1
00:00:00,156 --> 00:00:02,728
Francuski filozof Monteskiusz powiedział

2
00:00:02,828 --> 00:00:04,589
że twierdzenia matematyczne

3
00:00:04,689 --> 00:00:06,244
uważane są za prawdziwe

4
00:00:06,400 --> 00:00:09,026
albowiem w niczyim interesie nie leży

5
00:00:09,126 --> 00:00:11,208
by uważać je za fałszywe.

6
00:00:11,520 --> 00:00:13,924
Matematykom nie wystarcza jednak uważanie.

7
00:00:14,080 --> 00:00:16,393
By twierdzenie uznać za prawdziwe

8
00:00:16,493 --> 00:00:18,020
muszą je udowodnić.

9
00:00:18,176 --> 00:00:19,910
Ja w tej lekcji pokażę Ci

10
00:00:20,010 --> 00:00:22,728
jak udowodnić twierdzenie cosinusów.

11
00:00:34,360 --> 00:00:36,137
W tym filmie wytłumaczę Ci

12
00:00:36,237 --> 00:00:38,856
skąd się bierze twierdzenie cosinusów.

13
00:00:39,224 --> 00:00:40,938
Zacznijmy od przypomnienia

14
00:00:41,038 --> 00:00:42,952
o czym mówi to twierdzenie.

15
00:00:43,264 --> 00:00:46,436
Pozwala ono obliczyć długość boku trójkąta

16
00:00:46,592 --> 00:00:49,098
jeśli znamy długości dwóch pozostałych

17
00:00:49,098 --> 00:00:51,656
boków i miarę kąta między nimi.

18
00:00:51,968 --> 00:00:53,770
Dla narysowanego trójkąta

19
00:00:53,870 --> 00:00:56,264
zależność ta będzie wyglądać tak:

20
00:00:56,576 --> 00:00:59,737
c kwadrat to a kwadrat dodać b kwadrat

21
00:00:59,837 --> 00:01:03,432
odjąć 2 razy a razy b razy cosinus gamma.

22
00:01:03,744 --> 00:01:05,737
Pokażę Ci jak udowodnić

23
00:01:05,837 --> 00:01:08,196
że ten wzór jest prawdziwy.

24
00:01:08,252 --> 00:01:11,144
Ale zanim pokażę Ci dowód, prześledźmy

25
00:01:11,144 --> 00:01:13,516
rozumowanie na konkretnym przykładzie.

26
00:01:13,784 --> 00:01:17,429
Przyjrzyjmy się trójkątowi o bokach 10 i 7

27
00:01:17,529 --> 00:01:19,547
oraz kącie między nimi o mierze

28
00:01:19,647 --> 00:01:21,196
czterdziestu stopni.

29
00:01:21,408 --> 00:01:23,514
Znamy zatem długości dwóch boków

30
00:01:23,614 --> 00:01:25,448
i miarę kąta między nimi.

31
00:01:25,760 --> 00:01:28,116
Chcemy obliczyć miarę trzeciego boku

32
00:01:28,116 --> 00:01:29,032
tego trójkąta.

33
00:01:29,600 --> 00:01:31,687
Aby móc skorzystać z funkcji

34
00:01:31,687 --> 00:01:34,194
trygonometrycznych, warto znaleźć

35
00:01:34,194 --> 00:01:35,176
kąt prosty.

36
00:01:35,488 --> 00:01:37,736
Jak go uzyskać w tym trójkącie?

37
00:01:38,048 --> 00:01:39,728
Masz jakiś pomysł?

38
00:01:43,168 --> 00:01:45,060
Możemy narysować wysokość.

39
00:01:45,216 --> 00:01:46,952
Mamy do wyboru 3.

40
00:01:47,264 --> 00:01:49,501
Ważne, żeby wybrać taką, która

41
00:01:49,501 --> 00:01:51,816
nie podzieli nam kąta czterdziestu stopni.

42
00:01:52,384 --> 00:01:54,353
Ja wybieram tę poprowadzoną

43
00:01:54,353 --> 00:01:56,168
na bok o długości 10.

44
00:01:56,380 --> 00:01:57,755
Czy masz już pomysł

45
00:01:57,855 --> 00:01:59,479
jak używając tych danych

46
00:01:59,579 --> 00:02:01,744
obliczyć długość boku c?

47
00:02:04,472 --> 00:02:07,151
Gdybyśmy znali długości przyprostokątnych

48
00:02:07,251 --> 00:02:09,180
w tym trójkącie prostokątnym

49
00:02:09,280 --> 00:02:11,016
to moglibyśmy użyć do tego

50
00:02:11,016 --> 00:02:12,552
twierdzenia Pitagorasa.

51
00:02:12,864 --> 00:02:14,569
Czy wiesz jak można obliczyć

52
00:02:14,669 --> 00:02:16,592
długości tych dwóch boków?

53
00:02:19,832 --> 00:02:22,358
Możemy wykorzystać 40 stopni

54
00:02:22,458 --> 00:02:24,784
oraz funkcje trygonometryczne.

55
00:02:25,052 --> 00:02:26,311
Ja to zrobię w sposób

56
00:02:26,411 --> 00:02:27,669
który pomoże nam potem

57
00:02:27,769 --> 00:02:29,904
udowodnić twierdzenie cosinusów.

58
00:02:30,428 --> 00:02:33,631
Dla ułatwienia oznaczam przez z i y

59
00:02:33,631 --> 00:02:35,576
odcinki, na które wysokość

60
00:02:35,576 --> 00:02:37,072
podzieliła podstawę.

61
00:02:37,496 --> 00:02:40,144
Długość którego odcinka możemy obliczyć

62
00:02:40,244 --> 00:02:42,960
licząc cosinus czterdziestu stopni?

63
00:02:46,144 --> 00:02:48,336
Będzie to przyprostokątna przyległa

64
00:02:48,436 --> 00:02:50,484
do kąta czterdziestu stopni.

65
00:02:50,752 --> 00:02:54,204
Zapiszmy: cosinus czterdziestu stopni

66
00:02:54,304 --> 00:02:55,916
to y przez 7.

67
00:02:56,384 --> 00:03:00,068
y to 7 razy cosinus czterdziestu stopni

68
00:03:00,224 --> 00:03:03,184
a to około 5,36.

69
00:03:03,832 --> 00:03:05,751
Zauważ, że w tym trójkącie

70
00:03:05,851 --> 00:03:08,148
znamy już długości dwóch boków.

71
00:03:08,672 --> 00:03:10,798
Do obliczania trzeciego możemy zatem

72
00:03:10,898 --> 00:03:13,224
skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

73
00:03:13,692 --> 00:03:17,859
Zapiszmy: 7 kwadrat to h kwadrat dodać

74
00:03:17,859 --> 00:03:18,956
y kwadrat.

75
00:03:19,224 --> 00:03:23,408
h kwadrat to 49 odjąć y kwadrat.

76
00:03:23,676 --> 00:03:25,897
Po wstawieniu w miejsce litery y

77
00:03:25,897 --> 00:03:30,276
jej przybliżonej wartości, czyli 5,36

78
00:03:30,432 --> 00:03:33,804
otrzymamy około 20,27.

79
00:03:34,272 --> 00:03:36,217
Nie musimy wyciągać pierwiastka

80
00:03:36,217 --> 00:03:37,032
z tej liczby.

81
00:03:37,344 --> 00:03:39,030
Kwadrat h przyda nam się

82
00:03:39,030 --> 00:03:40,716
w dalszych obliczeniach.

83
00:03:41,240 --> 00:03:44,256
Teraz możemy obliczyć długość odcinka c

84
00:03:44,412 --> 00:03:45,792
ponieważ mamy długości

85
00:03:45,792 --> 00:03:47,172
obu przyprostokątnych.

86
00:03:47,840 --> 00:03:50,094
c do kwadratu to h do kwadratu

87
00:03:50,194 --> 00:03:51,880
dodać z do kwadratu.

88
00:03:52,448 --> 00:03:56,232
Odcinek z to różnica dziesięciu i y.

89
00:03:56,544 --> 00:03:59,113
Wartość y jest przybliżona

90
00:03:59,213 --> 00:04:02,288
więc długość odcinka z to około 10

91
00:04:02,444 --> 00:04:08,620
odjąć około 5,36, czyli około 4,64.

92
00:04:09,088 --> 00:04:10,946
Potrzebujemy kwadratu z

93
00:04:11,046 --> 00:04:15,276
co wynosi w przybliżeniu 21,53.

94
00:04:15,744 --> 00:04:18,077
Po wstawieniu wartości h kwadrat

95
00:04:18,177 --> 00:04:19,939
i z kwadrat okazuje się

96
00:04:20,095 --> 00:04:23,779
że c kwadrat to 21,53

97
00:04:23,935 --> 00:04:29,811
dodać 20,27, czyli około 41,8.

98
00:04:30,491 --> 00:04:32,930
Znając wartość c do kwadratu

99
00:04:33,030 --> 00:04:35,143
możemy obliczyć wartość c

100
00:04:35,299 --> 00:04:38,571
która wyniesie około 6,47.

101
00:04:39,039 --> 00:04:41,643
Za chwilę uogólnimy nasze rozumowanie.

102
00:04:41,855 --> 00:04:43,505
Mówiąc najprościej

103
00:04:43,505 --> 00:04:45,427
przeprowadzimy je na literkach.

104
00:04:48,727 --> 00:04:51,627
Załóżmy że znamy długości dwóch boków

105
00:04:51,839 --> 00:04:54,136
a i b oraz miarę kąta alfa

106
00:04:54,136 --> 00:04:56,079
zawartego między nimi.

107
00:04:56,091 --> 00:04:57,313
Naszym celem jest

108
00:04:57,413 --> 00:04:59,875
wyprowadzenie twierdzenia cosinusów

109
00:05:00,031 --> 00:05:01,155
czyli udowodnienie

110
00:05:01,311 --> 00:05:04,033
że c do kwadratu to a do kwadratu

111
00:05:04,133 --> 00:05:06,297
dodać b do kwadratu odjąć

112
00:05:06,297 --> 00:05:08,423
2ab cosinus alfa.

113
00:05:08,991 --> 00:05:11,208
Przypomnę, że naszym celem jest

114
00:05:11,308 --> 00:05:13,086
zapisanie długości boku c

115
00:05:13,186 --> 00:05:15,534
korzystając z długości boków a i b

116
00:05:15,634 --> 00:05:17,383
oraz miary kąta alfa.

117
00:05:17,851 --> 00:05:20,248
Zaczynamy od narysowania wysokości

118
00:05:20,348 --> 00:05:21,991
opadającej na bok b.

119
00:05:22,303 --> 00:05:24,551
Oznaczmy jej długość literą h

120
00:05:24,707 --> 00:05:25,831
tak jak poprzednio.

121
00:05:26,399 --> 00:05:29,415
Ta wysokość dzieli bok b na 2 odcinki.

122
00:05:29,727 --> 00:05:32,458
Długość tego oznaczymy literą y

123
00:05:32,458 --> 00:05:33,867
a tego literą z.

124
00:05:34,235 --> 00:05:35,887
Zapiszmy cosinus alfa

125
00:05:35,887 --> 00:05:37,763
w tym trójkącie prostokątnym.

126
00:05:37,975 --> 00:05:39,911
To y przez a.

127
00:05:40,223 --> 00:05:43,851
W takim razie y to a razy cosinus alfa.

128
00:05:44,219 --> 00:05:46,527
Teraz wyznaczymy długość wysokości

129
00:05:46,527 --> 00:05:49,127
korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

130
00:05:49,439 --> 00:05:51,375
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

131
00:05:54,705 --> 00:05:57,373
a kwadrat równa się h kwadrat dodać

132
00:05:57,373 --> 00:06:00,657
y kwadrat, czyli h kwadrat to a kwadrat

133
00:06:00,657 --> 00:06:02,383
odjąć y kwadrat.

134
00:06:03,007 --> 00:06:05,368
Teraz skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa

135
00:06:05,468 --> 00:06:07,659
w drugim trójkącie prostokątnym.

136
00:06:08,127 --> 00:06:11,855
c kwadrat to h kwadrat dodać z kwadrat.

137
00:06:12,123 --> 00:06:14,603
Wiemy, że h kwadrat to a kwadrat

138
00:06:14,603 --> 00:06:16,263
odjąć y kwadrat.

139
00:06:16,831 --> 00:06:19,083
Wstawmy zatem w tym równaniu w miejsce

140
00:06:19,083 --> 00:06:22,663
h kwadrat, a kwadrat odjąć y kwadrat.

141
00:06:22,975 --> 00:06:24,981
c kwadrat równa się a kwadrat

142
00:06:25,081 --> 00:06:27,783
odjąć y kwadrat dodać z kwadrat.

143
00:06:27,839 --> 00:06:30,343
Teraz zabierzemy się za z kwadrat.

144
00:06:30,655 --> 00:06:32,856
z to długość odcinka b

145
00:06:32,856 --> 00:06:34,695
pomniejszona o długość y.

146
00:06:35,263 --> 00:06:37,255
z kwadrat to w nawiasie

147
00:06:37,567 --> 00:06:40,939
b odjąć y, zamykamy nawias, do kwadratu.

148
00:06:41,407 --> 00:06:43,399
Wstawmy to do naszego równania.

149
00:06:43,711 --> 00:06:46,983
Otrzymujemy a kwadrat odjąć y kwadrat

150
00:06:47,295 --> 00:06:49,934
dodać b odjąć y, zamykamy nawias

151
00:06:49,934 --> 00:06:50,923
do kwadratu.

152
00:06:51,747 --> 00:06:54,285
Uprośćmy to wyrażenie, zapisując kwadrat

153
00:06:54,385 --> 00:06:57,223
tej różnicy w postaci sumy algebraicznej.

154
00:06:57,535 --> 00:07:01,139
Otrzymamy: c kwadrat równa się a kwadrat

155
00:07:01,139 --> 00:07:04,235
odjąć y kwadrat dodać b kwadrat

156
00:07:04,235 --> 00:07:07,207
odjąć 2by dodać y kwadrat.

157
00:07:08,031 --> 00:07:12,071
-y kwadrat dodać y kwadrat się zredukuje.

158
00:07:12,383 --> 00:07:14,977
Zostaje nam: c kwadrat równa się

159
00:07:15,077 --> 00:07:18,671
a kwadrat dodać b kwadrat odjąć 2by.

160
00:07:19,039 --> 00:07:21,287
Czy to wyrażenie coś Ci przypomina?

161
00:07:21,599 --> 00:07:24,103
Jest podobne do twierdzenia cosinusów.

162
00:07:24,571 --> 00:07:27,618
Żeby uzyskać ten wzór, wystarczy w miejsce

163
00:07:27,618 --> 00:07:30,703
y wstawić a razy cosinus alfa.

164
00:07:31,071 --> 00:07:34,277
Otrzymujemy: c kwadrat równa się a kwadrat

165
00:07:34,377 --> 00:07:38,183
dodać b kwadrat odjąć 2ba cosinus alfa.

166
00:07:38,495 --> 00:07:40,231
Wykonaliśmy nasze zadanie!

167
00:07:40,543 --> 00:07:42,782
Pokazaliśmy, że znając długości dwóch

168
00:07:42,782 --> 00:07:45,251
boków i miarę kąta między nimi

169
00:07:45,407 --> 00:07:47,778
da się obliczyć kwadrat długości boku

170
00:07:47,878 --> 00:07:50,115
znajdującego się naprzeciw kąta

171
00:07:50,271 --> 00:07:51,851
którego miarę znamy.

172
00:07:52,319 --> 00:07:54,311
Czy to na pewno koniec dowodu?

173
00:07:54,623 --> 00:07:57,319
Musimy się zastanowić, czy każdą sytuację

174
00:07:57,319 --> 00:07:59,531
da się sprowadzić do tego przypadku.

175
00:07:59,899 --> 00:08:02,292
Jak dobrze wiesz, nie zawsze wysokość

176
00:08:02,392 --> 00:08:04,239
opada w środku trójkąta.

177
00:08:04,507 --> 00:08:06,193
W trójkącie rozwartokątnym

178
00:08:06,293 --> 00:08:07,979
opada na przedłużeniu boku.

179
00:08:08,447 --> 00:08:10,383
Który kąt może być rozwarty?

180
00:08:10,751 --> 00:08:12,131
Mamy 3 możliwości:

181
00:08:12,287 --> 00:08:14,435
albo ten naprzeciwko boku c

182
00:08:14,635 --> 00:08:16,583
albo ten naprzeciwko boku a

183
00:08:16,783 --> 00:08:18,831
albo ten naprzeciwko boku b.

184
00:08:19,099 --> 00:08:21,607
Jeżeli rozwarty będzie kąt naprzeciwko

185
00:08:21,607 --> 00:08:23,825
boku b to dowód się nie zmieni

186
00:08:23,925 --> 00:08:26,316
ponieważ wysokość, której potrzebujemy

187
00:08:26,316 --> 00:08:28,003
pada wewnątrz trójkąta.

188
00:08:28,671 --> 00:08:30,285
Przyjrzyjmy się w takim razie

189
00:08:30,385 --> 00:08:32,199
dwóm pozostałym przypadkom.

190
00:08:36,045 --> 00:08:38,755
Mamy tutaj trójkąt rozwartokątny

191
00:08:38,755 --> 00:08:40,498
w którym kąt rozwarty jest

192
00:08:40,498 --> 00:08:41,771
naprzeciwko boku a.

193
00:08:42,239 --> 00:08:43,307
Czy to problem?

194
00:08:43,619 --> 00:08:45,655
Nie, bo udowadniając twierdzenie

195
00:08:45,811 --> 00:08:48,001
możemy przecież zmienić wysokość

196
00:08:48,001 --> 00:08:49,395
której używamy.

197
00:08:49,507 --> 00:08:51,561
Wysokość poprowadzona na bok a

198
00:08:51,661 --> 00:08:54,627
na pewno będzie opadała wewnątrz tego boku

199
00:08:54,783 --> 00:08:56,472
ponieważ wychodzi z wierzchołka

200
00:08:56,472 --> 00:08:57,343
kąta rozwartego.

201
00:08:57,855 --> 00:09:00,083
Wtedy możemy przeprowadzić rozumowanie

202
00:09:00,083 --> 00:09:02,507
identyczne jak w poprzednim przypadku

203
00:09:02,719 --> 00:09:04,743
zamieniając boki a i b.

204
00:09:05,083 --> 00:09:07,435
Na szczęście w twierdzeniu cosinusów

205
00:09:07,535 --> 00:09:09,744
nic się nie zmieni, jeśli a i b

206
00:09:09,744 --> 00:09:10,955
zamienimy rolami.

207
00:09:11,423 --> 00:09:13,771
Obliczenia masz na tablicy.

208
00:09:13,983 --> 00:09:16,075
Spróbuj samodzielnie je prześledzić.

209
00:09:19,369 --> 00:09:21,607
Ja przejdę do ostatniego przypadku.

210
00:09:21,819 --> 00:09:25,135
Tego, w którym rozwarty jest kąt alfa.

211
00:09:28,319 --> 00:09:30,823
Mamy tutaj trójkąt rozwartokątny.

212
00:09:31,135 --> 00:09:33,905
Załóżmy, że znamy długości a i b

213
00:09:33,905 --> 00:09:36,711
i miarę kąta między nimi, czyli alfa.

214
00:09:37,023 --> 00:09:39,015
Alfa jest kątem rozwartym.

215
00:09:39,227 --> 00:09:42,053
Mamy wykazać, że znając długości dwóch

216
00:09:42,053 --> 00:09:44,291
boków i miarę kąta między nimi

217
00:09:44,447 --> 00:09:46,561
da się obliczyć kwadrat długości boku

218
00:09:46,661 --> 00:09:48,654
znajdującego się naprzeciw kąta

219
00:09:48,754 --> 00:09:50,123
którego miarę znamy.

220
00:09:50,335 --> 00:09:52,243
Sztuczka z poprzedniego przypadku

221
00:09:52,243 --> 00:09:52,995
nie zadziała.

222
00:09:53,151 --> 00:09:55,818
Wiesz, że wysokości opuszczone na bok a

223
00:09:55,818 --> 00:09:58,471
i bok b, opadną poza tymi bokami.

224
00:09:58,783 --> 00:10:00,519
Zobaczmy, co da się zrobić.

225
00:10:00,831 --> 00:10:03,546
Narysujmy wysokość prostopadłą do boku b

226
00:10:03,646 --> 00:10:05,539
i przedłużenie tego boku

227
00:10:05,695 --> 00:10:07,687
aby stykało się z wysokością.

228
00:10:08,155 --> 00:10:11,171
Długość wysokości oznaczmy literą h

229
00:10:11,327 --> 00:10:13,931
a długość tego odcinka literą y.

230
00:10:14,299 --> 00:10:16,805
Czy możemy obliczyć długość odcinka y

231
00:10:16,905 --> 00:10:18,842
wykorzystując jej zależność

232
00:10:18,942 --> 00:10:21,411
od h oraz cosinusa kąta alfa?

233
00:10:21,567 --> 00:10:22,635
Nie bardzo!

234
00:10:22,847 --> 00:10:25,295
Co prawda mamy tutaj trójkąt prostokątny

235
00:10:25,451 --> 00:10:28,267
ale niestety nie ma w nim kąta alfa.

236
00:10:28,735 --> 00:10:30,029
Ten kąt jest jednak

237
00:10:30,029 --> 00:10:31,595
przyległy do kąta alfa.

238
00:10:31,807 --> 00:10:33,031
Oznaczmy go beta.

239
00:10:33,655 --> 00:10:36,615
Cosinus kąta beta to y przez a.

240
00:10:37,183 --> 00:10:38,709
Dalej wnioskujemy

241
00:10:38,709 --> 00:10:41,223
że y to a razy cosinus beta.

242
00:10:41,535 --> 00:10:44,045
W zadaniu nie podano nam jednak kąta beta

243
00:10:44,145 --> 00:10:45,419
tylko kąt alfa.

244
00:10:45,631 --> 00:10:48,491
Jaki jest związek pomiędzy tymi kątami?

245
00:10:48,859 --> 00:10:51,781
Zauważmy, że są to kąty przyległe

246
00:10:51,881 --> 00:10:53,782
czyli beta to jest to samo

247
00:10:53,882 --> 00:10:56,583
co 180 stopni odjąć alfa.

248
00:10:57,151 --> 00:10:58,872
Możemy zapisać w takim razie

249
00:10:58,972 --> 00:11:00,997
że y będzie równe a razy

250
00:11:01,097 --> 00:11:04,195
cosinus 180 stopni odjąć alfa.

251
00:11:04,475 --> 00:11:06,020
Czy masz jakiś pomysł

252
00:11:06,120 --> 00:11:08,492
jak zapisać y w zależności

253
00:11:08,592 --> 00:11:11,119
od a oraz cosinusa kąta alfa?

254
00:11:11,487 --> 00:11:13,384
Podpowiem, że należy skorzystać

255
00:11:13,484 --> 00:11:15,115
ze wzoru redukcyjnego.

256
00:11:18,355 --> 00:11:20,679
Ze wzorów redukcyjnych wiemy

257
00:11:20,779 --> 00:11:22,883
że cosinus stu osiemdziesięciu stopni

258
00:11:22,983 --> 00:11:24,899
odjąć alfa to jest to samo

259
00:11:25,055 --> 00:11:26,847
co minus cosinus alfa.

260
00:11:27,103 --> 00:11:30,475
Stąd y to -a razy cosinus alfa.

261
00:11:30,943 --> 00:11:33,605
Teraz wyznaczamy długość wysokości h

262
00:11:33,705 --> 00:11:35,807
w zależności od długości odcinków

263
00:11:35,807 --> 00:11:37,131
a oraz y.

264
00:11:37,599 --> 00:11:38,661
Z tą częścią dowodu

265
00:11:38,661 --> 00:11:40,003
nie ma żadnego problemu.

266
00:11:40,571 --> 00:11:43,375
Wciąż mamy przecież trójkąt prostokątny.

267
00:11:43,743 --> 00:11:46,481
Z twierdzenia Pitagorasa, a kwadrat

268
00:11:46,481 --> 00:11:49,219
równa się h kwadrat dodać y kwadrat

269
00:11:49,375 --> 00:11:51,741
czyli h kwadrat to a kwadrat odjąć

270
00:11:51,741 --> 00:11:52,903
y kwadrat.

271
00:11:53,471 --> 00:11:54,583
Co dalej?

272
00:11:54,775 --> 00:11:57,231
Zauważ, że te 3 odcinki

273
00:11:57,331 --> 00:12:00,588
czyli c, h oraz y dodać b

274
00:12:00,688 --> 00:12:02,731
tworzą trójkąt prostokątny.

275
00:12:02,943 --> 00:12:04,905
Możemy zatem ponownie skorzystać

276
00:12:05,005 --> 00:12:06,627
z twierdzenia Pitagorasa.

277
00:12:06,783 --> 00:12:09,219
c do kwadratu to kwadrat długości

278
00:12:09,219 --> 00:12:11,318
tego odcinka, czyli h kwadrat

279
00:12:11,418 --> 00:12:14,082
dodać kwadrat długości tego odcinka

280
00:12:14,182 --> 00:12:16,254
czyli w nawiasie y dodać b

281
00:12:16,354 --> 00:12:18,447
zamykamy nawias, do kwadratu.

282
00:12:18,815 --> 00:12:20,941
Wstawmy w miejsce h do kwadratu

283
00:12:21,041 --> 00:12:23,667
a do kwadratu odjąć y do kwadratu.

284
00:12:23,935 --> 00:12:25,315
Otrzymamy c kwadrat

285
00:12:25,471 --> 00:12:28,287
równa się a kwadrat odjąć y kwadrat

286
00:12:28,543 --> 00:12:30,947
dodać w nawiasie y dodać b

287
00:12:31,103 --> 00:12:33,295
zamykamy nawias, do kwadratu.

288
00:12:33,663 --> 00:12:35,886
Przekształcamy prawą stronę równania

289
00:12:35,986 --> 00:12:38,315
korzystając ze wzoru na kwadrat sumy.

290
00:12:38,527 --> 00:12:40,828
Otrzymujemy c kwadrat równa się

291
00:12:40,928 --> 00:12:43,135
a kwadrat odjąć y kwadrat

292
00:12:43,391 --> 00:12:45,027
dodać y kwadrat

293
00:12:45,183 --> 00:12:47,987
dodać 2by dodać b kwadrat.

294
00:12:48,255 --> 00:12:52,019
-y kwadrat dodać y kwadrat się zredukują.

295
00:12:52,415 --> 00:12:55,381
Zostaje: c kwadrat równa się a kwadrat

296
00:12:55,481 --> 00:12:58,183
dodać b kwadrat dodać 2by.

297
00:12:58,495 --> 00:13:01,967
Wiemy, że y to -a cosinus alfa.

298
00:13:02,335 --> 00:13:04,003
Wstawiając w miejsce y

299
00:13:04,103 --> 00:13:06,787
-a cosinus alfa w tym równaniu

300
00:13:06,943 --> 00:13:09,480
otrzymujemy: c kwadrat równa się

301
00:13:09,580 --> 00:13:11,651
b kwadrat dodać a kwadrat

302
00:13:11,807 --> 00:13:14,937
odjąć 2ba cosinus alfa, czyli nic innego

303
00:13:14,937 --> 00:13:16,971
jak twierdzenie cosinusów.

304
00:13:17,439 --> 00:13:19,687
To kończy dowódcy, dla tego przypadku.

305
00:13:19,899 --> 00:13:20,859
W gruncie rzeczy

306
00:13:20,959 --> 00:13:23,071
rozpatrzyliśmy już wszystkie przypadki

307
00:13:23,327 --> 00:13:25,372
więc dowód twierdzenia cosinusów

308
00:13:25,372 --> 00:13:26,799
jest zakończony.

309
00:13:31,731 --> 00:13:34,075
Aby wykazać, że w każdym trójkącie

310
00:13:34,175 --> 00:13:37,086
zachodzi równość: c do kwadratu równa się

311
00:13:37,186 --> 00:13:39,217
a do kwadratu dodać b do kwadratu

312
00:13:39,317 --> 00:13:42,559
odjąć 2 razy a razy b razy cosinus gamma

313
00:13:42,783 --> 00:13:45,231
należy rozważyć trzy przypadki.

314
00:13:45,599 --> 00:13:47,858
Pierwszy to taki, gdzie kąt gamma

315
00:13:47,958 --> 00:13:49,206
jest kątem ostrym

316
00:13:49,306 --> 00:13:52,267
drugi, gdy kąt gamma jest kątem rozwartym

317
00:13:52,367 --> 00:13:54,092
a trzeci, gdy kąt gamma

318
00:13:54,092 --> 00:13:55,827
jest kątem prostym.

319
00:14:01,045 --> 00:14:03,575
W tym dziale znajdziesz lekcje dotyczące

320
00:14:03,675 --> 00:14:05,260
funkcji trygonometrycznych

321
00:14:05,260 --> 00:14:06,235
kąta rozwartego.

322
00:14:06,491 --> 00:14:08,304
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

323
00:14:08,304 --> 00:14:11,494
stronie internetowej pi–stacja.tv