1
00:00:00,312 --> 00:00:03,102
Na początku XVII wieku holenderski

2
00:00:03,102 --> 00:00:06,460
matematyk Willebrord Snell, zwany też

3
00:00:06,460 --> 00:00:08,884
Snelliusem, stosował wymyślone przez

4
00:00:08,884 --> 00:00:11,414
siebie twierdzenie sinusów do obliczania

5
00:00:11,414 --> 00:00:13,234
odległości między punktami na kuli

6
00:00:13,234 --> 00:00:15,760
ziemskiej, metodą triangulacji.

7
00:00:16,128 --> 00:00:17,737
Wyniki te wykorzystał potem

8
00:00:17,737 --> 00:00:19,600
do wyliczenia promienia Ziemi.

9
00:00:19,928 --> 00:00:21,746
W tej lekcji poznasz dowód

10
00:00:21,746 --> 00:00:23,144
twierdzenia sinusów.

11
00:00:35,820 --> 00:00:37,244
Widzisz okrąg.

12
00:00:37,376 --> 00:00:38,956
Tutaj jest jego środek.

13
00:00:39,424 --> 00:00:41,004
Wpisuję w niego trójkąt.

14
00:00:41,216 --> 00:00:44,132
Długość tego boku oznaczę literą a

15
00:00:44,288 --> 00:00:45,924
długość tego literą b

16
00:00:46,080 --> 00:00:48,172
a długość tego literą c.

17
00:00:48,640 --> 00:00:50,410
Kąt znajdujący się naprzeciw

18
00:00:50,510 --> 00:00:52,680
boku a oznaczonę literą alfa.

19
00:00:52,992 --> 00:00:55,652
Skoro ten trójkąt jest wpisany w okrąg

20
00:00:55,808 --> 00:00:57,626
to jego wierzchołki znajdują się

21
00:00:57,626 --> 00:00:58,824
na tym okręgu.

22
00:00:59,392 --> 00:01:01,724
Odcinki łączące środek okręgu

23
00:01:01,724 --> 00:01:03,944
z tymi wierzchołkami są promieniami.

24
00:01:04,256 --> 00:01:06,254
Ich długości są takie same

25
00:01:06,354 --> 00:01:08,652
i oznaczę je wielką literą R.

26
00:01:09,120 --> 00:01:10,700
Spójrz na ten trójkąt.

27
00:01:11,168 --> 00:01:13,358
Te 2 boki mają długość R

28
00:01:13,358 --> 00:01:15,720
więc jest to trójkąt równoramienny.

29
00:01:16,188 --> 00:01:18,358
Narysujmy jego wysokość opuszczoną

30
00:01:18,458 --> 00:01:20,940
ze środka okręgu na bok a.

31
00:01:21,308 --> 00:01:23,854
Wysokość trójkąta równoramiennego

32
00:01:23,854 --> 00:01:26,728
dzieli ten bok na dwie jednakowe części.

33
00:01:27,196 --> 00:01:29,700
Długość każdej z nich to a przez 2

34
00:01:29,856 --> 00:01:32,722
ale oznaczę tylko długość jednego odcinka

35
00:01:32,822 --> 00:01:34,252
bo to będzie nam potrzebne.

36
00:01:34,520 --> 00:01:37,317
Zastanówmy się teraz, jaką miarę ma kąt

37
00:01:37,417 --> 00:01:39,450
znajdujący się naprzeciw boku

38
00:01:39,550 --> 00:01:41,564
o długości a przez 2.

39
00:01:41,888 --> 00:01:45,659
Zauważ, że ten kąt to kąt środkowy okręgu

40
00:01:45,659 --> 00:01:48,068
i jest oparty na tym samym łuku

41
00:01:48,068 --> 00:01:49,000
co kąt alfa.

42
00:01:49,468 --> 00:01:51,173
Miara tego kąta jest zatem

43
00:01:51,273 --> 00:01:54,020
2 razy większa niż miara kąta alfa

44
00:01:54,176 --> 00:01:55,656
czyli wynosi 2 alfa.

45
00:01:55,968 --> 00:01:58,016
Ta wysokość dzieli ten kąt na

46
00:01:58,016 --> 00:01:59,457
dwie jednakowe części

47
00:01:59,457 --> 00:02:01,644
czyli miara tego kąta to alfa.

48
00:02:02,368 --> 00:02:05,128
Skupmy się na tym trójkącie prostokątnym.

49
00:02:05,440 --> 00:02:07,650
Sinus kąta alfa to stosunek

50
00:02:07,650 --> 00:02:10,686
przyprostokątnej naprzeciwko tego kąta

51
00:02:10,686 --> 00:02:14,188
czyli a przez 2, do przeciwprostokątnej R.

52
00:02:14,400 --> 00:02:16,131
Po uproszczeniu otrzymujemy

53
00:02:16,131 --> 00:02:18,028
a podzielić przez 2R.

54
00:02:18,496 --> 00:02:21,256
Pomnóżmy obie strony równania przez 2R.

55
00:02:21,568 --> 00:02:25,608
To da nam 2R razy sinus alfa równa się a.

56
00:02:25,920 --> 00:02:27,423
Teraz podzielmy obie strony

57
00:02:27,423 --> 00:02:29,804
tego równania przez sinus alfa.

58
00:02:30,016 --> 00:02:32,184
Otrzymujemy 2R równa się

59
00:02:32,184 --> 00:02:33,900
a przez sinus alfa.

60
00:02:34,368 --> 00:02:37,028
Oznaczmy w tym trójkącie 2 pozostałe kąty:

61
00:02:37,184 --> 00:02:38,508
beta i gamma.

62
00:02:38,876 --> 00:02:41,042
Naszego boku i kąta leżącego naprzeciw

63
00:02:41,042 --> 00:02:42,867
niego nie wybraliśmy w żaden

64
00:02:42,867 --> 00:02:44,040
szczególny sposób.

65
00:02:44,408 --> 00:02:46,756
Wobec tego pozostałe ilorazy

66
00:02:46,912 --> 00:02:48,548
b przez sinus beta

67
00:02:48,704 --> 00:02:50,702
oraz c przez sinus gamma

68
00:02:50,802 --> 00:02:53,000
również muszą wynosić 2R.

69
00:02:53,312 --> 00:02:54,692
Co z tego wynika?

70
00:02:54,848 --> 00:02:56,907
Skoro każdy ułamek to 2R

71
00:02:56,907 --> 00:02:59,556
to te wszystkie ułamki są sobie równe.

72
00:02:59,712 --> 00:03:01,292
Możemy to zapisać jako:

73
00:03:01,504 --> 00:03:04,651
2R równa się a przez sinus alfa

74
00:03:04,651 --> 00:03:06,980
równa się b przez sinus beta

75
00:03:07,136 --> 00:03:09,640
równa się c przez sinus gamma.

76
00:03:09,952 --> 00:03:12,100
W naszym dowodzie istotnym było to

77
00:03:12,256 --> 00:03:15,528
że środek okręgu leżał wewnątrz trójkąta.

78
00:03:15,840 --> 00:03:17,573
Dzieje się tak, gdy trójkąt

79
00:03:17,573 --> 00:03:18,900
jest ostrokątny.

80
00:03:19,168 --> 00:03:21,930
Sprawdźmy teraz, co się stanie gdy trójkąt

81
00:03:21,930 --> 00:03:24,232
wpisany w okrąg będzie prostokątny.

82
00:03:28,640 --> 00:03:30,120
Widzisz kolejny okrąg.

83
00:03:30,432 --> 00:03:31,912
Tutaj jest jego środek.

84
00:03:32,480 --> 00:03:34,984
Wpiszmy w niego trójkąt prostokątny.

85
00:03:35,296 --> 00:03:38,120
Długość tego boku oznaczymy literą a

86
00:03:38,220 --> 00:03:39,948
tego b, a tego c.

87
00:03:40,416 --> 00:03:43,332
Kąt naprzeciw boku a oznaczmy alfa

88
00:03:43,488 --> 00:03:45,276
naprzeciw boku beta

89
00:03:45,276 --> 00:03:47,628
a naprzeciw boku c gamma.

90
00:03:47,840 --> 00:03:50,642
Zauważ, że przeciwprostokątna naszego

91
00:03:50,642 --> 00:03:53,516
trójkąta przechodzi przez środek okręgu.

92
00:03:53,728 --> 00:03:55,654
Dlatego najpierw przyjrzyjmy się

93
00:03:55,754 --> 00:03:58,280
ilorazowi c przez sinus gamma.

94
00:03:58,748 --> 00:04:01,708
c to średnica okręgu, czyli 2R.

95
00:04:01,920 --> 00:04:04,392
Sinus gamma to sinus dziewięćdziesięciu

96
00:04:04,392 --> 00:04:06,060
stopni, czyli 1.

97
00:04:06,272 --> 00:04:09,355
Wobec tego iloraz c przez sinus gamma

98
00:04:09,455 --> 00:04:12,104
to 2R przez 1, czyli 2R.

99
00:04:12,416 --> 00:04:14,251
Zostały nam 2 kąty

100
00:04:14,251 --> 00:04:16,456
ale żaden nie jest już prosty.

101
00:04:16,768 --> 00:04:18,354
Musimy zatem postąpić podobnie

102
00:04:18,454 --> 00:04:20,039
jak w poprzednim przykładzie.

103
00:04:20,351 --> 00:04:22,855
Najpierw kąt alfa i bok a.

104
00:04:23,167 --> 00:04:25,435
Narysujmy promień ze środka okręgu

105
00:04:25,535 --> 00:04:27,407
do wierzchołka kąta gamma.

106
00:04:27,775 --> 00:04:30,336
Tutaj mamy kąt środkowy, a tutaj kąt

107
00:04:30,336 --> 00:04:32,683
wpisany oparty na tym samym łuku.

108
00:04:32,895 --> 00:04:35,499
Kąt środkowy ma zatem miarę 2 alfa.

109
00:04:36,123 --> 00:04:38,494
Narysujmy wysokość tego trójkąta

110
00:04:38,594 --> 00:04:41,543
opuszczoną ze środka okręgu na bok a.

111
00:04:41,855 --> 00:04:44,003
To jest promień i to jest promień.

112
00:04:44,415 --> 00:04:46,919
Ten trójkąt jest zatem równoramienny.

113
00:04:47,387 --> 00:04:49,761
Wysokość trójkąta równoramiennego

114
00:04:49,861 --> 00:04:52,551
dzieli ten bok na dwie jednakowe części.

115
00:04:53,119 --> 00:04:55,623
Długość każdej z nich to a przez 2.

116
00:04:55,935 --> 00:04:57,769
Oznaczmy tylko jedną długość

117
00:04:57,769 --> 00:04:59,563
bo ta będzie nam potrzeba.

118
00:05:00,031 --> 00:05:02,304
Ta wysokość dzieli ten kąt na

119
00:05:02,304 --> 00:05:03,715
dwie jednakowe części

120
00:05:03,871 --> 00:05:05,963
czyli miara tego kąta to alfa.

121
00:05:06,431 --> 00:05:09,191
Skupmy się na tym trójkącie prostokątnym.

122
00:05:09,503 --> 00:05:11,318
Sinus kąta alfa to stosunek

123
00:05:11,418 --> 00:05:13,955
przyprostokątnej naprzeciw tego kąta

124
00:05:14,111 --> 00:05:15,235
czyli a przez 2

125
00:05:15,391 --> 00:05:17,739
do przeciwprostokątnej, czyli R.

126
00:05:17,951 --> 00:05:21,223
Po uproszczeniu mamy a podzielić przez 2R.

127
00:05:21,535 --> 00:05:24,039
Pomnóżmy obie strony równania przez 2R.

128
00:05:24,351 --> 00:05:27,467
Mamy 2 razy sinus alfa równa się a.

129
00:05:27,935 --> 00:05:29,421
Teraz podzielmy obie strony

130
00:05:29,521 --> 00:05:31,307
tego równania przez sinus alfa.

131
00:05:31,675 --> 00:05:33,793
Otrzymujemy 2R równa się

132
00:05:33,793 --> 00:05:35,403
a przez sinus alfa.

133
00:05:35,771 --> 00:05:37,206
Analogiczne rozumowanie

134
00:05:37,306 --> 00:05:39,382
można przeprowadzić dla kąta beta

135
00:05:39,382 --> 00:05:41,547
który również jest kątem ostrym.

136
00:05:42,015 --> 00:05:45,799
Oznacza to, że b przez sinus beta to 2R.

137
00:05:46,111 --> 00:05:48,715
Podsumujmy. Co z tego wynika?

138
00:05:49,183 --> 00:05:50,837
Skoro każdy ułamek to 2R

139
00:05:50,837 --> 00:05:53,123
to te wszystkie ułamki są sobie równe.

140
00:05:53,279 --> 00:05:54,711
Możemy to zapisać jako

141
00:05:54,811 --> 00:05:57,301
2R równa się a przez sinus alfa

142
00:05:57,400 --> 00:05:59,523
równa się b przez sinus beta

143
00:05:59,679 --> 00:06:01,771
równa się c przez sinus gamma.

144
00:06:01,983 --> 00:06:03,904
Wykazaliśmy, że to kończy dowód

145
00:06:03,904 --> 00:06:07,047
w przypadku, gdy trójkąt jest prostokątny.

146
00:06:07,615 --> 00:06:10,481
Sprawdźmy, co się stanie gdy środek okręgu

147
00:06:10,481 --> 00:06:12,323
znajdzie się poza trójkątem

148
00:06:12,479 --> 00:06:14,617
czyli gdy trójkąt wpisany w ten okrąg

149
00:06:14,717 --> 00:06:16,563
będzie rozwartokątny.

150
00:06:21,139 --> 00:06:23,919
Widzisz okrąg, w który wpisano trójkąt

151
00:06:23,919 --> 00:06:27,883
rozwartokątny o bokach długości a, b i c.

152
00:06:28,095 --> 00:06:30,699
Kąt rozwarty oznaczono jako gamma.

153
00:06:31,167 --> 00:06:32,981
Zbadajmy, jaki jest iloraz

154
00:06:32,981 --> 00:06:34,695
c przez sinus gamma.

155
00:06:34,907 --> 00:06:36,947
Najpierw narysujmy 2 promienie

156
00:06:37,047 --> 00:06:38,756
wychodzące ze środka okręgu

157
00:06:38,856 --> 00:06:41,351
do tych dwóch wierzchołków trójkąta.

158
00:06:41,919 --> 00:06:44,167
Kąt gamma jest kątem wpisanym.

159
00:06:44,379 --> 00:06:46,832
Ten kąt jest za to kątem środkowym

160
00:06:46,932 --> 00:06:49,005
opartym na tym samym łuku.

161
00:06:49,143 --> 00:06:52,047
Jest zatem 2 razy większy niż gamma.

162
00:06:52,471 --> 00:06:54,824
Rysujemy wysokość ze środka okręgu

163
00:06:54,924 --> 00:06:57,067
na bok c w tym trójkącie.

164
00:06:57,435 --> 00:06:59,946
Ponieważ ten trójkąt jest równoramienny

165
00:06:59,946 --> 00:07:01,555
to podzieli ona bok c na

166
00:07:01,555 --> 00:07:02,955
2 jednakowe odcinki.

167
00:07:03,323 --> 00:07:05,565
Długość każdego to c przez 2

168
00:07:05,665 --> 00:07:08,331
ale oznaczę tylko długość jednego.

169
00:07:08,543 --> 00:07:09,690
Przyjrzyjmy się teraz

170
00:07:09,790 --> 00:07:11,620
jednemu z trójkątów prostokątnych

171
00:07:11,720 --> 00:07:13,867
utworzonych przez tę wysokość.

172
00:07:14,175 --> 00:07:15,761
Nie znamy miary tego kąta

173
00:07:15,861 --> 00:07:17,447
ale możemy ją obliczyć.

174
00:07:17,759 --> 00:07:20,007
Masz jakiś pomysł jak to zrobić?

175
00:07:23,091 --> 00:07:25,062
Zauważ, że 2 gamma

176
00:07:25,162 --> 00:07:27,874
oraz ten kąt w trójkącie równoramiennym

177
00:07:27,974 --> 00:07:31,627
dają nam kąt pełny, czyli 360 stopni.

178
00:07:32,095 --> 00:07:35,011
Stąd kąt przy wierzchołku w tym trójkącie

179
00:07:35,167 --> 00:07:38,027
to 360 stopni odjąć 2 gamma.

180
00:07:38,495 --> 00:07:40,711
Kąt w trójkącie prostokątnym to połowa

181
00:07:40,711 --> 00:07:43,915
z tego, czyli 180 stopni odjąć gamma.

182
00:07:44,283 --> 00:07:46,795
Obliczmy teraz sinus tego kąta

183
00:07:46,795 --> 00:07:49,155
czyli sinus stu osiemdziesięciu stopni

184
00:07:49,191 --> 00:07:50,415
odjąć gamma.

185
00:07:50,783 --> 00:07:52,737
Będzie to c przez 2

186
00:07:52,737 --> 00:07:56,047
dzielone przez R, czyli c przez 2R.

187
00:07:56,415 --> 00:07:58,275
Zgodnie ze wzorem redukcyjnym

188
00:07:58,531 --> 00:08:00,433
sinus stu osiemdziesięciu stopni

189
00:08:00,543 --> 00:08:02,825
odjąć gamma to sinus gamma.

190
00:08:03,327 --> 00:08:06,755
Sinus gamma równa się zatem c przez 2R

191
00:08:06,911 --> 00:08:09,627
a to jest równoważne temu, że 2R

192
00:08:09,783 --> 00:08:11,919
to c przez sinus gamma.

193
00:08:12,287 --> 00:08:14,379
Kąt rozwarty mamy załatwiony.

194
00:08:14,647 --> 00:08:16,730
Uzasadnienie dla kątów ostrych jest

195
00:08:16,730 --> 00:08:18,907
analogiczne jak dla kątów ostrych

196
00:08:18,907 --> 00:08:20,623
w poprzednich przypadkach.

197
00:08:20,991 --> 00:08:23,410
Zapisujemy zatem, że 2R to

198
00:08:23,410 --> 00:08:25,084
a przez sinus alfa

199
00:08:25,184 --> 00:08:27,835
i 2R to b przez sinus beta.

200
00:08:28,159 --> 00:08:30,146
Skoro każdy ułamek to 2R

201
00:08:30,146 --> 00:08:32,611
to te wszystkie ułamki są sobie równe.

202
00:08:32,767 --> 00:08:34,486
Zapisujemy to oczywiście jako

203
00:08:34,586 --> 00:08:37,219
2R równa się a przez sinus alfa

204
00:08:37,375 --> 00:08:39,267
równa się b przez sinus beta

205
00:08:39,423 --> 00:08:41,571
równa się c przez sinus gamma

206
00:08:41,727 --> 00:08:43,183
co kończy dowód dla

207
00:08:43,183 --> 00:08:45,099
trójkąta rozwartokątnego.

208
00:08:45,823 --> 00:08:48,608
Wykazaliśmy, że we wszystkich rodzajach

209
00:08:48,608 --> 00:08:51,043
trójkątów wpisanych w okrąg

210
00:08:51,199 --> 00:08:53,023
stosunki odpowiednich boków

211
00:08:53,123 --> 00:08:55,395
i sinusów naprzeciwległych kątów

212
00:08:55,551 --> 00:08:58,055
wynoszą 2R, co kończy dowód.

213
00:09:03,443 --> 00:09:05,492
Twierdzenie sinusów mówi

214
00:09:05,492 --> 00:09:06,818
że w każdym trójkącie

215
00:09:06,818 --> 00:09:08,398
stosunek długości boku

216
00:09:08,398 --> 00:09:10,531
do sinusa przeciwległego kąta

217
00:09:10,531 --> 00:09:12,671
jest równy średnicy okręgu

218
00:09:12,671 --> 00:09:14,539
opisanego na tym trójkącie.

219
00:09:15,007 --> 00:09:17,248
Udowadniając twierdzenie sinusów

220
00:09:17,348 --> 00:09:19,303
należy rozważyć 3 przypadki.

221
00:09:19,515 --> 00:09:22,531
Pierwszy to taki, w którym kąt jest ostry

222
00:09:22,687 --> 00:09:24,835
drugi, gdy kąt jest prosty

223
00:09:24,991 --> 00:09:27,439
a trzeci, gdy kąt jest rozwarty.

224
00:09:30,935 --> 00:09:32,558
Zapraszam Cię do obejrzenia

225
00:09:32,658 --> 00:09:34,591
pozostałych lekcji z tego działu

226
00:09:34,691 --> 00:09:37,379
a także do zasubskrybowania naszego kanału

227
00:09:37,535 --> 00:09:39,883
aby być na bieżąco z nowymi lekcjami!