu na krzyż

268
00:12:12,829 --> 00:12:15,487
da nam 12,5 równa się 8.

269
00:12:16,511 --> 00:12:19,765
Co oczywiście nie jest równością prawdziwą

270
00:12:19,765 --> 00:12:22,539
zatem nasze proporcje także nie są równe.

271
00:12:22,655 --> 00:12:25,522
Zatem korzystając z twierdzenia odwrotnego

272
00:12:25,522 --> 00:12:26,986
do twierdzenia Talesa

273
00:12:26,986 --> 00:12:28,715
możemy sformułować wniosek

274
00:12:28,715 --> 00:12:31,924
że odcinek BC nie jest równoległy

275
00:12:31,924 --> 00:12:34,149
do odcinka DE.

276
00:12:39,551 --> 00:12:40,808
Jeśli ramiona kąta

277
00:12:40,808 --> 00:12:42,720
utworzonego przez półproste

278
00:12:42,720 --> 00:12:45,225
przetniemy dwiema prostymi równoległymi

279
00:12:45,225 --> 00:12:46,479
to odcinki utworzone

280
00:12:46,479 --> 00:12:48,198
na jednym ramieniu tego kąta

281
00:12:48,198 --> 00:12:50,113
są proporcjonalne do odcinków

282
00:12:50,113 --> 00:12:52,095
utworzonych na drugim ramieniu.

283
00:12:56,573 --> 00:12:58,003
Zachęcam Cię do odwiedzenia

284
00:12:58,003 --> 00:13:00,033
naszej strony pistacja.tv

285
00:13:00,033 --> 00:13:01,373
gdzie znajdziesz wszystkie

286
00:13:01,373 --> 00:13:03,743
udostępnione przez nas materiały.