1
00:00:00,721 --> 00:00:02,171
Wyobraź sobie, że Słońce

2
00:00:02,271 --> 00:00:04,550
jest wielkości piłki do koszykówki.

3
00:00:04,796 --> 00:00:06,745
Jak myślisz, jak duża w takiej skali

4
00:00:06,845 --> 00:00:09,178
byłaby Ziemia i gdzie by się znajdowała?

5
00:00:09,738 --> 00:00:11,288
Miałaby ona wielkość zaledwie

6
00:00:11,388 --> 00:00:13,874
główki od szpilki i znajdowałaby się

7
00:00:13,974 --> 00:00:16,284
aż dwadzieścia osiem metrów od Słońca,

8
00:00:16,384 --> 00:00:18,432
czyli naszej piłki od koszykówki.

9
00:00:30,803 --> 00:00:32,560
Na świecie jest około pięciu

10
00:00:32,660 --> 00:00:34,601
razy dziesięć do piętnastej mrówek

11
00:00:34,701 --> 00:00:36,608
i pół miliona słoni.

12
00:00:36,896 --> 00:00:38,185
Przeciętna mrówka waży

13
00:00:38,285 --> 00:00:39,743
około jednej setnej grama,

14
00:00:39,843 --> 00:00:40,925
a przeciętny słoń

15
00:00:41,025 --> 00:00:42,218
około czterech ton.

16
00:00:42,318 --> 00:00:43,893
Czy wszystkie mrówki na świecie

17
00:00:43,993 --> 00:00:45,673
ważą więcej niż wszystkie słonie?

18
00:00:46,043 --> 00:00:48,228
Jak widzisz, w tym zadaniu musimy

19
00:00:48,328 --> 00:00:50,777
sprawdzić, czy wszystkie mrówki świata

20
00:00:50,878 --> 00:00:54,224
ważą więcej niż wszystkie słonie na Ziemi.

21
00:00:54,324 --> 00:00:55,827
Co musimy wiedzieć?

22
00:00:55,927 --> 00:00:58,989
Ile jest tych zwierząt oraz odpowiednio ile ważą.

23
00:00:59,089 --> 00:01:00,762
Czy znamy te informacje?

24
00:01:01,330 --> 00:01:04,000
Zobacz, są one podane w treści zadania.

25
00:01:04,353 --> 00:01:05,792
Wypiszmy je więc.

26
00:01:05,903 --> 00:01:09,213
Zacznijmy od liczby mrówek. Sprawdzamy.

27
00:01:09,313 --> 00:01:11,424
Pięć razy dziesięć do piętnastej.

28
00:01:12,280 --> 00:01:16,288
A ile jest słoni? Słoni jest około pół miliona.

29
00:01:16,608 --> 00:01:18,128
Przy porównywaniu dużych liczb

30
00:01:18,228 --> 00:01:20,323
warto korzystać z notacji wykładniczej.

31
00:01:21,029 --> 00:01:23,712
Jak zapisać tę liczbę w tej notacji?

32
00:01:24,328 --> 00:01:26,784
Pierwszą niezerową cyfrą jest piątka.

33
00:01:27,160 --> 00:01:29,478
Za piątką jest pięć kolejnych cyfr,

34
00:01:29,578 --> 00:01:31,718
czyli podnosimy dziesięć do potęgi piątej.

35
00:01:31,956 --> 00:01:34,051
Jeżeli nie pamiętasz, o co w ogóle chodziło

36
00:01:34,151 --> 00:01:36,123
w notacji wykładniczej, zachęcam cię najpierw

37
00:01:36,223 --> 00:01:37,927
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

38
00:01:38,134 --> 00:01:39,431
Oprócz liczby zwierząt

39
00:01:39,531 --> 00:01:41,188
mamy też podane ich masy.

40
00:01:41,288 --> 00:01:42,539
Ile waży mrówka?

41
00:01:42,639 --> 00:01:44,288
Znajdźmy to w treści zadania.

42
00:01:45,631 --> 00:01:47,264
To jedna setna grama.

43
00:01:47,588 --> 00:01:49,223
Czy tę masę można zapisać

44
00:01:49,323 --> 00:01:50,834
w notacji wykładniczej?

45
00:01:52,323 --> 00:01:54,126
Tak. Dla małych liczb

46
00:01:54,226 --> 00:01:55,707
mniejszych od jedności

47
00:01:55,937 --> 00:01:59,040
dziesiątkę podnosimy do potęgi ujemnej.

48
00:01:59,145 --> 00:02:01,516
Pierwszą niezerową cyfrą jest jeden,

49
00:02:01,616 --> 00:02:03,842
czyli aby przecinek znalazł się za jedynką,

50
00:02:03,942 --> 00:02:06,251
musimy go przesunąć o dwa miejsca w prawo.

51
00:02:06,942 --> 00:02:08,584
Jeśli nie pamiętasz, jak się tworzy

52
00:02:08,684 --> 00:02:10,541
potęgi o wykładniku ujemnym,

53
00:02:10,725 --> 00:02:11,838
również zachęcam cię

54
00:02:11,938 --> 00:02:13,971
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

55
00:02:14,155 --> 00:02:16,704
Musimy jeszcze znać masę jednego słonia.

56
00:02:16,804 --> 00:02:19,520
Z treści odczytujemy, że to cztery tony.

57
00:02:19,620 --> 00:02:21,607
No dobra, ale masa mrówki jest w gramach,

58
00:02:21,707 --> 00:02:23,257
a masa słonia w tonach.

59
00:02:23,357 --> 00:02:24,853
Żeby porównać te dwie wartości

60
00:02:24,953 --> 00:02:27,139
musimy je sprowadzić do wspólnej jednostki.

61
00:02:27,239 --> 00:02:28,321
Co będzie łatwiejsze?

62
00:02:28,421 --> 00:02:31,675
Zamiana gramów na tony, czy tony na gramy?

63
00:02:32,496 --> 00:02:34,614
Łatwiej będzie zamienić tony na gramy.

64
00:02:34,714 --> 00:02:36,118
Spróbujmy to zrobić razem.

65
00:02:36,218 --> 00:02:37,760
Tona to tysiąc kilogramów,

66
00:02:37,952 --> 00:02:39,689
więc cztery tony to cztery

67
00:02:39,789 --> 00:02:42,187
razy dziesięć do trzeciej kilogramów.

68
00:02:42,664 --> 00:02:44,646
Jeden kilogram to z kolei tysiąc gramów,

69
00:02:44,746 --> 00:02:46,113
czyli dziesięć do trzeciej.

70
00:02:46,378 --> 00:02:48,082
Ostatecznie cztery tony

71
00:02:48,182 --> 00:02:50,177
to cztery razy dziesięć do trzeciej

72
00:02:50,277 --> 00:02:52,141
razy dziesięć do trzeciej gramów,

73
00:02:52,349 --> 00:02:55,104
czyli cztery razy dziesięć do szóstej gramów.

74
00:02:55,204 --> 00:02:56,896
Tyle waży jeden słoń.

75
00:02:57,229 --> 00:02:58,749
Spróbujemy teraz policzyć,

76
00:02:58,849 --> 00:03:00,997
ile ważą wszystkie mrówki na świecie.

77
00:03:01,365 --> 00:03:02,693
Aby to wyznaczyć,

78
00:03:02,793 --> 00:03:04,898
należy pomnożyć liczbę mrówek

79
00:03:04,998 --> 00:03:06,744
przez masę jednej mrówki.

80
00:03:06,845 --> 00:03:09,024
Pięć razy dziesięć do piętnastej

81
00:03:09,124 --> 00:03:10,124
razy jeden

82
00:03:10,224 --> 00:03:12,193
razy dziesięć do minus drugiej gramów.

83
00:03:12,454 --> 00:03:13,516
Dziesięć do piętnastej

84
00:03:13,616 --> 00:03:15,103
razy dziesięć do minus drugiej

85
00:03:15,203 --> 00:03:16,652
to dziesięć do trzynastej,

86
00:03:16,752 --> 00:03:19,123
a pięć razy jeden to oczywiście pięć.

87
00:03:19,438 --> 00:03:20,919
Wszystkie mrówki na Ziemi

88
00:03:21,019 --> 00:03:23,505
ważą pięć razy dziesięć do trzynastej gramów.

89
00:03:23,842 --> 00:03:25,139
Zatrzymaj teraz film

90
00:03:25,239 --> 00:03:26,835
i spróbuj samodzielnie powiedzieć,

91
00:03:26,935 --> 00:03:28,861
ile ważą wszystkie słonie na Ziemi.

92
00:03:28,984 --> 00:03:30,549
Następnie włącz film ponownie

93
00:03:30,649 --> 00:03:32,499
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

94
00:03:36,190 --> 00:03:38,093
Należy pomnożyć ich liczbę

95
00:03:38,193 --> 00:03:40,065
przez masę jednego słonia,

96
00:03:40,364 --> 00:03:42,713
czyli pięć razy dziesięć do piątej

97
00:03:42,813 --> 00:03:45,391
razy cztery razy dziesięć do szóstej gramów.

98
00:03:46,005 --> 00:03:48,967
Pięć razy cztery to dwadzieścia.

99
00:03:49,274 --> 00:03:51,860
Dziesięć do piątej razy dziesięć do szóstej

100
00:03:51,960 --> 00:03:53,671
to dziesięć do jedenastej.

101
00:03:53,832 --> 00:03:56,800
Czy wynik jest zapisany w notacji wykładniczej?

102
00:03:56,994 --> 00:03:59,043
Nie, ponieważ przecinek powinien

103
00:03:59,143 --> 00:04:00,171
być tuż po dwójce.

104
00:04:00,271 --> 00:04:01,637
Trzeba to naprawić.

105
00:04:02,373 --> 00:04:04,583
Dwadzieścia razy dziesięć do jedenastej

106
00:04:04,683 --> 00:04:08,064
to dwa razy dziesięć do dwunastej gramów.

107
00:04:08,164 --> 00:04:10,368
Oto masa wszystkich słoni.

108
00:04:10,569 --> 00:04:12,526
Które zwierzęta ważą więcej?

109
00:04:12,626 --> 00:04:15,726
Wszystkie mrówki czy wszystkie słonie?

110
00:04:16,854 --> 00:04:19,164
Sprawdźmy wykładniki dziesiątki.

111
00:04:19,264 --> 00:04:21,631
Tutaj mamy dziesięć do trzynastej,

112
00:04:21,731 --> 00:04:23,935
a tutaj dziesięć do dwunastej.

113
00:04:24,720 --> 00:04:27,007
Ta liczba jest większa.

114
00:04:27,444 --> 00:04:30,299
W takim razie wszystkie mrówki na Ziemi

115
00:04:30,399 --> 00:04:32,670
ważą więcej niż wszystkie słonie.

116
00:04:32,954 --> 00:04:35,601
Dzięki temu, że obie wielkości były zapisane

117
00:04:35,701 --> 00:04:36,952
w notacji wykładniczej,

118
00:04:37,052 --> 00:04:38,901
to mogliśmy je łatwo porównać.

119
00:04:39,193 --> 00:04:41,035
Zadajmy jeszcze jedno pytanie:

120
00:04:41,135 --> 00:04:42,731
ile razy więcej ważą

121
00:04:42,831 --> 00:04:44,672
wszystkie mrówki od wszystkich słoni?

122
00:04:46,506 --> 00:04:47,726
Jak to policzyć?

123
00:04:47,826 --> 00:04:50,719
Należy podzielić masę wszystkich mrówek

124
00:04:50,819 --> 00:04:52,983
przez masę wszystkich słoni.

125
00:04:53,835 --> 00:04:55,370
Na początku zauważamy,

126
00:04:55,470 --> 00:04:57,112
że skraca nam się jednostka.

127
00:04:57,603 --> 00:05:00,419
Pięć przez dwa to pięć drugich,

128
00:05:00,519 --> 00:05:01,892
a dziesięć do trzynastej

129
00:05:01,992 --> 00:05:03,381
przez dziesięć do dwunastej

130
00:05:03,481 --> 00:05:05,151
zapisaliśmy w ten sposób.

131
00:05:05,714 --> 00:05:07,760
Pięć przez dwa to dwa i pół,

132
00:05:07,860 --> 00:05:09,398
natomiast przy dzieleniu potęg

133
00:05:09,498 --> 00:05:10,710
o tych samych podstawach

134
00:05:10,810 --> 00:05:12,352
odejmujemy wykładniki.

135
00:05:12,651 --> 00:05:14,823
Otrzymujemy, że to dwa i pół

136
00:05:14,923 --> 00:05:16,381
razy dziesięć do pierwszej,

137
00:05:16,481 --> 00:05:18,184
czyli dwa i pół razy dziesięć,

138
00:05:18,284 --> 00:05:19,742
czyli dwadzieścia pięć.

139
00:05:20,110 --> 00:05:21,737
Wszystkie mrówki na Ziemi

140
00:05:21,837 --> 00:05:23,402
ważą dwadzieścia pięć razy

141
00:05:23,502 --> 00:05:25,436
więcej od wszystkich słoni.

142
00:05:30,601 --> 00:05:32,543
A teraz kolejne zadanie.

143
00:05:33,003 --> 00:05:34,297
Największa znana gwiazda

144
00:05:34,397 --> 00:05:35,397
we Wszechświecie,

145
00:05:35,497 --> 00:05:38,121
UY Scuti, ma średnicę równą

146
00:05:38,221 --> 00:05:39,940
około dwa i cztery dziesiąte

147
00:05:40,040 --> 00:05:42,171
razy dziesięć do dziewiątej kilometrów.

148
00:05:42,933 --> 00:05:44,291
Średnica Słońca

149
00:05:44,391 --> 00:05:45,767
to w przybliżeniu milion

150
00:05:45,867 --> 00:05:48,670
trzysta dziewięćdziesiąt dwa tysiące kilometrów.

151
00:05:48,771 --> 00:05:50,990
Ile razy średnica UY Scuti

152
00:05:51,090 --> 00:05:52,916
jest większa od średnicy Słońca?

153
00:05:53,223 --> 00:05:54,751
Na samym początku musimy znać

154
00:05:54,851 --> 00:05:56,707
średnice tych dwóch gwiazd.

155
00:05:56,807 --> 00:06:00,506
Średnica UY Scuti jest podana w treści zadania.

156
00:06:00,675 --> 00:06:02,110
Zauważ, że jest ona od razu

157
00:06:02,210 --> 00:06:03,921
podana w notacji wykładniczej.

158
00:06:04,366 --> 00:06:06,335
A średnica Słońca?

159
00:06:06,837 --> 00:06:09,093
Również jest podana w treści zadania,

160
00:06:09,193 --> 00:06:11,495
ale jest zapisana zwykłej notacji.

161
00:06:12,247 --> 00:06:14,419
Aby uprościć późniejsze obliczenia,

162
00:06:14,519 --> 00:06:16,928
zapisz tę liczbę w notacji wykładniczej.

163
00:06:20,274 --> 00:06:22,277
Średnica Słońca to jeden

164
00:06:22,377 --> 00:06:24,249
i trzysta dziewięćdziesiąt dwie tysięczne

165
00:06:24,349 --> 00:06:26,260
razy dziesięć do szóstej kilometrów.

166
00:06:26,360 --> 00:06:28,184
Jak teraz policzyć, ile razy średnica

167
00:06:28,284 --> 00:06:30,058
największej gwiazdy we Wszechświecie

168
00:06:30,159 --> 00:06:32,072
jest większa od średnicy Słońca?

169
00:06:36,742 --> 00:06:38,500
Podstawiamy w odpowiednie miejsce

170
00:06:38,600 --> 00:06:40,833
liczby zapisane w notacji wykładniczej.

171
00:06:41,477 --> 00:06:43,402
Dwa i cztery dziesiąte przez jeden

172
00:06:43,502 --> 00:06:45,766
i trzysta dziewięćdziesiąt dwie tysięczne

173
00:06:45,867 --> 00:06:47,524
to w przybliżeniu jeden

174
00:06:47,624 --> 00:06:49,957
i siedemset dwadzieścia cztery tysięczne.

175
00:06:50,057 --> 00:06:51,553
Natomiast dziesięć do dziewiątej

176
00:06:51,653 --> 00:06:52,819
przez dziesięć do szóstej

177
00:06:52,919 --> 00:06:54,178
to dziesięć do trzeciej.

178
00:06:54,278 --> 00:06:56,196
Otrzymaliśmy, że średnica największej

179
00:06:56,296 --> 00:06:57,685
gwiazdy we Wszechświecie

180
00:06:57,785 --> 00:06:59,618
jest ponad tysiąc siedemset razy

181
00:06:59,718 --> 00:07:01,683
większa od średnicy Słońca.

182
00:07:06,103 --> 00:07:08,031
A teraz zastanówmy się.

183
00:07:08,259 --> 00:07:11,252
Mamy podaną powierzchnię Ameryki Północnej

184
00:07:11,352 --> 00:07:13,539
i powierzchnię Ameryki Południowej.

185
00:07:14,675 --> 00:07:16,731
Czy powierzchnia Azji jest większa

186
00:07:16,831 --> 00:07:18,358
od powierzchni obu Ameryk?

187
00:07:19,264 --> 00:07:21,855
O ile jest większa lub mniejsza?

188
00:07:22,349 --> 00:07:24,530
Zobacz: znowu będziemy porównywać

189
00:07:24,630 --> 00:07:26,000
bardzo duże liczby,

190
00:07:26,101 --> 00:07:28,027
w tym przypadku powierzchnie kontynentów.

191
00:07:28,127 --> 00:07:29,547
Co będziemy porównywać?

192
00:07:30,468 --> 00:07:32,351
Powierzchnię Azji

193
00:07:32,451 --> 00:07:35,167
i sumaryczną powierzchnię obu Ameryk.

194
00:07:35,267 --> 00:07:36,630
Spróbuj samodzielnie wypisać

195
00:07:36,730 --> 00:07:38,195
te powierzchnie z treści zadania.

196
00:07:42,186 --> 00:07:44,639
Oto powierzchnia Ameryki Północnej,

197
00:07:44,987 --> 00:07:47,455
to powierzchnia Ameryki Południowej,

198
00:07:47,555 --> 00:07:49,123
a to powierzchnia Azji.

199
00:07:49,223 --> 00:07:50,642
Jak mówiliśmy wcześniej,

200
00:07:50,742 --> 00:07:52,576
przy porównywaniu bardzo dużych liczb

201
00:07:52,676 --> 00:07:54,587
pomocna jest notacja wykładnicza.

202
00:07:54,687 --> 00:07:56,544
Po raz kolejny samodzielnie zapisz

203
00:07:56,644 --> 00:07:58,501
te liczby w notacji wykładniczej.

204
00:08:02,000 --> 00:08:04,325
Tutaj musieliśmy przesunąć przecinek

205
00:08:04,425 --> 00:08:06,098
o cztery miejsca w lewo,

206
00:08:06,198 --> 00:08:08,438
czyli mnożymy razy dziesięć do czwartej.

207
00:08:08,761 --> 00:08:10,948
Dziesięć do czwartej razy dziesięć do trzeciej

208
00:08:11,048 --> 00:08:12,260
to dziesięć do siódmej.

209
00:08:13,188 --> 00:08:15,445
Tutaj wystarczyło przesunąć przecinek

210
00:08:15,545 --> 00:08:16,803
o jedno miejsce w lewo,

211
00:08:16,903 --> 00:08:18,744
czyli razy dziesięć do pierwszej.

212
00:08:19,366 --> 00:08:20,914
Powierzchnia Ameryki Południowej to

213
00:08:21,014 --> 00:08:22,645
jeden i siedemset osiemdziesiąt cztery

214
00:08:22,745 --> 00:08:24,737
tysięczne razy dziesięć do siódmej kilometrów.

215
00:08:25,474 --> 00:08:27,147
Natomiast powierzchnia Azji

216
00:08:27,247 --> 00:08:28,905
zapisana w notacji wykładniczej

217
00:08:29,005 --> 00:08:30,524
wygląda następująco.

218
00:08:31,698 --> 00:08:32,995
Czy to koniec zadania?

219
00:08:33,095 --> 00:08:34,323
Możemy porównywać?

220
00:08:35,251 --> 00:08:37,354
Nie. Pamiętaj, że mamy porównać

221
00:08:37,454 --> 00:08:39,142
powierzchnię obu Ameryk.

222
00:08:39,387 --> 00:08:41,983
Trzeba zsumować te dwie liczby.

223
00:08:42,465 --> 00:08:43,907
Pytanie tylko, jak dodaje się

224
00:08:44,007 --> 00:08:45,734
liczby w notacji wykładniczej.

225
00:08:46,562 --> 00:08:48,383
Ale zauważ jedną rzecz.

226
00:08:48,483 --> 00:08:51,343
Zarówno ta liczba jak i ta

227
00:08:51,443 --> 00:08:53,293
zawiera w sobie dziesięć do siódmej.

228
00:08:53,393 --> 00:08:55,948
Ten czynnik możemy wyłączyć przed nawias.

229
00:08:56,377 --> 00:08:58,165
W ten sposób będziemy mogli

230
00:08:58,265 --> 00:08:59,654
zsumować te dwie liczby.

231
00:09:00,989 --> 00:09:02,916
Dodajemy liczby w nawiasie

232
00:09:03,016 --> 00:09:05,724
i otrzymujemy powierzchnię obu Ameryk.

233
00:09:06,691 --> 00:09:09,692
Co jest większe: Azja czy obie Ameryki?

234
00:09:10,613 --> 00:09:12,299
Obie te liczby mają taki sam

235
00:09:12,399 --> 00:09:13,726
wykładnik w dziesiątce,

236
00:09:13,827 --> 00:09:16,990
więc należy porównać liczbę przed dziesiątką.

237
00:09:19,131 --> 00:09:22,687
Ta liczba jest większa od tej liczby.

238
00:09:22,891 --> 00:09:24,733
W takim razie powierzchnia Azji

239
00:09:24,833 --> 00:09:27,227
jest większa od powierzchni obu Ameryk.

240
00:09:27,434 --> 00:09:29,343
O ile jest większa?

241
00:09:29,913 --> 00:09:31,391
Jak to policzyć?

242
00:09:31,655 --> 00:09:33,627
Pamiętaj, że tym razem jest pytanie,

243
00:09:33,727 --> 00:09:36,643
o ile jest większa, a nie ile razy.

244
00:09:37,049 --> 00:09:38,730
Tym razem nie będziemy dzielić

245
00:09:38,830 --> 00:09:39,641
powierzchni Azji

246
00:09:39,741 --> 00:09:41,261
przez powierzchnię obu Ameryk,

247
00:09:41,362 --> 00:09:43,181
tylko będziemy odejmować.

248
00:09:43,426 --> 00:09:45,727
Spróbuj to policzyć samodzielnie.

249
00:09:46,204 --> 00:09:48,698
Podpowiem, że znowu trzeba skorzystać

250
00:09:48,798 --> 00:09:51,338
z wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias.

251
00:09:54,592 --> 00:09:56,411
Po raz kolejny wspólnym czynnikiem

252
00:09:56,511 --> 00:09:57,738
jest dziesięć do siódmej.

253
00:09:58,928 --> 00:10:00,401
Wyłączamy przed nawias

254
00:10:00,501 --> 00:10:02,542
i dokonujemy obliczeń w nawiasie.

255
00:10:02,642 --> 00:10:05,695
Ostateczny wynik znajduje się tutaj.

256
00:10:06,379 --> 00:10:07,983
Azja jest większa

257
00:10:08,083 --> 00:10:10,531
o około dwa miliony kilometrów kwadratowych

258
00:10:10,631 --> 00:10:12,969
od Ameryki Północnej i Południowej

259
00:10:13,069 --> 00:10:14,142
razem wziętych.

260
00:10:20,254 --> 00:10:22,847
Na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej

261
00:10:22,947 --> 00:10:25,495
można wykonywać działania mnożenia,

262
00:10:25,648 --> 00:10:28,795
dzielenia oraz dodawania i odejmowania.

263
00:10:32,939 --> 00:10:34,727
Zobaczyłeś kolejny film z playlisty

264
00:10:34,827 --> 00:10:36,522
o notacji wykładniczej.

265
00:10:36,622 --> 00:10:38,564
Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów

266
00:10:38,664 --> 00:10:40,559
z tej playlisty, a także do polubienia

267
00:10:40,659 --> 00:10:42,101
naszego fanpage'a na Facebooku,

268
00:10:42,201 --> 00:10:44,095
Pi-stacja Matematyka.