1
00:00:00,281 --> 00:00:01,970
Film pod tytułem Dowód

2
00:00:02,070 --> 00:00:04,489
opowiada o córce wybitnego matematyka

3
00:00:04,589 --> 00:00:06,197
która rezygnuje ze studiów

4
00:00:06,298 --> 00:00:08,960
aby opiekować się chorym psychicznie ojcem.

5
00:00:09,060 --> 00:00:11,496
Po jego śmierci dziewczyna ujawnia

6
00:00:11,596 --> 00:00:13,691
istnienie przełomowego dowodu.

7
00:00:13,791 --> 00:00:17,408
Twierdzi przy tym, że to ona jest jego autorką.

8
00:00:17,508 --> 00:00:20,736
Może znasz jakieś inne filmy o matematykach?

9
00:00:20,836 --> 00:00:22,272
Napisz w komentarzu.

10
00:00:33,918 --> 00:00:35,468
Bardzo ważnym narzędziem

11
00:00:35,568 --> 00:00:37,778
używanym w zadaniach na dowodzenie

12
00:00:37,878 --> 00:00:39,986
są cechy przystawania trójkątów.

13
00:00:40,087 --> 00:00:43,264
Właśnie z nich będziemy korzystać w tej lekcji.

14
00:00:47,159 --> 00:00:49,540
Proste k i m są równoległe

15
00:00:49,640 --> 00:00:52,992
a punkt C jest środkiem odcinka DB.

16
00:00:53,204 --> 00:00:55,841
Uzasadnij, że długość odcinka AC

17
00:00:55,941 --> 00:00:58,808
jest taka sama, jak długość odcinka CE.

18
00:00:59,049 --> 00:01:01,019
Z treści zadania wiemy

19
00:01:01,119 --> 00:01:04,000
że proste k oraz m są równoległe.

20
00:01:04,178 --> 00:01:06,903
Zwróć uwagę, że te dwie proste równoległe

21
00:01:07,003 --> 00:01:09,371
przecinają dwie inne proste.

22
00:01:09,669 --> 00:01:12,448
Z treści zadania wiemy również, że punkt C

23
00:01:12,548 --> 00:01:14,752
jest środkiem odcinka DB.

24
00:01:14,935 --> 00:01:17,056
Punkt C znajduje się tutaj.

25
00:01:17,194 --> 00:01:19,360
Odcinek DB tutaj.

26
00:01:19,460 --> 00:01:22,757
Wiemy zatem z treści zadania, że odcinek DC

27
00:01:22,857 --> 00:01:25,884
ma taką samą długość, jak odcinek CB.

28
00:01:26,134 --> 00:01:28,690
Skoro mamy do czynienia z zadaniem dowodowym

29
00:01:28,790 --> 00:01:31,094
musimy zapisywać wszystkie wnioski.

30
00:01:31,194 --> 00:01:33,827
Zapisujemy zatem, że długość odcinka DC

31
00:01:33,927 --> 00:01:36,649
jest taka sama, jak długość odcinka CB.

32
00:01:36,749 --> 00:01:38,560
Wiemy to z treści zadania.

33
00:01:39,230 --> 00:01:42,622
Mamy udowodnić, że długość odcinka AC

34
00:01:42,722 --> 00:01:45,693
jest taka sama, jak długość odcinka CE.

35
00:01:45,814 --> 00:01:48,113
Zwróć uwagę, że na tym rysunku

36
00:01:48,213 --> 00:01:50,718
znajdują się tutaj dwa trójkąty.

37
00:01:50,951 --> 00:01:52,652
Gdybyśmy tylko pokazali

38
00:01:52,752 --> 00:01:55,139
że to są dwa identyczne trójkąty

39
00:01:55,240 --> 00:01:57,680
moglibyśmy wyciągnąć z tego wniosek

40
00:01:57,780 --> 00:02:00,390
że długość odcinka AC jest taka sama

41
00:02:00,490 --> 00:02:02,464
jak długość odcinka CE.

42
00:02:02,697 --> 00:02:05,696
Zbadajmy zatem bliżej te dwa trójkąty.

43
00:02:06,065 --> 00:02:08,768
Czy mają one jakieś identyczne kąty?

44
00:02:08,868 --> 00:02:09,868
Ano, mają.

45
00:02:10,037 --> 00:02:13,632
Zwróć uwagę, że te dwie proste się przecinają.

46
00:02:13,732 --> 00:02:15,801
W wyniku przecięcia dwóch prostych

47
00:02:15,901 --> 00:02:17,779
powstają kąty wierzchołkowe.

48
00:02:17,879 --> 00:02:20,239
Kątami wierzchołkowymi są na przykład

49
00:02:20,339 --> 00:02:22,845
kąt ACB, czyli ten kąt

50
00:02:22,945 --> 00:02:25,745
oraz kąt DCE, czyli ten kąt.

51
00:02:25,971 --> 00:02:27,740
Skoro to są kąty wierzchołkowe

52
00:02:27,840 --> 00:02:29,942
to mają one identyczną miarę.

53
00:02:30,095 --> 00:02:32,234
Miara kąta ACB jest taka sama

54
00:02:32,334 --> 00:02:34,018
jak miara kąta DCE

55
00:02:34,118 --> 00:02:36,292
bo są to kąty wierzchołkowe.

56
00:02:36,752 --> 00:02:39,324
Jeszcze raz przypomnę, że chcemy pokazać

57
00:02:39,424 --> 00:02:42,009
że te dwa trójkąty są identyczne.

58
00:02:42,109 --> 00:02:46,144
Dwa identyczne trójkąty nazywamy przystającymi.

59
00:02:46,270 --> 00:02:47,749
Czy pamiętasz, jakie są

60
00:02:47,849 --> 00:02:49,727
cechy przystawania trójkątów?

61
00:02:49,828 --> 00:02:52,509
Jedną z nich jest kąt-bok-kąt.

62
00:02:52,734 --> 00:02:55,104
Dlaczego akurat wybrałem tę cechę?

63
00:02:55,395 --> 00:02:57,685
Patrząc na ten rysunek widzę

64
00:02:57,785 --> 00:03:00,690
że ten bok w tym trójkącie jest taki sam

65
00:03:00,790 --> 00:03:02,784
jak ten bok w tym trójkącie.

66
00:03:02,984 --> 00:03:04,471
Mamy zatem po jednym

67
00:03:04,571 --> 00:03:07,135
identycznym boku w obu trójkątach.

68
00:03:07,486 --> 00:03:09,536
Wiemy jeszcze, że kąty przy bokach

69
00:03:09,636 --> 00:03:12,334
o takiej samej długości są identyczne.

70
00:03:12,455 --> 00:03:16,310
Jeżeli uzasadnimy, że te dwa kąty są identyczne

71
00:03:16,410 --> 00:03:19,505
będziemy mogli skorzystać z cechy kąt-bok-kąt

72
00:03:19,605 --> 00:03:21,845
która uzasadnia, że te dwa trójkąty

73
00:03:21,945 --> 00:03:24,650
są przystające, czyli identyczne.

74
00:03:24,843 --> 00:03:27,464
Skoro te dwie proste są równoległe

75
00:03:27,564 --> 00:03:29,804
i te dwie proste przecina ta prosta

76
00:03:29,904 --> 00:03:32,947
to oznacza, że te dwa kąty są identyczne.

77
00:03:33,047 --> 00:03:35,801
Będąc bardziej precyzyjnym możemy powiedzieć

78
00:03:35,901 --> 00:03:38,382
że to są kąty naprzemianległe.

79
00:03:38,482 --> 00:03:41,696
Zapisujemy zatem, że miara kąta ABC

80
00:03:41,796 --> 00:03:44,256
czyli tego kąta, który jest tutaj

81
00:03:44,356 --> 00:03:47,088
jest taka sama jak miara kąta CDE

82
00:03:47,188 --> 00:03:49,814
czyli kąta, który znajduje się tutaj.

83
00:03:49,914 --> 00:03:53,150
Zapisujemy jeszcze, że to są kąty naprzemianległe

84
00:03:53,250 --> 00:03:55,031
które powstały w wyniku przecięcia

85
00:03:55,131 --> 00:03:58,448
prostych równoległych k oraz m inną prostą.

86
00:03:59,091 --> 00:04:02,090
Skoro kąty znajdujące się w dwóch trójkątach

87
00:04:02,190 --> 00:04:04,619
przy bokach, które mają taką samą długość

88
00:04:04,719 --> 00:04:06,806
są identyczne, to mamy do czynienia

89
00:04:06,906 --> 00:04:09,003
z cechą kąt-bok-kąt.

90
00:04:09,398 --> 00:04:12,171
Na mocy tej cechy wiemy, że trójkąt ABC

91
00:04:12,271 --> 00:04:15,395
jest przystający do trójkąta DEC.

92
00:04:15,588 --> 00:04:17,646
Trójkąty przystające to inaczej

93
00:04:17,746 --> 00:04:19,841
trójkąty, które są identyczne.

94
00:04:19,941 --> 00:04:22,462
To oznacza, że boki, które znajdują się

95
00:04:22,562 --> 00:04:25,811
naprzeciw kąta zielonego są takie same.

96
00:04:25,911 --> 00:04:27,775
Mają taką samą długość.

97
00:04:27,875 --> 00:04:30,190
To oznacza, że odcinek AC

98
00:04:30,290 --> 00:04:33,217
ma taką samą długość, jak odcinek CE.

99
00:04:33,669 --> 00:04:36,225
Zapisujemy zatem, że stąd wynika

100
00:04:36,325 --> 00:04:37,954
że długość odcinka AC

101
00:04:38,054 --> 00:04:41,113
jest taka sama jak długość odcinka CE.

102
00:04:41,258 --> 00:04:43,391
To właśnie mieliśmy uzasadnić.

103
00:04:43,613 --> 00:04:46,975
Kończymy nasz dowód rysując na końcu kwadracik.

104
00:04:51,050 --> 00:04:53,375
Teraz zajmiemy się takim zadaniem.

105
00:04:53,475 --> 00:04:55,473
Uzasadnij, że jeśli wysokość

106
00:04:55,573 --> 00:04:58,290
dzieli podstawę na dwa równe odcinki

107
00:04:58,390 --> 00:05:00,769
to trójkąt jest równoramienny.

108
00:05:00,906 --> 00:05:02,330
W przypadku dowód

109
00:05:02,430 --> 00:05:04,764
nie obejdzie się bez rysunku.

110
00:05:04,864 --> 00:05:06,431
Od czego zatem zaczniemy?

111
00:05:06,531 --> 00:05:08,479
Od narysowania podstawy.

112
00:05:08,579 --> 00:05:11,060
Rysujemy zatem odcinek AB.

113
00:05:11,160 --> 00:05:12,831
To będzie nasza podstawa.

114
00:05:12,931 --> 00:05:15,474
Mamy uzasadnić, że jeśli wysokość

115
00:05:15,574 --> 00:05:17,955
dzieli podstawę na dwa równe odcinki

116
00:05:18,055 --> 00:05:19,806
to trójkąt jest równoramienny.

117
00:05:20,233 --> 00:05:21,745
Rysujemy zatem odcinek

118
00:05:21,845 --> 00:05:24,067
który będzie wysokością trójkąta

119
00:05:24,168 --> 00:05:27,067
i rysujemy go tak, aby podzielił podstawę

120
00:05:27,167 --> 00:05:29,983
czyli odcinek AB, na dwa równe odcinki.

121
00:05:31,681 --> 00:05:35,411
Zobacz: na rysunku pojawił się odcinek CD.

122
00:05:35,511 --> 00:05:38,943
Jest on prostopadły do odcinka AB.

123
00:05:39,391 --> 00:05:42,365
Odcinek, który będzie wysokością naszego trójkąta

124
00:05:42,465 --> 00:05:45,436
dzieli podstawę AB na 2 jednakowe odcinki.

125
00:05:45,536 --> 00:05:47,135
Zaznaczamy to w taki sposób.

126
00:05:47,671 --> 00:05:49,738
W tym momencie możemy zapisać

127
00:05:49,838 --> 00:05:51,321
że długość odcinka AD

128
00:05:51,421 --> 00:05:54,344
jest taka sama, jak długość odcinka DB.

129
00:05:54,444 --> 00:05:56,426
Zapisaliśmy to w tym miejscu.

130
00:05:56,526 --> 00:05:58,399
Wiemy to z treści zadania.

131
00:05:58,525 --> 00:06:01,552
Możemy również zapisać, że kąt ADC

132
00:06:01,652 --> 00:06:03,346
czyli kąt, który znajduje się

133
00:06:03,446 --> 00:06:05,558
w tym miejscu, ma 90 stopni

134
00:06:05,659 --> 00:06:09,151
i to jest taki sam kąt, jak kąt BDC

135
00:06:09,251 --> 00:06:11,455
czyli ten kąt, który jest tutaj.

136
00:06:11,555 --> 00:06:12,991
A skąd to wiemy?

137
00:06:13,108 --> 00:06:15,624
Odcinek CD jest wysokością.

138
00:06:15,724 --> 00:06:17,855
Tak było podane w treści zadania.

139
00:06:18,390 --> 00:06:21,276
Aby otrzymać trójkąt, którego wysokość

140
00:06:21,376 --> 00:06:23,899
dzieli podstawę na 2 jednakowe odcinki

141
00:06:23,999 --> 00:06:27,756
wystarczy narysować odcinki CB oraz CA.

142
00:06:27,965 --> 00:06:30,779
Mamy uzasadnić, że trójkąt ABC

143
00:06:30,879 --> 00:06:33,600
jest trójkątem równoramiennym.

144
00:06:33,962 --> 00:06:36,961
Jeżeli pokażemy, że długość odcinka AC

145
00:06:37,061 --> 00:06:39,534
jest taka sama jak długość odcinka CB

146
00:06:39,634 --> 00:06:42,508
to pokażemy, że to jest trójkąt równoramienny.

147
00:06:42,608 --> 00:06:45,330
Jak to zrobić? Czy masz jakiś pomysł?

148
00:06:48,851 --> 00:06:51,538
Zauważ, że odcinek CD

149
00:06:51,638 --> 00:06:54,462
dzieli trójkąt ABC na 2 trójkąty.

150
00:06:54,563 --> 00:06:57,241
Pierwszy trójkąt to ADC.

151
00:06:57,341 --> 00:07:00,095
Drugi trójkąt to DBC.

152
00:07:00,195 --> 00:07:02,655
Co możemy powiedzieć o tych dwóch trójkątach?

153
00:07:03,041 --> 00:07:05,215
Te boki są identyczne.

154
00:07:05,315 --> 00:07:08,459
Te dwa trójkąty mają również jeden wspólny bok

155
00:07:08,559 --> 00:07:11,916
który jest zarazem wysokością trójkąta ABC.

156
00:07:12,021 --> 00:07:15,076
To bardzo ważna informacja, zapiszmy ją.

157
00:07:15,325 --> 00:07:20,141
Odcinek CD to wspólny bok trójkątów ADC i DBC.

158
00:07:20,599 --> 00:07:23,919
Zobacz, zebraliśmy pewien zestaw informacji.

159
00:07:24,019 --> 00:07:26,709
Czy na jego podstawie jesteśmy w stanie stwierdzić

160
00:07:26,809 --> 00:07:30,391
że trójkąt ADC jest taki sam jak trójkąt DBC?

161
00:07:30,491 --> 00:07:32,071
Jak myślisz?

162
00:07:35,666 --> 00:07:37,534
Mamy tutaj do czynienia z jedną

163
00:07:37,634 --> 00:07:39,433
z cech przystawania trójkątów

164
00:07:39,533 --> 00:07:42,240
mianowicie z cechą bok-kąt-bok.

165
00:07:42,868 --> 00:07:48,211
Trójkąty ADC oraz DBC mają po 2 identyczne boki

166
00:07:48,311 --> 00:07:51,607
oraz kąt między tymi bokami jest identyczny.

167
00:07:51,808 --> 00:07:54,967
Na mocy cechy bok-kąt-bok możemy powiedzieć

168
00:07:55,067 --> 00:07:57,951
że te dwa trójkąty są przystające

169
00:07:58,051 --> 00:07:59,743
czyli, że są identyczne.

170
00:07:59,984 --> 00:08:02,476
Zapisujemy zatem, że trójkąt ADC

171
00:08:02,576 --> 00:08:04,976
jest przystający do trójkąta DBC

172
00:08:05,076 --> 00:08:07,167
na mocy cechy bok-kąt-bok.

173
00:08:07,348 --> 00:08:08,570
Co za tym idzie?

174
00:08:08,670 --> 00:08:10,982
Skoro te dwa trójkąty są identyczne

175
00:08:11,082 --> 00:08:12,484
to długość boku AC

176
00:08:12,584 --> 00:08:15,358
jest taka sama jak długość boku BC.

177
00:08:15,685 --> 00:08:17,407
Zapiszmy jeszcze ten wniosek.

178
00:08:17,507 --> 00:08:19,962
Długość odcinka AC jest taka sama

179
00:08:20,062 --> 00:08:21,682
jak długość odcinka BC

180
00:08:21,782 --> 00:08:25,059
bo trójkąty ADC i DBC są przystające.

181
00:08:25,806 --> 00:08:28,875
Trójkąt, który ma dwa boki tej samej długości

182
00:08:28,975 --> 00:08:31,112
jest trójkątem równoramiennym.

183
00:08:31,212 --> 00:08:33,170
To właśnie mieliśmy udowodnić.

184
00:08:33,270 --> 00:08:34,935
Skoro dowód jest zakończony

185
00:08:35,035 --> 00:08:36,763
na końcu rysujemy kwadracik.

186
00:08:36,864 --> 00:08:38,143
Gratulacje!

187
00:08:43,364 --> 00:08:45,065
Bardzo ważnym narzędziem

188
00:08:45,165 --> 00:08:47,360
w rozwiązywaniu zadań dowodowych

189
00:08:47,460 --> 00:08:49,610
są cechy przystawania trójkątów.

190
00:08:49,711 --> 00:08:51,385
Mamy 3 takie cechy.

191
00:08:51,485 --> 00:08:52,975
Używamy ich na przykład

192
00:08:53,076 --> 00:08:55,807
do uzasadniania równości dwóch odcinków.

193
00:08:56,051 --> 00:08:59,106
Pamiętaj o powołaniu się na odpowiednią cechę

194
00:08:59,206 --> 00:09:01,181
oraz uzasadnieniu równości

195
00:09:01,281 --> 00:09:03,333
odpowiednich boków i kątów.

196
00:09:06,349 --> 00:09:07,884
Zapraszam cię do obejrzenia

197
00:09:07,984 --> 00:09:09,813
pozostałych lekcji z tego działu

198
00:09:09,914 --> 00:09:11,203
oraz do odwiedzenia

199
00:09:11,303 --> 00:09:14,002
naszej strony internetowej: pistacja.tv