1
00:00:00,156 --> 00:00:02,376
Jednym z najwcześniejszych zastosowań

2
00:00:02,476 --> 00:00:04,762
trygonometrii było tworzenie tak zwanych

3
00:00:04,862 --> 00:00:07,368
tablic cienia dla zegarów słonecznych.

4
00:00:07,680 --> 00:00:10,263
Tablice te były różne w różnych kulturach

5
00:00:10,363 --> 00:00:12,388
bo wysokość słońca w południe

6
00:00:12,544 --> 00:00:14,581
różni się w zależności od lokalizacji

7
00:00:14,681 --> 00:00:15,816
w której ją mierzymy.

8
00:00:16,128 --> 00:00:17,977
W ten sposób już ponad 3000 lat temu

9
00:00:18,077 --> 00:00:19,676
ludzie korzystali z funkcji

10
00:00:19,676 --> 00:00:21,618
trygonometrycznych, nie znając nawet

11
00:00:21,618 --> 00:00:22,872
tego pojęcia.

12
00:00:34,360 --> 00:00:36,514
Twierdzenia i wzory można przyrównywać

13
00:00:36,614 --> 00:00:39,268
do zaklęć z książek o Harrym Potterze.

14
00:00:39,424 --> 00:00:41,128
Młodzi adepci magii nie tworzą

15
00:00:41,228 --> 00:00:42,876
tych zaklęć od początku

16
00:00:42,975 --> 00:00:44,990
tylko uczą się formuł z księgi

17
00:00:45,090 --> 00:00:47,304
i praktykują ich wykorzystywanie.

18
00:00:47,616 --> 00:00:49,792
A że nie sposób spamiętać wszystkich

19
00:00:49,792 --> 00:00:51,968
matematycznych twierdzeń i definicji

20
00:00:52,124 --> 00:00:53,458
dlatego na egzaminach

21
00:00:53,558 --> 00:00:55,752
przydają się tablice maturalne.

22
00:00:56,320 --> 00:00:58,810
W tej lekcji pokażę Ci jedno z twierdzeń

23
00:00:58,810 --> 00:01:00,616
które znajdziesz w tablicach.

24
00:01:00,928 --> 00:01:02,820
Nauczymy się, co oznacza

25
00:01:02,976 --> 00:01:04,556
i jak z niego korzystać.

26
00:01:05,024 --> 00:01:07,436
Jeśli interesuje Cię jego dowód to

27
00:01:07,436 --> 00:01:10,344
obejrzyj odpowiedni film z tej playlisty.

28
00:01:10,812 --> 00:01:12,260
Matematyczne zaklęcie

29
00:01:12,360 --> 00:01:14,340
o którym mówiłem przed chwilą

30
00:01:14,496 --> 00:01:16,744
nazywa się twierdzeniem sinusów.

31
00:01:17,056 --> 00:01:18,794
Opowiada o związku między

32
00:01:18,894 --> 00:01:20,633
długościami boków trójkąta

33
00:01:20,733 --> 00:01:22,476
a miarami jego kątów.

34
00:01:22,744 --> 00:01:24,680
Narysujmy zatem trójkąt.

35
00:01:25,148 --> 00:01:27,587
Kąty oznaczmy literami alfa

36
00:01:27,587 --> 00:01:29,032
beta oraz gamma.

37
00:01:29,600 --> 00:01:32,171
Długość boku naprzeciw kąta alfa

38
00:01:32,271 --> 00:01:33,996
oznaczmy literą a.

39
00:01:34,208 --> 00:01:36,466
Długość boku naprzeciw kąta beta

40
00:01:36,566 --> 00:01:39,131
oznaczmy literą b, a długość boku

41
00:01:39,131 --> 00:01:42,188
naprzeciw kąta gamma literą c.

42
00:01:42,300 --> 00:01:45,167
Twierdzenie sinusów mówi, że w dowolnym

43
00:01:45,167 --> 00:01:47,588
trójkącie stosunki długości boków

44
00:01:47,588 --> 00:01:50,165
do sinusów kątów leżących naprzeciw tych

45
00:01:50,165 --> 00:01:51,916
boków są równe.

46
00:01:52,128 --> 00:01:53,870
Matematycy słowne zaklęcia

47
00:01:53,970 --> 00:01:55,912
zapisują w postaci wzorów.

48
00:01:56,224 --> 00:01:59,184
Może spróbujesz zrobić to samodzielnie?

49
00:02:02,424 --> 00:02:04,416
Weźmy bok o długości a.

50
00:02:04,672 --> 00:02:07,388
Zapiszmy stosunek długości tego boku

51
00:02:07,388 --> 00:02:10,248
do sinusa kąta leżącego naprzeciw niego.

52
00:02:10,560 --> 00:02:12,808
Mamy a przez sinus alfa.

53
00:02:13,376 --> 00:02:15,624
Weźmy teraz bok o długości b.

54
00:02:15,936 --> 00:02:18,290
Zapiszmy stosunek długości boku

55
00:02:18,390 --> 00:02:20,744
do sinusa naprzeciwległego kąta.

56
00:02:21,056 --> 00:02:23,304
Mamy b przez sinus beta.

57
00:02:23,616 --> 00:02:25,608
To samo robimy dla tego boku.

58
00:02:25,920 --> 00:02:29,448
Otrzymujemy c podzielić przez sinus gamma.

59
00:02:29,760 --> 00:02:31,652
Twierdzenie sinusów mówi

60
00:02:31,808 --> 00:02:34,312
że te ilorazy są identyczne.

61
00:02:34,624 --> 00:02:36,238
Między nimi możemy zatem

62
00:02:36,338 --> 00:02:38,152
zapisać znak równości.

63
00:02:38,520 --> 00:02:41,340
Za chwilę pokażę Ci jak wykorzystać

64
00:02:41,340 --> 00:02:43,130
to twierdzenie w zadaniach.

65
00:02:44,320 --> 00:02:46,084
Zobacz, znamy miary dwóch

66
00:02:46,084 --> 00:02:47,424
kątów wewnętrznych.

67
00:02:47,836 --> 00:02:49,828
Ten ma 34 stopnie

68
00:02:49,984 --> 00:02:51,976
a ten 63 stopnie.

69
00:02:52,444 --> 00:02:55,660
Długość tego boku to 5, a tego b.

70
00:02:55,872 --> 00:02:57,570
Naszym zadaniem jest znalezienie

71
00:02:57,670 --> 00:03:00,168
długości boku oznaczonej literą b.

72
00:03:00,480 --> 00:03:01,860
Pewnie domyślasz się

73
00:03:02,016 --> 00:03:04,364
że skorzystamy z twierdzenia sinusów.

74
00:03:04,832 --> 00:03:06,624
Dla tego trójkąta zapisujemy:

75
00:03:06,936 --> 00:03:09,802
stosunek boku o długości 5

76
00:03:09,902 --> 00:03:11,145
do sinusa kąta o mierze

77
00:03:11,245 --> 00:03:12,968
trzydziestu czterech stopni.

78
00:03:13,536 --> 00:03:15,003
Bok, którego szukamy

79
00:03:15,103 --> 00:03:17,832
znajduje się tutaj i ma długość b.

80
00:03:18,200 --> 00:03:20,422
Ten iloraz jest zatem taki sam

81
00:03:20,522 --> 00:03:22,778
jak iloraz b przez sinus

82
00:03:22,778 --> 00:03:24,844
sześćdziesięciu trzech stopni.

83
00:03:26,080 --> 00:03:28,382
Wartości sinusów tych kątów możemy

84
00:03:28,382 --> 00:03:30,888
odczytać z tablic trygonometrycznych.

85
00:03:31,200 --> 00:03:32,780
Wiesz już jak to robić.

86
00:03:33,248 --> 00:03:35,396
Sinus trzydziestu czterech stopni

87
00:03:35,552 --> 00:03:41,137
to 0,5592, a sinus sześćdziesięciu trzech

88
00:03:41,137 --> 00:03:45,736
stopni to 0,8910.

89
00:03:46,104 --> 00:03:48,004
Pomnóżmy obie strony równania

90
00:03:48,104 --> 00:03:51,624
przez 0,8910.

91
00:03:52,192 --> 00:03:54,488
Otrzymujemy, że b równa się

92
00:03:54,588 --> 00:04:03,500
5 razy 0,8910 podzielić przez 0,5592.

93
00:04:03,768 --> 00:04:05,969
Po obliczeniu tego na kalkulatorze

94
00:04:05,969 --> 00:04:07,797
i zaokrągleniu do drugiego miejsca

95
00:04:07,797 --> 00:04:09,668
po przecinku otrzymujemy

96
00:04:09,668 --> 00:04:13,584
że b to w przybliżeniu 7,97.

97
00:04:13,952 --> 00:04:15,788
Przejdźmy do kolejnego zadania.

98
00:04:20,407 --> 00:04:23,779
Jeden z kątów trójkąta ma miarę 40 stopni.

99
00:04:23,935 --> 00:04:26,432
Bok leżący naprzeciw tego kąta ma długość

100
00:04:26,432 --> 00:04:29,133
3, a inny z boków tego trójkąta

101
00:04:29,133 --> 00:04:30,947
ma długość 4.

102
00:04:31,103 --> 00:04:33,095
Oblicz miary pozostałych kątów.

103
00:04:33,663 --> 00:04:35,087
Od czego zaczynamy?

104
00:04:35,455 --> 00:04:37,091
Od stworzenia rysunku.

105
00:04:37,247 --> 00:04:39,851
Zatrzymaj lekcję i zrób to teraz.

106
00:04:43,191 --> 00:04:44,771
Rysujemy trójkąt.

107
00:04:45,083 --> 00:04:47,331
Tutaj zapisujemy 40 stopni.

108
00:04:47,487 --> 00:04:49,891
Przeciwległy bok ma długość 3.

109
00:04:50,047 --> 00:04:53,072
Z treści zadania wiemy, że inny z boków

110
00:04:53,072 --> 00:04:55,167
tego trójkąta ma długość 4.

111
00:04:55,423 --> 00:04:57,059
Nie jest podane który.

112
00:04:57,215 --> 00:04:58,795
Niech to będzie ten bok.

113
00:04:59,007 --> 00:05:01,204
Oznaczmy pozostałe kąty literami

114
00:05:01,204 --> 00:05:02,279
beta i gamma.

115
00:05:02,491 --> 00:05:04,970
Teraz możemy ułożyć odpowiednie równanie

116
00:05:05,070 --> 00:05:07,399
korzystając z twierdzenia sinusów.

117
00:05:07,711 --> 00:05:09,903
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

118
00:05:13,143 --> 00:05:15,235
Tutaj mamy 40 stopni.

119
00:05:15,391 --> 00:05:18,051
Znamy długość boku naprzeciw tego kąta.

120
00:05:18,207 --> 00:05:20,016
Zapisujemy zatem iloraz:

121
00:05:20,116 --> 00:05:22,915
3 przez sinus czterdziestu stopni.

122
00:05:23,071 --> 00:05:25,475
To równa się ilorazowi czterech

123
00:05:25,631 --> 00:05:27,167
czyli długości tego boku

124
00:05:27,423 --> 00:05:29,059
i sinusa kąta beta.

125
00:05:29,215 --> 00:05:31,619
Wyznaczmy z tego równania sinus beta.

126
00:05:31,775 --> 00:05:33,749
Mnożymy obie strony równania

127
00:05:33,749 --> 00:05:34,947
przez sinus beta.

128
00:05:35,103 --> 00:05:37,728
Otrzymujemy sinus beta razy 3 przez

129
00:05:37,728 --> 00:05:40,579
sinus czterdziestu stopni równa się 4.

130
00:05:40,735 --> 00:05:42,369
Teraz obie strony mnożymy

131
00:05:42,469 --> 00:05:44,675
przez sinus czterdziestu stopni

132
00:05:44,831 --> 00:05:46,823
a następnie dzielimy przez 3.

133
00:05:47,391 --> 00:05:49,126
Sinus beta równa się zatem

134
00:05:49,226 --> 00:05:51,373
4 razy sinus czterdziestu stopni

135
00:05:51,473 --> 00:05:52,967
podzielić przez 3.

136
00:05:53,279 --> 00:05:55,661
Odczytujemy z tablic trygonometrycznych

137
00:05:55,761 --> 00:05:58,343
ile to jest sinus czterdziestu stopni.

138
00:05:58,655 --> 00:06:02,795
Wynosi 0,6428.

139
00:06:03,007 --> 00:06:05,214
Otrzymujemy sinus beta równa się

140
00:06:05,214 --> 00:06:10,464
w przybliżeniu 4 razy 0,6428

141
00:06:10,464 --> 00:06:12,267
podzielić przez 3.

142
00:06:12,479 --> 00:06:17,799
Sinus beta to zatem około 0,8570.

143
00:06:18,367 --> 00:06:20,187
Odczytujemy z tablic kąt

144
00:06:20,187 --> 00:06:24,967
którego sinus to 0,8570.

145
00:06:25,279 --> 00:06:28,295
Tym kątem jest około 59 stopni.

146
00:06:28,607 --> 00:06:30,855
Obliczyliśmy miarę kąta beta.

147
00:06:31,323 --> 00:06:33,059
Jak obliczymy kąt gamma?

148
00:06:33,471 --> 00:06:35,597
Wystarczy skorzystać z twierdzenia

149
00:06:35,697 --> 00:06:37,923
o sumie miar kątów w trójkącie.

150
00:06:38,079 --> 00:06:40,271
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

151
00:06:44,279 --> 00:06:46,801
Miara kąta gamma to w przybliżeniu

152
00:06:46,901 --> 00:06:49,742
180 stopni odjąć 40 stopni

153
00:06:49,742 --> 00:06:51,491
odjąć 59 stopni.

154
00:06:51,647 --> 00:06:53,283
Dlaczego w przybliżeniu?

155
00:06:53,439 --> 00:06:55,779
Dlatego, że kąt beta został podany

156
00:06:55,779 --> 00:06:56,811
w przybliżeniu.

157
00:06:57,023 --> 00:07:00,451
Kąt gamma ma miarę około 81 stopni.

158
00:07:00,607 --> 00:07:02,532
Pozostałe kąty trójkąta mają

159
00:07:02,632 --> 00:07:07,051
około 59 stopni i około 81 stopni.

160
00:07:07,419 --> 00:07:09,155
Wykonaliśmy nasze zadanie.

161
00:07:09,311 --> 00:07:10,735
Przejdźmy dalej.

162
00:07:13,929 --> 00:07:16,049
W twierdzeniu sinusów zawarta jest

163
00:07:16,149 --> 00:07:18,115
jeszcze jedna dodatkowa moc.

164
00:07:18,271 --> 00:07:21,203
Mianowicie, w każdym trójkącie stosunek

165
00:07:21,203 --> 00:07:23,872
długości dowolnego boku do sinusa kąta

166
00:07:23,872 --> 00:07:26,169
leżącego naprzeciw tego boku

167
00:07:26,169 --> 00:07:27,949
jest równy średnicy okręgu

168
00:07:28,049 --> 00:07:30,603
opisanego na tym trójkącie.

169
00:07:30,971 --> 00:07:32,039
Co to oznacza?

170
00:07:32,607 --> 00:07:34,953
Narysujmy okrąg, a jego promień

171
00:07:35,053 --> 00:07:36,903
oznaczmy wielką literą R.

172
00:07:37,271 --> 00:07:40,131
Długość średnicy to zatem 2R.

173
00:07:40,287 --> 00:07:42,821
Teraz wpiszmy w ten okrąg trójkąt

174
00:07:42,821 --> 00:07:44,071
na przykład taki.

175
00:07:44,439 --> 00:07:46,858
Oznaczmy jego kąty greckimi literami

176
00:07:46,958 --> 00:07:49,191
alfa, beta i gamma.

177
00:07:49,403 --> 00:07:52,057
Długość boku naprzeciw kąta alfa

178
00:07:52,157 --> 00:07:53,643
oznaczmy literą a.

179
00:07:53,911 --> 00:07:57,339
Długość boku naprzeciw kąta beta literą b.

180
00:07:57,695 --> 00:08:00,041
A długość boku naprzeciw kąta gamma

181
00:08:00,041 --> 00:08:01,223
literą c.

182
00:08:01,535 --> 00:08:04,239
Twierdzenie sinusów mówi, że długość

183
00:08:04,239 --> 00:08:07,458
średnicy, czyli 2R jest taka sama

184
00:08:07,558 --> 00:08:10,990
jak a przez sinus alfa, a to jest to samo

185
00:08:10,990 --> 00:08:13,805
co b przez sinus beta, a to z kolei

186
00:08:13,805 --> 00:08:16,683
równa się c przez sinus gamma.

187
00:08:17,151 --> 00:08:20,523
Pokażę Ci jak wykorzystać to twierdzenie.

188
00:08:23,863 --> 00:08:26,288
Mamy za zadanie obliczyć długość

189
00:08:26,288 --> 00:08:27,335
odcinka a.

190
00:08:27,903 --> 00:08:29,583
Spójrz na ilustrację.

191
00:08:29,951 --> 00:08:31,119
Mamy okrąg.

192
00:08:31,231 --> 00:08:33,323
Długość promienia to 2.

193
00:08:33,791 --> 00:08:35,015
Spójrz na trójkąt.

194
00:08:35,327 --> 00:08:37,419
Jest on wpisany w okrąg.

195
00:08:37,631 --> 00:08:40,491
Jeden z kątów trójkąta ma 40 stopni.

196
00:08:40,703 --> 00:08:42,538
Długość boku naprzeciw kąta

197
00:08:42,638 --> 00:08:45,711
o mierze czterdziestu stopni ma długość a.

198
00:08:46,079 --> 00:08:48,309
Jak wykorzystać twierdzenie sinusów

199
00:08:48,409 --> 00:08:50,073
do obliczenia długości boku

200
00:08:50,073 --> 00:08:51,811
oznaczonej literą a?

201
00:08:51,967 --> 00:08:55,295
Z twierdzenia wynika, że długość średnicy

202
00:08:55,551 --> 00:08:57,433
czyli 2R, jest taka sama

203
00:08:57,533 --> 00:08:59,647
jak stosunek długości boku a

204
00:08:59,803 --> 00:09:01,837
do sinusa kąta znajdującego się

205
00:09:01,937 --> 00:09:03,331
naprzeciw tego boku

206
00:09:03,487 --> 00:09:05,891
czyli do sinusa czterdziestu stopni.

207
00:09:06,271 --> 00:09:07,683
R to 2.

208
00:09:07,839 --> 00:09:09,575
Czyli 2R to 4.

209
00:09:09,887 --> 00:09:15,719
Sinus czterdziestu stopni to około 0,6428.

210
00:09:16,287 --> 00:09:19,925
Otrzymujemy 2 razy 2, czyli 4 równa się

211
00:09:19,925 --> 00:09:24,423
a przez 0,6428.

212
00:09:24,991 --> 00:09:26,957
Teraz mnożymy obie strony równania

213
00:09:27,057 --> 00:09:30,823
przez 0,6428.

214
00:09:31,135 --> 00:09:36,711
A równa się 4 razy 0,6428.

215
00:09:36,823 --> 00:09:41,675
Czyli 2,5712.

216
00:09:42,043 --> 00:09:44,694
Zapiszmy odpowiedź, zaokrąglając wynik

217
00:09:44,794 --> 00:09:46,951
do drugiego miejsca po przecinku.

218
00:09:47,263 --> 00:09:50,891
Długość a to 2,57.

219
00:09:51,359 --> 00:09:53,451
Przejdźmy do ostatniego przykładu.

220
00:09:57,459 --> 00:09:59,868
Widzimy okrąg o promieniu x

221
00:09:59,868 --> 00:10:02,211
i wpisany w niego trójkąt o kątach

222
00:10:02,367 --> 00:10:07,368
75 stopni i 45 stopni oraz boku o długości

223
00:10:07,368 --> 00:10:09,267
pierwiastka z sześciu.

224
00:10:09,279 --> 00:10:10,435
Naszym zadaniem jest

225
00:10:10,535 --> 00:10:12,295
obliczenie długości promienia.

226
00:10:12,607 --> 00:10:15,467
Zastanów się jak rozwiązać to zadanie.

227
00:10:18,551 --> 00:10:20,543
Znamy długość tego boku

228
00:10:20,799 --> 00:10:22,036
więc aby skorzystać

229
00:10:22,136 --> 00:10:24,458
z rozszerzonego twierdzenia sinusów

230
00:10:24,558 --> 00:10:26,531
potrzebujemy miarę tego kąta.

231
00:10:26,687 --> 00:10:28,619
Skoro te 2 kąty sumują się

232
00:10:28,619 --> 00:10:30,371
do stu dwudziestu stopni

233
00:10:30,527 --> 00:10:32,818
to do stu osiemdziesięciu stopni brakuje

234
00:10:32,818 --> 00:10:34,823
nam jeszcze sześćdziesięciu stopni.

235
00:10:35,135 --> 00:10:37,739
Ten kąt ma więc 60 stopni.

236
00:10:38,207 --> 00:10:40,848
Spróbuj teraz zapisać odpowiednie równanie

237
00:10:40,948 --> 00:10:43,627
korzystając z poznanego twierdzenia.

238
00:10:46,911 --> 00:10:49,978
Z rozszerzonego twierdzenia sinusów wiemy

239
00:10:49,978 --> 00:10:52,799
że długość średnicy, czyli 2x

240
00:10:53,055 --> 00:10:56,178
to tyle samo co, iloraz długości tego boku

241
00:10:56,178 --> 00:10:58,631
przez sinus sześćdziesięciu stopni.

242
00:10:58,843 --> 00:11:00,512
Sinus sześćdziesięciu stopni

243
00:11:00,612 --> 00:11:02,727
to pierwiastek z trzech przez 2.

244
00:11:02,939 --> 00:11:05,150
Mamy zatem 2x równa się

245
00:11:05,150 --> 00:11:07,454
pierwiastek z sześciu podzielić przez

246
00:11:07,454 --> 00:11:09,895
pierwiastek z trzech przez 2.

247
00:11:10,463 --> 00:11:12,263
Przekształcając prawą stronę

248
00:11:12,263 --> 00:11:15,839
mamy 2x równa się 2 pierwiastki z sześciu

249
00:11:15,985 --> 00:11:17,565
przez pierwiastek z trzech.

250
00:11:17,887 --> 00:11:20,647
Podzielmy obie strony równania przez 2.

251
00:11:20,959 --> 00:11:23,230
x równa się pierwiastek z sześciu

252
00:11:23,330 --> 00:11:25,411
przez pierwiastek z trzech

253
00:11:25,567 --> 00:11:27,715
czyli pierwiastek z 6/3

254
00:11:27,871 --> 00:11:29,607
czyli pierwiastek z dwóch.

255
00:11:29,919 --> 00:11:31,551
Promień tego okręgu to

256
00:11:31,551 --> 00:11:33,035
pierwiastek z dwóch.

257
00:11:33,503 --> 00:11:35,163
Wykonaliśmy wszystkie zadania

258
00:11:35,163 --> 00:11:35,907
w tej lekcji!

259
00:11:36,063 --> 00:11:38,455
Dobra robota! Gratulacje!

260
00:11:43,031 --> 00:11:45,506
W każdym trójkącie stosunek długości

261
00:11:45,606 --> 00:11:47,648
dowolnego boku tego trójkąta

262
00:11:47,748 --> 00:11:49,475
do sinusa kąta leżącego

263
00:11:49,631 --> 00:11:51,011
naprzeciw tego boku

264
00:11:51,167 --> 00:11:53,165
jest równy średnicy okręgu

265
00:11:53,265 --> 00:11:55,463
opisanego na tym trójkącie.

266
00:11:59,073 --> 00:12:00,578
Zapraszam Cię do obejrzenia

267
00:12:00,678 --> 00:12:02,672
pozostałych lekcji z tego działu

268
00:12:02,772 --> 00:12:05,167
oraz do zasubskrybowania naszego kanału

269
00:12:05,167 --> 00:12:06,671
aby być na bieżąco!