1
00:00:00,156 --> 00:00:03,278
Lazare Nicolas Carnot to francuski polityk

2
00:00:03,478 --> 00:00:05,900
matematyk i generał pochodzący ze znanej

3
00:00:05,900 --> 00:00:09,160
rodziny matematyków, fizyków i polityków.

4
00:00:09,472 --> 00:00:10,991
Jego nazwisko pojawiło się

5
00:00:11,091 --> 00:00:13,454
na liście siedemdziesięciu dwóch nazwisk

6
00:00:13,554 --> 00:00:14,848
na Wieży Eiffla.

7
00:00:15,104 --> 00:00:17,252
Z zawodu inżynier wojskowy.

8
00:00:17,408 --> 00:00:19,022
Współpracował z Napoleonem

9
00:00:19,122 --> 00:00:21,804
pełniąc wysokie stanowiska urzędnicze.

10
00:00:22,016 --> 00:00:23,902
W matematyce był jednym z twórców

11
00:00:24,002 --> 00:00:25,544
geometrii nowoczesnej.

12
00:00:25,856 --> 00:00:28,047
Znane są jego prace dotyczące geometrii

13
00:00:28,047 --> 00:00:30,508
rzutowej i analizy matematycznej.

14
00:00:30,720 --> 00:00:32,973
W tej lekcji poznasz twierdzenie, które

15
00:00:32,973 --> 00:00:35,198
wymyślił, mianowicie twierdzenie

16
00:00:35,198 --> 00:00:36,340
cosinusów.

17
00:00:47,160 --> 00:00:49,025
Czy kiedykolwiek było Ci żal

18
00:00:49,025 --> 00:00:51,127
że twierdzenia Pitagorasa można użyć

19
00:00:51,227 --> 00:00:53,448
tylko w trójkątach prostokątnych?

20
00:00:53,760 --> 00:00:56,108
Od dziś to już nie będzie problem!

21
00:00:56,320 --> 00:00:58,779
Poznasz twierdzenie cosinusów, które jest

22
00:00:58,779 --> 00:01:00,878
uogólnieniem twierdzenia Pitagorasa

23
00:01:00,978 --> 00:01:02,664
na wszystkie trójkąty.

24
00:01:03,744 --> 00:01:06,504
Weźmy trójkąt o bokach a, b i c.

25
00:01:06,816 --> 00:01:09,732
Kąt naprzeciwko boku a nazwijmy alfa

26
00:01:09,888 --> 00:01:12,036
ten naprzeciwko b — beta

27
00:01:12,192 --> 00:01:14,696
a ten naprzeciwko c — gamma.

28
00:01:14,908 --> 00:01:17,599
Twierdzenie cosinusów mówi, że kwadrat

29
00:01:17,599 --> 00:01:20,629
jednego boku, na przykład c trójkąta

30
00:01:20,629 --> 00:01:22,042
jest równy sumie kwadratów

31
00:01:22,142 --> 00:01:23,989
dwóch pozostałych boków

32
00:01:23,989 --> 00:01:25,860
czyli a kwadrat plus b kwadrat

33
00:01:26,016 --> 00:01:28,096
pomniejszonej o podwojony iloczyn

34
00:01:28,196 --> 00:01:29,444
tych dwóch boków

35
00:01:29,600 --> 00:01:31,904
oraz cosinusa kąta między nimi

36
00:01:32,160 --> 00:01:35,376
czyli 2ab cosinus gamma.

37
00:01:36,000 --> 00:01:37,765
W przeciwieństwie do twierdzenia

38
00:01:37,765 --> 00:01:40,403
Pitagorasa, tutaj żaden bok ani kąt

39
00:01:40,403 --> 00:01:43,096
nie jest wyróżniony, bo nie potrzebujemy

40
00:01:43,096 --> 00:01:45,004
kąta dziewięćdziesięciu stopni.

41
00:01:45,372 --> 00:01:47,864
Twierdzenie cosinusów możemy zapisać

42
00:01:47,864 --> 00:01:48,900
na 3 sposoby.

43
00:01:49,056 --> 00:01:51,353
Spróbuj teraz samodzielnie zapisać

44
00:01:51,453 --> 00:01:54,276
pozostałe 2 sposoby dla tego trójkąta.

45
00:01:57,434 --> 00:01:59,040
Powinniśmy otrzymać:

46
00:01:59,196 --> 00:02:01,925
a do kwadratu to b do kwadratu dodać

47
00:02:01,925 --> 00:02:05,284
c do kwadratu odjąć 2bc cosinus alfa

48
00:02:05,440 --> 00:02:07,977
oraz b do kwadratu to a do kwadratu

49
00:02:08,077 --> 00:02:09,700
dodać c do kwadratu odjąć

50
00:02:09,700 --> 00:02:11,728
2ac cosinus beta.

51
00:02:12,096 --> 00:02:14,856
Sprawdźmy, czy to twierdzenie działa.

52
00:02:15,068 --> 00:02:18,284
Weźmy sobie trójkąt równoboczny o boku 4.

53
00:02:18,496 --> 00:02:19,720
Narysujmy go.

54
00:02:20,288 --> 00:02:22,191
Zapisz twierdzenie cosinusów

55
00:02:22,191 --> 00:02:23,760
dla tego trójkąta.

56
00:02:26,744 --> 00:02:29,132
Ponieważ wszystkie kąty i boki są

57
00:02:29,132 --> 00:02:31,706
takie same, wszystkie wersje twierdzenia

58
00:02:31,806 --> 00:02:34,056
też będą wyglądać tak samo.

59
00:02:34,624 --> 00:02:36,376
4 do kwadratu równa się

60
00:02:36,376 --> 00:02:39,082
4 do kwadratu dodać 4 do kwadratu

61
00:02:39,282 --> 00:02:41,548
odjąć 2 razy 4 razy 4 razy

62
00:02:41,648 --> 00:02:44,140
cosinus sześćdziesięciu stopni.

63
00:02:44,764 --> 00:02:46,637
Mamy zatem 16 równa się

64
00:02:46,737 --> 00:02:50,838
16 dodać 16 odjąć 32 razy cosinus

65
00:02:50,838 --> 00:02:53,200
sześćdziesięciu stopni, czyli 1/2.

66
00:02:53,824 --> 00:02:57,764
Otrzymujemy 32 odjąć 16, czyli 16.

67
00:02:58,304 --> 00:03:00,050
To jest tyle, ile mieliśmy

68
00:03:00,050 --> 00:03:01,192
po lewej stronie.

69
00:03:01,816 --> 00:03:03,617
To twierdzenie jest prawdziwe

70
00:03:03,717 --> 00:03:05,900
również dla trójkąta prostokątnego.

71
00:03:06,368 --> 00:03:08,004
Jeżeli dobierzemy boki tak

72
00:03:08,160 --> 00:03:10,564
aby c było przeciwprostokątną

73
00:03:10,720 --> 00:03:13,580
to kąt gamma wyniesie 90 stopni.

74
00:03:14,048 --> 00:03:15,297
Jeżeli podstawimy to

75
00:03:15,397 --> 00:03:17,694
do odpowiedniej wersji twierdzenia

76
00:03:17,794 --> 00:03:20,192
otrzymamy, że c do kwadratu

77
00:03:20,348 --> 00:03:23,026
to a do kwadratu dodać b do kwadratu

78
00:03:23,026 --> 00:03:25,174
odjąć 2ab razy cosinus

79
00:03:25,174 --> 00:03:26,892
dziewięćdziesięciu stopni.

80
00:03:27,360 --> 00:03:30,046
Pamiętasz ile wynosi ten cosinus?

81
00:03:30,146 --> 00:03:31,308
To 0.

82
00:03:31,456 --> 00:03:34,372
Zniknie nam zatem cały ostatni wyraz.

83
00:03:34,528 --> 00:03:37,444
2 razy a razy b razy cosinus gamma

84
00:03:37,600 --> 00:03:39,183
i otrzymamy po prostu

85
00:03:39,183 --> 00:03:40,916
twierdzenie Pitagorasa.

86
00:03:46,104 --> 00:03:48,452
Teraz czas na przykład dla Ciebie.

87
00:03:48,864 --> 00:03:50,444
Popatrz na ten trójkąt.

88
00:03:50,812 --> 00:03:53,060
Znamy w nim długości dwóch boków

89
00:03:53,216 --> 00:03:54,852
wynoszą 7 i 8

90
00:03:55,008 --> 00:03:57,220
oraz miarę kąta pomiędzy nimi

91
00:03:57,220 --> 00:03:58,892
to 38 stopni.

92
00:03:59,260 --> 00:04:01,530
Proszą nas o podanie długości wszystkich

93
00:04:01,530 --> 00:04:04,368
boków i miar wszystkich kątów.

94
00:04:04,736 --> 00:04:07,396
Oznaczmy brakujący bok przez x

95
00:04:07,552 --> 00:04:10,312
a brakujące kąty przez alfa i beta.

96
00:04:10,624 --> 00:04:13,384
Jak myślisz, od czego lepiej zacząć?

97
00:04:13,952 --> 00:04:16,812
Od szukania brakujących kątów czy boków?

98
00:04:17,280 --> 00:04:19,320
Wypisz wszystkie 3 wersje

99
00:04:19,320 --> 00:04:22,087
twierdzenia cosinusów dla tego trójkąta.

100
00:04:22,399 --> 00:04:24,217
Zobaczmy, która okaże się

101
00:04:24,217 --> 00:04:25,671
najbardziej pomocna!

102
00:04:29,111 --> 00:04:30,591
Powinniśmy otrzymać:

103
00:04:30,747 --> 00:04:33,848
7 do kwadratu równa się 8 do kwadratu

104
00:04:33,948 --> 00:04:36,043
dodać x do kwadratu odjąć

105
00:04:36,144 --> 00:04:39,339
2 razy 8 razy x cosinus alfa.

106
00:04:39,551 --> 00:04:42,211
Kolejne równanie wygląda następująco:

107
00:04:42,367 --> 00:04:45,168
x do kwadratu równa się 8 do kwadratu

108
00:04:45,268 --> 00:04:47,322
dodać 7 do kwadratu

109
00:04:47,422 --> 00:04:50,091
odjąć 2 razy 8 razy 7 razy cosinus

110
00:04:50,091 --> 00:04:52,351
trzydziestu ośmiu stopni.

111
00:04:52,351 --> 00:04:54,443
Ostatnia wersja wygląda tak:

112
00:04:54,655 --> 00:04:57,665
8 do kwadratu równa się 7 do kwadratu

113
00:04:57,765 --> 00:05:00,699
dodać x do kwadratu odjąć 2 razy 7

114
00:05:00,799 --> 00:05:02,935
razy x razy cosinus beta.

115
00:05:03,359 --> 00:05:05,863
Czy któreś z równań umiemy rozwiązać?

116
00:05:06,075 --> 00:05:07,811
Najprostsze jest drugie.

117
00:05:07,967 --> 00:05:10,109
Zawiera tylko jedną niewiadomą x

118
00:05:10,209 --> 00:05:13,031
i występuje ona tylko w jednym miejscu.

119
00:05:13,343 --> 00:05:16,459
Sprawdź się i rozwiąż je samodzielnie!

120
00:05:19,543 --> 00:05:22,336
Otrzymujemy x do kwadratu równa się

121
00:05:22,336 --> 00:05:29,045
49 dodać 64 odjąć 2 razy 56 razy cosinus

122
00:05:29,045 --> 00:05:31,007
trzydziestu ośmiu stopni.

123
00:05:31,007 --> 00:05:32,625
Wartość cosinusa znajdujemy

124
00:05:32,725 --> 00:05:34,691
w tablicach trygonometrycznych

125
00:05:34,847 --> 00:05:39,455
i otrzymujemy w przybliżeniu 113 odjąć 112

126
00:05:39,711 --> 00:05:43,083
razy 788 tysięcznych.

127
00:05:43,551 --> 00:05:44,668
Ten ostatni iloczyn

128
00:05:44,768 --> 00:05:46,923
to około osiemdziesięciu ośmiu.

129
00:05:47,135 --> 00:05:49,369
Po podstawieniu otrzymujemy

130
00:05:49,469 --> 00:05:53,123
że x do kwadratu to w przybliżeniu 25

131
00:05:53,279 --> 00:05:55,527
czyli x to około 5.

132
00:05:55,839 --> 00:05:57,444
W ten sposób obliczyliśmy

133
00:05:57,544 --> 00:05:59,879
pierwszą z brakujących wielkości.

134
00:06:00,247 --> 00:06:01,259
Co dalej?

135
00:06:01,471 --> 00:06:03,819
Wykorzystajmy pozostałe równania!

136
00:06:04,031 --> 00:06:06,137
Możemy na przykład do pierwszego

137
00:06:06,137 --> 00:06:08,614
podstawić to, co już obliczyliśmy

138
00:06:08,614 --> 00:06:10,275
czyli wartość x.

139
00:06:10,431 --> 00:06:11,911
Zrób to samodzielnie.

140
00:06:15,095 --> 00:06:18,017
Otrzymujemy 7 do kwadratu równa się

141
00:06:18,117 --> 00:06:21,139
8 do kwadratu dodać 5 do kwadratu

142
00:06:21,295 --> 00:06:24,711
odjąć 2 razy 8 razy 5 razy cosinus alfa.

143
00:06:24,923 --> 00:06:30,755
Mamy zatem 49 równa się 64 dodać 25

144
00:06:30,911 --> 00:06:34,027
odjąć 80 razy cosinus alfa.

145
00:06:34,495 --> 00:06:38,179
Stąd wynika, że 80 razy cosinus alfa

146
00:06:38,335 --> 00:06:43,443
to 89 odjąć 49, czyli 40.

147
00:06:44,379 --> 00:06:47,137
Otrzymujemy, że cosinus alfa to

148
00:06:47,237 --> 00:06:50,823
40 podzielić przez 80, czyli 1/2.

149
00:06:51,135 --> 00:06:53,739
Ile w takim razie wynosi miara kąta alfa?

150
00:06:54,207 --> 00:06:56,143
To 60 stopni.

151
00:06:56,511 --> 00:06:59,627
No to jak obliczyć ostatni brakujący kąt?

152
00:06:59,839 --> 00:07:02,450
Moglibyśmy skorzystać z trzeciego równania

153
00:07:02,550 --> 00:07:04,647
ale istnieje prostsza metoda.

154
00:07:04,959 --> 00:07:07,619
Znamy przecież już 2 kąty tego trójkąta.

155
00:07:07,775 --> 00:07:09,021
Trzeci możemy obliczyć

156
00:07:09,121 --> 00:07:12,327
korzystając z sumy miar kątów w trójkącie.

157
00:07:12,639 --> 00:07:15,232
Beta to będzie 180 stopni

158
00:07:15,332 --> 00:07:19,413
odjąć 38 stopni odjąć 60 stopni

159
00:07:19,413 --> 00:07:21,743
czyli 82 stopnie.

160
00:07:21,855 --> 00:07:23,491
Wykonaliśmy nasze zadanie!

161
00:07:23,647 --> 00:07:25,639
Możemy przejść do kolejnego.

162
00:07:31,383 --> 00:07:33,900
Wykaż, że trójkąt o bokach

163
00:07:34,000 --> 00:07:37,671
10, 8 i 5 jest rozwartokątny.

164
00:07:38,139 --> 00:07:40,643
Zacznijmy od rysunku pomocniczego.

165
00:07:41,055 --> 00:07:43,715
Skoro ten trójkąt ma być rozwartokątny

166
00:07:43,871 --> 00:07:47,067
to 2 kąty muszą być ostre, a 1 rozwarty.

167
00:07:47,167 --> 00:07:49,959
Rysujemy zatem trójkąt rozwartokątny.

168
00:07:50,271 --> 00:07:53,543
Oznaczmy kąty alfa, beta i gamma.

169
00:07:53,855 --> 00:07:55,046
Czy musimy znać miary

170
00:07:55,146 --> 00:07:57,027
wszystkich kątów tego trójkąta?

171
00:07:57,183 --> 00:07:58,524
A może jesteśmy w stanie

172
00:07:58,624 --> 00:08:00,355
przed obliczeniami stwierdzić

173
00:08:00,511 --> 00:08:02,206
który kąt w tym trójkącie

174
00:08:02,206 --> 00:08:03,427
może być rozwarty?

175
00:08:03,739 --> 00:08:06,788
Pomoże nam zasada, że w każdym trójkącie

176
00:08:06,788 --> 00:08:09,142
największy kąt leży naprzeciwko

177
00:08:09,142 --> 00:08:11,682
najdłuższego boku, a naprzeciwko

178
00:08:11,682 --> 00:08:13,667
najkrótszego -  najmniejszy.

179
00:08:14,013 --> 00:08:16,272
Kąt, który powinniśmy sprawdzić

180
00:08:16,372 --> 00:08:18,731
to ten naprzeciwko boku 10.

181
00:08:19,199 --> 00:08:21,547
Ułóż teraz odpowiednie równanie.

182
00:08:24,375 --> 00:08:27,696
10 do kwadratu to 8 do kwadratu

183
00:08:27,696 --> 00:08:30,441
dodać 5 do kwadratu odjąć 2 razy

184
00:08:30,541 --> 00:08:33,479
5 razy 8 razy cosinus alfa.

185
00:08:33,791 --> 00:08:35,235
Otrzymaliśmy proste równanie

186
00:08:35,235 --> 00:08:36,551
z jedną niewiadomą.

187
00:08:36,763 --> 00:08:39,979
Samodzielnie wyznacz z niego cosinus alfa.

188
00:08:43,575 --> 00:08:47,616
100 równa się 64 dodać 25

189
00:08:47,716 --> 00:08:50,311
odjąć 80 razy cosinus alfa.

190
00:08:50,511 --> 00:08:55,999
80 cosinus alfa równa się 64 dodać 25

191
00:08:55,999 --> 00:08:59,235
odjąć 100, co daje nam –11.

192
00:08:59,391 --> 00:09:04,043
Dlatego cosinus alfa to -11/80.

193
00:09:04,511 --> 00:09:06,915
Skoro cosinus alfa jest ujemny

194
00:09:07,071 --> 00:09:10,755
to alfa jest kątem większym niż 90 stopni.

195
00:09:10,911 --> 00:09:12,959
To właśnie mieliśmy wykazać.

196
00:09:13,471 --> 00:09:16,136
Zapisujemy wniosek i stawiamy znak

197
00:09:16,136 --> 00:09:17,155
końca dowodu.

198
00:09:17,311 --> 00:09:19,559
Przejdźmy do kolejnego wyzwania.

199
00:09:24,715 --> 00:09:26,524
Oblicz długość boku x

200
00:09:26,524 --> 00:09:28,419
w pokazanym trójkącie.

201
00:09:28,831 --> 00:09:29,978
Już na samym początku

202
00:09:29,978 --> 00:09:31,235
mam zadanie dla Ciebie.

203
00:09:31,391 --> 00:09:33,288
Spróbuj samodzielnie ułożyć

204
00:09:33,288 --> 00:09:34,763
odpowiednie równanie.

205
00:09:37,747 --> 00:09:39,170
Ponieważ w tym trójkącie

206
00:09:39,270 --> 00:09:41,511
znamy miarę tylko jednego kąta

207
00:09:41,611 --> 00:09:43,891
wybieramy taką postać twierdzenia

208
00:09:44,047 --> 00:09:45,727
która zawiera właśnie ten kąt

209
00:09:45,983 --> 00:09:48,813
czyli 14 do kwadratu równa się

210
00:09:48,913 --> 00:09:52,227
10 do kwadratu dodać x do kwadratu

211
00:09:52,383 --> 00:09:55,754
odjąć 2 razy 10 razy x razy cosinus

212
00:09:55,754 --> 00:09:57,447
stu dwudziestu stopni.

213
00:09:57,759 --> 00:10:00,275
Zanim rozwiążemy to równanie musimy

214
00:10:00,275 --> 00:10:03,079
obliczyć cosinus stu dwudziestu stopni.

215
00:10:03,391 --> 00:10:04,846
Nie znajdziemy tej wartości

216
00:10:04,846 --> 00:10:06,151
w tablicach maturalnych.

217
00:10:06,463 --> 00:10:09,223
Musimy posłużyć się wzorem redukcyjnym.

218
00:10:09,535 --> 00:10:12,363
Cosinus stu osiemdziesięciu stopni odjąć

219
00:10:12,363 --> 00:10:14,855
alfa to minus cosinus alfa.

220
00:10:15,167 --> 00:10:18,151
Skąd wynika, że cosinus stu dwudziestu

221
00:10:18,151 --> 00:10:20,879
stopni to cosinus stu osiemdziesięciu

222
00:10:20,879 --> 00:10:24,467
stopni odjąć 60 stopni, czyli minus

223
00:10:24,467 --> 00:10:26,631
cosinus sześćdziesięciu stopni.

224
00:10:27,199 --> 00:10:29,647
To będzie po prostu –1/2.

225
00:10:30,015 --> 00:10:31,751
Wracamy do naszego równania.

226
00:10:32,063 --> 00:10:36,108
Mamy: 196 równa się 100 dodać

227
00:10:36,108 --> 00:10:40,911
x do kwadratu odjąć 20x razy –1/2.

228
00:10:41,279 --> 00:10:43,365
Po wymnożeniu końcówki otrzymujemy

229
00:10:43,365 --> 00:10:44,807
+10x.

230
00:10:45,119 --> 00:10:46,808
To równanie jest kwadratowe

231
00:10:46,908 --> 00:10:48,597
więc wszystko przerzucamy

232
00:10:48,697 --> 00:10:50,951
na jedną stronę i porządkujemy.

233
00:10:51,263 --> 00:10:55,659
x do kwadratu dodać 10x odjąć 96.

234
00:10:55,871 --> 00:10:57,963
Rozwiąż to równanie samodzielnie.

235
00:11:01,613 --> 00:11:05,443
Liczymy deltę, czyli b kwadrat minus 4ac.

236
00:11:05,599 --> 00:11:10,563
Otrzymujemy 100 odjąć 4 razy 1 razy –96

237
00:11:10,719 --> 00:11:16,395
co daje nam 100 dodać 384, czyli 484.

238
00:11:17,887 --> 00:11:20,035
Pierwiastek z tego to 22.

239
00:11:20,191 --> 00:11:22,339
Otrzymujemy 2 rozwiązania:

240
00:11:22,651 --> 00:11:26,264
x1 równe –10 odjąć 22

241
00:11:26,364 --> 00:11:29,251
podzielić przez 2, czyli –16

242
00:11:29,407 --> 00:11:30,531
oraz drugie

243
00:11:30,687 --> 00:11:33,953
x2 równa się –10 dodać 22

244
00:11:34,053 --> 00:11:36,519
podzielić przez 2, czyli 6.

245
00:11:36,831 --> 00:11:38,879
Czy to zadanie ma 2 rozwiązania?

246
00:11:39,191 --> 00:11:41,139
Nie, bo bok nie może mieć

247
00:11:41,139 --> 00:11:42,463
ujemnej długości.

248
00:11:42,775 --> 00:11:45,270
Stąd wiemy, że brakujący odcinek

249
00:11:45,270 --> 00:11:46,959
ma długość 6.

250
00:11:53,171 --> 00:11:54,871
Twierdzenie cosinusów

251
00:11:54,971 --> 00:11:57,820
to ulepszona wersja twierdzenia Pitagorasa

252
00:11:57,920 --> 00:12:00,214
działająca dla wszystkich trójkątów

253
00:12:00,314 --> 00:12:02,219
niekoniecznie prostokątnych.

254
00:12:05,503 --> 00:12:07,145
Ten dział dotyczy funkcji

255
00:12:07,145 --> 00:12:09,443
trygonometrycznych kąta rozwartego.

256
00:12:09,599 --> 00:12:10,923
Zasubskrybuj nasz kanał

257
00:12:11,023 --> 00:12:13,383
aby być na bieżąco z nowymi działami!