1
00:00:00,296 --> 00:00:02,974
Dzieło Euklidesa o nazwie Elementy

2
00:00:03,074 --> 00:00:05,232
składało się z 13 ksiąg.

3
00:00:05,332 --> 00:00:07,836
Udowodnił tam wiele twierdzeń matematycznych

4
00:00:07,936 --> 00:00:09,984
głównie dotyczących geometrii.

5
00:00:10,185 --> 00:00:11,933
Elementy przetłumaczono

6
00:00:12,033 --> 00:00:13,936
na olbrzymią liczbę języków.

7
00:00:14,036 --> 00:00:17,185
Liczbą wydań ustępują jedynie Biblii.

8
00:00:29,597 --> 00:00:31,285
Tę lekcję zaczniemy od

9
00:00:31,385 --> 00:00:32,936
następującego zadania:

10
00:00:33,036 --> 00:00:35,840
Punkty A, B oraz D są współliniowe.

11
00:00:35,940 --> 00:00:38,400
Wyznacz miarę kąta CBD.

12
00:00:38,617 --> 00:00:41,725
Treść tego zadania dotyczy tej ilustracji.

13
00:00:41,825 --> 00:00:45,234
Mamy wyznaczyć miarę kąta CBD.

14
00:00:45,562 --> 00:00:47,104
Co robimy najpierw?

15
00:00:47,204 --> 00:00:48,640
Szukamy tego kąta.

16
00:00:48,740 --> 00:00:52,506
Tutaj mamy wierzchołek C, tu B a tu D.

17
00:00:52,606 --> 00:00:55,296
Kąt CBD znajduje się w tym miejscu.

18
00:00:55,396 --> 00:00:57,600
Mamy znaleźć miarę tego kąta.

19
00:00:57,700 --> 00:00:59,074
Jakie informacje możemy

20
00:00:59,174 --> 00:01:00,672
odczytać z rysunku?

21
00:01:00,773 --> 00:01:02,813
W tym miejscu znajduje się kąt

22
00:01:02,913 --> 00:01:04,779
który ma 65 stopni.

23
00:01:04,879 --> 00:01:07,887
Tutaj jest kąt, który ma 75 stopni.

24
00:01:07,987 --> 00:01:11,165
Zauważ, że te dwa kąty są kątami

25
00:01:11,265 --> 00:01:13,593
wewnętrznymi tego trójkąta.

26
00:01:13,751 --> 00:01:16,725
Znając miarę dwóch kątów wewnętrznych

27
00:01:16,825 --> 00:01:18,279
w trójkącie jesteśmy w stanie

28
00:01:18,379 --> 00:01:20,367
znaleźć miarę trzeciego kąta.

29
00:01:20,467 --> 00:01:22,031
Czy to pomoże nam w znalezieniu

30
00:01:22,131 --> 00:01:23,390
miary tego kąta?

31
00:01:23,490 --> 00:01:24,736
Oczywiście, że tak.

32
00:01:24,836 --> 00:01:26,656
Zobacz: w treści zadania

33
00:01:26,756 --> 00:01:28,853
mamy podane, że punkty A, B oraz D

34
00:01:28,953 --> 00:01:30,368
są współliniowe.

35
00:01:30,517 --> 00:01:32,544
Oznacza to, że te dwa kąty mają

36
00:01:32,644 --> 00:01:34,814
wspólne ramię, a pozostałe ramiona

37
00:01:34,914 --> 00:01:36,295
tworzą prostą.

38
00:01:36,514 --> 00:01:39,015
Mamy tutaj zatem kąty przyległe.

39
00:01:39,115 --> 00:01:40,520
Znając miarę tego kąta

40
00:01:40,620 --> 00:01:42,171
Będziemy w stanie obliczyć

41
00:01:42,271 --> 00:01:43,604
miarę tego kąta.

42
00:01:43,704 --> 00:01:45,340
Zatrzymaj lekcję i spróbuj

43
00:01:45,440 --> 00:01:47,015
zrobić to samodzielnie.

44
00:01:51,034 --> 00:01:54,069
Ten kąt możemy nazwać CBA.

45
00:01:54,169 --> 00:01:57,711
Miara kąta CBA to 180 stopni

46
00:01:57,811 --> 00:02:02,012
odjąć 75 stopni odjąć 65 stopni

47
00:02:02,112 --> 00:02:04,570
a to daje nam 40 stopni.

48
00:02:04,885 --> 00:02:08,768
Miara kąta CBA to 40 stopni.

49
00:02:08,965 --> 00:02:11,538
Jak zatem wyznaczyć miarę kąta CBD?

50
00:02:11,638 --> 00:02:14,144
Wiemy, że te dwa kąty to kąty przyległe.

51
00:02:14,244 --> 00:02:17,086
Wystarczy zatem od 180 stopni

52
00:02:17,186 --> 00:02:19,520
odjąć miarę kąta CBA

53
00:02:19,620 --> 00:02:21,568
która wynosi 40 stopni.

54
00:02:21,668 --> 00:02:26,176
180 stopni odjąć 40 stopni to 140 stopni.

55
00:02:26,349 --> 00:02:28,224
Wykonaliśmy nasze zadanie.

56
00:02:28,324 --> 00:02:29,506
Gratulacje!

57
00:02:29,606 --> 00:02:31,436
Ale to jeszcze nie wszystko.

58
00:02:31,536 --> 00:02:32,917
Schowam nasze obliczenia

59
00:02:33,017 --> 00:02:35,139
i zmienię informacje, które były podane

60
00:02:35,239 --> 00:02:36,389
na ilustracji.

61
00:02:36,489 --> 00:02:38,769
Teraz kąty wewnętrzne w tym trójkącie

62
00:02:38,869 --> 00:02:41,415
wynoszą odpowiednio alfa oraz beta.

63
00:02:41,515 --> 00:02:43,904
Treść zadania się nie zmieniła.

64
00:02:44,004 --> 00:02:46,378
Punkty A, B oraz D są współliniowe.

65
00:02:46,478 --> 00:02:48,960
Wyznacz miarę kąta CBD.

66
00:02:49,060 --> 00:02:51,552
Zastanów się teraz, czy zmieni się

67
00:02:51,652 --> 00:02:53,932
sposób rozwiązywania tego zadania.

68
00:02:57,367 --> 00:03:00,172
Wiemy, że miara tego kąta to alfa

69
00:03:00,272 --> 00:03:02,078
a miara tego kąta to beta.

70
00:03:02,178 --> 00:03:06,112
Potrafimy zatem wyznaczyć miarę kąta CBA.

71
00:03:06,327 --> 00:03:08,634
Miara kąta CBA wynosi przecież

72
00:03:08,734 --> 00:03:12,106
180 stopni odjąć alfa odjąć beta.

73
00:03:12,206 --> 00:03:14,352
Skoro znamy miarę tego kąta

74
00:03:14,452 --> 00:03:16,051
czy jesteśmy w stanie wyznaczyć

75
00:03:16,151 --> 00:03:17,289
miarę tego kąta?

76
00:03:17,389 --> 00:03:18,656
Oczywiście, że tak.

77
00:03:18,756 --> 00:03:22,291
Miara kąta CBD to 180 stopni

78
00:03:22,391 --> 00:03:24,501
odjąć miara kąta CBA.

79
00:03:24,601 --> 00:03:26,848
Znamy przecież miarę kąta CBA.

80
00:03:26,948 --> 00:03:30,644
Wynosi 180 stopni odjąć alfa odjąć beta.

81
00:03:30,744 --> 00:03:34,016
Otrzymujemy zatem 180 stopni odjąć

82
00:03:34,116 --> 00:03:36,362
w nawiasie 180 stopni

83
00:03:36,462 --> 00:03:38,268
odjąć alfa odjąć beta.

84
00:03:38,368 --> 00:03:40,586
Skoro przed nawiasem mamy minus

85
00:03:40,686 --> 00:03:43,051
to opuszczając nawias zmienimy znaki

86
00:03:43,151 --> 00:03:45,540
wszystkich elementów w tym nawiasie.

87
00:03:45,640 --> 00:03:49,120
Otrzymujemy 180 stopni odjąć 180 stopni

88
00:03:49,220 --> 00:03:51,680
dodać alfa dodać beta, a to jest przecież

89
00:03:51,780 --> 00:03:53,467
alfa dodać beta.

90
00:03:54,329 --> 00:03:57,473
Zobacz: wyznaczyliśmy miarę tego kąta.

91
00:03:57,573 --> 00:03:59,343
Jest równa sumie miar tych dwóch

92
00:03:59,443 --> 00:04:02,791
kątów, czyli alfa dodać beta. Zapiszmy to.

93
00:04:02,891 --> 00:04:05,248
Tego kąta to alfa dodać beta.

94
00:04:05,668 --> 00:04:07,441
To jeszcze nie koniec.

95
00:04:07,541 --> 00:04:10,624
Jak zatem podeszlibyśmy do takiego zadania:

96
00:04:10,724 --> 00:04:13,486
Punkty A, B oraz D są współliniowe.

97
00:04:13,586 --> 00:04:16,084
Udowodnij, że miara kąta CBD

98
00:04:16,184 --> 00:04:17,663
to alfa dodać beta.

99
00:04:17,763 --> 00:04:20,030
Zwróć uwagę, że teraz wiemy

100
00:04:20,130 --> 00:04:22,859
że miara kąta CBD to alfa dodać beta.

101
00:04:22,959 --> 00:04:24,570
Mamy to tylko udowodnić.

102
00:04:24,971 --> 00:04:27,205
Czym różni się to zadanie od zadania

103
00:04:27,305 --> 00:04:29,354
które rozwiązywaliśmy poprzednio?

104
00:04:29,454 --> 00:04:30,871
Praktycznie niczym.

105
00:04:30,971 --> 00:04:33,919
Zobacz: tutaj mamy wszystkie obliczenia.

106
00:04:34,019 --> 00:04:36,905
Rozwiązując zadanie dowodowe musimy

107
00:04:37,005 --> 00:04:39,758
te obliczenia tylko odpowiednio opisać.

108
00:04:39,891 --> 00:04:43,388
Najpierw obliczyliśmy miarę kąta CBA

109
00:04:43,488 --> 00:04:46,520
odejmując od 180 stopni kąty

110
00:04:46,620 --> 00:04:47,999
alfa oraz beta.

111
00:04:48,099 --> 00:04:50,356
Wykorzystaliśmy fakt, że te kąty

112
00:04:50,456 --> 00:04:52,954
znajdują się w trójkącie, a znamy przecież

113
00:04:53,054 --> 00:04:55,236
sumę kątów w trójkącie ABC.

114
00:04:55,455 --> 00:04:58,830
Następnie wyznaczyliśmy miarę kąta CBD

115
00:04:58,930 --> 00:05:01,756
w taki sposób, że od 180 stopni

116
00:05:01,856 --> 00:05:04,463
odjęliśmy miarę kąta CBA.

117
00:05:04,563 --> 00:05:07,510
Skorzystaliśmy z faktu, że te dwa kąty

118
00:05:07,610 --> 00:05:08,943
to kąty przyległe.

119
00:05:09,877 --> 00:05:13,653
W trzecim kroku w miejsce miary kąta CBA

120
00:05:13,753 --> 00:05:16,567
Wstawiliśmy 180 stopni odjąć alfa

121
00:05:16,667 --> 00:05:19,675
odjąć beta i to znajduje się w tym miejscu.

122
00:05:19,775 --> 00:05:22,163
Zauważ, że tutaj mamy dokładnie

123
00:05:22,263 --> 00:05:25,198
takie same obliczenia, jak w tym miejscu.

124
00:05:25,368 --> 00:05:27,991
Dodaliśmy tylko fakt, że skorzystaliśmy

125
00:05:28,091 --> 00:05:30,495
z punktów pierwszego oraz drugiego.

126
00:05:30,771 --> 00:05:33,696
Udowodniliśmy, że miara kąta CBD

127
00:05:33,796 --> 00:05:35,372
to alfa dodać beta.

128
00:05:35,472 --> 00:05:36,895
Czego jeszcze brakuje?

129
00:05:36,995 --> 00:05:38,346
Symbolu, który mówi

130
00:05:38,446 --> 00:05:40,094
że dowód jest skończony.

131
00:05:40,194 --> 00:05:41,697
Rysujemy zatem kwadrat.

132
00:05:41,976 --> 00:05:44,149
Mam nadzieję, że zaczynasz czuć

133
00:05:44,249 --> 00:05:45,570
że dowody matematyczne

134
00:05:45,670 --> 00:05:47,828
nie są wcale takie trudne.

135
00:05:47,949 --> 00:05:50,463
Przejdźmy zatem do kolejnego ćwiczenia.

136
00:05:55,148 --> 00:05:57,418
Dany jest ostrokątny trójkąt

137
00:05:57,518 --> 00:06:00,308
równoramienny ABC, w którym długość boku

138
00:06:00,408 --> 00:06:03,519
AC jest taka sama, jak długość boku BC.

139
00:06:03,619 --> 00:06:06,827
W tym trójkącie poprowadzono wysokość AD.

140
00:06:06,927 --> 00:06:08,757
Udowodnij, że kąt ACB

141
00:06:08,857 --> 00:06:11,392
jest dwa razy większy od kąta BAD.

142
00:06:11,683 --> 00:06:13,686
Od czego powinniśmy zacząć?

143
00:06:13,786 --> 00:06:16,648
Zauważ, że w treści zadania jest mowa

144
00:06:16,748 --> 00:06:19,392
o ostrokątnym trójkącie równoramiennym

145
00:06:19,492 --> 00:06:21,529
w którym poprowadzono wysokość.

146
00:06:21,650 --> 00:06:23,763
Należy zatem zrobić rysunek.

147
00:06:23,920 --> 00:06:25,948
Zatrzymaj lekcję i spróbuj

148
00:06:26,048 --> 00:06:27,327
zrobić to samodzielnie.

149
00:06:27,427 --> 00:06:29,347
Następnie sprawdź, czy twój rysunek

150
00:06:29,447 --> 00:06:30,911
będzie taki sam, jak mój.

151
00:06:34,373 --> 00:06:37,823
Najpierw rysujemy ostrokątny trójkąt ABC.

152
00:06:37,923 --> 00:06:40,759
W tym trójkącie długość boku AC

153
00:06:40,859 --> 00:06:43,345
jest taka sama, jak długość boku BC.

154
00:06:43,539 --> 00:06:46,817
W tym trójkącie poprowadzono wysokość AD.

155
00:06:46,917 --> 00:06:49,499
Z którego wierzchołka wychodzi ta wysokość?

156
00:06:49,599 --> 00:06:50,714
Z wierzchołka A.

157
00:06:50,814 --> 00:06:53,360
Do którego boku będzie zatem prostopadła?

158
00:06:53,460 --> 00:06:54,975
Do boku CB.

159
00:06:55,075 --> 00:06:57,791
Ten odcinek jest wysokością AD.

160
00:06:57,891 --> 00:07:00,268
Wysokość jest zawsze prostopadła

161
00:07:00,368 --> 00:07:01,858
do boku, na który pada.

162
00:07:02,405 --> 00:07:03,935
Rysunek gotowy.

163
00:07:04,035 --> 00:07:05,938
No to co mamy udowodnić?

164
00:07:06,038 --> 00:07:08,244
Mamy udowodnić, że kąt ACB

165
00:07:08,344 --> 00:07:10,806
jest dwa razy większy od kąta BAD.

166
00:07:10,915 --> 00:07:13,407
Gdzie znajduje się kąt ACB?

167
00:07:13,683 --> 00:07:15,164
Tutaj jest wierzchołek A

168
00:07:15,264 --> 00:07:16,635
tutaj jest wierzchołek C

169
00:07:16,735 --> 00:07:18,271
a tutaj jest wierzchołek B.

170
00:07:18,466 --> 00:07:20,319
To jest kąt ACB.

171
00:07:20,419 --> 00:07:22,367
Gdzie jest kąt BAD?

172
00:07:23,067 --> 00:07:26,719
Kąt BAD znajduje się w tym miejscu.

173
00:07:27,207 --> 00:07:29,672
Mamy zatem udowodnić, że ten kąt

174
00:07:29,772 --> 00:07:31,942
jest dwa razy większy niż ten kąt.

175
00:07:32,042 --> 00:07:34,491
Zauważ, że w treści zadania nie podano

176
00:07:34,591 --> 00:07:36,130
miary żadnego kąta.

177
00:07:36,230 --> 00:07:38,170
To oznacza, że mamy udowodnić

178
00:07:38,270 --> 00:07:40,549
że w każdym ostrokątnym trójkącie

179
00:07:40,649 --> 00:07:43,027
równoramiennym, w którym poprowadzi się

180
00:07:43,127 --> 00:07:44,127
taką wysokość

181
00:07:44,227 --> 00:07:46,449
ten kąt, który jest między ramionami

182
00:07:46,549 --> 00:07:49,147
jest dwa razy większy od kąta, który

183
00:07:49,247 --> 00:07:51,949
znajduje się między wysokością a podstawą

184
00:07:52,049 --> 00:07:53,260
tego trójkąta.

185
00:07:53,360 --> 00:07:55,821
Jeszcze raz przypomnę, że mamy udowodnić

186
00:07:55,921 --> 00:07:57,849
że ten kąt jest dwa razy większy

187
00:07:57,949 --> 00:07:59,002
od tego kąta.

188
00:07:59,102 --> 00:08:01,406
Czy byłoby nam łatwiej, gdybyśmy znali

189
00:08:01,506 --> 00:08:02,693
miarę tego kąta?

190
00:08:02,793 --> 00:08:04,095
Oczywiście, że tak.

191
00:08:04,195 --> 00:08:06,655
Możemy zatem odrobinę sobie pomóc

192
00:08:06,755 --> 00:08:08,569
szacując miarę tego kąta.

193
00:08:08,669 --> 00:08:10,547
To jest kąt ostry, który ma

194
00:08:10,647 --> 00:08:12,903
na moje oko 20 stopni.

195
00:08:13,631 --> 00:08:15,598
Spróbujmy najpierw pokazać

196
00:08:15,698 --> 00:08:17,819
że w tym konkretnym przypadku

197
00:08:17,919 --> 00:08:19,750
ten kąt jest dwa razy większy

198
00:08:19,850 --> 00:08:21,097
od tego kąta.

199
00:08:21,197 --> 00:08:23,683
Zauważ, że tutaj mamy do czynienia

200
00:08:23,783 --> 00:08:26,609
z trójkątem ABD.

201
00:08:26,709 --> 00:08:28,758
Tutaj mamy 20 stopni

202
00:08:28,858 --> 00:08:31,137
a tutaj mamy 90 stopni.

203
00:08:31,237 --> 00:08:33,023
A jaką miarę ma ten kąt?

204
00:08:33,123 --> 00:08:35,071
Spróbuj obliczyć samodzielnie.

205
00:08:39,004 --> 00:08:42,974
180 stopni odjąć 90 stopni odjąć 20 stopni

206
00:08:43,074 --> 00:08:44,637
to 70 stopni.

207
00:08:44,737 --> 00:08:47,976
Zauważ, że ten kąt jest jednocześnie

208
00:08:48,076 --> 00:08:51,156
kątem, który występuje w trójkącie ABC

209
00:08:51,256 --> 00:08:53,682
między ramieniem a podstawą.

210
00:08:53,782 --> 00:08:56,319
Co wiemy o trójkącie ABC?

211
00:08:56,419 --> 00:08:58,623
To jest trójkąt równoramienny.

212
00:08:58,841 --> 00:09:00,917
To oznacza, że w tym miejscu

213
00:09:01,017 --> 00:09:03,867
również mamy kąt, który ma 70 stopni.

214
00:09:03,967 --> 00:09:05,971
Zobacz: znamy miarę dwóch

215
00:09:06,071 --> 00:09:09,294
kątów wewnętrznych trójkąta ABC.

216
00:09:09,394 --> 00:09:12,703
Czy potrafimy teraz obliczyć miarę tego kąta?

217
00:09:15,376 --> 00:09:19,710
180 stopni odjąć 70 stopni odjąć 70 stopni

218
00:09:19,810 --> 00:09:21,228
to 40 stopni.

219
00:09:21,531 --> 00:09:22,943
Co to oznacza?

220
00:09:23,043 --> 00:09:25,197
Ten kąt jest dwa razy większy

221
00:09:25,297 --> 00:09:26,751
od tego kąta.

222
00:09:26,851 --> 00:09:29,070
Pamiętaj, że obliczenia na jednym

223
00:09:29,170 --> 00:09:31,085
konkretnym przypadku, czyli tutaj

224
00:09:31,185 --> 00:09:33,595
takim, że ten kąt ma 20 stopni

225
00:09:33,695 --> 00:09:34,975
nie są dowodem.

226
00:09:35,075 --> 00:09:37,301
My mamy udowodnić, że niezależnie

227
00:09:37,401 --> 00:09:40,251
od tego, jaki kąt będzie w tym miejscu

228
00:09:40,351 --> 00:09:42,449
to ten kąt będzie dwa razy większy

229
00:09:42,549 --> 00:09:43,833
od tego kąta.

230
00:09:43,933 --> 00:09:46,333
Zmażę teraz miary wszystkich kątów

231
00:09:46,433 --> 00:09:48,033
które mamy na tym rysunku.

232
00:09:48,133 --> 00:09:50,388
W sytuacji, gdy mamy coś udowodnić

233
00:09:50,488 --> 00:09:52,331
nie znając żadnych miar

234
00:09:52,431 --> 00:09:53,994
korzystamy ze zmiennych.

235
00:09:54,094 --> 00:09:56,422
Oznaczamy zatem miarę tego kąta

236
00:09:56,522 --> 00:09:58,498
grecką literą alfa.

237
00:09:58,598 --> 00:10:00,137
Zapisujemy zatem:

238
00:10:00,237 --> 00:10:02,879
niech kąt DAB równa się alfa.

239
00:10:03,135 --> 00:10:05,369
Udowadniając, że ten kąt jest

240
00:10:05,469 --> 00:10:07,335
dwa razy większy niż kąt alfa

241
00:10:07,435 --> 00:10:08,951
będziemy postępowali dokładnie

242
00:10:09,051 --> 00:10:10,917
w taki sam sposób jak wtedy

243
00:10:11,017 --> 00:10:13,887
gdy założyliśmy, że ten kąt ma 20 stopni.

244
00:10:13,987 --> 00:10:16,959
Teraz ten kąt ma miarę alfa.

245
00:10:17,059 --> 00:10:19,519
Skoro ten kąt ma miarę alfa

246
00:10:19,619 --> 00:10:21,710
ten kąt ma 90 stopni

247
00:10:21,810 --> 00:10:23,810
to jaką miarę ma ten kąt?

248
00:10:23,910 --> 00:10:26,942
Te trzy kąty znajdują się wewnątrz

249
00:10:27,042 --> 00:10:28,751
trójkąta ABD.

250
00:10:28,851 --> 00:10:30,682
Suma miar kątów w trójkącie

251
00:10:30,782 --> 00:10:32,867
wynosi 180 stopni.

252
00:10:32,967 --> 00:10:34,906
Miara tego kąta wynosi zatem

253
00:10:35,006 --> 00:10:38,900
180 stopni odjąć 90 stopni odjąć alfa.

254
00:10:39,000 --> 00:10:41,717
To zapisujemy tutaj w kroku pierwszym.

255
00:10:41,817 --> 00:10:44,861
Miara kąta ABD to 180 stopni

256
00:10:44,961 --> 00:10:47,484
odjąć 90 stopni odjąć alfa.

257
00:10:47,726 --> 00:10:50,531
180 stopni odjąć 90 stopni

258
00:10:50,631 --> 00:10:51,951
to 90 stopni.

259
00:10:52,051 --> 00:10:56,127
Miara tego kąta to 90 stopni odjąć alfa.

260
00:10:56,227 --> 00:10:58,665
Skorzystaliśmy z tego, że znamy sumę miar

261
00:10:58,765 --> 00:11:00,316
kątów w trójkącie ABD

262
00:11:00,416 --> 00:11:02,695
która wynosi 180 stopni.

263
00:11:02,795 --> 00:11:04,831
Zapiszę jeszcze na ilustracji

264
00:11:04,931 --> 00:11:07,199
że miara tego kąta to 90 stopni

265
00:11:07,299 --> 00:11:08,620
odjąć alfa.

266
00:11:09,129 --> 00:11:10,550
Skoro mamy do czynienia

267
00:11:10,650 --> 00:11:12,116
z trójkątem równoramiennym

268
00:11:12,216 --> 00:11:14,456
a ten kąt jest kątem między ramieniem

269
00:11:14,556 --> 00:11:17,227
a podstawą i ma 90 stopni odjąć alfa

270
00:11:17,327 --> 00:11:19,691
drugi kąt między ramieniem i podstawą

271
00:11:19,791 --> 00:11:22,326
ma również 90 stopni odjąć alfa.

272
00:11:22,426 --> 00:11:24,863
Kąt BAC jest zatem taki sam

273
00:11:24,963 --> 00:11:28,966
jak kąt ABD, czyli ma 90 stopni odjąć alfa.

274
00:11:29,066 --> 00:11:31,199
Zapiszę to jeszcze na rysunku.

275
00:11:31,299 --> 00:11:34,369
Ten kąt ma również miarę równą

276
00:11:34,469 --> 00:11:36,639
90 stopni odjąć alfa.

277
00:11:37,173 --> 00:11:40,220
Przeprowadzając dowód, przy każdym kroku

278
00:11:40,320 --> 00:11:41,944
zapisujemy, dlaczego wykonaliśmy

279
00:11:42,044 --> 00:11:43,613
takie obliczenia, a nie inne.

280
00:11:43,713 --> 00:11:44,979
W tym przypadku ten kąt

281
00:11:45,079 --> 00:11:46,523
jest taki sam, jak ten kąt

282
00:11:46,623 --> 00:11:48,986
ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny

283
00:11:49,086 --> 00:11:51,195
a miarę kąta ABD obliczyliśmy

284
00:11:51,295 --> 00:11:52,421
w punkcie pierwszym.

285
00:11:52,521 --> 00:11:55,626
Skoro wiemy, jakie miary mają te dwa kąty

286
00:11:55,726 --> 00:11:58,321
jesteśmy w stanie obliczyć miarę tego kąta

287
00:11:58,421 --> 00:12:00,470
ponieważ te trzy kąty są kątami

288
00:12:00,570 --> 00:12:02,943
wewnętrznymi trójkąta ABC.

289
00:12:03,287 --> 00:12:06,427
Miara kąta ACB, czyli tego kąta

290
00:12:06,527 --> 00:12:10,386
to 180 stopni odjąć suma miar kątów

291
00:12:10,486 --> 00:12:13,951
ABD oraz BAC, czyli tych dwóch kątów.

292
00:12:14,189 --> 00:12:16,337
Korzystamy znowu z tego, że wiemy

293
00:12:16,437 --> 00:12:19,227
ile wynosi suma kątów w trójkącie ABC.

294
00:12:19,327 --> 00:12:20,890
Wynosi ona 180 stopni

295
00:12:20,990 --> 00:12:22,468
jak w każdym trójkącie.

296
00:12:22,568 --> 00:12:25,727
Skoro te dwa kąty mają taką samą miarę

297
00:12:25,827 --> 00:12:28,368
która wynosi 90 stopni odjąć alfa

298
00:12:28,468 --> 00:12:31,355
to miara kąta ACB wynosi 180 stopni

299
00:12:31,455 --> 00:12:34,687
odjąć dwa razy 90 stopni minus alfa.

300
00:12:34,787 --> 00:12:38,015
90 stopni minus alfa znajduje się w nawiasie.

301
00:12:38,115 --> 00:12:42,694
Minus 2 razy 90 stopni to minus 180 stopni

302
00:12:42,794 --> 00:12:46,207
a minus 2 razy minus alfa to plus 2 alfa.

303
00:12:46,307 --> 00:12:49,917
180 stopni odjąć 180 stopni to 0

304
00:12:50,017 --> 00:12:52,005
więc otrzymujemy 2 alfa.

305
00:12:52,105 --> 00:12:54,591
Do obliczeń w tym kroku skorzystaliśmy

306
00:12:54,691 --> 00:12:57,077
z punktów drugiego oraz trzeciego.

307
00:12:57,177 --> 00:12:59,263
Zapiszę to jeszcze na rysunku.

308
00:12:59,363 --> 00:13:01,535
Miara kąta ACB, czyli tego kąta

309
00:13:01,635 --> 00:13:03,186
wynosi 2 alfa.

310
00:13:03,286 --> 00:13:05,663
Skoro miara tego kąta to alfa

311
00:13:05,763 --> 00:13:08,601
a miara tego kąta to 2 alfa, pokazaliśmy

312
00:13:08,701 --> 00:13:11,478
że miara kąta ACB jest 2 razy większa

313
00:13:11,578 --> 00:13:13,599
niż miara kąta DAB.

314
00:13:13,699 --> 00:13:16,927
Do obliczeń skorzystaliśmy z punktu 4.

315
00:13:17,220 --> 00:13:19,867
Dokładnie to mieliśmy udowodnić.

316
00:13:19,967 --> 00:13:21,870
Nasz dowód jest zakończony

317
00:13:21,970 --> 00:13:24,432
więc na końcu rysujemy kwadracik.

318
00:13:31,145 --> 00:13:33,525
Jeżeli nie mamy pomysłu na rozwiązanie

319
00:13:33,625 --> 00:13:35,746
zadania dowodowego, możemy spróbować

320
00:13:35,846 --> 00:13:37,919
przerobić je na zadanie rachunkowe.

321
00:13:38,019 --> 00:13:40,479
Ono często jest dużo prostsze.

322
00:13:40,579 --> 00:13:42,120
Nie wolno zapomnieć o tym

323
00:13:42,220 --> 00:13:44,147
że przykład to nie dowód!

324
00:13:44,247 --> 00:13:46,175
Trzeba go potem przerobić na dowód

325
00:13:46,275 --> 00:13:48,372
ale wtedy już wiemy, co robić.

326
00:13:52,172 --> 00:13:54,551
Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych

327
00:13:54,651 --> 00:13:56,057
lekcji z tego działu oraz

328
00:13:56,157 --> 00:13:58,988
do zasubskrybowania naszego kanału.