1
00:00:00,325 --> 00:00:02,739
Czasami, gdy obliczasz na kalkulatorze

2
00:00:02,839 --> 00:00:04,236
bardzo duże liczby,

3
00:00:04,336 --> 00:00:06,912
wyświetla się duża litera e.

4
00:00:07,034 --> 00:00:08,993
Wbrew pozorom nie oznacza ona błędu,

5
00:00:09,093 --> 00:00:10,873
czyli po angielsku error,

6
00:00:10,973 --> 00:00:13,568
ale jest symbolem notacji wykładniczej.

7
00:00:13,859 --> 00:00:15,637
e to inaczej dziesięć

8
00:00:15,737 --> 00:00:17,676
podniesione do pewnej potęgi.

9
00:00:29,800 --> 00:00:32,250
Przypomnijmy sobie, jak wykonywaliśmy

10
00:00:32,350 --> 00:00:33,783
niektóre działania na potęgach

11
00:00:33,883 --> 00:00:35,518
o wykładnikach naturalnych.

12
00:00:35,648 --> 00:00:37,355
Na samym początku mnożenie

13
00:00:37,455 --> 00:00:39,632
potęg o takich samych podstawach.

14
00:00:39,776 --> 00:00:41,916
Jak pamiętasz, ta liczba,

15
00:00:42,016 --> 00:00:43,232
w tym przypadku dwójka,

16
00:00:43,332 --> 00:00:45,090
jest podstawą potęgi.

17
00:00:45,190 --> 00:00:46,551
Natomiast te liczby

18
00:00:46,840 --> 00:00:48,141
są wykładnikami.

19
00:00:48,241 --> 00:00:49,999
Jak wykonać to mnożenie?

20
00:00:50,346 --> 00:00:51,459
Jeżeli mnożymy potęgi

21
00:00:51,559 --> 00:00:52,948
o takich samych podstawach

22
00:00:53,049 --> 00:00:54,308
ale różnych wykładnikach,

23
00:00:54,416 --> 00:00:55,942
to wynikiem będzie potęga

24
00:00:56,042 --> 00:00:57,547
o takiej samej podstawie,

25
00:00:57,647 --> 00:00:59,752
której wykładnik będzie sumą

26
00:00:59,852 --> 00:01:00,988
tych dwóch wykładników,

27
00:01:01,088 --> 00:01:02,990
czyli otrzymujemy dwa do potęgi

28
00:01:03,090 --> 00:01:04,342
trzy dodać dwa.

29
00:01:04,718 --> 00:01:07,401
To oczywiście daje dwa do potęgi piątej.

30
00:01:07,501 --> 00:01:08,702
Ile to wynosi?

31
00:01:09,851 --> 00:01:12,519
Dwa do piątej to oczywiście trzydzieści dwa.

32
00:01:12,627 --> 00:01:14,717
Sprawdzimy teraz, czy podobnie jest

33
00:01:14,817 --> 00:01:16,936
w przypadku potęg o wykładnikach ujemnych.

34
00:01:17,168 --> 00:01:18,997
Mamy obliczyć wartość wyrażenia

35
00:01:19,097 --> 00:01:20,320
dwa do minus trzeciej

36
00:01:20,420 --> 00:01:22,069
razy dwa do minus drugiej.

37
00:01:22,467 --> 00:01:24,759
Zauważ, że mnożymy dwie potęgi

38
00:01:24,859 --> 00:01:26,414
o takich samych podstawach,

39
00:01:26,514 --> 00:01:28,320
ale o różnych wykładnikach.

40
00:01:29,176 --> 00:01:30,419
Na razie policzymy wartość

41
00:01:30,519 --> 00:01:31,807
tego wyrażenia wprost,

42
00:01:31,907 --> 00:01:33,731
krok po kroku, korzystając z definicji

43
00:01:33,831 --> 00:01:35,495
potęgi o wykładniku ujemnym.

44
00:01:35,639 --> 00:01:38,090
Jeżeli nie pamiętasz albo jej nie znasz,

45
00:01:38,190 --> 00:01:39,190
zachęcam cię najpierw

46
00:01:39,290 --> 00:01:41,126
do zobaczenia odpowiedniego filmu.

47
00:01:41,226 --> 00:01:42,226
Jak inaczej zapisać

48
00:01:42,326 --> 00:01:43,936
dwa do potęgi minus trzeciej?

49
00:01:44,647 --> 00:01:46,093
Zgodnie z definicją

50
00:01:46,193 --> 00:01:47,835
dwa do potęgi minus trzeciej

51
00:01:47,935 --> 00:01:49,904
to inaczej jeden przez dwa

52
00:01:50,004 --> 00:01:51,437
do potęgi trzeciej.

53
00:01:51,537 --> 00:01:52,708
Mnożymy tę liczbę przez

54
00:01:52,808 --> 00:01:54,855
dwa do potęgi minus drugiej,

55
00:01:55,397 --> 00:01:57,712
czyli przez jeden przez dwa

56
00:01:57,812 --> 00:01:59,056
do potęgi drugiej.

57
00:02:00,118 --> 00:02:02,193
Dwa do potęgi trzeciej to osiem,

58
00:02:02,293 --> 00:02:04,362
czyli jeden przez dwa do potęgi trzeciej

59
00:02:04,462 --> 00:02:05,462
to jedna ósma.

60
00:02:05,562 --> 00:02:07,421
Dwa do kwadratu to cztery.

61
00:02:07,521 --> 00:02:10,304
Mnożymy dalej przez jedną czwartą.

62
00:02:10,724 --> 00:02:12,878
Jedna ósma razy jedna czwarta

63
00:02:12,978 --> 00:02:16,192
to oczywiście jedna trzydziesta druga.

64
00:02:16,378 --> 00:02:17,625
No dobrze. Wyznaczyliśmy

65
00:02:17,725 --> 00:02:18,921
wartość tego wyrażenia.

66
00:02:19,022 --> 00:02:20,607
Zauważ pewną ciekawą rzecz -

67
00:02:20,707 --> 00:02:22,508
trzydzieści dwa to inaczej dwa

68
00:02:22,608 --> 00:02:23,872
do potęgi piątej,

69
00:02:23,976 --> 00:02:25,920
czyli jedna trzydziesta druga.

70
00:02:26,020 --> 00:02:29,504
To inaczej jeden przez dwa do potęgi piątej.

71
00:02:29,604 --> 00:02:31,307
A jak możemy zapisać tę liczbę

72
00:02:31,407 --> 00:02:32,691
z wykorzystaniem potęgi

73
00:02:32,791 --> 00:02:33,908
o wykładniku ujemnym?

74
00:02:34,979 --> 00:02:36,570
Jeden przez dwa do piątej

75
00:02:36,670 --> 00:02:39,664
to dwa do potęgi minus piątej.

76
00:02:39,764 --> 00:02:41,320
Zauważ, że gdybyśmy postąpili

77
00:02:41,420 --> 00:02:42,807
tak samo jak z potęgami

78
00:02:42,907 --> 00:02:44,174
o wykładniku dodatnim,

79
00:02:44,313 --> 00:02:46,400
czyli po prostu dodali wykładniki,

80
00:02:46,500 --> 00:02:48,470
uzyskalibyśmy taki sam wynik:

81
00:02:48,570 --> 00:02:49,983
dwa do minus piątej.

82
00:02:50,084 --> 00:02:52,265
Okazuje się, że wszystkie prawa działań

83
00:02:52,365 --> 00:02:54,325
dla potęg o wykładniku naturalnym

84
00:02:54,425 --> 00:02:55,923
są również prawdziwe

85
00:02:56,023 --> 00:02:58,166
dla potęg o wykładniku ujemnym.

86
00:02:58,266 --> 00:02:59,829
Należy tutaj jedynie pamiętać

87
00:02:59,929 --> 00:03:01,108
o odpowiednim dodawaniu

88
00:03:01,208 --> 00:03:02,938
bądź odejmowaniu liczb ujemnych.

89
00:03:03,040 --> 00:03:04,576
Zaraz to przećwiczymy.

90
00:03:09,189 --> 00:03:10,917
Przypomnijmy teraz znane ci

91
00:03:11,017 --> 00:03:12,529
prawa działań na potęgach.

92
00:03:13,050 --> 00:03:14,720
Mnożenie potęg o takich samych

93
00:03:14,820 --> 00:03:17,098
podstawach omawialiśmy przed chwilą.

94
00:03:17,409 --> 00:03:19,680
Wystarczy jedynie dodać wykładniki.

95
00:03:20,005 --> 00:03:21,530
W przypadku dzielenia potęg

96
00:03:21,630 --> 00:03:23,106
o takich samych podstawach,

97
00:03:23,206 --> 00:03:25,622
należy odjąć od siebie wykładniki.

98
00:03:26,526 --> 00:03:28,109
Przy podniesieniu potęgi

99
00:03:28,209 --> 00:03:29,410
do jakiejś potęgi,

100
00:03:29,510 --> 00:03:31,688
należy pomnożyć wykładnik

101
00:03:31,788 --> 00:03:32,788
przez daną potęgę,

102
00:03:32,888 --> 00:03:34,233
do której podnosimy liczbę.

103
00:03:34,333 --> 00:03:35,693
Możemy też mieć przypadek,

104
00:03:35,793 --> 00:03:37,291
kiedy mamy różne podstawy,

105
00:03:37,391 --> 00:03:39,264
ale takie same wykładniki.

106
00:03:39,799 --> 00:03:42,315
Wtedy odpowiednio albo mnożymy

107
00:03:42,415 --> 00:03:44,831
podstawy, kiedy mnożymy potęgi,

108
00:03:44,931 --> 00:03:47,824
albo je dzielimy, kiedy dzielimy potęgi.

109
00:03:48,583 --> 00:03:49,725
Mamy tutaj przykład

110
00:03:49,825 --> 00:03:51,309
analogiczny do poprzedniego.

111
00:03:51,518 --> 00:03:53,131
Zatrzymaj film i spróbuj

112
00:03:53,231 --> 00:03:54,620
go rozwiązać samodzielnie.

113
00:03:54,743 --> 00:03:56,268
Następnie włącz film ponownie

114
00:03:56,368 --> 00:03:58,256
i porównaj swoją odpowiedź z moją.

115
00:04:01,647 --> 00:04:02,955
Mnożymy dwie potęgi

116
00:04:03,055 --> 00:04:04,503
o takich samych podstawach

117
00:04:04,603 --> 00:04:06,144
ale różnych wykładnikach.

118
00:04:06,244 --> 00:04:08,161
Rozwiązaniem będzie potęga

119
00:04:08,261 --> 00:04:09,599
o takiej samej podstawie,

120
00:04:09,699 --> 00:04:10,894
w tym przypadku pięć,

121
00:04:10,994 --> 00:04:12,828
której wykładnik jest sumą

122
00:04:12,928 --> 00:04:14,464
tych dwóch wykładników.

123
00:04:14,819 --> 00:04:16,952
Pamiętaj, że jeden wykładnik jest ujemny,

124
00:04:17,052 --> 00:04:19,265
czyli musimy dodać liczbę ujemną.

125
00:04:19,453 --> 00:04:20,704
To inaczej pięć

126
00:04:20,804 --> 00:04:22,830
do potęgi pięć minus trzy,

127
00:04:22,930 --> 00:04:24,991
czyli pięć do potęgi drugiej,

128
00:04:25,091 --> 00:04:26,751
czyli dwadzieścia pięć.

129
00:04:27,799 --> 00:04:28,799
Świetnie!

130
00:04:28,899 --> 00:04:30,898
W kolejnym przykładzie dzielimy

131
00:04:30,998 --> 00:04:32,806
potęgi o takich samych podstawach.

132
00:04:33,168 --> 00:04:34,694
Również spróbuj to działanie

133
00:04:34,794 --> 00:04:35,885
wykonać samodzielnie.

134
00:04:38,915 --> 00:04:41,908
W tym przypadku musimy odjąć wykładniki,

135
00:04:42,008 --> 00:04:43,419
czyli otrzymujemy siedem

136
00:04:43,519 --> 00:04:44,930
do potęgi minus dwa

137
00:04:45,030 --> 00:04:47,077
ale odjąć minus trzy.

138
00:04:47,177 --> 00:04:48,177
To bardzo ważne,

139
00:04:48,277 --> 00:04:49,704
abyś tutaj się nie pomylił(a).

140
00:04:50,663 --> 00:04:52,196
To inaczej siedem do potęgi

141
00:04:52,296 --> 00:04:54,278
minus dwa dodać trzy.

142
00:04:54,531 --> 00:04:56,703
Minus i minus daje plus.

143
00:04:57,401 --> 00:04:59,050
Otrzymujemy ostatecznie siedem

144
00:04:59,150 --> 00:05:01,363
do potęgi pierwszej, czyli siedem.

145
00:05:01,463 --> 00:05:02,463
Super!

146
00:05:02,628 --> 00:05:05,407
A teraz korzystając ponownie ze ściągawki

147
00:05:05,507 --> 00:05:07,967
Spróbuj policzyć wartość tego wyrażenia.

148
00:05:11,557 --> 00:05:13,087
To inaczej dwa

149
00:05:13,187 --> 00:05:15,634
do potęgi dwa razy minus trzy,

150
00:05:15,764 --> 00:05:18,463
a dwa razy minus trzy to minus sześć.

151
00:05:19,336 --> 00:05:21,535
Ile to dwa do potęgi minus szóstej?

152
00:05:21,714 --> 00:05:24,095
To oczywiście jeden przez dwa do szóstej.

153
00:05:24,252 --> 00:05:26,655
No dobrze, a dwa do potęgi szóstej?

154
00:05:27,440 --> 00:05:28,959
To sześćdziesiąt cztery.

155
00:05:29,059 --> 00:05:31,329
Otrzymujemy, że wartość tego wyrażenia

156
00:05:31,429 --> 00:05:33,007
to jedna sześćdziesiąta czwarta.

157
00:05:33,107 --> 00:05:34,107
Okej.

158
00:05:34,207 --> 00:05:36,007
A ile to będzie dwa do minus drugiej

159
00:05:36,107 --> 00:05:37,445
razy trzy do minus drugiej?

160
00:05:37,814 --> 00:05:39,369
Zauważ, że teraz mamy różne

161
00:05:39,469 --> 00:05:41,530
podstawy ale te same wykładniki.

162
00:05:42,282 --> 00:05:43,620
Musimy w takim razie

163
00:05:43,720 --> 00:05:45,586
wymnożyć te dwie podstawy

164
00:05:45,817 --> 00:05:47,818
i podnieść je do tej samej potęgi,

165
00:05:47,963 --> 00:05:49,011
do jakiej każda z nich

166
00:05:49,111 --> 00:05:50,459
była podniesiona na początku,

167
00:05:50,559 --> 00:05:51,657
czyli do minus drugiej.

168
00:05:51,999 --> 00:05:53,806
Dwa razy trzy to oczywiście sześć.

169
00:05:53,906 --> 00:05:55,838
Otrzymujemy sześć do minus drugiej,

170
00:05:56,011 --> 00:05:58,399
czyli jeden przez sześć do kwadratu,

171
00:05:58,499 --> 00:06:00,447
czyli jedną trzydziestą szóstą.

172
00:06:00,905 --> 00:06:02,821
Spróbuj teraz analogicznie policzyć,

173
00:06:02,921 --> 00:06:04,882
ile to jest dziesięć do minus czwartej

174
00:06:04,982 --> 00:06:07,123
podzielić przez pięć do minus czwartej.

175
00:06:10,716 --> 00:06:12,581
Musimy podzielić podstawy.

176
00:06:12,682 --> 00:06:13,949
Dziesięć przez pięć

177
00:06:14,049 --> 00:06:15,807
do potęgi minus czwartej,

178
00:06:15,907 --> 00:06:17,649
czyli dwa do minus czwartej,

179
00:06:17,749 --> 00:06:20,165
czyli jeden przez dwa do czwartej,

180
00:06:20,265 --> 00:06:22,565
czyli jedna szesnasta.

181
00:06:26,867 --> 00:06:28,920
Teraz spróbujmy wyznaczyć wartość

182
00:06:29,020 --> 00:06:31,573
nieco bardziej zaawansowanego wyrażenia.

183
00:06:31,927 --> 00:06:34,183
Zauważ, że wszystkie potęgi

184
00:06:34,283 --> 00:06:36,656
mają taką samą podstawę, trójkę.

185
00:06:36,756 --> 00:06:39,404
Po pierwsze, trzy w liczniku

186
00:06:39,504 --> 00:06:41,687
zapiszę jako trzy do potęgi pierwszej.

187
00:06:41,787 --> 00:06:43,299
Od czego zaczniemy?

188
00:06:43,437 --> 00:06:45,779
Z kolejności wykonywania działań wynika,

189
00:06:45,879 --> 00:06:47,702
że od tego, co jest z nawiasach.

190
00:06:48,519 --> 00:06:51,647
W mianowniku w nawiasie mamy mnożenie.

191
00:06:51,747 --> 00:06:53,784
Trzy do drugiej razy trzy do czwartej

192
00:06:53,884 --> 00:06:55,055
to trzy do szóstej.

193
00:06:55,155 --> 00:06:57,023
Dodaję po prostu wykładniki.

194
00:06:57,123 --> 00:06:58,815
Wykonuję kolejne działania,

195
00:06:59,038 --> 00:07:01,119
teraz w liczniku w nawiasie.

196
00:07:01,518 --> 00:07:03,108
Wystarczy odjąć wykładniki,

197
00:07:03,208 --> 00:07:04,359
ponieważ mamy dzielenie,

198
00:07:04,459 --> 00:07:06,991
czyli trzy do potęgi minus dwa minus jeden,

199
00:07:07,091 --> 00:07:08,799
czyli trzy do minus trzeciej.

200
00:07:09,261 --> 00:07:11,249
W mianowniku również mamy dzielenie,

201
00:07:11,349 --> 00:07:13,244
czyli też trzeba odjąć wykładniki.

202
00:07:13,555 --> 00:07:15,948
Cztery odjąć sześć to minus dwa.

203
00:07:16,049 --> 00:07:18,527
Trzy do minus drugiej. Co teraz?

204
00:07:18,746 --> 00:07:21,343
Teraz pierwszeństwo ma potęgowanie.

205
00:07:21,565 --> 00:07:23,597
Trzy do potęgi minus trzeciej

206
00:07:23,697 --> 00:07:25,390
do potęgi minus pierwszej

207
00:07:25,490 --> 00:07:27,414
to trzy do trzeciej.

208
00:07:27,573 --> 00:07:29,178
Mnożymy po prostu minus trzy

209
00:07:29,278 --> 00:07:30,312
przez minus jeden.

210
00:07:30,413 --> 00:07:31,947
Wygląda już trochę lepiej.

211
00:07:32,590 --> 00:07:34,911
Spróbuj samodzielnie dokończyć rachunki.

212
00:07:38,244 --> 00:07:39,835
W liczniku mamy mnożenie,

213
00:07:39,935 --> 00:07:41,476
czyli sumujemy wykładniki.

214
00:07:41,635 --> 00:07:44,639
Minus sześć dodać trzy to minus trzy.

215
00:07:44,859 --> 00:07:46,175
Teraz dzielimy.

216
00:07:47,447 --> 00:07:49,204
Pamiętaj, że w dzieleniu mamy

217
00:07:49,304 --> 00:07:50,904
wykładniki ujemne, czyli mamy

218
00:07:51,004 --> 00:07:53,722
minus trzy odjąć minus dwa,

219
00:07:53,822 --> 00:07:55,647
czyli minus trzy plus dwa.

220
00:07:55,783 --> 00:07:57,778
…czyli trzy do potęgi minus pierwszej,

221
00:07:57,878 --> 00:07:59,080
czyli jedna trzecia.

222
00:07:59,180 --> 00:08:01,023
To teraz kolejny przykład.

223
00:08:01,169 --> 00:08:02,940
Trzydzieści sześć do minus piątej

224
00:08:03,040 --> 00:08:04,697
razy sześć do dziewiątej.

225
00:08:04,797 --> 00:08:06,143
Trudna sprawa...

226
00:08:06,243 --> 00:08:07,618
Zauważ, że nie mamy

227
00:08:07,718 --> 00:08:09,317
ani takich samych wykładników,

228
00:08:09,439 --> 00:08:11,263
ani takich samych podstaw.

229
00:08:11,717 --> 00:08:14,370
Ale zobacz, trzydzieści sześć i sześć

230
00:08:14,470 --> 00:08:16,177
mają coś ze sobą wspólnego.

231
00:08:16,770 --> 00:08:18,718
Trzydzieści sześć to przecież

232
00:08:18,818 --> 00:08:19,966
sześć do kwadratu.

233
00:08:20,067 --> 00:08:21,712
Możemy to wyrażenie zapisać więc

234
00:08:21,812 --> 00:08:22,812
w takiej postaci.

235
00:08:22,912 --> 00:08:24,874
Powinieneś już samodzielnie je rozwiązać.

236
00:08:24,975 --> 00:08:26,169
Spróbuj to zrobić.

237
00:08:29,538 --> 00:08:31,996
Sześć do kwadratu do minus piątej

238
00:08:32,096 --> 00:08:33,861
to inaczej sześć do minus dziesiątej.

239
00:08:33,961 --> 00:08:35,959
Gdy pomnożymy przez sześć do dziewiątej,

240
00:08:36,059 --> 00:08:37,801
otrzymamy sześć do minus pierwszej,

241
00:08:37,901 --> 00:08:39,153
czyli jedną szóstą.

242
00:08:39,253 --> 00:08:40,837
Jak widzisz, nie zawsze mamy

243
00:08:40,937 --> 00:08:42,189
podane wszystko na tacy

244
00:08:42,289 --> 00:08:43,708
i trzeba trochę kombinować.

245
00:08:43,808 --> 00:08:45,580
Zróbmy jeszcze jeden przykład.

246
00:08:45,703 --> 00:08:48,161
Pięć do ósmej razy jedna szesnasta

247
00:08:48,261 --> 00:08:49,261
do minus drugiej.

248
00:08:49,513 --> 00:08:51,421
Jedna szesnasta do minus drugiej

249
00:08:51,521 --> 00:08:53,243
to inaczej szesnaście do kwadratu.

250
00:08:53,634 --> 00:08:55,347
I znowu nie mamy

251
00:08:55,447 --> 00:08:56,932
ani takich samych podstaw,

252
00:08:57,032 --> 00:08:59,135
ani takich samych wykładników.

253
00:08:59,504 --> 00:09:02,165
Ale zobacz, szesnaście to inaczej

254
00:09:02,265 --> 00:09:03,863
dwa do potęgi czwartej,

255
00:09:03,963 --> 00:09:05,535
czyli to wyrażenie

256
00:09:05,635 --> 00:09:07,529
możemy zapisać w takiej postaci.

257
00:09:07,629 --> 00:09:10,045
Jesteś już w stanie policzyć to samodzielnie.

258
00:09:13,305 --> 00:09:15,286
Dwa do czwartej do kwadratu

259
00:09:15,386 --> 00:09:17,441
to inaczej dwa do potęgi ósmej.

260
00:09:17,614 --> 00:09:19,776
Pięć do ósmej razy dwa do ósmej

261
00:09:19,876 --> 00:09:21,641
to inaczej pięć razy dwa

262
00:09:21,786 --> 00:09:24,223
podniesione razem do potęgi ósmej,

263
00:09:24,533 --> 00:09:26,015
czyli dziesięć do ósmej,

264
00:09:26,115 --> 00:09:27,793
czyli jedynka i osiem zer.

265
00:09:27,923 --> 00:09:30,367
Albo, inaczej mówiąc, sto milionów.

266
00:09:36,114 --> 00:09:38,536
Dla potęg o wykładniku całkowitym

267
00:09:38,636 --> 00:09:40,286
obowiązują te same reguły

268
00:09:40,386 --> 00:09:42,440
wykonywania działań, co dla potęg

269
00:09:42,540 --> 00:09:44,447
o wykładniku naturalnym.

270
00:09:44,884 --> 00:09:46,633
Trzeba dodatkowo pamiętać

271
00:09:46,733 --> 00:09:48,311
o regułach wykonywania działań

272
00:09:48,411 --> 00:09:49,945
na liczbach ujemnych.

273
00:09:54,441 --> 00:09:56,314
Zobaczyłeś/aś właśnie kolejny film

274
00:09:56,414 --> 00:09:58,504
z playlisty o notacji wykładniczej.

275
00:09:58,728 --> 00:09:59,914
Zachęcam cię do zobaczenia

276
00:10:00,014 --> 00:10:01,656
innych filmów z tej playlisty,

277
00:10:01,758 --> 00:10:03,341
a także do zasubskrybowania

278
00:10:03,441 --> 00:10:05,343
naszego kanału na YouTube:

279
00:10:05,443 --> 00:10:06,767
PistacjaMatematyka.