1
00:00:01,536 --> 00:00:04,067
W matematyce raz udowodnione twierdzenie

2
00:00:04,067 --> 00:00:06,926
na zawsze zachowuje swoją prawdziwość.

3
00:00:07,168 --> 00:00:09,210
Za chwilę przećwiczymy zastosowanie

4
00:00:09,210 --> 00:00:10,963
wiecznie prawdziwych wzorów

5
00:00:10,963 --> 00:00:13,542
na pola równoległoboku i rombu.

6
00:00:25,088 --> 00:00:27,040
Przed nami pierwsze zadanie.

7
00:00:27,136 --> 00:00:29,740
Obliczymy pole takiego równoległoboku.

8
00:00:29,952 --> 00:00:31,346
Zatrzymaj teraz lekcję

9
00:00:31,346 --> 00:00:32,821
i przypomnij sobie wzór

10
00:00:32,821 --> 00:00:34,223
dzięki któremu obliczymy

11
00:00:34,223 --> 00:00:35,718
pole równoległoboku.

12
00:00:38,656 --> 00:00:40,869
Pole równoległoboku obliczymy mnożąc

13
00:00:40,869 --> 00:00:43,603
długość boku przez długość prostopadłej

14
00:00:43,603 --> 00:00:45,310
do niego wysokości.

15
00:00:45,824 --> 00:00:48,385
Zwróć uwagę, że na tym rysunku podane są

16
00:00:48,385 --> 00:00:50,190
długości dwóch boków.

17
00:00:50,688 --> 00:00:53,100
No to, z której długości należy skorzystać

18
00:00:53,100 --> 00:00:55,296
aby obliczyć pole tego równoległoboku?

19
00:00:55,808 --> 00:00:57,100
Jeszcze raz powtórzę

20
00:00:57,100 --> 00:00:59,630
że litera a oznacza długość boku

21
00:00:59,630 --> 00:01:01,303
do którego prostopadła jest

22
00:01:01,303 --> 00:01:02,976
wysokość o długości h.

23
00:01:03,232 --> 00:01:06,379
Wiemy już, że ten odcinek jest wysokością.

24
00:01:06,379 --> 00:01:08,626
Wysokość tego równoległoboku wynosi

25
00:01:08,626 --> 00:01:10,056
4 centymetry.

26
00:01:10,912 --> 00:01:13,388
Ta wysokość z kolei jest prostopadła

27
00:01:13,388 --> 00:01:15,520
do tego boku, a nie do tego boku.

28
00:01:16,288 --> 00:01:18,435
W miejsce litery a wstawimy zatem

29
00:01:18,435 --> 00:01:19,956
6 centymetrów.

30
00:01:21,664 --> 00:01:23,281
To jest długość boku

31
00:01:23,281 --> 00:01:24,969
do którego jest prostopadła

32
00:01:24,969 --> 00:01:26,124
nasza wysokość.

33
00:01:26,272 --> 00:01:28,576
Możemy zatem przejść do obliczeń.

34
00:01:29,088 --> 00:01:30,835
Mnożymy 6 centymetrów

35
00:01:30,835 --> 00:01:32,696
przez 4 centymetry.

36
00:01:33,440 --> 00:01:35,744
6 razy 4 to 24

37
00:01:36,000 --> 00:01:37,484
Pole tego równoległoboku

38
00:01:37,484 --> 00:01:39,970
to 24 centymetry kwadratowe.

39
00:01:43,168 --> 00:01:45,622
Tym razem naszym zadaniem jest obliczenie

40
00:01:45,622 --> 00:01:47,202
pola takiego rombu.

41
00:01:47,776 --> 00:01:49,306
Czy wiesz, z którego wzoru

42
00:01:49,306 --> 00:01:50,762
powinniśmy skorzystać?

43
00:01:50,848 --> 00:01:53,882
Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć.

44
00:01:57,248 --> 00:01:59,404
Zwróć uwagę, że znamy jedynie

45
00:01:59,404 --> 00:02:01,890
długości przekątnych tego rombu.

46
00:02:02,624 --> 00:02:04,401
Oznacza to, że będziemy musieli

47
00:02:04,401 --> 00:02:05,497
skorzystać ze wzoru

48
00:02:05,497 --> 00:02:07,055
który wykorzystuje długości

49
00:02:07,055 --> 00:02:08,400
tych przekątnych.

50
00:02:08,768 --> 00:02:11,364
Przekątną o długości 8 centymetrów

51
00:02:11,364 --> 00:02:13,120
oznaczmy małą literą e.

52
00:02:13,632 --> 00:02:16,162
Przekątną o długości 4 centymetrów

53
00:02:16,162 --> 00:02:17,984
oznaczmy małą literą f.

54
00:02:18,752 --> 00:02:20,242
Aby obliczyć pole rombu

55
00:02:20,242 --> 00:02:22,496
korzystając z długości przekątnych

56
00:02:22,496 --> 00:02:24,383
należy pomnożyć te długości

57
00:02:24,383 --> 00:02:26,200
i wynik podzielić przez 2.

58
00:02:26,432 --> 00:02:30,347
W miejsce litery e wstawimy 8 centymetrów

59
00:02:30,347 --> 00:02:32,072
a w miejsce litery f

60
00:02:32,072 --> 00:02:34,112
wstawimy 4 centymetry.

61
00:02:34,368 --> 00:02:35,652
Co otrzymamy?

62
00:02:35,904 --> 00:02:39,426
W liczniku 8 centymetrów razy 4 centymetry

63
00:02:39,426 --> 00:02:40,768
a w mianowniku 2.

64
00:02:41,792 --> 00:02:43,898
Zwróć uwagę, że liczby 2 oraz 4

65
00:02:43,898 --> 00:02:45,632
dzielą się przez 2.

66
00:02:45,632 --> 00:02:47,586
Mogę zatem skrócić te liczby.

67
00:02:47,612 --> 00:02:49,332
2 podzielić przez 2 to 1

68
00:02:49,612 --> 00:02:51,776
a 4 podzielić przez 2 to 2

69
00:02:52,544 --> 00:02:54,910
8 centymetrów razy 2 centymetry

70
00:02:54,910 --> 00:02:56,847
to 16 centymetrów kwadratowych

71
00:02:56,847 --> 00:02:58,548
a to podzielone przez 1 daje

72
00:02:58,548 --> 00:03:00,810
16 centymetrów kwadratowych.

73
00:03:01,760 --> 00:03:03,337
Pole tego rombu wynosi

74
00:03:03,337 --> 00:03:05,744
16 centymetrów kwadratowych.

75
00:03:09,696 --> 00:03:11,422
Spójrz na kolejne zadanie.

76
00:03:11,488 --> 00:03:13,702
Jeden z boków równoległoboku

77
00:03:13,702 --> 00:03:17,182
o polu równym 91 centymetrom kwadratowym

78
00:03:17,182 --> 00:03:19,498
ma długość 7 centymetrów.

79
00:03:19,936 --> 00:03:21,643
Jaką długość ma wysokość

80
00:03:21,643 --> 00:03:23,504
opuszczona na ten bok?

81
00:03:24,032 --> 00:03:25,453
Z treści zadania wiemy

82
00:03:25,453 --> 00:03:27,384
że pole tego równoległoboku

83
00:03:27,384 --> 00:03:29,578
to 91 centymetrów kwadratowych.

84
00:03:29,664 --> 00:03:32,780
Długość jednego z boków to 7 centymetrów.

85
00:03:33,504 --> 00:03:35,053
My chcemy się dowiedzieć

86
00:03:35,053 --> 00:03:36,689
jaką długość ma wysokość

87
00:03:36,689 --> 00:03:37,847
opuszczona na bok

88
00:03:37,847 --> 00:03:40,416
którego długość to 7 centymetrów.

89
00:03:40,928 --> 00:03:43,232
Spójrz teraz na rysunek pomocniczy.

90
00:03:43,744 --> 00:03:45,791
Znamy pole tego równoległoboku.

91
00:03:45,791 --> 00:03:48,632
Wynosi 91 centymetrów kwadratowych.

92
00:03:48,864 --> 00:03:50,856
Znamy długość jednego z boków.

93
00:03:50,912 --> 00:03:53,456
Długość tego boku to 7 centymetrów.

94
00:03:53,984 --> 00:03:55,423
My chcemy się dowiedzieć

95
00:03:55,423 --> 00:03:57,095
jaką długość ma wysokość

96
00:03:57,095 --> 00:03:58,628
opuszczona na ten bok.

97
00:03:58,778 --> 00:04:00,048
Pamiętaj, że wysokość

98
00:04:00,048 --> 00:04:02,110
to odcinek prostopadły do boku.

99
00:04:03,456 --> 00:04:06,016
Wysokość oznaczamy małą literą h.

100
00:04:06,222 --> 00:04:07,512
Chcemy się dowiedzieć

101
00:04:07,512 --> 00:04:08,832
jaka jest jej długość.

102
00:04:09,344 --> 00:04:10,798
Przypomnijmy sobie teraz

103
00:04:10,798 --> 00:04:12,928
jak oblicza się pole równoległoboku.

104
00:04:13,696 --> 00:04:15,581
Pole równoległoboku obliczamy

105
00:04:15,581 --> 00:04:17,816
mnożąc długość jednego z boków

106
00:04:17,816 --> 00:04:18,784
przez długość

107
00:04:18,784 --> 00:04:20,907
prostopadłej do niego wysokości.

108
00:04:21,375 --> 00:04:23,990
Wiemy, że pole tego równoległoboku

109
00:04:23,990 --> 00:04:26,695
to 91 centymetrów kwadratowych.

110
00:04:27,263 --> 00:04:29,977
Znamy również długość jednego z boków.

111
00:04:29,977 --> 00:04:32,011
Wynosi ona 7 centymetrów.

112
00:04:33,919 --> 00:04:36,479
Nie znamy jednak długości wysokości.

113
00:04:36,735 --> 00:04:38,723
Zastanów się teraz jaką długość

114
00:04:38,723 --> 00:04:41,281
należy pomnożyć przez 7 centymetrów

115
00:04:41,281 --> 00:04:44,415
aby otrzymać 91 centymetrów kwadratowych.

116
00:04:48,511 --> 00:04:51,071
7 razy 13 to 91

117
00:04:51,327 --> 00:04:52,964
Gdy pomnożymy 7 centymetrów

118
00:04:52,964 --> 00:04:55,324
przez 13 centymetrów to otrzymamy

119
00:04:55,324 --> 00:04:57,761
91 centymetrów kwadratowych.

120
00:04:59,775 --> 00:05:02,316
Wysokość prostopadła do boku o długości

121
00:05:02,316 --> 00:05:05,407
7 centymetrów ma długość 13 centymetrów.

122
00:05:06,175 --> 00:05:09,503
Długość tej wysokości to 13 centymetrów.

123
00:05:15,647 --> 00:05:17,439
Przed nami kolejne zadanie.

124
00:05:17,951 --> 00:05:20,098
Długość jednej z przekątnych rombu

125
00:05:20,098 --> 00:05:22,047
wynosi 16 centymetrów.

126
00:05:22,559 --> 00:05:23,920
Druga przekątna

127
00:05:23,920 --> 00:05:25,887
jest o 4 centymetry krótsza.

128
00:05:26,399 --> 00:05:27,909
Oblicz pole rombu.

129
00:05:28,191 --> 00:05:29,720
Zastanówmy się najpierw

130
00:05:29,720 --> 00:05:31,479
jaki jest wzór na pole rombu

131
00:05:31,479 --> 00:05:34,213
który korzysta z długości przekątnych.

132
00:05:34,847 --> 00:05:36,700
Przyjmijmy, że litery e oraz f

133
00:05:36,700 --> 00:05:39,449
będą oznaczały długości przekątnych.

134
00:05:39,967 --> 00:05:41,196
Pole rombu obliczymy

135
00:05:41,196 --> 00:05:42,302
mnożąc te długości

136
00:05:42,302 --> 00:05:43,807
i dzieląc wynik przez 2.

137
00:05:44,831 --> 00:05:46,126
Z treści zadania wiemy

138
00:05:46,126 --> 00:05:48,700
że długość jednej z przekątnych rombu

139
00:05:48,700 --> 00:05:50,231
wynosi 16 centymetrów.

140
00:05:51,231 --> 00:05:52,529
Zapiszmy więc, że e

141
00:05:52,529 --> 00:05:54,939
równa się 16 centymetrów.

142
00:05:55,583 --> 00:05:57,322
Z treści zadania wiemy również

143
00:05:57,322 --> 00:05:58,517
że druga przekątna

144
00:05:58,517 --> 00:06:00,703
jest o 4 centymetry krótsza.

145
00:06:01,471 --> 00:06:03,263
Jaką zatem ma długość?

146
00:06:03,519 --> 00:06:05,090
16 odjąć 4 to 12

147
00:06:05,090 --> 00:06:07,249
czyli ma długość równą

148
00:06:07,249 --> 00:06:08,639
12 centymetrom.

149
00:06:08,895 --> 00:06:11,319
Czy możemy już obliczyć pole tego rombu?

150
00:06:11,455 --> 00:06:12,223
Możemy.

151
00:06:12,479 --> 00:06:14,527
Znamy długości obu przekątnych.

152
00:06:14,783 --> 00:06:17,246
W liczniku otrzymamy 16 centymetrów

153
00:06:17,246 --> 00:06:18,549
razy 12 centymetrów

154
00:06:18,549 --> 00:06:21,277
a w mianowniku przepisujemy liczbę 2.

155
00:06:22,975 --> 00:06:24,969
Skrócę teraz te dwie liczby

156
00:06:24,969 --> 00:06:27,071
ponieważ obie dzielą się przez 2.

157
00:06:27,583 --> 00:06:29,251
2 podzielić przez 2 to 1

158
00:06:29,251 --> 00:06:31,679
a 16 podzielić przez 2 to 8

159
00:06:32,703 --> 00:06:35,459
8 centymetrów razy 12 centymetrów

160
00:06:35,459 --> 00:06:38,117
to 96 centymetrów kwadratowych

161
00:06:38,117 --> 00:06:40,048
a to podzielić przez 1 równa się

162
00:06:40,048 --> 00:06:42,691
96 centymetrów kwadratowych.

163
00:06:44,991 --> 00:06:46,431
Tyle wynosi pole rombu

164
00:06:46,431 --> 00:06:48,846
którego długość jednej z przekątnych

165
00:06:48,846 --> 00:06:50,255
wynosi 16 centymetrów

166
00:06:50,255 --> 00:06:51,933
a długość drugiej przekątnej

167
00:06:51,933 --> 00:06:53,951
jest o 4 centymetry krótsza.

168
00:06:58,303 --> 00:07:00,561
To już ostatnie zadanie w tej lekcji.

169
00:07:01,119 --> 00:07:04,266
Pole rombu wynosi 32 centymetry kwadratowe

170
00:07:04,266 --> 00:07:06,047
a długość jednej z przekątnych

171
00:07:06,047 --> 00:07:08,031
wynosi 16 centymetrów.

172
00:07:08,543 --> 00:07:10,847
Jaką długość ma druga przekątna?

173
00:07:11,615 --> 00:07:12,932
Pole rombu obliczamy

174
00:07:12,932 --> 00:07:14,965
mnożąc długości dwóch przekątnych

175
00:07:14,965 --> 00:07:16,012
które do tej pory

176
00:07:16,012 --> 00:07:18,429
oznaczaliśmy literami e oraz f

177
00:07:18,475 --> 00:07:21,035
i dzieląc ten iloczyn przez 2.

178
00:07:21,343 --> 00:07:22,627
Z treści zadania wiemy

179
00:07:22,627 --> 00:07:24,098
że pole rombu wynosi

180
00:07:24,098 --> 00:07:25,863
32 centymetry kwadratowe

181
00:07:25,863 --> 00:07:27,677
a długość jednej z przekątnych

182
00:07:27,677 --> 00:07:29,509
wynosi 16 centymetrów.

183
00:07:30,047 --> 00:07:33,103
Skoro pole wynosi 32 centymetry kwadratowe

184
00:07:33,103 --> 00:07:34,891
to w miejsce wielkiej litery P

185
00:07:34,891 --> 00:07:36,020
które oznacza pole

186
00:07:36,020 --> 00:07:37,049
możemy wpisać

187
00:07:37,049 --> 00:07:38,751
32 centymetry kwadratowe.

188
00:07:40,031 --> 00:07:42,471
Obok narysuję jeszcze kreskę ułamkową

189
00:07:42,471 --> 00:07:44,713
i pod spodem przepiszę liczbę 2.

190
00:07:45,407 --> 00:07:47,941
Długość jednej z przekątnych podkreśliłem

191
00:07:47,941 --> 00:07:49,261
kolorem czerwonym.

192
00:07:49,503 --> 00:07:51,697
W miejsca litery e, która oznacza

193
00:07:51,697 --> 00:07:53,738
długość jednej z dwóch przekątnych

194
00:07:53,738 --> 00:07:55,711
możemy wpisać więc 16 centymetrów.

195
00:07:56,159 --> 00:07:57,554
Nie znamy zatem długości

196
00:07:57,554 --> 00:07:58,888
drugiej przekątnej

197
00:07:58,888 --> 00:08:01,223
która jest oznaczona małą literą f.

198
00:08:01,535 --> 00:08:03,156
Zastanówmy się teraz

199
00:08:03,156 --> 00:08:05,716
jaka liczba podzielona przez 2

200
00:08:05,716 --> 00:08:07,167
da nam liczbę 32.

201
00:08:07,423 --> 00:08:10,239
Tą liczbą jest liczba 64.

202
00:08:10,495 --> 00:08:13,567
64 podzielić przez 2 to 32

203
00:08:14,591 --> 00:08:16,670
Jeśli 16 centymetrów pomnożymy

204
00:08:16,670 --> 00:08:18,067
przez 4 centymetry

205
00:08:18,067 --> 00:08:18,998
to otrzymamy

206
00:08:18,998 --> 00:08:21,503
64 centymetry kwadratowe.

207
00:08:22,271 --> 00:08:24,280
Aby wszystkie zapisy były poprawne

208
00:08:24,280 --> 00:08:26,677
należy jeszcze narysować kreskę ułamkową

209
00:08:26,677 --> 00:08:28,765
i w mianowniku zapisać liczbę 2.

210
00:08:29,183 --> 00:08:31,605
16 centymetrów razy 4 centymetry

211
00:08:31,605 --> 00:08:33,724
to 64 centymetry kwadratowe

212
00:08:33,724 --> 00:08:35,640
i to podzielić przez 2

213
00:08:35,640 --> 00:08:37,887
da nam 32 centymetry kwadratowe.

214
00:08:38,655 --> 00:08:40,292
Widzisz zatem, że długość

215
00:08:40,292 --> 00:08:42,495
drugiej przekątnej to 4 centymetry.

216
00:08:42,751 --> 00:08:43,769
Zapiszmy to.

217
00:08:44,031 --> 00:08:45,823
f równa się 4 centymetry.

218
00:08:47,103 --> 00:08:49,163
Długość drugiej przekątnej

219
00:08:49,163 --> 00:08:50,641
to 4 centymetry.

220
00:08:56,575 --> 00:08:58,488
Pole równoległoboku obliczysz

221
00:08:58,488 --> 00:09:01,224
mnożąc długość podstawy przez długość

222
00:09:01,224 --> 00:09:03,649
wysokości opuszczonej na tę podstawę.

223
00:09:03,999 --> 00:09:05,546
Pole rombu możesz obliczyć

224
00:09:05,546 --> 00:09:06,824
korzystając ze wzoru

225
00:09:06,824 --> 00:09:08,230
na pole równoległoboku

226
00:09:08,230 --> 00:09:10,010
lub ze wzoru na pole rombu

227
00:09:10,010 --> 00:09:12,191
wykorzystującego długości przekątnych.

228
00:09:12,447 --> 00:09:14,489
Wybór wzoru zależy od tego

229
00:09:14,489 --> 00:09:16,129
jakie masz dane.

230
00:09:18,847 --> 00:09:20,438
Zapraszam Cię do obejrzenia

231
00:09:20,438 --> 00:09:22,344
pozostałych lekcji o polach figur

232
00:09:22,344 --> 00:09:24,705
oraz do zasubskrybowania naszego kanału.

233
00:09:24,705 --> 00:09:26,523
Wszystkie playlisty znajdziesz

234
00:09:26,523 --> 00:09:29,133
na naszej stronie internetowej pi-stacja.tv.