1
00:00:00,512 --> 00:00:02,152
Każdy wielomian możemy rozłożyć

2
00:00:02,152 --> 00:00:04,240
na czynniki stopnia pierwszego.

3
00:00:04,408 --> 00:00:07,004
Na przykład wielomian x kwadrat dodać 1

4
00:00:07,098 --> 00:00:10,417
możemy zapisać jako, w nawiasie x dodać i

5
00:00:10,417 --> 00:00:12,800
razy w nawiasie x odjąć i.

6
00:00:13,312 --> 00:00:15,872
i jest tak zwaną liczbą urojoną

7
00:00:15,872 --> 00:00:17,457
i równa jest pierwiastkowi

8
00:00:17,457 --> 00:00:18,722
z minus jedynki.

9
00:00:18,960 --> 00:00:20,491
Możesz pomyśleć, że taka liczba

10
00:00:20,491 --> 00:00:22,870
nie istnieje, ale jest ona skutecznie

11
00:00:22,870 --> 00:00:25,062
wykorzystywana przez fizyków do opisów

12
00:00:25,062 --> 00:00:27,378
prądu przemiennego oraz przy badaniu

13
00:00:27,378 --> 00:00:29,072
cząstek materii.

14
00:00:41,086 --> 00:00:43,092
W pierwszym przykładzie należy rozłożyć

15
00:00:43,092 --> 00:00:45,049
wielomian na iloczyn czynników

16
00:00:45,049 --> 00:00:46,680
o jak najniższym stopniu.

17
00:00:46,804 --> 00:00:48,278
Czy masz jakiś pomysł?

18
00:00:48,280 --> 00:00:50,454
Nie możemy zgrupować żadnych wyrazów

19
00:00:50,458 --> 00:00:52,122
bo mamy trzy składniki.

20
00:00:52,476 --> 00:00:53,960
Delty też nie policzymy

21
00:00:53,960 --> 00:00:56,084
bo x występuje w trzeciej potędze.

22
00:00:56,632 --> 00:00:58,876
Okazuje się, że do rozkładania wielomianów

23
00:00:58,876 --> 00:01:01,524
na czynniki można użyć również twierdzenia

24
00:01:01,532 --> 00:01:03,744
o pierwiastkach całkowitych wielomianów.

25
00:01:04,036 --> 00:01:06,144
Przypomnę Ci, że pierwiastki całkowite

26
00:01:06,144 --> 00:01:08,924
wielomianu o współczynnikach całkowitych

27
00:01:08,924 --> 00:01:11,288
muszą być dzielnikami wyrazu wolnego.

28
00:01:11,786 --> 00:01:14,018
W naszym przypadku p jest dzielnikiem

29
00:01:14,018 --> 00:01:16,239
jedynki, zatem należy do zbioru

30
00:01:16,239 --> 00:01:18,182
plus minus 1.

31
00:01:18,182 --> 00:01:20,446
Sprawdźmy, czy jedynka jest pierwiastkiem

32
00:01:20,446 --> 00:01:23,132
W od x, korzystając ze schematu Hornera.

33
00:01:23,456 --> 00:01:25,356
Rysujemy tabelę, wypełniamy ją

34
00:01:25,360 --> 00:01:27,688
współczynnikami wielomianu W od x

35
00:01:27,688 --> 00:01:30,288
a w pierwszej kolumnie wpisujemy jedynkę.

36
00:01:30,374 --> 00:01:32,422
Dwójkę przepisujemy do wiersza niżej.

37
00:01:32,984 --> 00:01:35,544
2 razy 1 dodać 0 to 2

38
00:01:36,512 --> 00:01:40,096
2 razy 1 odjąć 3 daje –1

39
00:01:40,338 --> 00:01:44,178
i w końcu –1 razy 1 dodać 1 to 0

40
00:01:44,720 --> 00:01:46,346
czyli jedynka jest pierwiastkiem

41
00:01:46,346 --> 00:01:47,684
naszego wielomianu.

42
00:01:48,032 --> 00:01:50,176
Zwróć uwagę, że wykonaliśmy jednocześnie

43
00:01:50,176 --> 00:01:53,508
dzielenie W od x przez dwumian x odjąć 1.

44
00:01:53,906 --> 00:01:55,952
Wynikiem tego dzielenia jest

45
00:01:56,044 --> 00:01:59,448
2x kwadrat dodać 2x odjąć 1.

46
00:02:00,050 --> 00:02:01,992
Jeśli pomnożymy obie strony przez

47
00:02:01,992 --> 00:02:05,390
x odjąć 1 to otrzymamy, że W od x

48
00:02:05,390 --> 00:02:07,988
równa się w nawiasie x odjąć 1

49
00:02:08,272 --> 00:02:10,732
razy w nawiasie 2x kwadrat dodać

50
00:02:10,732 --> 00:02:12,868
2x odjąć 1.

51
00:02:13,462 --> 00:02:14,230
Co dalej?

52
00:02:14,656 --> 00:02:15,680
Policzmy deltę.

53
00:02:16,192 --> 00:02:19,776
2 do kwadratu odjąć 4 razy 2 razy –1

54
00:02:20,288 --> 00:02:21,568
równa się 12.

55
00:02:21,950 --> 00:02:24,138
Pierwiastek z delty, czyli pierwiastek

56
00:02:24,138 --> 00:02:26,230
z dwunastu możemy uprościć do postaci

57
00:02:26,230 --> 00:02:28,212
2 razy pierwiastek z trzech.

58
00:02:28,436 --> 00:02:30,120
Podstawiamy tę wartość do wzoru

59
00:02:30,120 --> 00:02:32,128
na pierwiastki funkcji kwadratowej.

60
00:02:32,576 --> 00:02:36,157
x równa się –2 odjąć 2 pierwiastki

61
00:02:36,157 --> 00:02:38,946
z trzech, podzielić przez 2 razy 2

62
00:02:38,946 --> 00:02:40,417
a to równe jest

63
00:02:40,417 --> 00:02:44,340
–1/2 odjąć pierwiastek z trzech przez 2.

64
00:02:44,864 --> 00:02:47,008
Drugi wzór różni się jedynie znakiem

65
00:02:47,008 --> 00:02:49,826
przy pierwiastku z delty, więc x równa się

66
00:02:49,826 --> 00:02:53,056
–1/2 dodać pierwiastek z trzech przez 2.

67
00:02:53,568 --> 00:02:56,128
Zapisujemy: W od x równa się

68
00:02:56,384 --> 00:02:58,176
w nawiasie x odjąć 1

69
00:02:58,176 --> 00:03:00,940
razy 2 w nawiasie x dodać 1/2

70
00:03:00,940 --> 00:03:02,848
dodać pierwiastek z trzech przez 2

71
00:03:03,252 --> 00:03:05,528
razy w nawiasie x dodać 1/2

72
00:03:05,582 --> 00:03:08,358
odjąć pierwiastek z trzech przez 2.

73
00:03:08,358 --> 00:03:10,412
W każdym z nawiasów uzyskaliśmy

74
00:03:10,430 --> 00:03:12,148
wyrażenie stopnia pierwszego

75
00:03:12,182 --> 00:03:13,789
dlatego jest to rozwiązanie

76
00:03:13,789 --> 00:03:14,962
naszego zadania.

77
00:03:19,480 --> 00:03:21,292
Kolejny przykład również polega

78
00:03:21,292 --> 00:03:22,856
na rozłożeniu wielomianu W od x

79
00:03:22,856 --> 00:03:23,864
na czynniki.

80
00:03:24,288 --> 00:03:26,484
Zatrzymaj film, skorzystaj z twierdzenia

81
00:03:26,708 --> 00:03:28,416
o pierwiastkach całkowitych

82
00:03:28,420 --> 00:03:30,412
i samodzielnie rozwiąż to zadanie.

83
00:03:34,528 --> 00:03:36,692
Jeśli p jest całkowitym pierwiastkiem

84
00:03:36,692 --> 00:03:38,716
W od x, to musi być dzielnikiem wyrazu

85
00:03:38,716 --> 00:03:40,916
wolnego, czyli osiemnastki.

86
00:03:41,150 --> 00:03:43,198
Zatem p należy do zbioru

87
00:03:43,264 --> 00:03:45,948
plus minus 1, plus minus 2

88
00:03:46,350 --> 00:03:48,910
plus minus 3, plus minus 6

89
00:03:49,066 --> 00:03:51,882
plus minus 9 i plus minus 18.

90
00:03:52,704 --> 00:03:54,878
Sprawdźmy, czy któraś z tych liczb jest

91
00:03:54,878 --> 00:03:56,444
rzeczywiście pierwiastkiem

92
00:03:56,444 --> 00:03:57,588
naszego wielomianu.

93
00:03:58,086 --> 00:04:00,134
Zróbmy to wykorzystując schemat Hornera.

94
00:04:00,640 --> 00:04:01,694
Rysujemy tabelę

95
00:04:01,718 --> 00:04:03,946
wypełniamy ją współczynnikami W od x

96
00:04:04,140 --> 00:04:05,743
a w pierwszej kolumnie wpisujemy

97
00:04:05,743 --> 00:04:07,084
minus jedynkę.

98
00:04:07,212 --> 00:04:09,260
Jedynkę przepisujemy do wiersza poniżej.

99
00:04:10,158 --> 00:04:13,440
1 razy –1 dodać 8 to 7

100
00:04:13,952 --> 00:04:17,791
7 razy –1 dodać 21 daje 14

101
00:04:18,303 --> 00:04:21,375
i 14 razy –1 dodać 18

102
00:04:21,631 --> 00:04:22,399
to 4.

103
00:04:22,911 --> 00:04:24,511
–1 nie jest pierwiastkiem

104
00:04:24,511 --> 00:04:25,727
naszego wielomianu.

105
00:04:26,059 --> 00:04:27,339
Sprawdźmy teraz jedynkę.

106
00:04:27,801 --> 00:04:29,081
Jedynkę przepisujemy.

107
00:04:29,823 --> 00:04:32,383
1 razy 1 dodać 8 daje 9

108
00:04:32,895 --> 00:04:36,223
9 razy 1 dodać 21 to 30

109
00:04:36,991 --> 00:04:40,319
i 30 razy 1 dodać 18

110
00:04:40,319 --> 00:04:41,599
daje 48.

111
00:04:42,157 --> 00:04:43,246
Jedynka też nie jest

112
00:04:43,246 --> 00:04:44,717
poszukiwanym pierwiastkiem.

113
00:04:45,439 --> 00:04:46,719
Sprawdźmy minus dwójkę.

114
00:04:47,051 --> 00:04:48,331
Jedynkę przepisujemy.

115
00:04:49,279 --> 00:04:53,119
1 razy –2 dodać 8 to 6

116
00:04:53,657 --> 00:04:57,753
6 razy –2 dodać 21 daje 9

117
00:04:58,495 --> 00:05:02,591
i 9 razy –2 dodać 18 to 0.

118
00:05:03,103 --> 00:05:05,079
Stąd wynika, że –2

119
00:05:05,079 --> 00:05:07,443
jest pierwiastkiem tego wielomianu.

120
00:05:07,847 --> 00:05:10,151
Jednocześnie wykonaliśmy dzielenie W od x

121
00:05:10,151 --> 00:05:12,333
przez dwumian x dodać 2.

122
00:05:13,163 --> 00:05:14,569
W wyniku tego dzielenia

123
00:05:14,569 --> 00:05:17,159
otrzymaliśmy wielomian x kwadrat

124
00:05:17,425 --> 00:05:19,729
dodać 6x dodać 9.

125
00:05:20,511 --> 00:05:22,456
Jeśli obie strony pomnożymy przez

126
00:05:22,456 --> 00:05:25,335
x dodać 2 to otrzymamy, że W od x

127
00:05:25,335 --> 00:05:28,731
równa się, w nawiasie x dodać 2 razy

128
00:05:28,731 --> 00:05:32,031
w nawiasie x kwadrat dodać 6x dodać 9.

129
00:05:32,559 --> 00:05:34,607
Jesteśmy już coraz bliżej rozwiązania.

130
00:05:34,843 --> 00:05:36,423
Co dalej z naszym wielomianem?

131
00:05:36,895 --> 00:05:38,591
Zauważ, że w drugim nawiasie

132
00:05:38,715 --> 00:05:41,315
ukryty jest wzór skróconego mnożenia.

133
00:05:41,759 --> 00:05:43,551
6 to 2 razy 3

134
00:05:43,807 --> 00:05:45,599
a 9 to 3 do kwadratu.

135
00:05:45,855 --> 00:05:47,391
Zapiszmy więc odpowiedź:

136
00:05:47,733 --> 00:05:50,877
W od x równa się, w nawiasie x dodać 2

137
00:05:50,901 --> 00:05:52,636
razy w nawiasie x dodać 3

138
00:05:52,636 --> 00:05:54,267
podniesiono do kwadratu.

139
00:05:54,861 --> 00:05:57,165
Przejdźmy do ostatniego przykładu.

140
00:06:02,275 --> 00:06:03,555
Kontynuujemy rozkładanie

141
00:06:03,555 --> 00:06:04,835
wielomianów na czynniki.

142
00:06:05,567 --> 00:06:07,615
W jaki sposób ugryźć ten przykład?

143
00:06:07,957 --> 00:06:09,885
Zatrzymaj film i zapisz W od x

144
00:06:09,885 --> 00:06:11,885
w postaci iloczynowej.

145
00:06:15,341 --> 00:06:16,823
Zacznijmy od wyciągnięcia

146
00:06:16,823 --> 00:06:18,431
2x kwadrat przed nawias.

147
00:06:18,639 --> 00:06:20,431
W nawiasie pozostanie nam wtedy

148
00:06:20,431 --> 00:06:22,885
x do czwartej dodać x do trzeciej

149
00:06:22,885 --> 00:06:26,815
dodać x kwadrat odjąć 9x odjąć 10.

150
00:06:27,127 --> 00:06:28,784
Tak jak poprzednio, skorzystamy

151
00:06:28,784 --> 00:06:30,238
z twierdzenia o pierwiastkach

152
00:06:30,238 --> 00:06:31,767
całkowitych wielomianu.

153
00:06:32,091 --> 00:06:33,575
p jest dzielnikiem dziesiątki

154
00:06:33,699 --> 00:06:35,863
czyli p należy do zbioru

155
00:06:36,117 --> 00:06:40,127
plus minus 1, plus minus 2, plus minus 5

156
00:06:40,127 --> 00:06:41,331
i plus minus 10.

157
00:06:41,651 --> 00:06:43,529
Sprawdźmy, czy minus jedynka jest

158
00:06:43,529 --> 00:06:45,863
miejscem zerowym wyrażenia w nawiasie

159
00:06:45,903 --> 00:06:47,813
korzystając ze schematu Hornera.

160
00:06:47,849 --> 00:06:49,175
Narysujmy tabelę.

161
00:06:49,225 --> 00:06:51,140
Wypełnijmy ją współczynnikami

162
00:06:51,647 --> 00:06:54,207
i po lewej stronie wpiszmy minus jedynkę.

163
00:06:54,479 --> 00:06:56,059
Jedynkę przepisujemy.

164
00:06:56,767 --> 00:07:00,095
1 razy –1 dodać 1 to 0

165
00:07:00,607 --> 00:07:03,935
0 razy –1 dodać 1 daje 1

166
00:07:04,447 --> 00:07:08,287
1 razy –1 odjąć 9 to –10

167
00:07:08,559 --> 00:07:13,415
i w końcu –10 razy –1 odjąć 10 daje 0

168
00:07:13,415 --> 00:07:15,813
czyli –1 jest miejscem zerowym

169
00:07:15,813 --> 00:07:17,491
wyrażenia w nawiasie.

170
00:07:17,765 --> 00:07:19,839
Policzyliśmy jednocześnie wynik dzielenia

171
00:07:19,860 --> 00:07:21,516
wyrażenia x do czwartej dodać

172
00:07:21,516 --> 00:07:23,732
x do trzeciej dodać x kwadrat odjąć

173
00:07:23,732 --> 00:07:27,487
9x odjąć 10 przez dwumian x dodać 1

174
00:07:27,487 --> 00:07:29,535
którym jest wielomian x do trzeciej

175
00:07:29,577 --> 00:07:32,215
dodać x odjąć 10.

176
00:07:32,733 --> 00:07:33,929
Po pomnożeniu obu stron

177
00:07:33,929 --> 00:07:36,849
przez x dodać 1 otrzymamy takie wyrażenie.

178
00:07:37,727 --> 00:07:39,593
Jesteśmy coraz bliżej rozwiązania

179
00:07:39,593 --> 00:07:42,975
ponieważ W od x równa się 2x do kwadratu

180
00:07:42,975 --> 00:07:45,946
razy w nawiasie x dodać 1 razy w nawiasie

181
00:07:45,946 --> 00:07:48,894
x do trzeciej dodać x odjąć 10.

182
00:07:50,131 --> 00:07:50,899
Co dalej?

183
00:07:51,295 --> 00:07:54,111
Należy rozbić ten nawias na czynniki.

184
00:07:54,111 --> 00:07:55,391
Masz jakiś pomysł?

185
00:07:55,753 --> 00:07:57,543
Grupowanie wyrazów nie zadziała

186
00:07:57,543 --> 00:07:59,831
wzorów skróconego mnożenia też nie widać.

187
00:08:00,105 --> 00:08:01,907
Ponownie skorzystajmy z twierdzenia

188
00:08:01,951 --> 00:08:03,515
o pierwiastkach całkowitych.

189
00:08:03,639 --> 00:08:05,327
p jest dzielnikiem dziesiątki

190
00:08:05,327 --> 00:08:06,999
zatem p należy do zbioru

191
00:08:07,233 --> 00:08:09,411
plus minus 1, plus minus 2

192
00:08:09,437 --> 00:08:11,741
plus minus 5 i plus minus 10.

193
00:08:12,333 --> 00:08:14,381
Znowu użyjemy schematu Hornera.

194
00:08:14,617 --> 00:08:16,494
Rysujemy tabelę, wypełniamy ją

195
00:08:16,494 --> 00:08:18,574
współczynnikami, a po lewej stronie

196
00:08:18,574 --> 00:08:20,223
wpiszmy minus jedynkę.

197
00:08:20,309 --> 00:08:21,589
Jedynkę przepisujemy.

198
00:08:22,271 --> 00:08:25,855
1 razy –1 dodać 0 to –1.

199
00:08:26,367 --> 00:08:30,207
–1 razy –1 dodać 1 daje 2

200
00:08:30,719 --> 00:08:34,559
i 2 razy –1 odjąć 10 to –12.

201
00:08:34,731 --> 00:08:37,375
Nie otrzymaliśmy zera,więc szukamy dalej.

202
00:08:37,451 --> 00:08:39,472
Sprawdźmy, czy jedynka jest pierwiastkiem

203
00:08:39,472 --> 00:08:40,719
tego wyrażenia.

204
00:08:40,719 --> 00:08:42,239
Jedynkę przepisujemy.

205
00:08:43,007 --> 00:08:45,567
1 razy 1 dodać 0 to 1

206
00:08:46,079 --> 00:08:48,639
1 razy 1 dodać 1 daje 2

207
00:08:49,407 --> 00:08:52,223
2 razy 1 odjąć 10 to –8.

208
00:08:52,751 --> 00:08:54,351
Też nie otrzymaliśmy zera

209
00:08:54,351 --> 00:08:55,847
więc szukamy dalej.

210
00:08:56,319 --> 00:08:57,855
Sprawdźmy minus dwójkę.

211
00:08:58,367 --> 00:08:59,647
Jedynkę przepisujemy.

212
00:09:00,501 --> 00:09:04,755
1 razy –2 dodać 0 daje –2

213
00:09:05,023 --> 00:09:08,907
–2 razy –2 dodać 1 to 5

214
00:09:09,375 --> 00:09:13,571
i 5 razy –2 odjąć 10 to –20

215
00:09:13,983 --> 00:09:15,775
czyli to nie minus dwójki szukamy.

216
00:09:16,031 --> 00:09:17,823
Sprawdźmy zatem dwójkę.

217
00:09:18,079 --> 00:09:19,615
Jedynkę przepisujemy.

218
00:09:19,927 --> 00:09:22,487
1 razy 2 dodać 0 to 2

219
00:09:23,215 --> 00:09:26,527
2 razy 2 dodać 1 to 5

220
00:09:27,295 --> 00:09:30,623
i 5 razy 2 odjąć 10 daje 0.

221
00:09:31,171 --> 00:09:32,435
Oznacza to, że dwójka

222
00:09:32,435 --> 00:09:34,355
jest pierwiastkiem tego wyrażenia.

223
00:09:35,899 --> 00:09:37,919
Obliczyliśmy jednocześnie wynik dzielenia

224
00:09:37,919 --> 00:09:40,627
wielomianu x do trzeciej dodać x odjąć 10

225
00:09:40,965 --> 00:09:42,701
przez dwumian x odjąć 2

226
00:09:43,067 --> 00:09:44,251
i otrzymaliśmy wielomian

227
00:09:44,251 --> 00:09:46,555
x kwadrat dodać 2x dodać 5.

228
00:09:47,063 --> 00:09:48,743
Jeśli pomnożymy obie strony przez

229
00:09:48,743 --> 00:09:51,815
x odjąć 2 to otrzymamy takie wyrażenie.

230
00:09:53,407 --> 00:09:55,861
Możemy więc zapisać, że W od x równa się

231
00:09:55,861 --> 00:09:59,383
2x do kwadratu razy w nawiasie x dodać 1

232
00:09:59,507 --> 00:10:01,599
razy w nawiasie x odjąć 2

233
00:10:01,971 --> 00:10:03,907
razy w nawiasie x kwadrat dodać

234
00:10:03,907 --> 00:10:05,299
2x dodać 5.

235
00:10:05,597 --> 00:10:07,675
Czy możemy rozbić wyrażenie w tym nawiasie

236
00:10:07,675 --> 00:10:09,955
na czynniki stopnia pierwszego?

237
00:10:10,013 --> 00:10:11,549
Sprawdźmy to licząc deltę.

238
00:10:11,975 --> 00:10:15,303
2 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 5.

239
00:10:15,815 --> 00:10:17,811
Jest ona mniejsza od zera, dlatego

240
00:10:17,811 --> 00:10:19,473
nie możemy już bardziej uprościć

241
00:10:19,473 --> 00:10:20,799
tego zapisu.

242
00:10:21,181 --> 00:10:22,863
Jest to zatem odpowiedź

243
00:10:22,863 --> 00:10:24,253
do naszego zadania.

244
00:10:24,651 --> 00:10:26,695
Jeśli nie masz pomysłu, jak przekształcić

245
00:10:26,695 --> 00:10:28,543
wielomian do postaci iloczynowej

246
00:10:28,591 --> 00:10:30,787
to twierdzenie o pierwiastkach całkowitych

247
00:10:30,821 --> 00:10:33,221
może okazać się bardzo pomocne.

248
00:10:38,463 --> 00:10:40,467
Przy rozkładaniu wielomianów na czynniki

249
00:10:40,591 --> 00:10:42,099
może się przydać twierdzenie

250
00:10:42,323 --> 00:10:44,963
o pierwiastkach całkowitych wielomianu.

251
00:10:45,175 --> 00:10:46,115
Przy tej metodzie

252
00:10:46,239 --> 00:10:48,839
wygodniej jest używać schematu Hornera.

253
00:10:53,497 --> 00:10:55,219
Wielomiany to jedynie mały wycinek

254
00:10:55,219 --> 00:10:57,160
materiału, który przerabiany jest

255
00:10:57,160 --> 00:10:58,287
w szkołach.

256
00:10:58,287 --> 00:11:00,759
Jeśli chcesz poznać inne odnogi królowej

257
00:11:00,759 --> 00:11:02,825
nauk to zapraszam Cię do obejrzenia

258
00:11:02,825 --> 00:11:05,755
naszych innych filmów z kanału pistacja.tv