1
00:00:00,156 --> 00:00:02,490
Niektóre zwierzęta określają położenie

2
00:00:02,490 --> 00:00:04,674
przeszkód lub poszukują pożywienia

3
00:00:04,774 --> 00:00:07,030
korzystając z echolokacji.

4
00:00:07,116 --> 00:00:08,846
Na tej podstawie orientują się

5
00:00:08,846 --> 00:00:09,868
w położeniu.

6
00:00:09,938 --> 00:00:12,600
Takimi zwierzętami są na przykład delfiny

7
00:00:12,600 --> 00:00:14,410
oraz większość nietoperzy.

8
00:00:14,592 --> 00:00:16,640
Gdy poruszają się w linii prostej

9
00:00:16,896 --> 00:00:18,638
to współrzędne ich położenia

10
00:00:18,738 --> 00:00:20,580
są punktami współliniowymi.

11
00:00:20,736 --> 00:00:21,964
Za chwilę dowiesz się

12
00:00:22,064 --> 00:00:24,036
jak wyznaczać punkty współliniowe

13
00:00:24,136 --> 00:00:26,768
w kartezjańskim układzie współrzędnych.

14
00:00:38,546 --> 00:00:40,648
Widzisz układ współrzędnych.

15
00:00:40,704 --> 00:00:42,852
Zaznaczono na nim pewien punkt.

16
00:00:43,008 --> 00:00:46,110
Zastanów się teraz, ile istnieje prostych

17
00:00:46,110 --> 00:00:48,306
które przez niego przechodzą.

18
00:00:51,712 --> 00:00:53,092
To jedna prosta.

19
00:00:53,248 --> 00:00:54,372
To druga.

20
00:00:54,528 --> 00:00:55,752
To trzecia.

21
00:00:56,064 --> 00:00:57,188
To czwarta.

22
00:00:57,344 --> 00:00:58,668
A to piąta.

23
00:00:58,880 --> 00:01:01,540
Mógłbym narysować więcej takich prostych?

24
00:01:01,696 --> 00:01:03,109
Pewnie, że mógłbym.

25
00:01:03,109 --> 00:01:05,058
I to nieskończenie wiele.

26
00:01:05,280 --> 00:01:06,952
Właśnie tyle prostych przechodzi

27
00:01:06,952 --> 00:01:08,928
przez 1 konkretny punkt.

28
00:01:09,376 --> 00:01:10,926
A co by było, gdybym miał

29
00:01:11,026 --> 00:01:13,316
w tym układzie zaznaczone 2 punkty?

30
00:01:13,472 --> 00:01:14,787
Ile istnieje prostych

31
00:01:14,887 --> 00:01:17,568
które przechodzą przez 2 konkretne punkty?

32
00:01:21,182 --> 00:01:22,276
Tylko jedna.

33
00:01:22,432 --> 00:01:24,686
Nie da się narysować innej prostej

34
00:01:24,786 --> 00:01:27,240
która przechodzi przez te 2 punkty.

35
00:01:27,808 --> 00:01:30,090
Punkty, które leżą na jednej prostej

36
00:01:30,190 --> 00:01:32,872
nazywają się punktami współliniowymi.

37
00:01:33,184 --> 00:01:35,276
To są punkty współliniowe.

38
00:01:35,744 --> 00:01:38,504
Zaznaczmy w tym układzie punkt D.

39
00:01:38,816 --> 00:01:40,939
Ten punkt nie jest współliniowy

40
00:01:40,939 --> 00:01:43,090
z punktami A i B, bo nie leży

41
00:01:43,090 --> 00:01:44,648
na tej samej prostej.

42
00:01:44,960 --> 00:01:46,446
A czy możemy zaznaczyć na niej

43
00:01:46,546 --> 00:01:48,412
jeszcze jakieś inne punkty?

44
00:01:48,544 --> 00:01:49,668
Oczywiście, że tak.

45
00:01:49,824 --> 00:01:52,072
Będzie to na przykład punkt C.

46
00:01:52,384 --> 00:01:55,195
Zauważ, że ma on drugą współrzędną

47
00:01:55,295 --> 00:01:58,160
taką samą jak punkty A i B.

48
00:01:58,608 --> 00:02:00,757
Zastanówmy się, jak najlepiej opisać

49
00:02:00,857 --> 00:02:03,086
wszystkie inne punkty współliniowe

50
00:02:03,186 --> 00:02:04,772
z punktami A i B.

51
00:02:05,084 --> 00:02:07,971
Zauważ, że w tym przypadku punkty A i B

52
00:02:08,071 --> 00:02:10,760
mają taką samą drugą współrzędną.

53
00:02:11,072 --> 00:02:14,088
Oznacza to, że są na tej samej wysokości.

54
00:02:14,656 --> 00:02:17,043
Punkty leżące na tej prostej będą musiały

55
00:02:17,043 --> 00:02:19,022
być również na tej samej wysokości

56
00:02:19,122 --> 00:02:20,744
co punkty A i B.

57
00:02:21,056 --> 00:02:23,454
Będą miały zatem drugą współrzędną

58
00:02:23,454 --> 00:02:24,784
równą 2.

59
00:02:25,152 --> 00:02:27,556
A jaka może być pierwsza współrzędna?

60
00:02:27,842 --> 00:02:28,950
Dowolna.

61
00:02:29,080 --> 00:02:31,140
Prosta jest przecież nieskończona.

62
00:02:31,296 --> 00:02:32,876
Nie ma końca.

63
00:02:33,088 --> 00:02:35,642
Punktami współliniowymi będą zatem

64
00:02:35,642 --> 00:02:38,984
punkty A i B oraz na przykład punkt E

65
00:02:38,984 --> 00:02:40,868
o współrzędnych 100 i 2

66
00:02:41,024 --> 00:02:45,476
albo F o współrzędnych –359 i 2

67
00:02:45,632 --> 00:02:50,484
albo punkt G o współrzędnych 212 i 2.

68
00:02:50,752 --> 00:02:53,156
Spójrzmy teraz na inną sytuację.

69
00:02:53,312 --> 00:02:56,840
Punkt A ma współrzędne –2 i 2

70
00:02:57,408 --> 00:03:00,936
punkt D ma współrzędne –2 i –3.

71
00:03:01,248 --> 00:03:03,355
Ile istnieje prostych przechodzących

72
00:03:03,455 --> 00:03:04,976
przez te 2 punkty?

73
00:03:05,344 --> 00:03:07,848
Wiesz już, że tylko jedna.

74
00:03:08,160 --> 00:03:10,664
Punkty A i D są współliniowe.

75
00:03:10,976 --> 00:03:12,609
Jakie współrzędne będą miały

76
00:03:12,609 --> 00:03:15,684
inne punkty współliniowe z punktami A i D?

77
00:03:16,096 --> 00:03:18,244
Która współrzędna będzie taka sama

78
00:03:18,400 --> 00:03:20,080
a która się zmieni?

79
00:03:23,676 --> 00:03:25,805
Punkty A i D mają taką samą

80
00:03:25,805 --> 00:03:27,460
pierwszą współrzędną.

81
00:03:27,616 --> 00:03:29,252
Druga jest inna.

82
00:03:29,408 --> 00:03:31,295
Wszystkie punkty współliniowe

83
00:03:31,295 --> 00:03:33,653
z punktami A i D będą miały pierwszą

84
00:03:33,653 --> 00:03:35,852
współrzędną równą –2.

85
00:03:36,064 --> 00:03:37,590
Będą to na przykład punkty

86
00:03:37,690 --> 00:03:40,616
o współrzędnych –2 i –1

87
00:03:40,928 --> 00:03:42,720
–2 i –10

88
00:03:43,232 --> 00:03:45,836
–2 i 1000 i 1/3.

89
00:03:46,560 --> 00:03:49,676
Teraz przejdźmy do jeszcze innej sytuacji.

90
00:03:52,416 --> 00:03:53,984
Widzisz punkty B i C

91
00:03:54,140 --> 00:03:56,271
które mają współrzędne odpowiednio

92
00:03:56,371 --> 00:03:58,892
5 i 3 oraz 3 i 2.

93
00:03:59,104 --> 00:04:01,709
Istnieje tylko jedna prosta przechodząca

94
00:04:01,809 --> 00:04:03,400
przez te 2 punkty.

95
00:04:03,712 --> 00:04:05,638
Inne punkty leżące na tej prostej

96
00:04:05,738 --> 00:04:08,264
będą współliniowe z punktami B i C.

97
00:04:08,576 --> 00:04:10,714
Czy potrafisz podać współrzędne

98
00:04:10,714 --> 00:04:11,748
takich punktów?

99
00:04:11,904 --> 00:04:13,367
Czy tym razem zmieni się

100
00:04:13,367 --> 00:04:14,654
jedna współrzędna?

101
00:04:14,720 --> 00:04:16,100
Czy może obydwie?

102
00:04:16,256 --> 00:04:17,680
Jak myślisz?

103
00:04:21,375 --> 00:04:23,897
Analizując współrzędne punktów C i B

104
00:04:23,997 --> 00:04:26,255
dostrzegamy, że ich współrzędne

105
00:04:26,255 --> 00:04:28,387
x i y są różne.

106
00:04:28,543 --> 00:04:30,337
Jak zatem znaleźć współrzędne

107
00:04:30,437 --> 00:04:33,607
punktów współliniowych z punktami C i B?

108
00:04:33,919 --> 00:04:36,199
Zastanów się, jak najprościej wzdłuż linii

109
00:04:36,199 --> 00:04:39,052
siatki układu współrzędnych, możemy dojść

110
00:04:39,052 --> 00:04:40,519
z punktu B do C.

111
00:04:40,831 --> 00:04:44,259
Wystarczy zrobić 2 kroki w lewo i 1 w dół.

112
00:04:44,785 --> 00:04:48,198
Gdy od liczby 5 odejmiemy 2, otrzymamy 3

113
00:04:48,198 --> 00:04:50,193
a gdy od liczby 3 odejmiemy 1

114
00:04:50,193 --> 00:04:51,627
otrzymamy 2.

115
00:04:51,839 --> 00:04:55,623
Idźmy tak samo, ale startując z punktu C.

116
00:04:55,935 --> 00:04:58,415
Robiąc 2 kroki w lewo i 1 w dół

117
00:04:58,515 --> 00:05:01,667
otrzymamy punkt o współrzędnych 1 i 1.

118
00:05:01,823 --> 00:05:03,459
On też leży na tej prostej.

119
00:05:03,771 --> 00:05:06,887
Jest zatem współliniowy z punktami C i B.

120
00:05:07,459 --> 00:05:10,361
A teraz z punktu D pójdźmy dwukrotnie

121
00:05:10,461 --> 00:05:13,287
2 kroki w lewo i dwukrotnie 1 w dół.

122
00:05:13,507 --> 00:05:15,358
Jakie współrzędne będzie miał punkt

123
00:05:15,458 --> 00:05:17,115
do którego dojdziemy?

124
00:05:20,511 --> 00:05:23,251
Obliczmy najpierw współrzędną x.

125
00:05:23,327 --> 00:05:26,036
Od liczby 1 odejmujemy 2 razy 2

126
00:05:26,036 --> 00:05:28,547
bo 2 razy zrobiliśmy 2 kroki w lewo.

127
00:05:29,271 --> 00:05:30,851
Otrzymamy –3.

128
00:05:31,263 --> 00:05:34,179
Teraz obliczymy współrzędną y.

129
00:05:34,491 --> 00:05:37,458
Od liczby 1 odejmujemy 2 razy 1

130
00:05:37,458 --> 00:05:40,167
bo 2 razy zrobiliśmy 1 krok w dół.

131
00:05:40,379 --> 00:05:41,859
Otrzymamy –1.

132
00:05:42,205 --> 00:05:44,875
Widzisz, że wszystko się zgadza.

133
00:05:45,087 --> 00:05:47,235
Wróćmy jeszcze do punktów C i B.

134
00:05:47,391 --> 00:05:50,164
Kilka chwil temu zastanawialiśmy się jak

135
00:05:50,164 --> 00:05:52,867
iść po liniach siatki od punktu B do C.

136
00:05:53,193 --> 00:05:54,659
Teraz zastanów się

137
00:05:54,715 --> 00:05:58,087
jak iść po tych liniach z punktu C do B.

138
00:06:01,983 --> 00:06:04,147
Aby dojść do punktu B z punktu C

139
00:06:04,247 --> 00:06:07,203
należy zrobić 2 kroki w prawo i 1 do góry.

140
00:06:07,359 --> 00:06:09,299
Jakie współrzędne będzie miał punkt

141
00:06:09,309 --> 00:06:10,344
do którego dojdziemy

142
00:06:10,344 --> 00:06:12,703
robiąc 2 kroki w prawo i 1 do góry

143
00:06:12,959 --> 00:06:14,827
startując z punktu B?

144
00:06:18,935 --> 00:06:22,541
Dodając do pierwszej współrzędnej liczbę 2

145
00:06:22,641 --> 00:06:23,843
otrzymamy 7

146
00:06:23,999 --> 00:06:26,356
a dodając do drugiej współrzędnej 1

147
00:06:26,456 --> 00:06:27,727
otrzymamy 4.

148
00:06:27,839 --> 00:06:30,882
Punkt G o współrzędnych 7 i 4

149
00:06:30,882 --> 00:06:33,728
jest współliniowy z pozostałymi punktami

150
00:06:33,728 --> 00:06:35,919
oznaczonymi na tej prostej.

151
00:06:39,871 --> 00:06:42,531
Teraz zastanówmy się nad takim zadaniem.

152
00:06:42,687 --> 00:06:45,729
Sprawdź, czy punkty: A o współrzędnych

153
00:06:45,729 --> 00:06:51,025
1000 i 1003, B o współrzędnych 1004 i 1001

154
00:06:51,125 --> 00:06:55,781
oraz C o współrzędnych 1016 i 993

155
00:06:55,781 --> 00:06:58,003
są współliniowe.

156
00:06:58,047 --> 00:07:01,766
Wiemy, że dowolne 2 punkty są współliniowe

157
00:07:01,766 --> 00:07:03,328
a przez punkty współliniowe

158
00:07:03,428 --> 00:07:05,927
można poprowadzić wspólną prostą.

159
00:07:06,139 --> 00:07:08,950
Widzimy, że współrzędne naszych punktów

160
00:07:08,950 --> 00:07:11,403
są trudne do pokazania na rysunku.

161
00:07:11,615 --> 00:07:13,574
Postaramy się więc sprawdzić

162
00:07:13,574 --> 00:07:15,343
założenie rachunkowo.

163
00:07:15,669 --> 00:07:17,782
Przyjrzyjmy się prostej przechodzącej

164
00:07:17,882 --> 00:07:19,495
przez punkty A i B.

165
00:07:19,807 --> 00:07:21,699
Jaką drogę pokonujemy

166
00:07:21,855 --> 00:07:24,871
aby z punktu A dostać się do punktu B?

167
00:07:25,373 --> 00:07:28,162
Najpierw wzdłuż osi x musimy pokonać

168
00:07:28,162 --> 00:07:31,947
w prawo 1004 minus 1000, czyli 4 kroki.

169
00:07:32,095 --> 00:07:35,101
Potem w dół 1003 minus 1001

170
00:07:35,101 --> 00:07:36,505
czyli 2 kroki.

171
00:07:36,703 --> 00:07:39,756
Droga wzdłuż osi x jest 2 razy dłuższa

172
00:07:39,856 --> 00:07:41,667
od tej wzdłuż osi y.

173
00:07:42,093 --> 00:07:44,996
To będzie prawda dla każdych dwóch punktów

174
00:07:44,996 --> 00:07:46,751
leżących na tej prostej.

175
00:07:47,127 --> 00:07:49,873
Sprawdźmy zatem, czy droga z punktu B

176
00:07:49,973 --> 00:07:52,719
do punktu C spełnia tę zależność?

177
00:07:53,343 --> 00:07:57,602
Wzdłuż osi x mamy 1016 minus 1004

178
00:07:57,602 --> 00:07:59,887
czyli 12 kroków w prawo.

179
00:08:00,511 --> 00:08:04,247
Żeby zachować współliniowość, wzdłuż osi y

180
00:08:04,247 --> 00:08:06,521
musielibyśmy pokonać 2 razy mniej

181
00:08:06,521 --> 00:08:07,793
jednostek w dół.

182
00:08:07,845 --> 00:08:10,705
12 podzielić przez 2, czyli 6.

183
00:08:11,007 --> 00:08:14,023
A ile to jest 1001 minus 6?

184
00:08:14,235 --> 00:08:16,483
995.

185
00:08:16,895 --> 00:08:21,959
Współrzędna y punktu C to jednak 993.

186
00:08:22,271 --> 00:08:24,284
To oznacza, że ten punkt

187
00:08:24,284 --> 00:08:27,435
nie jest współliniowy z punktami A i B.

188
00:08:27,803 --> 00:08:29,629
Możemy zatem podać odpowiedź:

189
00:08:29,751 --> 00:08:33,167
punkty A, B i C nie są współliniowe.

190
00:08:37,943 --> 00:08:39,875
Każde 2 punkty wyznaczają

191
00:08:39,875 --> 00:08:41,898
jednoznacznie prostą.

192
00:08:41,898 --> 00:08:44,213
Na prostej oprócz tych dwóch punktów

193
00:08:44,213 --> 00:08:47,203
można znaleźć nieskończenie wiele innych.

194
00:08:47,615 --> 00:08:49,997
Punkty, które leżą na tej samej prostej

195
00:08:50,097 --> 00:08:52,879
nazywają się punktami współliniowymi.

196
00:08:56,319 --> 00:08:57,767
Zapraszam Cię do obejrzenia

197
00:08:57,867 --> 00:08:59,747
pozostałych lekcji z tego działu.

198
00:08:59,903 --> 00:09:01,834
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

199
00:09:01,834 --> 00:09:04,604
stronie internetowej pistacja.tv