1
00:00:00,256 --> 00:00:02,361
Niektórzy muszą usuwać ósemki

2
00:00:02,361 --> 00:00:04,864
żeby zrobić miejsce dla pozostałych zębów.

3
00:00:05,256 --> 00:00:06,088
To boli.

4
00:00:06,144 --> 00:00:08,448
Usuwanie niewymierności z mianownika

5
00:00:08,448 --> 00:00:11,264
nie jest bolesne, jeśli zna się wzory.

6
00:00:11,776 --> 00:00:14,899
W tej lekcji pokażę Ci, jak stosować wzory

7
00:00:14,899 --> 00:00:17,058
skróconego mnożenia z sześcianami

8
00:00:17,058 --> 00:00:19,992
do usuwania niewymierności z mianownika.

9
00:00:31,232 --> 00:00:34,048
Zacznijmy tę lekcję od takiego zadania.

10
00:00:34,304 --> 00:00:36,357
Doprowadź do jak najprostszej

11
00:00:36,357 --> 00:00:37,632
postaci wyrażenie.

12
00:00:37,888 --> 00:00:41,602
Otwieramy nawias x dodać 1 zamykamy nawias

13
00:00:41,602 --> 00:00:45,056
do potęgi trzeciej, dodać otwórzmy nawias

14
00:00:45,312 --> 00:00:48,896
3 odjąć x zamknijmy nawias, do potęgi 3.

15
00:00:50,688 --> 00:00:52,728
Mamy tutaj sumę dwóch nawiasów

16
00:00:52,728 --> 00:00:55,040
które podnosimy do potęgi trzeciej.

17
00:00:55,552 --> 00:00:57,856
Pierwszy składnik to sześcian sumy

18
00:00:58,112 --> 00:00:59,904
a drugi to sześcian różnicy.

19
00:01:00,416 --> 00:01:02,504
Skorzystaj z odpowiednich wzorów

20
00:01:02,504 --> 00:01:03,797
skróconego mnożenia

21
00:01:03,797 --> 00:01:06,482
aby przekształcić to wyrażenie.

22
00:01:09,376 --> 00:01:11,920
Po skorzystaniu z poznanych wzorów mamy:

23
00:01:12,192 --> 00:01:15,407
w pierwszym nawiasie x do sześcianu dodać

24
00:01:15,407 --> 00:01:19,386
3 razy x do kwadratu razy 1 dodać 3 razy x

25
00:01:19,386 --> 00:01:22,772
razy 1 do kwadratu dodać 1 do potęgi 3.

26
00:01:23,200 --> 00:01:25,248
W drugim nawiasie mamy zaś:

27
00:01:25,504 --> 00:01:28,920
3 do sześcianu odjąć 3 razy 3 do kwadratu

28
00:01:28,920 --> 00:01:33,131
razy x dodać 3 razy 3 razy x do kwadratu

29
00:01:33,161 --> 00:01:35,130
odjąć x do sześcianu.

30
00:01:35,488 --> 00:01:36,768
Pierwszy krok za nami.

31
00:01:37,280 --> 00:01:39,328
Teraz należy uprościć jednomiany.

32
00:01:40,096 --> 00:01:41,888
x do sześcianu przepisujemy.

33
00:01:42,400 --> 00:01:44,924
3 razy x do kwadratu razy 1

34
00:01:44,924 --> 00:01:46,640
to 3x do kwadratu.

35
00:01:47,008 --> 00:01:50,336
3 razy x razy 1 do kwadratu to 3x.

36
00:01:50,592 --> 00:01:52,128
1 do sześcianu to 1.

37
00:01:53,152 --> 00:01:55,696
3 do potęgi trzeciej to 27.

38
00:01:56,224 --> 00:02:01,088
-3 razy 3 do kwadratu razy x to -27x.

39
00:02:01,600 --> 00:02:04,141
3 razy 3 razy x do kwadratu

40
00:02:04,141 --> 00:02:05,952
to 9x do kwadratu.

41
00:02:06,720 --> 00:02:08,768
minus x do sześcianu przepisujemy.

42
00:02:09,536 --> 00:02:10,398
Co dalej?

43
00:02:10,560 --> 00:02:12,371
Spróbuj uprościć to wyrażenie

44
00:02:12,371 --> 00:02:14,144
redukując wyrazy podobne.

45
00:02:17,728 --> 00:02:20,104
x do sześcianu odjąć x do sześcianu

46
00:02:20,104 --> 00:02:21,164
to zero.

47
00:02:21,312 --> 00:02:24,110
3x kwadrat dodać 9x kwadrat

48
00:02:24,110 --> 00:02:25,904
to 12x kwadrat.

49
00:02:26,432 --> 00:02:30,784
3x odjąć 27x to minus 24x.

50
00:02:31,296 --> 00:02:34,112
1 dodać 27 to 28.

51
00:02:34,624 --> 00:02:36,294
Otrzymaliśmy wyrażenie:

52
00:02:36,416 --> 00:02:41,024
12x kwadrat odjąć 24x dodać 28.

53
00:02:41,536 --> 00:02:43,328
Wykonaliśmy pierwsze zadanie.

54
00:02:43,584 --> 00:02:44,608
Dobra robota.

55
00:02:44,864 --> 00:02:47,180
Przejdźmy do kolejnego wyzwania.

56
00:02:49,728 --> 00:02:52,325
Rozłóż na czynniki podane wyrażenie

57
00:02:52,325 --> 00:02:54,848
stosując wzory skróconego mnożenia.

58
00:02:55,360 --> 00:02:57,245
Pierwszym wyrażeniem, które mamy

59
00:02:57,245 --> 00:02:59,094
rozłożyć na czynniki jest:

60
00:02:59,456 --> 00:03:01,760
a do sześcianu dodać 27.

61
00:03:02,272 --> 00:03:05,135
Rozłożyć wyrażenia na czynniki to znaczy

62
00:03:05,135 --> 00:03:07,406
zapisać je w postaci iloczynu.

63
00:03:07,904 --> 00:03:10,284
W treści tego zadania podpowiedziano nam

64
00:03:10,284 --> 00:03:11,870
aby skorzystać ze wzorów

65
00:03:11,890 --> 00:03:13,500
skróconego mnożenia.

66
00:03:13,536 --> 00:03:15,535
Z jakiego wzoru możemy skorzystać

67
00:03:15,535 --> 00:03:17,002
w tym przykładzie?

68
00:03:19,936 --> 00:03:21,872
Zauważ, że mamy tutaj sumę

69
00:03:21,872 --> 00:03:23,721
dwóch składników

70
00:03:23,721 --> 00:03:25,065
sześcianu liczby a

71
00:03:25,065 --> 00:03:27,082
oraz liczby 27.

72
00:03:27,104 --> 00:03:29,928
Czy liczbę 27 da się zapisać w postaci

73
00:03:29,928 --> 00:03:31,712
sześcianu jakiejś liczby?

74
00:03:31,968 --> 00:03:32,690
Tak.

75
00:03:32,736 --> 00:03:34,016
To 3 do sześcianu.

76
00:03:34,528 --> 00:03:36,698
Mamy zatem a do sześcianu dodać

77
00:03:36,728 --> 00:03:38,090
3 do sześcianu.

78
00:03:38,368 --> 00:03:41,238
Stosujemy zatem wzór na sumę sześcianów.

79
00:03:41,696 --> 00:03:44,256
W podstawie pierwszego sześcianu jest a

80
00:03:44,512 --> 00:03:45,536
a drugiego 3.

81
00:03:46,048 --> 00:03:47,951
W pierwszym nawiasie zapisujemy

82
00:03:47,951 --> 00:03:51,222
sumę tych podstaw, czyli a dodać 3.

83
00:03:51,680 --> 00:03:54,053
Ten nawias mnożymy przez drugi nawias

84
00:03:54,053 --> 00:03:55,198
w którym mamy:

85
00:03:55,264 --> 00:03:58,271
a kwadrat odjąć 3a dodać

86
00:03:58,271 --> 00:04:00,552
3 do kwadratu, czyli 9.

87
00:04:00,552 --> 00:04:01,472
Gotowe.

88
00:04:01,664 --> 00:04:04,012
Rozłożyliśmy to wyrażenia na czynniki.

89
00:04:04,480 --> 00:04:06,784
Rozłóżmy teraz na czynniki wyrażenie:

90
00:04:07,040 --> 00:04:09,088
1 odjąć y do sześcianu.

91
00:04:09,600 --> 00:04:11,458
Na początku zastanawiamy się

92
00:04:11,458 --> 00:04:13,184
z którego wzoru skorzystamy.

93
00:04:13,696 --> 00:04:15,767
Patrząc na to wyrażenie dostrzegamy

94
00:04:15,767 --> 00:04:17,280
y w trzeciej potędze.

95
00:04:18,047 --> 00:04:20,351
Ten składnik odejmujemy od jedynki

96
00:04:20,607 --> 00:04:22,911
a 1 to przecież 1 do sześcianu.

97
00:04:23,423 --> 00:04:24,948
Skorzystamy zatem ze wzoru

98
00:04:24,948 --> 00:04:26,519
na różnicę sześcianów.

99
00:04:27,007 --> 00:04:29,149
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

100
00:04:32,895 --> 00:04:34,800
W pierwszym nawiasie zapisujemy

101
00:04:34,800 --> 00:04:37,101
różnicę 1 odjąć y.

102
00:04:37,247 --> 00:04:39,213
A w drugim: 1 do kwadratu

103
00:04:39,213 --> 00:04:42,653
dodać 1 razy y dodać y kwadrat.

104
00:04:43,135 --> 00:04:44,887
Pierwszy nawias przepisujemy

105
00:04:44,887 --> 00:04:46,273
a drugi upraszczamy

106
00:04:46,273 --> 00:04:49,837
otrzymując 1 dodać y dodać y do kwadratu.

107
00:04:50,559 --> 00:04:52,721
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

108
00:04:53,119 --> 00:04:58,815
125x odjąć 27 razy x do potęgi czwartej.

109
00:04:59,263 --> 00:05:01,097
Ten przykład jest nieco inny

110
00:05:01,097 --> 00:05:02,079
niż poprzednie.

111
00:05:02,335 --> 00:05:04,492
Na pierwszy rzut oka nie mamy tutaj

112
00:05:04,492 --> 00:05:05,663
żadnych sześcianów.

113
00:05:06,175 --> 00:05:07,967
Czy możemy je jakoś uzyskać?

114
00:05:08,735 --> 00:05:11,551
Zauważ, że x do potęgi czwartej

115
00:05:11,807 --> 00:05:14,135
to x razy x do trzeciej.

116
00:05:14,623 --> 00:05:16,671
W odjemnej też mamy x.

117
00:05:16,927 --> 00:05:18,392
Możemy zatem wyłączyć

118
00:05:18,392 --> 00:05:20,511
ten wspólny czynnik przed nawias.

119
00:05:21,023 --> 00:05:21,791
Otrzymujemy:

120
00:05:22,047 --> 00:05:24,967
x razy, w nawiasie 125

121
00:05:24,967 --> 00:05:27,679
odjąć 27x do sześcianu.

122
00:05:28,447 --> 00:05:30,895
27 to 3 do potęgi trzeciej

123
00:05:30,895 --> 00:05:33,621
więc 27x do sześcianu

124
00:05:33,621 --> 00:05:34,926
to inaczej w nawiasie

125
00:05:34,926 --> 00:05:37,046
3x zamykamy nawias

126
00:05:37,046 --> 00:05:39,107
podniesione do potęgi trzeciej.

127
00:05:39,455 --> 00:05:41,773
Odjemnik mamy już w trzeciej potędze.

128
00:05:42,015 --> 00:05:43,039
A co z odjemną?

129
00:05:43,807 --> 00:05:46,623
125 to inaczej 5 do sześcianu.

130
00:05:47,135 --> 00:05:49,570
Podstawa odjemnej to 5

131
00:05:49,570 --> 00:05:51,381
a odjemnika 3x.

132
00:05:51,743 --> 00:05:53,155
W nawiasie otrzymaliśmy

133
00:05:53,155 --> 00:05:54,417
różnicę sześcianów.

134
00:05:54,815 --> 00:05:56,677
Teraz możemy rozłożyć ten nawias

135
00:05:56,677 --> 00:05:57,805
na czynniki.

136
00:05:57,887 --> 00:06:00,456
W pierwszym nawiasie mamy różnicę podstaw

137
00:06:00,456 --> 00:06:02,553
czyli 5 odjąć 3x

138
00:06:02,553 --> 00:06:05,695
a w drugim pierwszą podstawę do kwadratu

139
00:06:05,695 --> 00:06:07,487
dodać iloczyn podstaw

140
00:06:07,487 --> 00:06:09,628
czyli 5 razy 3x dodać

141
00:06:09,628 --> 00:06:11,375
drugą podstawę do kwadratu

142
00:06:11,375 --> 00:06:13,538
a więc w nawiasie 3x

143
00:06:13,538 --> 00:06:15,775
zamykamy nawias do kwadratu.

144
00:06:16,063 --> 00:06:18,407
Wracając do naszego wyjściowego wyrażenia

145
00:06:18,407 --> 00:06:20,721
przepisujemy x razy

146
00:06:20,721 --> 00:06:24,296
w nawiasie 5 odjąć 3x zamykamy nawias

147
00:06:24,296 --> 00:06:26,330
a drugi nawias upraszczamy

148
00:06:26,330 --> 00:06:28,333
wykonując odpowiednie działania.

149
00:06:28,351 --> 00:06:33,215
Otrzymujemy 25 dodać 15x dodać 9x kwadrat.

150
00:06:33,983 --> 00:06:35,035
Gotowe.

151
00:06:38,335 --> 00:06:39,871
Kolejne polecenie brzmi:

152
00:06:40,383 --> 00:06:42,687
usuń niewymierność z mianownika.

153
00:06:43,199 --> 00:06:45,015
W pierwszym przykładzie mamy:

154
00:06:45,247 --> 00:06:47,374
1 podzielić przez pierwiastek

155
00:06:47,374 --> 00:06:49,855
trzeciego stopnia z pięciu odjąć 1.

156
00:06:50,367 --> 00:06:52,571
Co to znaczy usunąć niewymierność

157
00:06:52,571 --> 00:06:53,439
z mianownika?

158
00:06:54,207 --> 00:06:56,288
To znaczy przekształcić ułamek tak

159
00:06:56,288 --> 00:06:58,655
aby w mianowniku nie było pierwiastków

160
00:06:58,655 --> 00:07:00,339
czyli niewymierności.

161
00:07:00,351 --> 00:07:02,640
Pokażę Ci coś, co ułatwi Ci zrozumienie

162
00:07:02,640 --> 00:07:04,447
tego, co zaraz zrobimy.

163
00:07:04,959 --> 00:07:06,177
Jak to zrobić?

164
00:07:06,239 --> 00:07:07,775
Spójrz na taką różnicę.

165
00:07:08,031 --> 00:07:10,339
Pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu

166
00:07:10,339 --> 00:07:12,309
do potęgi trzeciej odjąć 1

167
00:07:12,389 --> 00:07:13,663
do potęgi trzeciej.

168
00:07:14,175 --> 00:07:16,323
Spróbuj samodzielnie rozłożyć tę sumę

169
00:07:16,323 --> 00:07:18,715
na czynniki, korzystając ze wzoru

170
00:07:18,715 --> 00:07:20,633
na różnicę sześcianów.

171
00:07:24,415 --> 00:07:26,361
W pierwszym nawiasie zapisujemy:

172
00:07:26,463 --> 00:07:28,726
pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu

173
00:07:28,726 --> 00:07:30,303
odjąć 1 a w drugim:

174
00:07:30,559 --> 00:07:32,851
pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu

175
00:07:32,851 --> 00:07:33,966
do kwadratu

176
00:07:33,966 --> 00:07:36,092
dodać pierwiastek trzeciego stopnia

177
00:07:36,092 --> 00:07:37,635
z pięciu dodać 1.

178
00:07:37,727 --> 00:07:39,519
Czy widzisz tu coś ciekawego?

179
00:07:40,031 --> 00:07:42,623
Masz rację, ten nawias to nic innego

180
00:07:42,623 --> 00:07:44,639
jak mianownik naszego ułamka.

181
00:07:45,151 --> 00:07:47,623
Jeśli więc pomnożymy licznik i mianownik

182
00:07:47,623 --> 00:07:48,736
przez to wyrażenie

183
00:07:48,736 --> 00:07:50,835
to mianownik będziemy mogli zapisać

184
00:07:50,835 --> 00:07:52,835
jako pierwiastek trzeciego stopnia

185
00:07:52,835 --> 00:07:54,143
z pięciu do sześcianu

186
00:07:54,143 --> 00:07:55,693
odjąć 1 do sześcianu.

187
00:07:56,159 --> 00:07:57,858
W liczniku zostanie 1 razy

188
00:07:57,858 --> 00:07:59,591
wyrażenie w nawiasie.

189
00:08:02,303 --> 00:08:03,583
Wracamy do mianownika.

190
00:08:04,095 --> 00:08:06,319
Pierwiastek trzeciego stopnia z pięciu

191
00:08:06,319 --> 00:08:07,754
do sześcianu to 5

192
00:08:07,754 --> 00:08:09,245
a 1 do sześcianu to 1.

193
00:08:09,983 --> 00:08:11,375
W liczniku przepisujemy

194
00:08:11,375 --> 00:08:12,695
wyrażenie w nawiasie

195
00:08:12,695 --> 00:08:14,611
a w mianowniku dostajemy 4.

196
00:08:15,103 --> 00:08:17,435
Jak widzisz, cały myk w tym zadaniu

197
00:08:17,435 --> 00:08:19,789
polega na tym, aby dostrzec w mianowniku

198
00:08:19,789 --> 00:08:21,636
jeden z dwóch czynników

199
00:08:21,636 --> 00:08:23,977
odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia.

200
00:08:24,319 --> 00:08:26,518
W tym przypadku wystarczy zauważyć

201
00:08:26,518 --> 00:08:28,186
że niewymierność zniknie nam

202
00:08:28,186 --> 00:08:30,019
po podniesieniu tego pierwiastka

203
00:08:30,019 --> 00:08:31,487
do potęgi trzeciej.

204
00:08:31,999 --> 00:08:33,161
Skoro pierwiastek

205
00:08:33,161 --> 00:08:34,802
podnieśliśmy do sześcianu

206
00:08:34,802 --> 00:08:36,781
to podnieśmy też jedynkę.

207
00:08:36,863 --> 00:08:38,635
W tej różnicy dostrzegamy wzór

208
00:08:38,635 --> 00:08:39,935
na różnicę sześcianów.

209
00:08:40,447 --> 00:08:42,804
Rozkładając tę różnicę na czynniki

210
00:08:42,804 --> 00:08:45,071
otrzymamy czynnik, przez który należy

211
00:08:45,071 --> 00:08:47,237
pomnożyć licznik i mianownik.

212
00:08:47,615 --> 00:08:49,697
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

213
00:08:50,431 --> 00:08:52,558
Teraz naszym zadaniem jest usunięcie

214
00:08:52,558 --> 00:08:54,133
niewymierności z mianownika

215
00:08:54,133 --> 00:08:55,329
takiego ułamka.

216
00:08:55,807 --> 00:08:57,603
5 podzielić przez pierwiastek

217
00:08:57,603 --> 00:09:00,033
trzeciego stopnia z dwóch dodać 4.

218
00:09:00,671 --> 00:09:03,418
Zauważmy, że niewymierność zniknie nam

219
00:09:03,418 --> 00:09:05,820
gdy pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

220
00:09:05,820 --> 00:09:08,041
podniesiemy do potęgi trzeciej

221
00:09:08,041 --> 00:09:10,559
do tego dodajemy 4 i tę liczbę też

222
00:09:10,559 --> 00:09:12,061
podnosimy do sześcianu

223
00:09:12,061 --> 00:09:13,972
w tej sumie dostrzegamy wzór

224
00:09:13,972 --> 00:09:15,357
na sumę sześcianów.

225
00:09:15,775 --> 00:09:18,018
Pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

226
00:09:18,018 --> 00:09:20,735
do potęgi trzeciej dodać 4 do sześcianu

227
00:09:21,151 --> 00:09:22,671
to inaczej w nawiasie

228
00:09:22,671 --> 00:09:25,005
pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

229
00:09:25,005 --> 00:09:26,975
dodać 4 zamykamy nawias

230
00:09:26,975 --> 00:09:28,259
razy w nawiasie

231
00:09:28,575 --> 00:09:31,322
pierwiastek 3 stopnia z dwóch do kwadratu

232
00:09:31,322 --> 00:09:33,439
odjąć pierwiastek trzeciego stopnia

233
00:09:33,439 --> 00:09:36,851
z dwóch razy 4 dodać 4 do kwadratu

234
00:09:36,891 --> 00:09:38,221
czyli 16.

235
00:09:38,559 --> 00:09:40,572
Dostrzegamy, że mianownik ułamka

236
00:09:40,572 --> 00:09:42,875
jest taki sam jak ten nawias.

237
00:09:43,167 --> 00:09:45,320
Licznik i mianownik mnożymy zatem

238
00:09:45,320 --> 00:09:46,865
przez drugi nawias.

239
00:09:47,007 --> 00:09:48,287
W liczniku otrzymamy:

240
00:09:48,543 --> 00:09:49,900
5 razy w nawiasie

241
00:09:49,900 --> 00:09:51,759
pierwiastek trzeciego stopnia

242
00:09:51,759 --> 00:09:53,111
z dwóch do kwadratu

243
00:09:53,111 --> 00:09:55,157
odjąć pierwiastek trzeciego stopnia

244
00:09:55,157 --> 00:09:58,747
z dwóch razy 4 dodać 4 do kwadratu.

245
00:09:58,783 --> 00:10:00,945
A w mianowniku, w nawiasie

246
00:10:01,087 --> 00:10:03,772
pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

247
00:10:03,772 --> 00:10:07,065
dodać 4 zamykamy nawias, razy w nawiasie

248
00:10:07,275 --> 00:10:09,592
pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

249
00:10:09,592 --> 00:10:11,260
do kwadratu odjąć pierwiastek

250
00:10:11,260 --> 00:10:15,067
trzeciego stopnia z dwóch razy 4 dodać 16.

251
00:10:15,679 --> 00:10:17,459
Teraz przepisujemy licznik

252
00:10:17,459 --> 00:10:20,031
a mianownik zamieniamy na sumę sześcianów

253
00:10:20,287 --> 00:10:22,325
czyli pierwiastek trzeciego stopnia

254
00:10:22,325 --> 00:10:23,762
z dwóch do sześcianu

255
00:10:23,822 --> 00:10:25,687
dodać 4 do sześcianu.

256
00:10:25,919 --> 00:10:27,685
Znów przepisujemy licznik

257
00:10:27,711 --> 00:10:31,295
a w mianowniku otrzymujemy 2 dodać 64.

258
00:10:31,807 --> 00:10:33,855
Raz jeszcze przepisujemy licznik

259
00:10:34,111 --> 00:10:36,671
a w mianowniku zapisujemy 66.

260
00:10:37,183 --> 00:10:38,719
Wykonaliśmy nasze zadanie.

261
00:10:38,975 --> 00:10:39,999
Gratulacje.

262
00:10:46,143 --> 00:10:47,861
Dzięki znajomości wzorów

263
00:10:47,861 --> 00:10:50,239
na sześcian sumy i sześcian różnicy

264
00:10:50,239 --> 00:10:52,194
bez problemu poradzisz sobie

265
00:10:52,194 --> 00:10:54,702
z upraszczaniem wyrażeń algebraicznych

266
00:10:54,702 --> 00:10:57,041
rozłożeniem wyrażenia na czynniki

267
00:10:57,041 --> 00:10:58,600
jak również usunięciem

268
00:10:58,600 --> 00:11:01,179
niewymierności z mianownika.

269
00:11:04,319 --> 00:11:06,268
Zapraszam Cię do obejrzenia

270
00:11:06,268 --> 00:11:08,375
pozostałych lekcji z tej playlisty

271
00:11:08,375 --> 00:11:11,275
oraz do zasubskrybowania naszego kanału.