1
00:00:00,000 --> 00:00:02,313
Jednym z najwybitniejszych matematyków

2
00:00:02,413 --> 00:00:04,742
był żyjący w starożytnej Grecji

3
00:00:04,842 --> 00:00:06,656
Euklides z Aleksandrii.

4
00:00:06,756 --> 00:00:09,472
W księdze, którą nazwano Elementami

5
00:00:09,572 --> 00:00:11,264
spisał podstawowe pojęcia

6
00:00:11,364 --> 00:00:13,027
oraz twierdzenia matematyczne

7
00:00:13,127 --> 00:00:14,601
wraz z dowodami.

8
00:00:14,701 --> 00:00:17,259
Elementy były podstawowym podręcznikiem

9
00:00:17,359 --> 00:00:19,906
geometrii aż do XIX wieku.

10
00:00:31,162 --> 00:00:33,298
Zadanie, z którym zmierzymy się

11
00:00:33,398 --> 00:00:35,779
na początku lekcji brzmi następująco:

12
00:00:35,879 --> 00:00:38,207
oblicz miarę kąta ABC.

13
00:00:38,307 --> 00:00:40,187
Myślę, że jesteś w stanie 

14
00:00:40,287 --> 00:00:42,126
samodzielnie rozwiązać to zadanie.

15
00:00:42,226 --> 00:00:44,288
Mam jeszcze dla ciebie pewną wskazówkę.

16
00:00:44,388 --> 00:00:46,649
Znajdź na tej ilustracji kąt ABC

17
00:00:46,749 --> 00:00:48,820
oraz poszukaj tutaj kątów przyległych

18
00:00:48,920 --> 00:00:50,088
i wierzchołkowych.

19
00:00:53,809 --> 00:00:56,227
Najpierw znajdę kąt ABC. 

20
00:00:56,327 --> 00:00:57,822
Tutaj mam wierzchołek A,

21
00:00:57,922 --> 00:00:59,006
tutaj wierzchołek B, 

22
00:00:59,106 --> 00:01:00,333
a tutaj wierzchołek C.

23
00:01:00,433 --> 00:01:02,976
Kąt ABC znajduje się w tym miejscu.

24
00:01:03,076 --> 00:01:04,810
Naszym zadaniem jest obliczenie

25
00:01:04,910 --> 00:01:06,326
miary tego kąta.

26
00:01:06,426 --> 00:01:09,161
Zwróć uwagę, że ten kąt znajduje się

27
00:01:09,261 --> 00:01:10,901
wewnątrz tego trójkąta.

28
00:01:11,001 --> 00:01:12,444
Gdybyśmy tylko znali miary 

29
00:01:12,544 --> 00:01:13,622
tych dwóch kątów, 

30
00:01:13,722 --> 00:01:15,571
moglibyśmy skorzystać z tego,

31
00:01:15,671 --> 00:01:16,671
że suma miar kątów

32
00:01:16,771 --> 00:01:19,104
w trójkącie wynosi 180 stopni 

33
00:01:19,204 --> 00:01:21,522
i wtedy obliczyć miarę tego kąta.

34
00:01:21,622 --> 00:01:24,502
Wiemy, że ten kąt ma 100 stopni.

35
00:01:24,805 --> 00:01:26,740
Widzimy jeszcze, że te dwa kąty 

36
00:01:26,840 --> 00:01:29,500
powstały w wyniku przecięcia dwóch prostych.

37
00:01:29,600 --> 00:01:31,767
Są to więc kąty wierzchołkowe.

38
00:01:31,867 --> 00:01:32,928
Co za tym idzie?

39
00:01:33,028 --> 00:01:34,995
Ten kąt ma 100 stopni.

40
00:01:36,019 --> 00:01:38,437
Teraz obliczymy miarę tego kąta.

41
00:01:38,537 --> 00:01:41,888
Wiemy, że ten kąt ma 130 stopni.

42
00:01:42,387 --> 00:01:44,742
Ten kąt, który ma 130 stopni

43
00:01:44,842 --> 00:01:46,649
i ten kąt, którego miary szukamy

44
00:01:46,749 --> 00:01:48,140
razem tworzą kąt półpełny,

45
00:01:48,240 --> 00:01:50,631
czyli taki, który ma 180 stopni.

46
00:01:50,731 --> 00:01:53,101
Aby znaleźć miarę tego kąta, wystarczy

47
00:01:53,201 --> 00:01:57,186
od 180 stopni odjąć 130 stopni.

48
00:01:57,286 --> 00:02:01,856
180 stopni odjąć 130 stopni to 50 stopni.

49
00:02:02,376 --> 00:02:04,263
Znamy miary dwóch kątów

50
00:02:04,363 --> 00:02:06,206
wewnętrznych tego trójkąta.

51
00:02:06,306 --> 00:02:07,824
Czy jesteśmy w stanie zatem

52
00:02:07,924 --> 00:02:09,578
obliczyć miarę trzeciego kąta

53
00:02:09,678 --> 00:02:11,267
wewnętrznego w trójkącie?

54
00:02:11,367 --> 00:02:13,539
Tak. Aby to zrobić, wystarczy

55
00:02:13,639 --> 00:02:17,238
od 180 stopni odjąć miary dwóch kątów

56
00:02:17,338 --> 00:02:19,008
wewnętrznych tego trójkąta.

57
00:02:19,108 --> 00:02:21,741
Od 180 stopni odejmujemy zatem

58
00:02:21,841 --> 00:02:23,846
100 stopni i 50 stopni,

59
00:02:23,946 --> 00:02:25,993
otrzymując 30 stopni.

60
00:02:26,093 --> 00:02:28,067
Wykonaliśmy nasze zadanie.

61
00:02:28,167 --> 00:02:30,528
Obliczyliśmy miarę kąta ABC.

62
00:02:30,628 --> 00:02:33,872
Miara kąta ABC wynosi 30 stopni.

63
00:02:33,972 --> 00:02:35,769
To, co zrobiliśmy do tej pory

64
00:02:35,869 --> 00:02:37,239
moglibyśmy ubrać w nieco 

65
00:02:37,339 --> 00:02:38,927
inną formę zadania.

66
00:02:39,027 --> 00:02:40,647
Spójrz na takie polecenie:

67
00:02:40,747 --> 00:02:44,768
Uzasadnij, że kąt ABC ma 30 stopni.

68
00:02:44,868 --> 00:02:46,754
Zamiast słowa „uzasadnij”

69
00:02:46,854 --> 00:02:49,172
można by też użyć słowa „udowodnij”.

70
00:02:49,272 --> 00:02:51,144
Taki typ zadań nazywamy

71
00:02:51,244 --> 00:02:52,824
zadaniami dowodowymi.

72
00:02:52,924 --> 00:02:55,616
Zwróć uwagę, że tutaj mamy udowodnić to

73
00:02:55,716 --> 00:02:57,916
co przed chwilą obliczaliśmy.

74
00:02:58,016 --> 00:02:59,740
Naszym zadaniem było obliczenie

75
00:02:59,840 --> 00:03:01,543
miary kąta ABC.

76
00:03:01,643 --> 00:03:04,064
Te obliczenia wykonywaliśmy na rysunku.

77
00:03:04,164 --> 00:03:06,108
Moglibyśmy też wykonać te obliczenia

78
00:03:06,208 --> 00:03:07,292
w pamięci.

79
00:03:07,392 --> 00:03:09,440
Gdy mamy z kolei coś uzasadnić

80
00:03:09,540 --> 00:03:12,278
albo udowodnić, musimy krok po kroku

81
00:03:12,378 --> 00:03:13,966
podawać, co obliczamy 

82
00:03:14,066 --> 00:03:16,040
i dlaczego taki jest wynik.

83
00:03:16,140 --> 00:03:18,400
Nie ma co się bać zadań dowodowych!

84
00:03:18,500 --> 00:03:20,438
W mojej opinii są one łatwiejsze,

85
00:03:20,538 --> 00:03:21,804
niż zadania obliczeniowe,

86
00:03:21,904 --> 00:03:23,732
ponieważ znamy już wynik.

87
00:03:23,832 --> 00:03:26,025
W tym przypadku wiemy, że kąt ABC

88
00:03:26,125 --> 00:03:27,421
ma 30 stopni.

89
00:03:27,521 --> 00:03:29,152
To mamy uzasadnić.

90
00:03:29,360 --> 00:03:31,861
Gdy mieliśmy obliczyć miarę kąta ABC,

91
00:03:31,961 --> 00:03:33,862
nie znaliśmy wyniku.

92
00:03:33,962 --> 00:03:35,457
Po wykonaniu obliczeń

93
00:03:35,557 --> 00:03:37,085
dowiedzieliśmy się, że miara

94
00:03:37,185 --> 00:03:39,146
kąta ABC wynosi 30 stopni.

95
00:03:39,246 --> 00:03:41,033
Z kolei w zadaniu dowodowym

96
00:03:41,133 --> 00:03:42,856
znamy wynik od początku.

97
00:03:42,956 --> 00:03:44,441
Możemy o nim myśleć jak 

98
00:03:44,541 --> 00:03:46,463
o odpowiedzi z tyłu książki.

99
00:03:46,563 --> 00:03:48,359
Wiemy, ile ma nam wyjść,

100
00:03:48,459 --> 00:03:49,777
czyli możemy kontrolować,

101
00:03:49,877 --> 00:03:52,092
czy dobrze rozwiązaliśmy zadanie.

102
00:03:52,192 --> 00:03:53,904
Nie możemy jednak w rozwiązaniu

103
00:03:54,004 --> 00:03:55,420
użyć tego wyniku.

104
00:03:55,520 --> 00:03:56,645
Musimy do niego dojść

105
00:03:56,745 --> 00:03:59,678
korzystając z danych podanych w zadaniu.

106
00:03:59,778 --> 00:04:02,065
Pokażę ci teraz, jak udowodnić,

107
00:04:02,165 --> 00:04:04,826
że miara tego kąta wynosi 30 stopni.

108
00:04:04,926 --> 00:04:06,911
To polega na niczym innym, 

109
00:04:07,011 --> 00:04:08,474
jak na opisaniu krok po kroku

110
00:04:08,574 --> 00:04:11,205
obliczeń, które wykonaliśmy tutaj.

111
00:04:11,305 --> 00:04:13,268
Co najpierw obliczyliśmy?

112
00:04:13,368 --> 00:04:16,256
Najpierw obliczyliśmy miarę tego kąta.

113
00:04:16,356 --> 00:04:18,313
Skorzystaliśmy z tego, że te dwa kąty 

114
00:04:18,413 --> 00:04:19,640
są wierzchołkowe.

115
00:04:19,740 --> 00:04:21,929
W pierwszym kroku obliczyliśmy miarę

116
00:04:22,029 --> 00:04:24,733
kąta ACB, która wynosi 100 stopni,

117
00:04:24,833 --> 00:04:26,201
ponieważ mamy do czynienia

118
00:04:26,301 --> 00:04:27,682
z kątami wierzchołkowymi.

119
00:04:27,995 --> 00:04:29,548
W taki właśnie sposób

120
00:04:29,648 --> 00:04:31,434
podchodzimy do zadań dowodowych.

121
00:04:31,534 --> 00:04:33,248
Opisujemy krok po kroku,

122
00:04:33,348 --> 00:04:35,468
co obliczamy i dlaczego tak jest.

123
00:04:35,568 --> 00:04:38,334
W jaki sposób moglibyśmy inaczej wytłumaczyć,

124
00:04:38,434 --> 00:04:40,387
że miara tego kąta to 100 stopni?

125
00:04:40,487 --> 00:04:42,628
Te dwa kąty są wierzchołkowe,

126
00:04:42,728 --> 00:04:45,212
dlatego miara tego kąta to 100 stopni.

127
00:04:45,312 --> 00:04:48,256
To zapisaliśmy właśnie w kroku pierwszym.

128
00:04:48,527 --> 00:04:51,038
Następnie obliczyliśmy miarę tego kąta,

129
00:04:51,138 --> 00:04:53,560
odejmując od 180 stopni

130
00:04:53,660 --> 00:04:56,187
miarę tego kąta, czyli 130 stopni.

131
00:04:56,287 --> 00:04:58,396
Otrzymaliśmy 50 stopni.

132
00:04:58,532 --> 00:05:00,960
A dlaczego od 180 stopni

133
00:05:01,060 --> 00:05:03,065
odjęliśmy 130 stopni?

134
00:05:03,165 --> 00:05:05,919
Ponieważ te dwa kąty to kąty przyległe.

135
00:05:06,019 --> 00:05:07,199
Jak to zapisać?

136
00:05:07,370 --> 00:05:08,991
Na przykład tak.

137
00:05:09,091 --> 00:05:11,205
W kroku drugim obliczaliśmy miarę

138
00:05:11,305 --> 00:05:15,030
kąta CAB, odejmując od 180 stopni

139
00:05:15,130 --> 00:05:17,907
130 stopni, otrzymując 50 stopni.

140
00:05:18,007 --> 00:05:19,616
Do obliczenia miary tego kąta

141
00:05:19,716 --> 00:05:21,356
wykorzystaliśmy fakt, że mamy

142
00:05:21,456 --> 00:05:23,583
do czynienia z kątami przyległymi.

143
00:05:23,858 --> 00:05:25,744
Zwróć uwagę, że znamy miary

144
00:05:25,844 --> 00:05:28,360
dwóch kątów wewnętrznych w trójkącie.

145
00:05:28,460 --> 00:05:30,361
Aby obliczyć miarę trzeciego kąta

146
00:05:30,461 --> 00:05:33,509
w trójkącie, wystarczy od 180 stopni

147
00:05:33,609 --> 00:05:35,871
odjąć miary tych dwóch kątów.

148
00:05:35,971 --> 00:05:38,626
W tym przypadku gdy od 180 stopni

149
00:05:38,726 --> 00:05:40,991
odejmiemy 100 stopni i 50 stopni

150
00:05:41,091 --> 00:05:43,743
otrzymamy właśnie 30 stopni,

151
00:05:43,843 --> 00:05:45,869
czyli to, co mieliśmy udowodnić.

152
00:05:46,099 --> 00:05:48,756
Zapisujemy zatem, że w trzecim kroku

153
00:05:48,856 --> 00:05:50,778
obliczamy miarę kąta ABC

154
00:05:50,878 --> 00:05:53,342
odejmując od 180 stopni 

155
00:05:53,442 --> 00:05:57,119
100 stopni i 50 stopni, otrzymując 30 stopni.

156
00:05:57,219 --> 00:05:58,720
To jeszcze nie wszystko.

157
00:05:58,820 --> 00:06:01,538
Musimy zapisać, z jakich własności

158
00:06:01,638 --> 00:06:03,519
i z jakich informacji korzystaliśmy.

159
00:06:03,619 --> 00:06:05,567
Skorzystaliśmy z tego, że

160
00:06:05,667 --> 00:06:08,954
wiemy, ile wynosi suma kątów w trójkącie ABC.

161
00:06:09,054 --> 00:06:10,674
Ona wynosi 180 stopni,

162
00:06:10,774 --> 00:06:12,487
tak jak w każdym trójkącie.

163
00:06:12,587 --> 00:06:14,520
Skorzystaliśmy jeszcze z wiedzy,

164
00:06:14,620 --> 00:06:16,156
która jest zawarta w punktach

165
00:06:16,256 --> 00:06:17,480
pierwszym i drugim.

166
00:06:17,580 --> 00:06:19,658
Kolejne wnioski warto numerować

167
00:06:19,758 --> 00:06:21,409
właśnie po to, by później łatwo

168
00:06:21,509 --> 00:06:23,170
było się do nich odnosić.

169
00:06:23,270 --> 00:06:25,067
Tak jak w języku polskim, 

170
00:06:25,167 --> 00:06:27,047
kończąc każde zdanie oznajmujące

171
00:06:27,147 --> 00:06:28,763
zapisujemy kropkę,

172
00:06:28,863 --> 00:06:31,643
tak każdy dowód matematyczny kończymy,

173
00:06:31,743 --> 00:06:33,384
rysując na końcu kwadracik.

174
00:06:33,484 --> 00:06:34,751
To nie jedyny sposób.

175
00:06:34,851 --> 00:06:37,553
Można też skorzystać z takiego zapisu:

176
00:06:37,653 --> 00:06:40,857
co należało udowodnić.

177
00:06:40,957 --> 00:06:42,920
Ja akurat wybieram kwadracik,

178
00:06:43,020 --> 00:06:44,740
ponieważ zapisanie tego symbolu 

179
00:06:44,840 --> 00:06:46,271
jest po prostu szybsze.

180
00:06:46,599 --> 00:06:48,454
Chciałbym się podzielić z tobą

181
00:06:48,554 --> 00:06:49,554
pewnym wnioskiem.

182
00:06:49,654 --> 00:06:51,852
Nie da się nauczyć dowodzenia twierdzeń,

183
00:06:51,952 --> 00:06:53,595
czy też różnych własności

184
00:06:53,695 --> 00:06:55,231
tylko na jednym przykładzie.

185
00:06:55,331 --> 00:06:57,271
tak jak nie da się zapamiętać wiersza

186
00:06:57,371 --> 00:06:58,783
po jednym przeczytaniu.

187
00:06:58,883 --> 00:07:01,375
(no, chyba, że jest się geniuszem).

188
00:07:01,475 --> 00:07:03,556
Z udowadnianiem spotykamy się

189
00:07:03,656 --> 00:07:05,192
w każdym dziale matematyki.

190
00:07:05,292 --> 00:07:07,519
Bądź cierpliwy i kombinuj.

191
00:07:07,619 --> 00:07:09,121
Wierzę, że z naszymi filmami

192
00:07:09,221 --> 00:07:10,851
będzie to dla ciebie łatwiejsze

193
00:07:10,951 --> 00:07:12,123
i przyjemniejsze.

194
00:07:16,281 --> 00:07:17,600
Przejdziemy sobie teraz 

195
00:07:17,700 --> 00:07:19,179
razem przez drugie zadanie.

196
00:07:19,279 --> 00:07:21,343
Jego treść brzmi następująco:

197
00:07:21,443 --> 00:07:23,796
Proste a i b są równoległe.

198
00:07:23,896 --> 00:07:27,231
Uzasadnij, że proste c i d są prostopadłe.

199
00:07:27,621 --> 00:07:29,023
Skupiamy się na tym,

200
00:07:29,123 --> 00:07:30,559
co mamy udowodnić.

201
00:07:30,914 --> 00:07:33,375
Proste c i d są prostopadłe.

202
00:07:33,475 --> 00:07:36,191
Poszukajmy najpierw prostych c i d.

203
00:07:36,291 --> 00:07:37,471
Tutaj jest prosta c,

204
00:07:37,571 --> 00:07:39,519
a tutaj jest prosta d.

205
00:07:39,619 --> 00:07:42,847
Co to znaczy, że proste c i d są prostopadłe?

206
00:07:42,947 --> 00:07:44,932
To znaczy, że przecinają się

207
00:07:45,032 --> 00:07:46,235
pod kątem prostym.

208
00:07:46,335 --> 00:07:48,223
Mamy zatem uzasadnić,

209
00:07:48,323 --> 00:07:50,527
że w tym miejscu jest kąt prosty

210
00:07:50,627 --> 00:07:52,957
albo, że w tym miejscu jest kąt prosty

211
00:07:53,057 --> 00:07:55,391
albo, że w tym miejscu jest kąt prosty

212
00:07:55,491 --> 00:07:57,695
albo, że tutaj jest kąt prosty.

213
00:07:58,293 --> 00:07:59,909
Mamy zatem udowodnić, 

214
00:08:00,009 --> 00:08:02,097
że któryś z tych czterech kątów

215
00:08:02,197 --> 00:08:03,583
jest kątem prostym.

216
00:08:03,754 --> 00:08:05,631
A co wiemy o tym zadaniu?

217
00:08:05,731 --> 00:08:07,360
Z treści zadania wiemy, 

218
00:08:07,460 --> 00:08:09,351
że proste a i b są równoległe.

219
00:08:09,451 --> 00:08:10,925
To jest prosta a. 

220
00:08:11,025 --> 00:08:12,644
To jest prosta b.

221
00:08:12,744 --> 00:08:14,847
Znamy miary dwóch kątów.

222
00:08:14,947 --> 00:08:17,647
Ten kąt ma 27 stopni 

223
00:08:17,747 --> 00:08:20,451
a ten kąt ma 63 stopnie.

224
00:08:21,201 --> 00:08:23,004
Zastanówmy się, jak podejść

225
00:08:23,104 --> 00:08:24,319
do tego zadania.

226
00:08:24,419 --> 00:08:26,454
Patrząc na tę ilustrację

227
00:08:26,554 --> 00:08:28,788
możemy znaleźć dwa trójkąty.

228
00:08:28,888 --> 00:08:30,719
To jest pierwszy trójkąt

229
00:08:30,819 --> 00:08:32,255
a to jest to drugi trójkąt.

230
00:08:32,355 --> 00:08:34,135
Skupmy się na jednym z nich,

231
00:08:34,235 --> 00:08:35,907
na przykład na tym większym.

232
00:08:36,271 --> 00:08:39,388
Mamy uzasadnić, że ten kąt wewnętrzny

233
00:08:39,488 --> 00:08:41,983
w tym trójkącie ma 90 stopni.

234
00:08:42,306 --> 00:08:44,786
Gdybyśmy znali miary tych dwóch

235
00:08:44,886 --> 00:08:47,048
kątów wewnętrznych w trójkącie,

236
00:08:47,148 --> 00:08:49,383
to moglibyśmy bardzo łatwo uzasadnić,

237
00:08:49,483 --> 00:08:51,915
że ten kąt ma właśnie 90 stopni.

238
00:08:52,015 --> 00:08:54,527
Przyszła pora na zadanie dla ciebie.

239
00:08:54,627 --> 00:08:56,689
Spróbuj samodzielnie pogłówkować

240
00:08:56,789 --> 00:08:59,159
czy istnieje sposób na znalezienie miar

241
00:08:59,259 --> 00:09:00,513
tych dwóch kątów.

242
00:09:04,791 --> 00:09:05,791
Zobacz:

243
00:09:05,891 --> 00:09:09,019
Ta prosta jest przecięta drugą prostą.

244
00:09:09,119 --> 00:09:10,911
Tutaj mamy 63 stopnie.

245
00:09:11,011 --> 00:09:13,708
Oznacza to, że ten kąt i ten kąt

246
00:09:13,808 --> 00:09:15,263
to kąty wierzchołkowe.

247
00:09:15,363 --> 00:09:18,591
Tutaj mamy zatem również 63 stopnie.

248
00:09:18,691 --> 00:09:21,472
Pamiętaj, że to zadanie dowodowe.

249
00:09:21,572 --> 00:09:24,113
Musimy opisywać wszystkie kroki

250
00:09:24,213 --> 00:09:26,015
i uzasadniać, dlaczego tak jest.

251
00:09:26,413 --> 00:09:28,653
Pierwszą rzeczą, którą obliczyliśmy

252
00:09:28,753 --> 00:09:31,019
To miara kąta PBC.

253
00:09:31,119 --> 00:09:33,593
To jest kąt PBC.

254
00:09:33,693 --> 00:09:36,586
Miara tego kąta to 63 stopnie,

255
00:09:36,686 --> 00:09:38,002
ponieważ mamy do czynienia

256
00:09:38,102 --> 00:09:39,399
z kątami wierzchołkowymi.

257
00:09:40,191 --> 00:09:42,348
Do tej pory wykorzystaliśmy wiedzę,

258
00:09:42,448 --> 00:09:45,277
że miara tego kąta to 63 stopnie.

259
00:09:45,377 --> 00:09:48,111
Mam jeszcze tutaj podaną miarę tego kąta.

260
00:09:48,211 --> 00:09:50,373
Wynosi ona 27 stopni.

261
00:09:50,473 --> 00:09:52,906
Chcemy znaleźć miarę tego kąta.

262
00:09:53,006 --> 00:09:54,959
Zwróć uwagę, że te dwa kąty

263
00:09:55,059 --> 00:09:56,970
to kąty odpowiadające.

264
00:09:57,070 --> 00:09:59,784
Dlaczego? Zobacz: z treści zadania wiemy,

265
00:09:59,884 --> 00:10:02,671
że proste a oraz b są równoległe.

266
00:10:02,771 --> 00:10:05,537
Te dwie proste przecina trzecia prosta.

267
00:10:05,637 --> 00:10:07,476
Oznacza to, że te dwa kąty

268
00:10:07,576 --> 00:10:09,862
są kątami odpowiadającymi.

269
00:10:09,962 --> 00:10:11,426
Mają taką samą miarę.

270
00:10:11,526 --> 00:10:14,143
Tutaj mamy 27 stopni.

271
00:10:14,584 --> 00:10:16,501
Do obliczenia miary tego kąta

272
00:10:16,601 --> 00:10:18,784
wykorzystaliśmy fakt, że mamy do czynienia

273
00:10:18,884 --> 00:10:20,545
z kątami odpowiadającymi

274
00:10:20,645 --> 00:10:23,234
ponieważ proste a oraz b są równoległe

275
00:10:23,334 --> 00:10:25,506
i są przecięte przez trzecią prostą.

276
00:10:25,606 --> 00:10:28,223
Czy jesteśmy teraz w stanie uzasadnić,

277
00:10:28,323 --> 00:10:30,846
że miara kąta CPB,

278
00:10:30,946 --> 00:10:33,729
czyli tego kąta, wynosi 90 stopni?

279
00:10:33,829 --> 00:10:34,917
Tak jest!

280
00:10:35,282 --> 00:10:37,512
Suma miar kątów w trójkącie

281
00:10:37,612 --> 00:10:39,282
wynosi 180 stopni.

282
00:10:39,382 --> 00:10:41,243
Jeżeli od 180 stopni

283
00:10:41,344 --> 00:10:44,162
odejmiemy 63 stopnie i 27 stopni,

284
00:10:44,262 --> 00:10:46,934
to otrzymamy 90 stopni.

285
00:10:47,034 --> 00:10:49,498
W trzecim kroku uzasadniamy zatem,

286
00:10:49,598 --> 00:10:51,676
że miara kąta CPB

287
00:10:51,776 --> 00:10:54,491
to 180 stopni odjąć 63 stopnie

288
00:10:54,591 --> 00:10:57,742
odjąć 27 stopni, czyli 90 stopni.

289
00:10:57,842 --> 00:11:00,358
Wykorzystaliśmy wiedzę o sumie kątów

290
00:11:00,458 --> 00:11:03,422
w trójkącie PBC, która wynosi 180 stopni

291
00:11:03,522 --> 00:11:06,465
oraz wiedzę z punktów pierwszego i drugiego.

292
00:11:07,007 --> 00:11:08,633
Co za tym wszystkim idzie?

293
00:11:08,733 --> 00:11:10,519
Uzasadniliśmy, że proste

294
00:11:10,619 --> 00:11:12,771
c oraz d są prostopadłe.

295
00:11:12,871 --> 00:11:14,761
Wynika to z punktu trzeciego,

296
00:11:14,861 --> 00:11:17,763
ponieważ pokazaliśmy, że te proste

297
00:11:17,863 --> 00:11:19,935
przecinają się pod kątem prostym.

298
00:11:20,035 --> 00:11:22,057
Uzasadniliśmy, że w tym miejscu

299
00:11:22,157 --> 00:11:23,870
znajduje się kąt prosty.

300
00:11:23,970 --> 00:11:25,823
Jak kończymy dowód?

301
00:11:25,923 --> 00:11:28,710
Rysując na końcu kwadracik.

302
00:11:28,810 --> 00:11:30,943
Zakończyliśmy nasz dowód.

303
00:11:31,043 --> 00:11:32,223
Gratulacje!

304
00:11:37,721 --> 00:11:40,191
Rozwiązując zadania na dowodzenie 

305
00:11:40,291 --> 00:11:42,661
należy pamiętać o tym, aby opisywać

306
00:11:42,761 --> 00:11:45,058
swoje rozważania krok po kroku,

307
00:11:45,158 --> 00:11:47,237
a wszystkie wnioski uzasadniać.

308
00:11:51,030 --> 00:11:52,885
Ten dział dotyczy udowadniania

309
00:11:52,985 --> 00:11:54,407
twierdzeń geometrycznych.

310
00:11:54,507 --> 00:11:57,106
Jeśli interesują cię inne działy matematyki

311
00:11:57,206 --> 00:11:58,482
znajdziesz je na stronie

312
00:11:58,582 --> 00:12:01,531
internetowej pistacja.tv