1
00:00:01,024 --> 00:00:03,376
Jednym z najbardziej rozpoznawalnych

2
00:00:03,376 --> 00:00:05,382
włoskich zabytków jest

3
00:00:05,382 --> 00:00:07,462
Krzywa Wieża w Pizie.

4
00:00:07,462 --> 00:00:10,660
Przed 1990 rokiem

5
00:00:10,660 --> 00:00:13,314
kąt nachylenia wieży do podłoża

6
00:00:13,314 --> 00:00:15,138
wynosił 10 stopni

7
00:00:15,138 --> 00:00:17,333
co wpłynęło na decyzję o zamknięciu

8
00:00:17,333 --> 00:00:20,468
tego zabytku dla zwiedzających.

9
00:00:20,480 --> 00:00:22,308
Obecnie po pracach

10
00:00:22,308 --> 00:00:24,832
konserwacyjnych i zabezpieczających

11
00:00:25,088 --> 00:00:27,918
wynosi on około 4 stopni

12
00:00:27,918 --> 00:00:30,208
a wieżę znowu można zwiedzać.

13
00:00:43,264 --> 00:00:45,107
Do tej pory mówiliśmy

14
00:00:45,107 --> 00:00:47,017
że w graniastosłupie prostym

15
00:00:47,017 --> 00:00:49,294
krawędzie boczne są prostopadłe

16
00:00:49,294 --> 00:00:50,766
do podstawy.

17
00:00:50,766 --> 00:00:53,512
Ale co to tak naprawdę oznacza?

18
00:00:53,512 --> 00:00:55,319
Jak prosta i płaszczyzna

19
00:00:55,319 --> 00:00:56,832
mogą być prostopadłe?

20
00:00:57,856 --> 00:01:00,354
Narysujmy sobie płaszczyznę.

21
00:01:00,416 --> 00:01:02,347
Zaznaczmy na tej płaszczyźnie

22
00:01:02,347 --> 00:01:03,698
kilka prostych.

23
00:01:03,744 --> 00:01:06,304
Niech przecinają się w jednym punkcie.

24
00:01:07,072 --> 00:01:08,246
Nasza prosta

25
00:01:08,246 --> 00:01:10,312
będzie prostopadła do płaszczyzny

26
00:01:10,312 --> 00:01:13,728
wtedy, gdy będzie przebijać tę płaszczyznę

27
00:01:13,984 --> 00:01:15,993
i będzie prostopadła do każdej

28
00:01:15,993 --> 00:01:18,336
prostej leżącej na tej płaszczyźnie.

29
00:01:19,360 --> 00:01:20,128
Zobacz.

30
00:01:20,384 --> 00:01:22,678
Pomiędzy każdą z tych niebieskich prostych

31
00:01:22,678 --> 00:01:24,584
a czerwoną prostą

32
00:01:24,584 --> 00:01:27,808
możemy zaznaczyć kąt 90 stopni.

33
00:01:28,832 --> 00:01:30,758
W takim razie ile wystarczy

34
00:01:30,758 --> 00:01:33,184
narysować prostych na płaszczyźnie

35
00:01:33,440 --> 00:01:35,013
żebyśmy mieli pewność

36
00:01:35,013 --> 00:01:37,036
że prosta, którą przebijamy

37
00:01:37,036 --> 00:01:39,934
tę płaszczyznę jest do niej prostopadła?

38
00:01:43,424 --> 00:01:46,003
Narysujmy jedną niebieską prostą

39
00:01:46,003 --> 00:01:48,566
leżącą na płaszczyźnie.

40
00:01:48,566 --> 00:01:50,705
Z tej perspektywy wydaje nam się

41
00:01:50,705 --> 00:01:53,109
że czerwona prosta jest prostopadła

42
00:01:53,109 --> 00:01:55,258
zarówno do niebieskiej prostej

43
00:01:55,258 --> 00:01:57,402
jak i do płaszczyzny.

44
00:01:58,016 --> 00:02:00,328
Ale tak wcale nie musi być.

45
00:02:00,328 --> 00:02:02,123
Dorysujmy na tej płaszczyźnie

46
00:02:02,123 --> 00:02:05,522
drugą prostą i spójrzmy na nasz rysunek

47
00:02:05,522 --> 00:02:07,656
z innej strony.

48
00:02:09,024 --> 00:02:11,038
Jak widzisz, czerwona prosta

49
00:02:11,038 --> 00:02:12,656
absolutnie nie jest

50
00:02:12,656 --> 00:02:14,568
prostopadła do płaszczyzny

51
00:02:14,568 --> 00:02:17,792
bo nie jest prostopadła do nowej prostej.

52
00:02:17,792 --> 00:02:20,498
Oznacza to, że do określenia czy prosta

53
00:02:20,498 --> 00:02:22,592
jest prostopadła do płaszczyzny

54
00:02:22,848 --> 00:02:24,137
nie wystarczy nam

55
00:02:24,137 --> 00:02:26,450
że jest prostopadła do jednej prostej

56
00:02:26,450 --> 00:02:28,106
na płaszczyźnie.

57
00:02:29,248 --> 00:02:32,273
A co gdyby nasza prosta była prostopadła

58
00:02:32,273 --> 00:02:34,065
do dwóch niebieskich prostych

59
00:02:34,065 --> 00:02:36,071
leżących na płaszczyźnie

60
00:02:36,071 --> 00:02:37,523
i przecinających się

61
00:02:37,523 --> 00:02:40,054
z czerwoną prostą w jednym punkcie.

62
00:02:40,512 --> 00:02:42,682
Widzisz, że niezależnie od tego

63
00:02:42,682 --> 00:02:44,898
jak obrócimy rysunek

64
00:02:44,898 --> 00:02:47,936
czerwona prosta pozostanie prostopadła.

65
00:02:48,448 --> 00:02:49,728
Zapamiętaj!

66
00:02:49,984 --> 00:02:53,190
Jeżeli jakaś prosta jest prostopadła

67
00:02:53,190 --> 00:02:55,754
do dwóch nierównoległych prostych

68
00:02:55,754 --> 00:02:57,678
leżących na płaszczyźnie

69
00:02:57,678 --> 00:03:00,480
to jest prostopadła do tej płaszczyzny.

70
00:03:01,504 --> 00:03:04,702
W dalszej części filmu przybliżymy sobie

71
00:03:04,702 --> 00:03:08,022
pojęcie nachylenia prostej do płaszczyzny.

72
00:03:12,512 --> 00:03:15,534
A co, jeśli prosta przecina płaszczyznę

73
00:03:15,534 --> 00:03:17,876
ale nie jest do niej prostopadła?

74
00:03:17,888 --> 00:03:19,680
Narysujmy płaszczyznę

75
00:03:19,680 --> 00:03:21,872
i prostą przebijającą ją

76
00:03:21,872 --> 00:03:24,622
ale już nie pod kątem prostym.

77
00:03:24,800 --> 00:03:26,592
Jak ustalić kąt nachylenia

78
00:03:26,592 --> 00:03:28,384
tej prostej do płaszczyzny?

79
00:03:29,408 --> 00:03:31,809
Żeby to zrobić rzutujemy prostą

80
00:03:31,809 --> 00:03:33,760
prostopadle na płaszczyznę.

81
00:03:34,272 --> 00:03:36,274
Możemy powiedzieć, że rzut

82
00:03:36,274 --> 00:03:38,284
to cień rzucany przez prostą

83
00:03:38,284 --> 00:03:40,178
w samo południe.

84
00:03:40,178 --> 00:03:43,000
Gdy popatrzymy na płaszczyznę od góry

85
00:03:43,000 --> 00:03:45,304
rzut pokryje się z prostą

86
00:03:45,304 --> 00:03:47,072
której nachylenie badamy.

87
00:03:48,096 --> 00:03:49,570
Czy potrafisz wskazać

88
00:03:49,570 --> 00:03:52,448
kąt nachylenia tej prostej do płaszczyzny?

89
00:03:53,472 --> 00:03:56,032
Ten kąt znajduje się w tym miejscu.

90
00:03:56,288 --> 00:03:58,848
Oznaczymy go grecką literą alfa.

91
00:03:59,360 --> 00:04:02,432
Umawiamy się, że chodzi nam o kąt ostry.

92
00:04:03,200 --> 00:04:05,624
A teraz czas na zadania dla Ciebie.

93
00:04:09,600 --> 00:04:11,987
Wskaż, gdzie są kąty nachylenia

94
00:04:11,987 --> 00:04:13,662
zaznaczonych przekątnych

95
00:04:13,662 --> 00:04:15,232
do podstawy sześcianu.

96
00:04:15,744 --> 00:04:18,034
Zatrzymaj film i spróbuj rozwiązać

97
00:04:18,034 --> 00:04:19,583
to zadanie samodzielnie.

98
00:04:24,191 --> 00:04:26,495
Mamy zaznaczone dwie przekątne.

99
00:04:26,751 --> 00:04:28,799
Niebieską i żółtą.

100
00:04:29,311 --> 00:04:31,909
Zajmijmy się najpierw niebieską.

101
00:04:31,909 --> 00:04:34,081
Aby narysować rzut prostej

102
00:04:34,081 --> 00:04:37,080
potrzebny nam będzie punkt na tej prostej

103
00:04:37,080 --> 00:04:40,061
nie leżący na podstawie sześcianu.

104
00:04:40,063 --> 00:04:41,938
Wybierzmy taki punkt

105
00:04:41,938 --> 00:04:43,931
który łatwo nam określić.

106
00:04:43,931 --> 00:04:46,271
Na przykład wierzchołek sześcianu.

107
00:04:46,271 --> 00:04:47,802
Czy domyślasz się

108
00:04:47,802 --> 00:04:50,221
co będzie jego rzutem na podstawę?

109
00:04:50,815 --> 00:04:52,073
Będzie to wierzchołek

110
00:04:52,073 --> 00:04:53,891
na tej samej krawędzi

111
00:04:53,891 --> 00:04:55,679
ale leżący w podstawie.

112
00:04:55,935 --> 00:04:57,199
Dlaczego?

113
00:04:57,727 --> 00:04:59,603
Bo w sześcianie krawędzie

114
00:04:59,603 --> 00:05:02,509
zawsze są do podstawy prostopadłe.

115
00:05:03,103 --> 00:05:05,013
W ten sposób uzyskujemy

116
00:05:05,013 --> 00:05:06,771
jeden z punktów rzutu.

117
00:05:06,771 --> 00:05:08,021
A drugi?

118
00:05:08,223 --> 00:05:10,207
Najprościej będzie to po prostu

119
00:05:10,207 --> 00:05:12,831
punkt wspólny prostej i płaszczyzny

120
00:05:13,087 --> 00:05:15,073
czyli punkt przebicia.

121
00:05:15,135 --> 00:05:17,655
To znaczy, że rzut naszej prostej

122
00:05:17,655 --> 00:05:20,017
zawiera krawędź podstawy

123
00:05:20,017 --> 00:05:22,369
a kąt, który chcemy znaleźć

124
00:05:22,369 --> 00:05:24,994
będzie pomiędzy krawędzią podstawy

125
00:05:24,994 --> 00:05:26,911
a ścianą graniastosłupa.

126
00:05:27,935 --> 00:05:30,736
Teraz zajmijmy się żółtą przekątną.

127
00:05:30,736 --> 00:05:32,701
Tak jak poprzednio szukamy

128
00:05:32,701 --> 00:05:34,379
punktu na tej prostej

129
00:05:34,379 --> 00:05:36,895
nieleżącego w podstawie sześcianu.

130
00:05:37,151 --> 00:05:39,234
Ja wybieram ten sam punkt

131
00:05:39,234 --> 00:05:41,015
co w poprzednim przykładzie

132
00:05:41,015 --> 00:05:43,043
bo w ten sposób wiem już

133
00:05:43,043 --> 00:05:45,343
co będzie jego rzutem na podstawę.

134
00:05:46,111 --> 00:05:47,730
Teraz szukamy punktu

135
00:05:47,730 --> 00:05:49,473
wspólnego z płaszczyzną.

136
00:05:49,473 --> 00:05:51,743
Będzie to oczywiście ten punkt.

137
00:05:52,511 --> 00:05:55,327
Łączymy teraz je ze sobą i gotowe.

138
00:05:55,583 --> 00:05:57,833
Mamy rzut prostej na podstawę

139
00:05:57,833 --> 00:06:00,699
a kąt nachylenia przekątnej sześcianu

140
00:06:00,709 --> 00:06:02,751
znajduje się w tym miejscu.

141
00:06:04,287 --> 00:06:06,847
Zmieńmy trochę warunki zadania.

142
00:06:07,103 --> 00:06:08,643
Polecenie brzmi:

143
00:06:08,643 --> 00:06:10,454
Gdzie są kąty nachylenia

144
00:06:10,454 --> 00:06:12,227
podanych przekątnych

145
00:06:12,227 --> 00:06:14,527
do zaznaczonej ściany bocznej?

146
00:06:16,319 --> 00:06:18,879
Zacznijmy od niebieskiej przekątnej.

147
00:06:19,647 --> 00:06:22,463
Jej punkt wspólny z naszą ścianą boczną

148
00:06:22,719 --> 00:06:24,383
to punkt F.

149
00:06:24,511 --> 00:06:28,003
A jak znaleźć drugi punkt do zrzutowania?

150
00:06:28,607 --> 00:06:30,623
Będzie to punkt A

151
00:06:30,655 --> 00:06:33,153
a jego rzutem na ścianę sześcianu

152
00:06:33,153 --> 00:06:35,527
jest oczywiście punkt B.

153
00:06:35,775 --> 00:06:37,850
Łączymy ze sobą oba punkty

154
00:06:37,850 --> 00:06:40,291
i mamy już rzut naszej prostej

155
00:06:40,291 --> 00:06:42,369
na zaznaczoną ścianę boczną.

156
00:06:42,675 --> 00:06:45,491
Szukany kąt będzie w tym miejscu.

157
00:06:46,271 --> 00:06:48,063
Teraz żółta przekątna.

158
00:06:48,575 --> 00:06:50,511
Punkt wspólny tej przekątnej

159
00:06:50,511 --> 00:06:53,183
ze ścianą boczną to punkt G

160
00:06:53,439 --> 00:06:55,999
a rzut punktu A na tę ścianę

161
00:06:56,255 --> 00:06:57,829
to punkt B.

162
00:06:57,829 --> 00:07:00,095
Łączymy ze sobą oba punkty

163
00:07:00,351 --> 00:07:02,589
i wyznaczamy szukany kąt.

164
00:07:08,287 --> 00:07:11,615
Mamy graniastosłup prawidłowy czworokątny

165
00:07:11,871 --> 00:07:14,431
gdzie wierzchołki AEG

166
00:07:14,687 --> 00:07:16,743
połączono odcinkami.

167
00:07:16,991 --> 00:07:21,087
Na rysunku wskaż kąt między odcinkiem OA

168
00:07:21,343 --> 00:07:24,586
w trójkącie AEG i płaszczyzną podstawy

169
00:07:24,586 --> 00:07:26,687
tego graniastosłupa.

170
00:07:26,719 --> 00:07:29,367
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

171
00:07:32,607 --> 00:07:34,655
W rozwiązywaniu tego zadania

172
00:07:34,655 --> 00:07:36,441
możemy jak poprzednio

173
00:07:36,447 --> 00:07:38,971
wykorzystać rzut prostokątny.

174
00:07:39,263 --> 00:07:41,823
Szukamy punktu odcinka OA

175
00:07:42,079 --> 00:07:44,383
który nie leży w płaszczyźnie podstawy.

176
00:07:44,895 --> 00:07:46,543
Najprościej stwierdzić

177
00:07:46,543 --> 00:07:47,967
że jest to punkt A.

178
00:07:48,991 --> 00:07:51,295
Teraz rzutujemy go na podstawę.

179
00:07:51,551 --> 00:07:53,070
Rzutem punktu A

180
00:07:53,070 --> 00:07:55,497
na podstawe graniastosłupa

181
00:07:55,497 --> 00:07:57,255
jest punkt H.

182
00:07:57,695 --> 00:08:00,255
Wiemy, że odcinek OA

183
00:08:00,511 --> 00:08:03,583
jest wysokością trójkąta AEG

184
00:08:03,839 --> 00:08:06,682
a punkt O jest punktem wspólnym

185
00:08:06,682 --> 00:08:09,983
tej wysokości z płaszczyzną podstawy.

186
00:08:10,751 --> 00:08:12,353
Pozostało nam już tylko

187
00:08:12,353 --> 00:08:14,335
połączyć oba te punkty.

188
00:08:14,847 --> 00:08:17,919
Widzimy, że naszym poszukiwanym kątem

189
00:08:18,175 --> 00:08:20,979
jest kąt HOA.

190
00:08:21,247 --> 00:08:23,724
Obrócę teraz dla Ciebie graniastosłup

191
00:08:23,724 --> 00:08:26,179
żebyś wszystko sobie obejrzał.

192
00:08:31,743 --> 00:08:34,548
Zrobiliśmy dzisiaj wiele fajnych zadań

193
00:08:34,548 --> 00:08:36,645
ale to jeszcze nie koniec.

194
00:08:36,645 --> 00:08:38,723
Przed nami taki problem.

195
00:08:38,723 --> 00:08:40,401
Znajdź kąt pomiędzy

196
00:08:40,401 --> 00:08:42,994
przekątną ściany bocznej graniastosłupa

197
00:08:42,994 --> 00:08:45,089
prawidłowego trójkątnego

198
00:08:45,089 --> 00:08:47,507
a sąsiednią ścianą.

199
00:08:47,507 --> 00:08:49,919
Możesz rozwiązać to zadanie samodzielnie.

200
00:08:50,175 --> 00:08:51,675
Później koniecznie

201
00:08:51,675 --> 00:08:53,759
porównaj swój wynik z moim.

202
00:08:56,831 --> 00:08:59,453
Przyjmijmy, że chcemy znaleźć kąt

203
00:08:59,453 --> 00:09:01,439
pomiędzy różową przekątną

204
00:09:01,695 --> 00:09:03,671
a tą ścianą boczną.

205
00:09:03,999 --> 00:09:06,617
Jeżeli wybrałeś kąt między nią

206
00:09:06,617 --> 00:09:08,119
a drugą ścianą

207
00:09:08,119 --> 00:09:09,665
to nic nie szkodzi.

208
00:09:09,665 --> 00:09:11,435
Rozwiązanie jest analogiczne

209
00:09:11,435 --> 00:09:13,523
a kąt taki sam.

210
00:09:13,983 --> 00:09:16,046
Punktem wspólnym przekątnej

211
00:09:16,046 --> 00:09:19,373
i sąsiedniej ściany bocznej jest punkt B.

212
00:09:19,615 --> 00:09:21,109
Zaznaczmy go.

213
00:09:21,151 --> 00:09:24,979
Teraz korzystamy z rzutu prostokątnego.

214
00:09:24,991 --> 00:09:26,425
Żeby było nam łatwiej

215
00:09:26,425 --> 00:09:28,343
sobie wszystko wyobrazić

216
00:09:28,343 --> 00:09:30,314
obróćmy naszą bryłę tak

217
00:09:30,314 --> 00:09:31,975
aby leżała na ścianie

218
00:09:31,975 --> 00:09:34,813
na którą będziemy rzutowali punkt D.

219
00:09:35,743 --> 00:09:39,094
Rzutując punkt D na czerwoną ścianę

220
00:09:39,094 --> 00:09:41,143
otrzymujemy punkt O

221
00:09:41,143 --> 00:09:44,959
który jest spodkiem wysokości trójkąta DEF

222
00:09:45,215 --> 00:09:47,417
opuszczonej z punktu D.

223
00:09:48,799 --> 00:09:51,696
Ponieważ graniastosłup był prawidłowy

224
00:09:51,696 --> 00:09:53,128
to jego podstawa

225
00:09:53,128 --> 00:09:55,433
jest trójkątem równobocznym

226
00:09:55,455 --> 00:09:59,263
czyli to po prostu środek krawędzi EF.

227
00:09:59,295 --> 00:10:00,832
Pozostało nam już tylko

228
00:10:00,832 --> 00:10:03,675
połączyć punkty B i O.

229
00:10:03,675 --> 00:10:05,737
To jest rzut naszej prostej

230
00:10:05,737 --> 00:10:07,485
na ścianę boczną.

231
00:10:07,487 --> 00:10:09,640
W związku z tym szukany kąt

232
00:10:09,640 --> 00:10:12,351
będzie się znajdował w tym miejscu.

233
00:10:17,983 --> 00:10:19,498
Aby znaleźć kąt

234
00:10:19,498 --> 00:10:21,245
między prostą, a płaszczyzną

235
00:10:21,245 --> 00:10:23,143
należy zrzutować tę prostą

236
00:10:23,143 --> 00:10:25,365
prostopadle na płaszczyźnie.

237
00:10:25,365 --> 00:10:27,717
W tym celu wystarczy wybrać dowolny

238
00:10:27,717 --> 00:10:29,823
punkt z tej prostej, rozłączny

239
00:10:29,823 --> 00:10:33,178
z płaszczyzną i opuścić z niego wysokość

240
00:10:33,178 --> 00:10:34,777
na płaszczyznę.

241
00:10:37,951 --> 00:10:40,767
W dzisiejszym filmie omówiliśmy sobie

242
00:10:41,023 --> 00:10:43,734
czym jest pojęcie prostopadłości prostej

243
00:10:43,734 --> 00:10:46,071
do płaszczyzny w przestrzeni

244
00:10:46,143 --> 00:10:47,807
oraz powiedzieliśmy trochę

245
00:10:47,807 --> 00:10:49,781
o kącie nachylenia prostej

246
00:10:49,781 --> 00:10:52,287
lub odcinka do takiej płaszczyzny

247
00:10:52,543 --> 00:10:54,579
i jak go znaleźć.