1
00:00:00,412 --> 00:00:02,324
Współczesne telefony komórkowe

2
00:00:02,324 --> 00:00:04,195
wspierają już kilka systemów

3
00:00:04,195 --> 00:00:05,732
nawigacji satelitarnej.

4
00:00:05,888 --> 00:00:08,098
Nie tylko amerykański GPS

5
00:00:08,098 --> 00:00:10,108
ale też rosyjski GLONASS.

6
00:00:10,240 --> 00:00:12,866
Przez błędy pomiaru każdy z tych systemów

7
00:00:12,966 --> 00:00:15,528
wskazuje jednak nieco inną lokalizację

8
00:00:15,528 --> 00:00:18,220
obiektu, na przykład Twojej komórki.

9
00:00:18,588 --> 00:00:21,445
Aby określić pozycję jak najdokładniej

10
00:00:21,545 --> 00:00:24,632
komórka oblicza współrzędne środka odcinka

11
00:00:24,732 --> 00:00:26,156
łączącego te punkty.

12
00:00:26,368 --> 00:00:28,872
W tej lekcji pokażę Ci, jak to się robi.

13
00:00:40,618 --> 00:00:42,596
Widzisz układ współrzędnych.

14
00:00:42,752 --> 00:00:45,356
Zaznaczmy na nim punkt, na przykład tutaj.

15
00:00:45,468 --> 00:00:47,504
Oznaczmy go literą A.

16
00:00:47,616 --> 00:00:49,698
Jakie współrzędne ma ten punkt?

17
00:00:49,814 --> 00:00:52,312
Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie.

18
00:00:56,064 --> 00:00:58,724
Ten punkt ma współrzędne 1 i 3.

19
00:00:58,880 --> 00:01:00,819
Pierwsza współrzędna odpowiada

20
00:01:00,819 --> 00:01:02,267
krokom na osi x.

21
00:01:02,267 --> 00:01:05,324
Oznaczmy ją więc x z indeksem dolnym A.

22
00:01:05,536 --> 00:01:08,196
Druga odpowiada krokom na osi y.

23
00:01:08,352 --> 00:01:11,980
Oznaczmy ją literą y z indeksem dolnym A.

24
00:01:12,192 --> 00:01:13,677
Teraz narysujmy w tym układzie

25
00:01:13,677 --> 00:01:16,215
drugi punkt w taki sposób, aby był na tej

26
00:01:16,215 --> 00:01:18,872
samej linii poziomej co punkt A.

27
00:01:18,972 --> 00:01:20,484
Oznaczmy go literą B.

28
00:01:20,640 --> 00:01:22,932
Jakie współrzędne ma ten punkt?

29
00:01:26,362 --> 00:01:29,188
Współrzędne punktu B to 7 i 3.

30
00:01:29,454 --> 00:01:32,253
Pierwszą współrzędną oznaczmy literą x

31
00:01:32,353 --> 00:01:33,902
z indeksem dolnym B

32
00:01:34,002 --> 00:01:36,968
a drugą literą y z indeksem dolnym B.

33
00:01:37,280 --> 00:01:41,064
Oba punkty mają współrzędną y równą trzem.

34
00:01:41,632 --> 00:01:43,936
Co otrzymamy łącząc oba punkty?

35
00:01:44,192 --> 00:01:45,306
Odcinek.

36
00:01:45,416 --> 00:01:47,574
Jaka jest jego długość?

37
00:01:51,104 --> 00:01:53,708
Współrzędna x punktu A to 1.

38
00:01:53,888 --> 00:01:55,872
Ile kroków w prawo należy zrobić

39
00:01:55,972 --> 00:01:58,386
aby dojść do współrzędnej x punktu B

40
00:01:58,486 --> 00:01:59,849
która wynosi 7?

41
00:01:59,899 --> 00:02:00,832
6.

42
00:02:00,832 --> 00:02:03,092
Moglibyśmy tę długość obliczyć również

43
00:02:03,192 --> 00:02:05,122
odejmując od pierwszej współrzędnej

44
00:02:05,122 --> 00:02:08,256
punktu B, pierwszą współrzędną punktu A.

45
00:02:08,568 --> 00:02:10,504
7 odjąć 1 to 6.

46
00:02:11,072 --> 00:02:14,088
Długość odcinka AB wynosi zatem 6.

47
00:02:14,420 --> 00:02:16,910
Jak możemy wykorzystać tę informację

48
00:02:17,010 --> 00:02:20,032
do znalezienia współrzędnych jego środka

49
00:02:20,288 --> 00:02:23,192
który oznaczyliśmy wielką literą Ś?

50
00:02:23,616 --> 00:02:25,375
Środek odcinka dzieli go na

51
00:02:25,375 --> 00:02:27,044
dwie jednakowe części.

52
00:02:27,200 --> 00:02:29,860
Skoro długość tego odcinka to 6

53
00:02:30,016 --> 00:02:32,420
to połowa będzie miała długość 3.

54
00:02:32,576 --> 00:02:35,199
Robiąc 3 kroki w prawo z punktu A

55
00:02:35,299 --> 00:02:38,014
dojdziemy do miejsca, którego pierwsza

56
00:02:38,014 --> 00:02:41,021
współrzędna będzie wynosiła 1 plus 3

57
00:02:41,021 --> 00:02:42,092
czyli 4.

58
00:02:42,560 --> 00:02:44,652
A jaka będzie druga współrzędna?

59
00:02:45,020 --> 00:02:48,391
Taka sama, jak druga współrzędna punktu A

60
00:02:48,391 --> 00:02:51,864
czyli 3, bo oba są na tej samej wysokości.

61
00:02:52,120 --> 00:02:54,635
Zauważ, że robiąc 3 kroki w lewo

62
00:02:54,635 --> 00:02:56,828
z punktu B, doszlibyśmy do tego

63
00:02:56,828 --> 00:02:58,364
samego miejsca.

64
00:02:58,698 --> 00:03:01,021
Pokażę Ci teraz uniwersalny sposób

65
00:03:01,021 --> 00:03:03,451
na obliczanie środka dowolnego odcinka

66
00:03:03,451 --> 00:03:06,056
korzystając z jego współrzędnych.

67
00:03:06,368 --> 00:03:08,254
Spróbujmy najpierw wyrazić

68
00:03:08,254 --> 00:03:10,681
połowę długości odcinka AB

69
00:03:10,681 --> 00:03:12,000
w postaci ułamka.

70
00:03:12,512 --> 00:03:15,328
Jeśli od liczby 7 odejmiemy 1

71
00:03:15,584 --> 00:03:17,988
to otrzymamy długość całego odcinka.

72
00:03:18,200 --> 00:03:20,461
Dzieląc ją przez 2 otrzymamy

73
00:03:20,461 --> 00:03:21,672
długość połowy.

74
00:03:21,984 --> 00:03:24,223
Aby otrzymać pierwszą współrzędną

75
00:03:24,323 --> 00:03:27,442
środka odcinka AB, wystarczy dodać do tego

76
00:03:27,542 --> 00:03:29,964
pierwszą współrzędną punktu A.

77
00:03:30,332 --> 00:03:32,782
Skoro chcemy jednak znaleźć uniwersalny

78
00:03:32,782 --> 00:03:35,040
sposób wyznaczania środka odcinka

79
00:03:35,296 --> 00:03:38,132
to zamiast liczb oznaczających współrzędne

80
00:03:38,132 --> 00:03:41,128
jego końców, musimy mieć symbole.

81
00:03:41,440 --> 00:03:44,968
Liczba 7 to pierwsza współrzędna punktu B.

82
00:03:45,280 --> 00:03:48,652
Zamieniamy ją na x z indeksem dolnym B.

83
00:03:49,020 --> 00:03:50,474
Od tego odejmowaliśmy

84
00:03:50,674 --> 00:03:53,000
pierwszą współrzędną punktu A

85
00:03:53,216 --> 00:03:55,820
czyli x z indeksem dolnym A.

86
00:03:56,188 --> 00:03:58,792
Tę różnicę dzieliliśmy przez 2.

87
00:03:59,160 --> 00:04:02,313
Do tego dodawaliśmy pierwszą współrzędną

88
00:04:02,313 --> 00:04:05,448
punktu A, czyli x z indeksem dolnym A.

89
00:04:05,660 --> 00:04:07,907
To, co otrzymaliśmy, to w pełni poprawny

90
00:04:08,007 --> 00:04:09,455
i działający wzór.

91
00:04:09,455 --> 00:04:11,385
Jest on jednak często zapisany

92
00:04:11,385 --> 00:04:12,605
w innej postaci.

93
00:04:12,605 --> 00:04:14,846
Teraz pokażę Ci, jak otrzymać z tego

94
00:04:14,946 --> 00:04:16,912
co mamy, tę drugą wersję.

95
00:04:17,536 --> 00:04:19,783
Spróbujmy uprościć to wyrażenie.

96
00:04:20,095 --> 00:04:22,726
Aby do tego ułamka dodać x z indeksem

97
00:04:22,726 --> 00:04:25,420
dolnym A, należy zamienić ten składnik

98
00:04:25,520 --> 00:04:27,975
na ułamek o mianowniku 2.

99
00:04:28,543 --> 00:04:31,659
Otrzymamy 2xA przez 2.

100
00:04:31,871 --> 00:04:33,919
Teraz dodajemy do siebie liczniki.

101
00:04:34,175 --> 00:04:37,169
Otrzymujemy xB odjąć xA

102
00:04:37,169 --> 00:04:40,819
dodać 2xA podzielić przez 2.

103
00:04:41,087 --> 00:04:44,515
–xA dodać 2xA to xA.

104
00:04:44,671 --> 00:04:47,943
Mamy zatem xB dodać xA przez 2.

105
00:04:48,255 --> 00:04:50,801
To jest wzór na pierwszą współrzędną

106
00:04:50,901 --> 00:04:52,636
środka dowolnego odcinka

107
00:04:52,636 --> 00:04:54,443
w układzie współrzędnych.

108
00:04:54,655 --> 00:04:56,691
Sprawdźmy, czy działa!

109
00:04:56,959 --> 00:04:59,519
Dodając do liczby 7 liczbę 1

110
00:04:59,675 --> 00:05:01,388
i dzieląc to przez 2

111
00:05:01,488 --> 00:05:04,171
otrzymujemy 4, czyli się zgadza.

112
00:05:04,539 --> 00:05:06,987
Popatrzmy raz jeszcze na ten wzór.

113
00:05:07,109 --> 00:05:09,059
Czy domyślasz się, jak będzie wyglądał

114
00:05:09,059 --> 00:05:10,589
wzór na drugą współrzędną

115
00:05:10,589 --> 00:05:12,207
środka odcinka?

116
00:05:15,703 --> 00:05:18,444
Pierwszą współrzędną środka obliczaliśmy

117
00:05:18,544 --> 00:05:20,561
dodając do siebie pierwsze współrzędne

118
00:05:20,561 --> 00:05:23,883
końców oraz dzieląc tę sumę przez 2.

119
00:05:24,095 --> 00:05:26,426
Drugą współrzędną środka obliczymy

120
00:05:26,526 --> 00:05:27,575
dodając do siebie

121
00:05:27,675 --> 00:05:29,739
drugie współrzędne końców odcinka

122
00:05:29,895 --> 00:05:31,919
i dzieląc tę sumę przez 2.

123
00:05:32,287 --> 00:05:34,067
Zapiszemy to w taki sposób:

124
00:05:34,391 --> 00:05:40,067
yB dodać yA podzielić przez 2 równa się yŚ

125
00:05:40,223 --> 00:05:42,771
czyli współrzędna y środka.

126
00:05:43,039 --> 00:05:45,643
Sprawdźmy, czy ten wzór zadziała.

127
00:05:46,011 --> 00:05:49,483
Współrzędna y punktu B to 3.

128
00:05:49,951 --> 00:05:52,811
Współrzędna y punktu A to też 3.

129
00:05:53,023 --> 00:05:56,195
3 dodać 3 podzielić przez 2 to 3.

130
00:05:56,351 --> 00:05:58,799
Widzisz, że ten wzór działa!

131
00:05:59,067 --> 00:06:00,135
Podsumujmy:

132
00:06:00,447 --> 00:06:03,114
jeśli współrzędne końców dowolnego odcinka

133
00:06:03,114 --> 00:06:07,971
to A: xA i yA, oraz B: xB i yB

134
00:06:08,127 --> 00:06:11,177
to środek odcinka, oznaczony literą Ś

135
00:06:11,277 --> 00:06:14,627
będzie miał współrzędne xŚ i yŚ.

136
00:06:14,939 --> 00:06:18,468
Współrzędną xŚ obliczamy korzystając

137
00:06:18,468 --> 00:06:21,283
z pierwszych współrzędnych odcinka AB

138
00:06:21,439 --> 00:06:23,943
dodając je do siebie i dzieląc przez 2.

139
00:06:24,311 --> 00:06:26,935
Współrzędną yŚ możemy obliczyć

140
00:06:27,035 --> 00:06:29,155
korzystając z drugich współrzędnych

141
00:06:29,155 --> 00:06:31,488
odcinka AB, dodając je do siebie

142
00:06:31,488 --> 00:06:32,903
i dzieląc przez 2.

143
00:06:33,215 --> 00:06:35,611
Zauważ, że to po prostu średnie

144
00:06:35,611 --> 00:06:38,123
arytmetyczne odpowiednich współrzędnych.

145
00:06:39,003 --> 00:06:40,928
Przejdźmy do kolejnego przykładu

146
00:06:41,028 --> 00:06:43,499
i przećwiczmy stosowanie tego wzoru.

147
00:06:46,327 --> 00:06:48,232
Spróbuj samodzielnie obliczyć

148
00:06:48,332 --> 00:06:50,237
współrzędne środka odcinka AB

149
00:06:50,337 --> 00:06:51,650
oznaczonego literą Ś

150
00:06:51,850 --> 00:06:53,795
korzystając z poznanego wzoru.

151
00:06:53,951 --> 00:06:55,887
Znajdziesz go w tym miejscu.

152
00:06:59,127 --> 00:07:01,230
Aby obliczyć pierwszą współrzędną

153
00:07:01,330 --> 00:07:03,869
środka odcinka AB, dodajemy do siebie

154
00:07:03,969 --> 00:07:06,190
pierwsze współrzędne punktów AB

155
00:07:06,290 --> 00:07:08,131
i tę sumę dzielimy przez 2.

156
00:07:08,287 --> 00:07:11,503
Otrzymujemy 2 dodać 2 podzielić przez 2.

157
00:07:11,871 --> 00:07:13,653
Do obliczenia drugiej współrzędnej

158
00:07:13,693 --> 00:07:15,517
korzystamy z drugich współrzędnych

159
00:07:15,517 --> 00:07:16,579
punktów A i B.

160
00:07:16,845 --> 00:07:20,107
Otrzymujemy 2 dodać 6 podzielić przez 2.

161
00:07:20,319 --> 00:07:22,189
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy

162
00:07:22,189 --> 00:07:25,839
współrzędne punktu Ś, czyli 2 i 4.

163
00:07:26,463 --> 00:07:28,748
Ile kroków do góry należy zrobić od liczby

164
00:07:28,748 --> 00:07:30,992
2, aby dojść do szóstki?

165
00:07:31,492 --> 00:07:32,659
4 kroki.

166
00:07:32,863 --> 00:07:34,955
Długość tego odcinka to 4.

167
00:07:35,167 --> 00:07:37,415
Połowa tej długości to 2.

168
00:07:37,727 --> 00:07:39,952
Robiąc 2 kroki do góry od liczby 2

169
00:07:40,052 --> 00:07:41,511
dojdziemy do liczby 4.

170
00:07:41,823 --> 00:07:44,397
Pierwsza współrzędna środka jest taka sama

171
00:07:44,497 --> 00:07:46,431
jak pierwsze współrzędne końców

172
00:07:46,587 --> 00:07:48,167
bo idziemy tylko do góry.

173
00:07:48,479 --> 00:07:50,942
Robiąc 2 kroki do góry z tego miejsca

174
00:07:50,942 --> 00:07:53,005
dojdziemy do drugiego końca odcinka

175
00:07:53,005 --> 00:07:54,567
czyli do punktu B.

176
00:07:54,879 --> 00:07:57,653
Widzisz zatem, że punkt o współrzędnych

177
00:07:57,653 --> 00:08:00,355
2 i 4 to środek odcinka AB.

178
00:08:00,511 --> 00:08:02,447
Wszystko się zgadza.

179
00:08:02,815 --> 00:08:05,007
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

180
00:08:07,223 --> 00:08:10,112
Tym razem mamy do czynienia z odcinkiem AB

181
00:08:10,112 --> 00:08:12,865
którego końce mają odpowiednio współrzędne

182
00:08:12,965 --> 00:08:15,915
–2 i –2 oraz 8 i 4.

183
00:08:16,127 --> 00:08:17,850
Spróbuj samodzielnie obliczyć

184
00:08:17,950 --> 00:08:19,486
współrzędne jego środka 

185
00:08:19,586 --> 00:08:21,803
korzystając z poznanego wzoru.

186
00:08:25,143 --> 00:08:26,714
Pierwsza współrzędna

187
00:08:26,714 --> 00:08:28,544
to suma pierwszych współrzędnych

188
00:08:28,644 --> 00:08:30,919
końców odcinka podzielona przez 2.

189
00:08:31,231 --> 00:08:35,015
Otrzymujemy 8 dodać –2 podzielić przez 2.

190
00:08:35,383 --> 00:08:37,472
Druga współrzędna to suma drugich

191
00:08:37,472 --> 00:08:39,123
współrzędnych końców odcinka

192
00:08:39,123 --> 00:08:40,647
podzielona przez 2.

193
00:08:40,959 --> 00:08:42,851
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy

194
00:08:42,951 --> 00:08:46,679
że współrzędne środka odcinka to 3 i 1.

195
00:08:48,383 --> 00:08:50,475
Przejdźmy do ostatniego przykładu.

196
00:08:53,047 --> 00:08:56,278
Oblicz współrzędne środka odcinka AB

197
00:08:56,278 --> 00:08:58,467
którego końce mają współrzędne

198
00:08:58,623 --> 00:09:01,839
4 i –3 oraz –2 i 3.

199
00:09:02,463 --> 00:09:04,455
Oznaczmy środek literą Ś.

200
00:09:04,567 --> 00:09:05,948
Pierwsza współrzędna

201
00:09:06,048 --> 00:09:07,968
to suma pierwszych współrzędnych

202
00:09:08,068 --> 00:09:10,143
końców odcinka podzielona przez 2.

203
00:09:10,399 --> 00:09:14,439
Otrzymujemy –2 dodać 4 podzielić przez 2.

204
00:09:14,651 --> 00:09:16,321
Druga współrzędna to suma

205
00:09:16,421 --> 00:09:18,847
drugich współrzędnych końców odcinka

206
00:09:19,103 --> 00:09:20,683
podzielona przez 2.

207
00:09:21,151 --> 00:09:25,191
Otrzymujemy 3 dodać –3 podzielić przez 2.

208
00:09:25,503 --> 00:09:27,651
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy

209
00:09:27,807 --> 00:09:30,412
że współrzędne środka naszego odcinka

210
00:09:30,412 --> 00:09:32,103
to 1 i 0.

211
00:09:32,415 --> 00:09:35,275
Wykonaliśmy wszystkie zadania! Gratulacje!

212
00:09:39,467 --> 00:09:42,234
Współrzędne środka odcinka możemy obliczyć

213
00:09:42,334 --> 00:09:44,547
korzystając z gotowego wzoru.

214
00:09:44,703 --> 00:09:47,289
x-owa współrzędna środka to średnia

215
00:09:47,289 --> 00:09:49,731
arytmetyczna x-owych współrzędnych

216
00:09:49,731 --> 00:09:50,947
końców odcinka.

217
00:09:51,103 --> 00:09:53,333
A współrzędna y środka to średnia

218
00:09:53,333 --> 00:09:55,809
arytmetyczna współrzędnych y

219
00:09:55,809 --> 00:09:57,135
końców odcinka.

220
00:10:00,911 --> 00:10:03,125
Zapraszam Cię do obejrzenia pozostałych

221
00:10:03,125 --> 00:10:04,727
lekcji o układzie współrzędnych

222
00:10:04,827 --> 00:10:07,315
oraz do zasubskrybowania naszego kanału

223
00:10:07,331 --> 00:10:08,811
aby być na bieżąco!