1
00:00:00,256 --> 00:00:01,982
Widzisz tu 2 sześciany.

2
00:00:02,048 --> 00:00:04,079
Masz 5 sekund, żeby wymienić

3
00:00:04,079 --> 00:00:06,860
trzy szczegóły, którymi się różnią.

4
00:00:12,032 --> 00:00:14,753
Są to na przykład wielkość, kolor

5
00:00:14,773 --> 00:00:16,514
i położenie na ekranie.

6
00:00:16,896 --> 00:00:19,647
W tej lekcji nauczę Cię obliczać różnicę

7
00:00:19,647 --> 00:00:22,074
sześcianów rozmaitych liczb.

8
00:00:32,768 --> 00:00:34,309
W tej lekcji zajmiemy się

9
00:00:34,309 --> 00:00:36,347
wzorem na różnicę sześcianów

10
00:00:36,347 --> 00:00:38,866
i dowiemy się jak z niego korzystać.

11
00:00:38,912 --> 00:00:40,192
Wygląda on tak:

12
00:00:40,704 --> 00:00:43,090
a do sześcianu odjąć b do sześcianu

13
00:00:43,150 --> 00:00:44,174
równa się

14
00:00:44,174 --> 00:00:46,221
w nawiasie a odjąć b

15
00:00:46,321 --> 00:00:49,058
zamykamy nawias, razy w nawiasie

16
00:00:49,058 --> 00:00:51,632
a do kwadratu dodać a razy b

17
00:00:51,682 --> 00:00:53,428
dodać b do kwadratu.

18
00:00:53,760 --> 00:00:55,312
Czy potrafisz udowodnić

19
00:00:55,342 --> 00:00:57,584
że ten wzór jest prawdziwy?

20
00:01:00,928 --> 00:01:02,977
Żeby to zrobić należy przekształcić

21
00:01:02,977 --> 00:01:04,993
prawą stronę równania tak

22
00:01:04,993 --> 00:01:06,252
aby otrzymać to

23
00:01:06,252 --> 00:01:07,980
co jest po lewej stronie.

24
00:01:08,096 --> 00:01:10,561
Wystarczy zatem pomnożyć oba nawiasy

25
00:01:10,561 --> 00:01:12,002
mnożąc każdy element

26
00:01:12,002 --> 00:01:13,463
z pierwszego nawiasu

27
00:01:13,463 --> 00:01:16,272
przez każdy element z drugiego nawiasu.

28
00:01:16,544 --> 00:01:19,360
a razy a do kwadratu to a do sześcianu.

29
00:01:19,872 --> 00:01:22,432
a razy ab to a do kwadratu b.

30
00:01:22,944 --> 00:01:25,760
a razy b kwadratu to ab do kwadratu.

31
00:01:26,528 --> 00:01:28,895
minus b razy a do kwadratu

32
00:01:28,895 --> 00:01:30,624
to minus ba do kwadratu.

33
00:01:31,136 --> 00:01:34,464
minus b razy ab to minus ab do kwadratu.

34
00:01:34,976 --> 00:01:37,365
minus b razy b do kwadratu

35
00:01:37,365 --> 00:01:39,296
to minus b do sześcianu.

36
00:01:39,584 --> 00:01:41,732
Te dwa elementy się wyzerują

37
00:01:41,762 --> 00:01:44,322
i te dwa elementy też się wyzerują.

38
00:01:44,448 --> 00:01:46,008
Po uproszczeniu otrzymujemy

39
00:01:46,008 --> 00:01:48,428
a do sześcianu odjąć b do sześcianu.

40
00:01:48,800 --> 00:01:51,495
Udowodniliśmy, że prawa strona wzoru

41
00:01:51,495 --> 00:01:52,910
jest równa lewej

42
00:01:52,930 --> 00:01:54,688
więc wzór jest prawdziwy.

43
00:01:55,200 --> 00:01:56,700
Poćwiczmy sobie teraz

44
00:01:56,700 --> 00:01:58,272
stosowanie tego wzoru.

45
00:01:58,528 --> 00:02:00,320
Polecenie brzmi następująco.

46
00:02:00,832 --> 00:02:03,543
Przekształć poniższe wyrażenie korzystając

47
00:02:03,563 --> 00:02:05,930
ze wzoru na różnicę sześcianów.

48
00:02:06,208 --> 00:02:07,881
Wyrażenie o którym mowa

49
00:02:07,931 --> 00:02:10,826
to 64 odjąć y do sześcianu.

50
00:02:11,584 --> 00:02:13,892
Porównajmy to z poznanym wzorem.

51
00:02:14,400 --> 00:02:17,730
Zarówno odjemna jak i odjemnik są zapisane

52
00:02:17,740 --> 00:02:19,650
w postaci trzeciej potęgi.

53
00:02:20,288 --> 00:02:22,059
W naszym przykładzie tylko y

54
00:02:22,059 --> 00:02:23,600
ma trzecią potęgę.

55
00:02:24,128 --> 00:02:26,908
Co zatem zrobić z liczbą 64?

56
00:02:27,456 --> 00:02:28,769
Czy da się ją zapisać

57
00:02:28,769 --> 00:02:30,468
w postaci trzeciej potęgi?

58
00:02:31,040 --> 00:02:34,624
Tak, bo 64 to 4 do potęgi trzeciej.

59
00:02:35,392 --> 00:02:38,786
64 odjąć y do sześcianu to inaczej

60
00:02:38,826 --> 00:02:41,986
4 do sześcianu odjąć y do sześcianu.

61
00:02:42,204 --> 00:02:44,858
Teraz możemy zastosować poznany wzór.

62
00:02:45,120 --> 00:02:47,822
W miejsce litery a wstawiamy 4

63
00:02:47,822 --> 00:02:49,984
a w miejsce litery b, y.

64
00:02:50,752 --> 00:02:54,088
Otrzymamy w nawiasie 4 odjąć y

65
00:02:54,138 --> 00:02:56,880
zamykamy nawias, razy w nawiasie

66
00:02:56,900 --> 00:03:00,760
4 do kwadratu dodać 4 razy y dodać y

67
00:03:00,790 --> 00:03:03,040
do kwadratu, zamykamy nawias.

68
00:03:03,606 --> 00:03:06,454
4 do kwadratu to 16 więc mamy

69
00:03:06,650 --> 00:03:10,188
w nawiasie, 4 odjąć y, zamykamy nawias

70
00:03:10,464 --> 00:03:14,657
razy w nawiasie, 16 dodać 4y dodać y

71
00:03:14,677 --> 00:03:16,894
do kwadratu, zamykamy nawias.

72
00:03:17,370 --> 00:03:18,190
Gotowe.

73
00:03:18,400 --> 00:03:20,482
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

74
00:03:20,960 --> 00:03:24,288
Mamy tutaj x do sześcianu odjąć 1000.

75
00:03:24,800 --> 00:03:26,651
Spróbuj samodzielnie przekształć

76
00:03:26,691 --> 00:03:29,142
tę różnicę, korzystając ze wzoru

77
00:03:29,182 --> 00:03:30,688
na różnicę sześcianów.

78
00:03:34,272 --> 00:03:36,715
Najpierw sprawdzamy, czy mamy tutaj

79
00:03:36,715 --> 00:03:38,368
różnicę trzecich potęg.

80
00:03:38,880 --> 00:03:41,050
x jest oczywiście podniesione

81
00:03:41,050 --> 00:03:43,794
do potęgi trzeciej, ale 1000 już nie.

82
00:03:44,256 --> 00:03:46,516
Należy zatem zapisać liczbę 1000

83
00:03:46,516 --> 00:03:48,352
w postaci trzeciej potęgi.

84
00:03:49,120 --> 00:03:51,424
1000 to 10 do potęgi trzeciej.

85
00:03:51,936 --> 00:03:54,179
Otrzymujemy zatem x do sześcianu

86
00:03:54,179 --> 00:03:56,002
odjąć 10 do sześcianu.

87
00:03:56,288 --> 00:03:59,104
Dopiero teraz możemy skorzystać ze wzoru.

88
00:03:59,616 --> 00:04:02,169
W miejsce litery a wstawiamy x

89
00:04:02,199 --> 00:04:04,560
a w miejsce litery b, 10.

90
00:04:05,082 --> 00:04:06,758
Dostajemy w nawiasie

91
00:04:06,784 --> 00:04:09,662
x odjąć 10, zamykamy nawias

92
00:04:09,702 --> 00:04:14,106
razy w nawiasie, x do kwadratu dodać 10x

93
00:04:14,186 --> 00:04:16,844
dodać 10 do kwadratu, czyli 100

94
00:04:16,864 --> 00:04:18,483
zamykamy nawias.

95
00:04:19,071 --> 00:04:20,351
To jest nasz wynik.

96
00:04:20,607 --> 00:04:21,631
Gratulacje.

97
00:04:22,143 --> 00:04:23,935
To teraz ostatni przykład.

98
00:04:24,447 --> 00:04:29,567
27a do sześcianu odjąć 125x do sześcianu.

99
00:04:30,335 --> 00:04:32,639
Czy możemy od razu skorzystać ze wzoru?

100
00:04:32,985 --> 00:04:34,265
Nie możemy.

101
00:04:34,431 --> 00:04:36,735
Niech Cię nie zwodzą trzecie potęgi.

102
00:04:37,247 --> 00:04:38,568
Występują one tylko

103
00:04:38,568 --> 00:04:40,821
przy literach a oraz x.

104
00:04:41,343 --> 00:04:44,102
Do trzeciej potęgi ma być zaś zapisana

105
00:04:44,102 --> 00:04:46,537
cała odjemna i cały odjemnik.

106
00:04:46,719 --> 00:04:49,511
Spróbuj samodzielnie zamienić 27a

107
00:04:49,521 --> 00:04:52,728
do sześcianu i 125x do sześcianu

108
00:04:52,778 --> 00:04:54,413
na trzecie potęgi.

109
00:04:57,983 --> 00:05:00,287
27 to 3 do sześcianu.

110
00:05:00,543 --> 00:05:02,958
3 do sześcianu razy a do sześcianu

111
00:05:03,028 --> 00:05:04,849
to 3a do sześcianu.

112
00:05:05,407 --> 00:05:07,967
125 to 5 do sześcianu.

113
00:05:08,223 --> 00:05:11,019
5 do sześcianu razy x do sześcianu

114
00:05:11,069 --> 00:05:12,971
to 5x do sześcianu.

115
00:05:13,599 --> 00:05:17,005
Ta różnica wynosi zatem w nawiasie 3a

116
00:05:17,045 --> 00:05:19,298
zamykamy nawias, do sześcianu

117
00:05:19,328 --> 00:05:22,847
odjąć w nawiasie 5x, zamykamy nawias

118
00:05:22,887 --> 00:05:24,049
do sześcianu.

119
00:05:24,607 --> 00:05:26,911
Teraz możemy skorzystać ze wzoru.

120
00:05:27,423 --> 00:05:30,109
W miejsce litery a wstawiamy 3a

121
00:05:30,109 --> 00:05:33,055
a w miejsce litery b, wstawiamy 5x.

122
00:05:33,567 --> 00:05:35,871
Spróbuj przekształcić to samodzielnie.

123
00:05:39,455 --> 00:05:43,397
Otrzymujemy w nawiasie 3a odjąć 5x

124
00:05:43,457 --> 00:05:46,185
zamykamy nawias, razy w nawiasie

125
00:05:46,325 --> 00:05:50,146
3a do kwadratu dodać 3a razy 5x

126
00:05:50,196 --> 00:05:53,535
dodać 5x do kwadratu, zamykamy nawias.

127
00:05:54,303 --> 00:05:56,229
Przepiszmy pierwszy nawias.

128
00:05:56,351 --> 00:06:00,191
Kwadrat iloczynu 3a to 9a do kwadratu

129
00:06:00,703 --> 00:06:04,031
3a razy 5x to 15ax

130
00:06:04,543 --> 00:06:09,195
kwadrat iloczynu 5x, to 25x do kwadratu

131
00:06:09,663 --> 00:06:10,943
zamykamy nawias.

132
00:06:11,455 --> 00:06:12,991
To jest nasza odpowiedź.

133
00:06:13,247 --> 00:06:14,271
Gratulacje.

134
00:06:18,623 --> 00:06:21,312
Dzięki poznanemu wzorowi będziesz w stanie

135
00:06:21,312 --> 00:06:23,250
w szybki sposób przekształcić

136
00:06:23,250 --> 00:06:25,793
różnicę sześcianu na iloczyn dwóch

137
00:06:25,823 --> 00:06:27,803
wyrażeń algebraicznych.

138
00:06:27,839 --> 00:06:30,798
Umiejętność tę zastosujesz między innymi

139
00:06:30,818 --> 00:06:32,129
w rozwiązywaniu równań

140
00:06:32,129 --> 00:06:34,769
i w zadaniach dowodowych.

141
00:06:37,823 --> 00:06:39,743
Ten dział dotyczy sześcianów

142
00:06:39,743 --> 00:06:41,883
w wyrażeniach algebraicznych.

143
00:06:41,919 --> 00:06:44,070
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

144
00:06:44,070 --> 00:06:46,370
stronie internetowej pi-stacja.tv