1
00:00:00,000 --> 00:00:02,471
Główną zaletą cyrkla proporcjonalnego

2
00:00:02,477 --> 00:00:04,764
było to, że przeliczając wartości

3
00:00:04,804 --> 00:00:07,065
korzystano z proporcji bez stosowania

4
00:00:07,095 --> 00:00:09,680
żmudnych działań arytmetycznych.

5
00:00:22,288 --> 00:00:24,585
Naszym pierwszym zadaniem jest obliczyć

6
00:00:24,585 --> 00:00:26,959
długość odcinka BE, jeżeli wiadomo

7
00:00:27,019 --> 00:00:30,063
że długość odcinka AE to 6 centymetrów

8
00:00:30,093 --> 00:00:32,816
odcinka CE to 3 centymetry

9
00:00:32,816 --> 00:00:35,538
i odcinka DE to 2 centymetry.

10
00:00:35,584 --> 00:00:37,320
Aby to zrobić, posłużymy się

11
00:00:37,320 --> 00:00:38,938
podobieństwem trójkątów.

12
00:00:38,958 --> 00:00:40,929
Jednak w tym momencie na ekranie

13
00:00:40,929 --> 00:00:42,922
nie ma choćby jednego trójkąta.

14
00:00:42,922 --> 00:00:44,714
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

15
00:00:44,714 --> 00:00:46,792
samodzielnie dorysować jeszcze dwa

16
00:00:46,792 --> 00:00:49,133
odcinki łączące zaznaczone punkty

17
00:00:49,133 --> 00:00:51,478
w taki sposób, aby powstały nam

18
00:00:51,478 --> 00:00:53,010
dwa trójkąty.

19
00:00:56,120 --> 00:00:59,522
Ja połączyłem punkty A i B

20
00:00:59,548 --> 00:01:03,242
więc powstał mi tu trójkąt ABE

21
00:01:03,478 --> 00:01:07,794
a tu połączyłem punkty C i D

22
00:01:07,840 --> 00:01:11,150
co utworzyło trójkąt CDE.

23
00:01:11,224 --> 00:01:13,701
Oczywiście alternatywnym

24
00:01:13,701 --> 00:01:15,641
również poprawnym rozwiązaniem

25
00:01:15,641 --> 00:01:16,862
byłoby połączenie

26
00:01:16,862 --> 00:01:19,808
odcinka AC oraz odcinka DB.

27
00:01:19,854 --> 00:01:22,119
Jednak w tym filmie będziemy bazować

28
00:01:22,159 --> 00:01:23,696
na tej pierwszej wersji.

29
00:01:23,696 --> 00:01:26,058
Wspominałem Ci wcześniej, że skorzystamy

30
00:01:26,058 --> 00:01:27,606
z podobieństwa trójkątów.

31
00:01:27,606 --> 00:01:29,835
Jednak aby to zrobić, musimy sprawdzić

32
00:01:29,895 --> 00:01:33,646
czy aby na pewno trójkąt ABE jest podobny

33
00:01:33,732 --> 00:01:35,844
do trójkąta CDE.

34
00:01:35,910 --> 00:01:38,761
Na początku porównajmy te dwa kąty

35
00:01:38,801 --> 00:01:40,294
zaznaczone na niebiesko.

36
00:01:40,294 --> 00:01:43,840
Widzimy, że dwa odcinki BC oraz AD

37
00:01:43,876 --> 00:01:46,084
przecinają się w jednym punkcie.

38
00:01:46,200 --> 00:01:48,694
Zatem, nasze niebieskie kąty

39
00:01:48,704 --> 00:01:51,758
stanowią parę kątów wierzchołkowych

40
00:01:51,788 --> 00:01:53,924
czyli mają takie same miary.

41
00:01:54,006 --> 00:01:56,287
Sprawdźmy teraz czy kąty

42
00:01:56,287 --> 00:01:58,315
zaznaczone na różowo także mają

43
00:01:58,315 --> 00:01:59,952
takie same miary.

44
00:01:59,952 --> 00:02:04,064
Zobacz, nasz kąt ADC jest oparty

45
00:02:04,094 --> 00:02:06,478
na łuku AC, prawda?

46
00:02:06,620 --> 00:02:09,894
Podobnie kąt ABC.

47
00:02:10,194 --> 00:02:13,389
On także oparty jest na łuku AC.

48
00:02:13,429 --> 00:02:16,674
A jeżeli kąty oparte są na tym samym łuku

49
00:02:16,730 --> 00:02:20,082
to wiemy, że ich miary są identyczne.

50
00:02:20,188 --> 00:02:22,930
Skoro udowodniliśmy, że nasze trójkąty

51
00:02:22,970 --> 00:02:26,038
mają już dwa kąty o takich samych miarach

52
00:02:26,038 --> 00:02:28,362
to z sumy miar kątów w trójkącie

53
00:02:28,362 --> 00:02:30,618
wiemy, że trzecia para kątów

54
00:02:30,618 --> 00:02:33,088
także musi mieć takie same miary.

55
00:02:33,530 --> 00:02:34,438
Świetnie.

56
00:02:34,534 --> 00:02:37,605
Udowodniliśmy zatem, że trójkąt ABE

57
00:02:37,645 --> 00:02:40,552
jest podobny do trójkąta CDE

58
00:02:40,608 --> 00:02:43,942
na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

59
00:02:43,942 --> 00:02:45,839
Skoro nasze trójkąty są podobne

60
00:02:45,869 --> 00:02:47,230
to znaczy, że długości

61
00:02:47,230 --> 00:02:48,835
odpowiadających sobie boków

62
00:02:48,835 --> 00:02:50,624
pozostają w stałej proporcji

63
00:02:50,664 --> 00:02:52,190
co pozwala nam zapisać

64
00:02:52,190 --> 00:02:53,961
że stosunek długości boku

65
00:02:53,961 --> 00:02:56,684
przy kącie gamma oraz kącie alfa

66
00:02:56,684 --> 00:02:59,493
do długości boku przy kącie gamma

67
00:02:59,693 --> 00:03:02,286
i kącie alfa w drugim trójkącie

68
00:03:02,286 --> 00:03:05,354
będzie równy stosunkowi długości

69
00:03:05,354 --> 00:03:08,698
boku przy kącie alfa i kącie beta

70
00:03:08,698 --> 00:03:10,218
w trójkącie ABE

71
00:03:10,274 --> 00:03:12,954
do długości boku przy kącie alfa

72
00:03:13,004 --> 00:03:15,830
i kącie beta w trójkącie CDE.

73
00:03:16,744 --> 00:03:18,578
Zatrzymaj teraz film i spróbuj

74
00:03:18,578 --> 00:03:20,175
samodzielnie wyznaczyć

75
00:03:20,175 --> 00:03:22,862
z zapisanej proporcji wartość x.

76
00:03:26,874 --> 00:03:28,406
Po wymnożeniu na krzyż

77
00:03:28,406 --> 00:03:30,331
elementów naszego równania

78
00:03:30,331 --> 00:03:33,308
otrzymamy, że 3x równa się 12.

79
00:03:33,364 --> 00:03:35,196
Dzielimy stronami przez 3

80
00:03:35,196 --> 00:03:36,931
co da nam ostatecznie

81
00:03:36,931 --> 00:03:38,583
że nasz x jest równy

82
00:03:38,613 --> 00:03:40,278
4 centymetrom.

83
00:03:40,294 --> 00:03:42,694
I na sam koniec sformułujmy jeszcze

84
00:03:42,714 --> 00:03:44,670
odpowiedź do naszego zadania.

85
00:03:44,670 --> 00:03:47,235
Może ona brzmieć na przykład w ten sposób:

86
00:03:47,245 --> 00:03:51,704
długość odcinka BE wynosi 4 centymetry.

87
00:03:57,142 --> 00:03:58,898
Treść drugiego zadania brzmi:

88
00:03:58,944 --> 00:04:01,418
z punktu A poprowadzono dwie proste.

89
00:04:01,434 --> 00:04:03,700
Sieczną okręgu przecinającą okrąg

90
00:04:03,700 --> 00:04:05,562
kolejno w punktach B i C

91
00:04:05,562 --> 00:04:08,234
oraz styczną do okręgu w punkcie K.

92
00:04:08,320 --> 00:04:11,040
Wykaż, że jeśli długość odcinka AB

93
00:04:11,040 --> 00:04:13,440
jest równa długości odcinka KB

94
00:04:13,486 --> 00:04:15,814
to długość odcinka KA

95
00:04:15,870 --> 00:04:18,769
będzie równa długości odcinka KC.

96
00:04:19,071 --> 00:04:21,157
Aby sprawdzić czy wymienione odcinki

97
00:04:21,157 --> 00:04:22,568
mają taką samą długość

98
00:04:22,568 --> 00:04:23,755
skorzystamy ponownie

99
00:04:23,755 --> 00:04:25,459
z podobieństwa trójkątów.

100
00:04:25,459 --> 00:04:28,313
Skoro wiemy, że długość odcinka AB

101
00:04:28,749 --> 00:04:31,389
jest równa długości odcinka KB

102
00:04:31,485 --> 00:04:34,593
to możemy stwierdzić, że nasz trójkąt

103
00:04:34,593 --> 00:04:38,541
AKB jest równoramienny, prawda?

104
00:04:38,633 --> 00:04:41,113
Skoro trójkąt AKB jest równoramienny

105
00:04:41,133 --> 00:04:43,404
to co możemy powiedzieć o kątach

106
00:04:43,444 --> 00:04:45,667
między podstawą a ramionami?

107
00:04:46,529 --> 00:04:48,365
Oczywiście, masz rację.

108
00:04:48,471 --> 00:04:51,311
Kąty te mają takie same miary.

109
00:04:51,361 --> 00:04:53,227
Naszym zadaniem jest udowodnić

110
00:04:53,227 --> 00:04:55,589
że długość odcinka KA jest równa

111
00:04:55,645 --> 00:04:57,583
długości odcinka KC.

112
00:04:57,583 --> 00:04:58,471
Zobacz.

113
00:04:58,679 --> 00:05:01,627
Te długości mogą być jednocześnie

114
00:05:01,683 --> 00:05:05,785
ramionami trójkąta AKC.

115
00:05:05,925 --> 00:05:08,459
A skoro te długości mają być równe

116
00:05:08,525 --> 00:05:10,638
to znaczy, że gdybyśmy udowodnili

117
00:05:10,638 --> 00:05:13,709
że ten trójkąt AKC jest równoramienny

118
00:05:13,729 --> 00:05:15,827
to zakończyłoby nasz dowód.

119
00:05:15,853 --> 00:05:18,369
Posłużymy się w tym celu twierdzeniem

120
00:05:18,389 --> 00:05:20,651
o kącie między styczną, a cięciwą.

121
00:05:20,767 --> 00:05:25,269
Mówi ono, że kąt między styczną do okręgu

122
00:05:25,325 --> 00:05:29,165
a cięciwą będzie miał taką samą miarę

123
00:05:29,271 --> 00:05:34,475
jak kąt wpisany oparty na tej cięciwie.

124
00:05:34,591 --> 00:05:36,487
Tyle mówi nam twierdzenie.

125
00:05:36,499 --> 00:05:38,686
Spróbujmy to teraz zastosować

126
00:05:38,726 --> 00:05:40,191
w naszym zadaniu.

127
00:05:40,279 --> 00:05:43,351
Mamy kąt między styczną do okręgu

128
00:05:43,717 --> 00:05:45,437
a cięciwą.

129
00:05:45,469 --> 00:05:47,314
Czyli w naszym przypadku

130
00:05:47,354 --> 00:05:49,715
jest to ten kąt alfa.

131
00:05:50,117 --> 00:05:52,619
Zatem kąt wpisany

132
00:05:52,619 --> 00:05:56,117
oparty na naszej cięciwie

133
00:05:56,117 --> 00:05:58,427
będzie miał taką samą miarę

134
00:05:58,427 --> 00:06:01,236
jak kąt, który wskazaliśmy wcześniej

135
00:06:01,236 --> 00:06:02,307
prawda?

136
00:06:02,475 --> 00:06:03,363
Świetnie.

137
00:06:03,419 --> 00:06:05,972
Korzystając z tego schematu

138
00:06:05,972 --> 00:06:08,558
udało nam się udowodnić, że w tym miejscu

139
00:06:08,588 --> 00:06:11,515
także znajduje się kąt o mierze alfa.

140
00:06:11,897 --> 00:06:13,562
A skoro tutaj znajduje się

141
00:06:13,562 --> 00:06:14,963
kąt o mierze alfa

142
00:06:14,963 --> 00:06:17,572
i tutaj znajduje się kąt o mierze alfa

143
00:06:17,572 --> 00:06:21,955
to trójkąt AKC jest równoramienny

144
00:06:21,955 --> 00:06:24,121
co pozwala nam ostatecznie stwierdzić

145
00:06:24,121 --> 00:06:26,386
że długość odcinka KA

146
00:06:26,386 --> 00:06:30,493
musi być równa długości odcinka KC.

147
00:06:30,585 --> 00:06:32,351
Co kończy nasz dowód.

148
00:06:32,603 --> 00:06:35,592
W ramach ciekawostki mogę pokazać Ci

149
00:06:35,642 --> 00:06:37,334
że niezależnie od tego

150
00:06:37,334 --> 00:06:39,597
jak punkt B będzie ustawiony

151
00:06:39,597 --> 00:06:41,940
jeżeli tylko spełnimy warunek

152
00:06:41,980 --> 00:06:44,510
że długość odcinka AB będzie równa

153
00:06:44,570 --> 00:06:46,497
długości odcinka KB

154
00:06:46,497 --> 00:06:48,637
to ten trójkąt tutaj

155
00:06:48,637 --> 00:06:51,265
będzie zawsze równoramienny.

156
00:06:58,665 --> 00:07:01,049
Trójkąty wyznaczone przez dwie cięciwy

157
00:07:01,089 --> 00:07:02,991
w okręgu są podobne

158
00:07:03,097 --> 00:07:05,385
na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

159
00:07:05,421 --> 00:07:08,097
Wynika to z równości kątów wpisanych

160
00:07:08,147 --> 00:07:10,079
opartych na tym samym łuku.

161
00:07:13,759 --> 00:07:15,929
To już ostatni film z playlisty

162
00:07:15,929 --> 00:07:17,996
dotyczącej podobieństwa trójkątów.

163
00:07:17,996 --> 00:07:19,653
Zachęcam Cię do odwiedzenia

164
00:07:19,653 --> 00:07:21,704
naszej strony pi-stacja.tv

165
00:07:21,704 --> 00:07:22,853
gdzie znajdziesz

166
00:07:22,853 --> 00:07:25,270
wszystkie nasze pozostałe materiały.