1
00:00:00,000 --> 00:00:02,516
Najbardziej prestiżową nagrodą przyznawaną

2
00:00:02,616 --> 00:00:05,276
za osiągnięcia w nauce jest nagroda Nobla.

3
00:00:05,376 --> 00:00:07,954
Ciekawostką jest, że nie można jej otrzymać

4
00:00:08,054 --> 00:00:09,728
za osiągnięcia w matematyce.

5
00:00:09,828 --> 00:00:12,800
Sam Nobel zastrzegł to w swoim testamencie.

6
00:00:12,900 --> 00:00:16,172
Istnieje wiele plotek dotyczących tej decyzji.

7
00:00:16,272 --> 00:00:19,315
Ustanowiono jednak inne nagrody dla matematyków

8
00:00:19,415 --> 00:00:21,216
o których dowiesz się oglądając

9
00:00:21,316 --> 00:00:23,126
pozostałe lekcje z tego działu.

10
00:00:35,265 --> 00:00:37,379
Na rysunku prostokąt ABCD

11
00:00:37,479 --> 00:00:39,679
podzielono na 6 kwadratów:

12
00:00:39,780 --> 00:00:42,634
jeden duży, dwa średnie i trzy małe.

13
00:00:42,734 --> 00:00:45,656
Uzasadnij, że pole powierzchni dużego kwadratu

14
00:00:45,756 --> 00:00:47,652
jest większe niż połowa

15
00:00:47,752 --> 00:00:50,072
powierzchni prostokąta ABCD.

16
00:00:50,173 --> 00:00:53,380
Z treści zadania wiemy, że prostokąt ABCD

17
00:00:53,480 --> 00:00:55,296
podzielono na 6 kwadratów.

18
00:00:55,396 --> 00:00:57,175
Tutaj mamy trzy małe

19
00:00:57,275 --> 00:00:58,524
tu dwa średnie

20
00:00:58,624 --> 00:01:00,058
a tu jeden duży.

21
00:01:00,160 --> 00:01:02,078
Zauważ, że nie podano nam

22
00:01:02,178 --> 00:01:03,859
długości żadnego boku.

23
00:01:04,012 --> 00:01:07,328
Znamy tylko sposób podziału dużego prostokąta.

24
00:01:07,428 --> 00:01:09,182
Mamy uzasadnić, że pole

25
00:01:09,282 --> 00:01:11,349
powierzchni dużego kwadratu

26
00:01:11,450 --> 00:01:13,037
jest większe niż połowa

27
00:01:13,137 --> 00:01:15,079
powierzchni prostokąta ABCD.

28
00:01:15,180 --> 00:01:17,940
Zauważ, że bok dużego kwadratu

29
00:01:18,040 --> 00:01:21,152
jest taki sam jak krótszy bok prostokąta.

30
00:01:21,252 --> 00:01:24,015
Spróbujmy na początku ułatwić sobie zadanie

31
00:01:24,115 --> 00:01:26,724
i przyjąć, że ten krótszy bok prostokąta

32
00:01:26,824 --> 00:01:28,756
i zarazem bok dużego kwadratu

33
00:01:28,856 --> 00:01:30,880
ma jakąś konkretną długość.

34
00:01:30,980 --> 00:01:32,672
Może ona być dowolna.

35
00:01:32,880 --> 00:01:34,830
Zwróć jednak uwagę, że tutaj

36
00:01:34,930 --> 00:01:37,023
mamy trzy identyczne kwadraty.

37
00:01:37,408 --> 00:01:39,733
Oznacza to, że lewy bok prostokąta

38
00:01:39,833 --> 00:01:42,270
podzielono na 3 jednakowe części.

39
00:01:42,370 --> 00:01:45,472
Z prawej strony mamy dwa identyczne kwadraty.

40
00:01:45,595 --> 00:01:47,647
Prawy bok prostokąta podzielono

41
00:01:47,747 --> 00:01:49,800
zatem na dwie jednakowe części.

42
00:01:49,900 --> 00:01:51,550
Jaka liczba dzieli się

43
00:01:51,650 --> 00:01:53,919
zarówno przez 3 jak i przez 2?

44
00:01:54,020 --> 00:01:55,349
Na przykład 6.

45
00:01:55,531 --> 00:01:57,664
Przyjmijmy, że długość krótszego

46
00:01:57,764 --> 00:02:00,443
boku prostokąta wynosi zatem 6.

47
00:02:00,543 --> 00:02:02,687
Moglibyśmy wybrać dowolną wartość

48
00:02:02,787 --> 00:02:05,992
ale w tym przypadku obliczenia będą prostsze.

49
00:02:06,092 --> 00:02:08,489
Powiedzieliśmy, że bok dużego kwadratu

50
00:02:08,589 --> 00:02:11,491
jest taki sam jak krótszy bok prostokąta.

51
00:02:11,592 --> 00:02:13,888
Ile wynosi pole dużego kwadratu?

52
00:02:14,362 --> 00:02:17,216
6 do kwadratu czyli 36.

53
00:02:17,748 --> 00:02:20,032
Potrzebujemy jeszcze pola prostokąta.

54
00:02:20,436 --> 00:02:24,540
Długość krótszego boku prostokąta już znamy.

55
00:02:24,640 --> 00:02:27,456
Teraz obliczymy długość dłuższego boku

56
00:02:27,583 --> 00:02:29,453
Kilka chwil temu powiedziałem

57
00:02:29,553 --> 00:02:31,656
że skoro tutaj mamy trzy kwadraty

58
00:02:31,756 --> 00:02:33,334
to krótszy bok prostokąta

59
00:02:33,434 --> 00:02:36,023
podzielono na 3 jednakowe odcinki.

60
00:02:36,488 --> 00:02:38,630
Długość boku małego kwadratu

61
00:02:38,730 --> 00:02:40,419
to jedna trzecia długości

62
00:02:40,519 --> 00:02:43,361
krótszego boku prostokąta czyli 2.

63
00:02:43,461 --> 00:02:45,766
Skoro tutaj mamy dwa kwadraty

64
00:02:45,866 --> 00:02:47,748
to krótszy bok prostokąta dzielimy

65
00:02:47,848 --> 00:02:49,547
na 2 jednakowe odcinki.

66
00:02:49,668 --> 00:02:52,296
Długość jednego z tych dwóch odcinków

67
00:02:52,396 --> 00:02:55,975
to jedna druga długości tego boku, czyli 3.

68
00:02:56,075 --> 00:02:58,765
Długość dłuższego boku prostokąta

69
00:02:58,865 --> 00:03:02,970
wynosi 2 dodać 6 dodać 3, czyli 11.

70
00:03:03,070 --> 00:03:05,856
A ile wynosi pole tego prostokąta?

71
00:03:05,956 --> 00:03:09,184
11 razy 6, czyli 66.

72
00:03:09,459 --> 00:03:11,895
Czy pole dużego kwadratu jest zatem

73
00:03:11,995 --> 00:03:15,473
większe niż połowa powierzchni prostokąta ABCD?

74
00:03:15,573 --> 00:03:17,538
Połowa powierzchni prostokąta

75
00:03:17,638 --> 00:03:21,471
to 66 podzielić przez 2, czyli 33.

76
00:03:21,572 --> 00:03:24,288
Pole dużego kwadratu to 36.

77
00:03:24,600 --> 00:03:27,104
W tym konkretnym przypadku, gdy długość

78
00:03:27,204 --> 00:03:29,664
krótszego boku prostokąta wynosi 6

79
00:03:29,764 --> 00:03:31,712
pole powierzchni dużego kwadratu

80
00:03:31,812 --> 00:03:35,040
jest większe niż połowa powierzchni prostokąta.

81
00:03:35,203 --> 00:03:37,417
Pokazanie, że coś jest prawdziwe

82
00:03:37,517 --> 00:03:39,095
tylko dla jednego przypadku

83
00:03:39,195 --> 00:03:41,592
nie jest, niestety, dowodem matematycznym.

84
00:03:41,692 --> 00:03:43,391
Jak już mówiłem, nie podano

85
00:03:43,491 --> 00:03:45,817
w treści zadania ani jednej długości.

86
00:03:45,938 --> 00:03:48,707
Mamy zatem uzasadnić, że niezależnie od tego

87
00:03:48,807 --> 00:03:51,608
jakie będą długości boków prostokąta

88
00:03:51,708 --> 00:03:53,567
pole powierzchni dużego kwadratu

89
00:03:53,667 --> 00:03:54,751
przy takim podziale

90
00:03:54,852 --> 00:03:57,824
będzie większe niż połowa powierzchni tej figury.

91
00:03:58,097 --> 00:04:00,382
Obliczenia na liczbach pomagają nam

92
00:04:00,482 --> 00:04:02,909
w ustaleniu, jaki będzie sposób myślenia.

93
00:04:03,009 --> 00:04:05,749
Zobacz. Najpierw przyjęliśmy, że długość

94
00:04:05,849 --> 00:04:08,003
krótszego boku prostokąta to 6.

95
00:04:08,256 --> 00:04:12,066
Teraz przyjmijmy, że długość boku AD to x.

96
00:04:12,380 --> 00:04:15,488
Długość boku dużego kwadratu jest taka sama

97
00:04:15,588 --> 00:04:17,536
więc również wynosi x.

98
00:04:17,777 --> 00:04:20,607
Pole kwadratu o długości boku równej x

99
00:04:20,707 --> 00:04:22,143
to x do kwadratu.

100
00:04:22,396 --> 00:04:24,539
Teraz zabierzemy się za prostokąt.

101
00:04:24,671 --> 00:04:26,395
Żeby wyznaczyć pole prostokąta

102
00:04:26,495 --> 00:04:29,055
potrzebujemy jeszcze długości dłuższego boku.

103
00:04:29,155 --> 00:04:31,716
Jak ją znaleźć? Masz jakiś pomysł?

104
00:04:35,648 --> 00:04:38,762
Długość tego odcinka to jedna trzecia

105
00:04:38,862 --> 00:04:41,692
długości tego boku, czyli jedna trzecia x.

106
00:04:42,016 --> 00:04:44,158
Ten odcinek ma długość równą

107
00:04:44,258 --> 00:04:46,358
jednej drugiej długości tego boku

108
00:04:46,458 --> 00:04:47,907
czyli jednej drugiej x.

109
00:04:48,008 --> 00:04:50,870
Długość dłuższego boku prostokąta

110
00:04:50,970 --> 00:04:54,317
jest sumą długości tych trzech odcinków.

111
00:04:54,417 --> 00:04:57,770
Aby dodać do siebie jedną trzecią x

112
00:04:57,870 --> 00:04:59,764
x oraz jedną drugą x

113
00:04:59,865 --> 00:05:03,359
sprowadzamy te 3 składniki do wspólnego mianownika

114
00:05:03,459 --> 00:05:05,663
którym jest na przykład liczba 6.

115
00:05:05,763 --> 00:05:07,199
Co otrzymujemy?

116
00:05:07,548 --> 00:05:11,571
Dwie szóste x dodać sześć szóstych x

117
00:05:11,671 --> 00:05:13,599
dodać trzy szóste x.

118
00:05:13,699 --> 00:05:16,089
To daje nam jedenaście szóstych x.

119
00:05:16,412 --> 00:05:19,743
To jest długość dłuższego boku prostokąta.

120
00:05:20,233 --> 00:05:22,143
Pole prostokąta to iloczyn

121
00:05:22,243 --> 00:05:24,761
długości krótszego boku, czyli x

122
00:05:24,861 --> 00:05:26,702
oraz długości dłuższego boku

123
00:05:26,802 --> 00:05:29,199
która wynosi jedenaście szóstych x.

124
00:05:29,299 --> 00:05:31,867
x razy jedenaście szóstych x

125
00:05:31,967 --> 00:05:34,525
to jedenaście szóstych x do kwadratu.

126
00:05:34,667 --> 00:05:36,698
W treści zadania mowa jednak

127
00:05:36,798 --> 00:05:39,043
o połowie pola prostokąta.

128
00:05:39,286 --> 00:05:41,642
Jedenaście szóstych x do kwadratu

129
00:05:41,742 --> 00:05:43,807
mnożymy zatem przez jedną drugą

130
00:05:43,907 --> 00:05:47,135
otrzymując jedenaście dwunastych x do kwadratu.

131
00:05:47,235 --> 00:05:48,927
Co jest większe?

132
00:05:49,027 --> 00:05:51,345
Pole kwadratu, czyli x kwadrat

133
00:05:51,445 --> 00:05:53,124
czy pole połowy prostokąta

134
00:05:53,224 --> 00:05:55,711
czyli jedenaście dwunastych x kwadrat?

135
00:05:59,218 --> 00:06:00,920
x do kwadratu to inaczej

136
00:06:01,020 --> 00:06:03,453
dwanaście dwunastych x do kwadratu

137
00:06:03,554 --> 00:06:04,554
a to więcej niż

138
00:06:04,654 --> 00:06:07,022
jedenaście dwunastych x do kwadratu.

139
00:06:07,355 --> 00:06:10,206
Udowodniliśmy, że pole dużego kwadratu

140
00:06:10,306 --> 00:06:12,060
to zawsze więcej niż połowa

141
00:06:12,160 --> 00:06:13,914
pola powierzchni prostokąta

142
00:06:14,015 --> 00:06:16,319
przy takim podziale, jak na rysunku.

143
00:06:16,634 --> 00:06:19,903
Kończymy nasz dowód rysując na końcu kwadracik.

144
00:06:20,003 --> 00:06:21,183
Gratulacje!

145
00:06:25,013 --> 00:06:28,127
Każdy bok trójkąta równobocznego ABC

146
00:06:28,227 --> 00:06:31,573
podzielono na trzy równe części, jak na rysunku.

147
00:06:31,695 --> 00:06:35,519
Uzasadnij, że pole czworokąta EBGH

148
00:06:35,619 --> 00:06:38,847
stanowi cztery dziewiąte pola całej figury.

149
00:06:39,326 --> 00:06:41,919
Przyjrzyjmy się dokładnie tej ilustracji.

150
00:06:42,019 --> 00:06:45,714
Wiemy, że trójkąt ABC jest równoboczny.

151
00:06:45,936 --> 00:06:48,383
Tutaj, tutaj i tutaj mamy zatem

152
00:06:48,483 --> 00:06:50,849
kąty o miarach 60 stopni.

153
00:06:51,112 --> 00:06:52,931
Każdy bok tego trójkąta

154
00:06:53,031 --> 00:06:55,418
podzielono na 3 jednakowe części.

155
00:06:55,701 --> 00:06:59,248
Przyjmijmy, że każda z nich ma długość x.

156
00:06:59,602 --> 00:07:03,935
Wewnątrz trójkąta ABC znajdują się 3 inne figury:

157
00:07:04,035 --> 00:07:06,194
Trójkąt HGC

158
00:07:06,294 --> 00:07:08,234
trójkąt AEH

159
00:07:08,334 --> 00:07:11,072
oraz czworokąt EBGH.

160
00:07:11,459 --> 00:07:14,359
Mamy uzasadnić, że pole czworokąta

161
00:07:14,459 --> 00:07:17,270
stanowi cztery dziewiąte pola całej figury.

162
00:07:17,634 --> 00:07:20,091
Zastanówmy się najpierw, jak wyznaczyć

163
00:07:20,191 --> 00:07:22,577
pole czworokąta EBGH.

164
00:07:22,759 --> 00:07:25,183
Czy masz jakiś pomysł, jak to zrobić?

165
00:07:28,318 --> 00:07:31,513
Moim zdaniem najłatwiej od pola trójkąta ABC

166
00:07:31,613 --> 00:07:34,858
odjąć pola trójkątów HGC i AEH.

167
00:07:35,020 --> 00:07:37,567
Spróbujmy zatem wyznaczyć najpierw pola

168
00:07:37,667 --> 00:07:39,073
tych dwóch trójkątów.

169
00:07:39,173 --> 00:07:41,567
Zacznijmy może od tego mniejszego.

170
00:07:41,667 --> 00:07:43,871
Czy to jest trójkąt równoboczny?

171
00:07:44,107 --> 00:07:47,007
Zauważ, że te dwa boki są identyczne.

172
00:07:47,107 --> 00:07:48,991
Tutaj mamy 60 stopni.

173
00:07:49,312 --> 00:07:52,435
Trójkąt równoramienny, który między ramionami

174
00:07:52,535 --> 00:07:55,720
ma kąt o mierze 60 stopni, jest równoboczny.

175
00:07:55,820 --> 00:07:58,131
Skoro to jest trójkąt równoboczny

176
00:07:58,231 --> 00:07:59,540
to jego pole wynosi

177
00:07:59,641 --> 00:08:03,071
x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4.

178
00:08:03,261 --> 00:08:06,399
Przenieśmy się teraz do trójkąta AEH.

179
00:08:06,499 --> 00:08:08,750
To też jest trójkąt równoboczny

180
00:08:08,850 --> 00:08:11,771
bo te dwa ramiona są identycznej długości

181
00:08:11,871 --> 00:08:14,847
a między nimi jest kąt o mierze 60 stopni.

182
00:08:15,279 --> 00:08:18,431
Bok tego trójkąta ma długość 2x.

183
00:08:18,531 --> 00:08:20,917
Pole tego trójkąta to dwa x

184
00:08:21,017 --> 00:08:22,951
w nawiasie do kwadratu

185
00:08:23,052 --> 00:08:25,255
razy pierwiastek z 3 przez 4.

186
00:08:25,710 --> 00:08:28,310
2x w nawiasie do kwadratu

187
00:08:28,410 --> 00:08:30,268
to 4x do kwadratu.

188
00:08:30,723 --> 00:08:32,909
Otrzymujemy 4x do kwadratu

189
00:08:33,009 --> 00:08:35,453
razy pierwiastek z 3 przez 4.

190
00:08:35,888 --> 00:08:37,950
W liczniku są same iloczyny

191
00:08:38,050 --> 00:08:40,363
więc skracamy czwórki i otrzymujemy

192
00:08:40,463 --> 00:08:43,007
x kwadrat razy pierwiastek z 3.

193
00:08:43,449 --> 00:08:46,118
Obliczmy teraz pole trójkąta ABC.

194
00:08:46,219 --> 00:08:49,241
Jedna część z trzech ma długość x

195
00:08:49,341 --> 00:08:52,768
więc 3 takie części będące bokiem trójkąta ABC

196
00:08:52,868 --> 00:08:55,801
mają łączną długość 3x.

197
00:08:55,901 --> 00:09:00,804
Pole trójkąta ABC to 3x w nawiasie do kwadratu

198
00:09:00,904 --> 00:09:03,422
razy pierwiastek z 3 przez 4

199
00:09:03,522 --> 00:09:05,535
czyli 9x do kwadratu

200
00:09:05,635 --> 00:09:08,351
razy pierwiastek z 3 przez 4.

201
00:09:08,476 --> 00:09:11,266
Obliczmy teraz pole czworokąta EBGH

202
00:09:11,366 --> 00:09:12,994
który pokolorowałem na różowo.

203
00:09:13,094 --> 00:09:14,611
Tak jest bardziej widoczny.

204
00:09:14,711 --> 00:09:18,654
To pole obliczamy odejmując od pola trójkąta ABC

205
00:09:18,754 --> 00:09:22,829
pole trójkąta HGC oraz pole trójkąta AEH.

206
00:09:23,405 --> 00:09:27,630
9x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4

207
00:09:27,730 --> 00:09:31,683
odjąć x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4

208
00:09:31,783 --> 00:09:36,646
odjąć 4x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4.

209
00:09:36,858 --> 00:09:39,800
Zwróć uwagę, że pole trójkąta AEH

210
00:09:39,900 --> 00:09:42,135
zapisałem w takiej postaci, a nie w takiej

211
00:09:42,235 --> 00:09:44,218
ponieważ tutaj w mianowniku mam 4

212
00:09:44,318 --> 00:09:46,177
tak jak w pozostałych ułamkach.

213
00:09:46,278 --> 00:09:49,301
Dzięki temu będę mógł łatwo wykonać odejmowanie.

214
00:09:49,401 --> 00:09:51,798
Wynikiem tego odejmowania jest ułamek

215
00:09:51,898 --> 00:09:55,689
4x do kwadratu razy pierwiastek z 3 przez 4.

216
00:09:56,265 --> 00:09:57,943
Czwórki skracamy i otrzymujemy

217
00:09:58,043 --> 00:10:00,854
x do kwadratu razy pierwiastek z 3.

218
00:10:01,198 --> 00:10:03,432
Zostało nam wyznaczenie stosunku

219
00:10:03,532 --> 00:10:06,080
pola czworokąta do pola całej figury.

220
00:10:06,180 --> 00:10:09,031
Dzielimy zatem pole czworokąta EBGH

221
00:10:09,131 --> 00:10:11,145
przez pole trójkąta ABC.

222
00:10:11,245 --> 00:10:14,399
Otrzymujemy x do kwadratu razy pierwiastek z 3

223
00:10:14,499 --> 00:10:17,057
podzielić przez ułamek, który ma w liczniku

224
00:10:17,157 --> 00:10:20,210
9x do kwadratu razy pierwiastek z 3

225
00:10:20,310 --> 00:10:21,929
a w mianowniku 4.

226
00:10:22,029 --> 00:10:24,895
Zamieńmy ten piętrowy ułamek na iloczyn.

227
00:10:25,042 --> 00:10:27,650
Przepisujemy licznik, czyli x do kwadratu

228
00:10:27,750 --> 00:10:29,146
razy pierwiastek z 3.

229
00:10:29,246 --> 00:10:31,652
To mnożymy przez odwrotność tego

230
00:10:31,752 --> 00:10:33,765
co jest w mianowniku tego ułamka

231
00:10:33,865 --> 00:10:37,060
czyli przez ułamek, który w liczniku będzie miał 4

232
00:10:37,160 --> 00:10:39,532
a w mianowniku 9 x do kwadratu

233
00:10:39,632 --> 00:10:41,278
razy pierwiastek z 3.

234
00:10:41,669 --> 00:10:43,822
Zwróć uwagę, że x do kwadratu

235
00:10:43,922 --> 00:10:46,551
razy pierwiastek z 3 możemy skrócić.

236
00:10:46,651 --> 00:10:48,977
Otrzymujemy cztery dziewiąte.

237
00:10:49,533 --> 00:10:53,991
Uzasadniliśmy, że pole czworokąta EBGH

238
00:10:54,091 --> 00:10:56,923
stanowi cztery dziewiąte pola całej figury

239
00:10:57,023 --> 00:10:59,711
czyli pola trójkąta ABC.

240
00:10:59,811 --> 00:11:01,759
To jest koniec naszego dowodu.

241
00:11:01,859 --> 00:11:04,063
Na końcu rysujemy zatem kwadracik.

242
00:11:04,163 --> 00:11:05,343
Gratulacje!

243
00:11:10,992 --> 00:11:13,286
Czasami rozwiązanie zadania dowodowego

244
00:11:13,386 --> 00:11:15,833
niewiele się różni od zadania rachunkowego.

245
00:11:15,933 --> 00:11:18,037
Różnica jest taka, że w przypadku

246
00:11:18,137 --> 00:11:20,624
zadania dowodowego z góry znamy wynik.

247
00:11:20,724 --> 00:11:22,181
Możemy zatem sprawdzić

248
00:11:22,281 --> 00:11:24,233
czy nasze obliczenia są poprawne.

249
00:11:28,569 --> 00:11:30,843
Zapraszam cię do obejrzenia kolejnych

250
00:11:30,943 --> 00:11:32,723
lekcji o dowodach matematycznych.

251
00:11:32,823 --> 00:11:35,230
Jeśli chcesz być na bieżąco z nowymi działami

252
00:11:35,330 --> 00:11:37,355
zasubskrybuj nasz kanał.