1
00:00:00,768 --> 00:00:02,854
Żadnej sprawy kryminalnej

2
00:00:02,854 --> 00:00:05,170
nie da się rozwiązać bez dowodów.

3
00:00:05,376 --> 00:00:08,704
Odciski palców, ślady opon, DNA.

4
00:00:08,960 --> 00:00:11,078
Tego potrzebują kryminalistycy

5
00:00:11,078 --> 00:00:13,356
żeby udowodnić winę sprawcy.

6
00:00:13,824 --> 00:00:16,318
Matematycy też potrzebują dowodów.

7
00:00:16,896 --> 00:00:19,664
W tej lekcji zobaczysz, które przydają się

8
00:00:19,664 --> 00:00:22,486
w udowadnianiu podzielności liczb.

9
00:00:34,560 --> 00:00:36,892
W tej lekcji zajmiemy się wykorzystaniem

10
00:00:36,892 --> 00:00:38,523
wzorów skróconego mnożenia

11
00:00:38,573 --> 00:00:40,056
w zadaniach dowodowych.

12
00:00:40,192 --> 00:00:41,984
Zadanie pierwsze brzmi tak:

13
00:00:42,496 --> 00:00:45,683
wykaż, że liczba 9 do potęgi piątej

14
00:00:45,683 --> 00:00:48,425
odjąć 1 podzielić przez 3

15
00:00:48,425 --> 00:00:50,253
do potęgi piątej odjąć 1

16
00:00:50,253 --> 00:00:52,182
jest liczbą całkowitą.

17
00:00:52,480 --> 00:00:54,295
Aby to zrobić, należy sprytnie

18
00:00:54,295 --> 00:00:56,278
przekształcić ten ułamek.

19
00:00:56,832 --> 00:00:58,548
Przyjrzyjmy mu się dokładnie.

20
00:00:58,880 --> 00:01:00,480
Co da się przekształcić?

21
00:01:00,672 --> 00:01:02,578
Licznik czy mianownik?

22
00:01:02,976 --> 00:01:05,304
Na pewno 9 do potęgi piątej

23
00:01:05,304 --> 00:01:08,096
da się zapisać w postaci potęgi liczby 3.

24
00:01:08,608 --> 00:01:10,163
9 do potęgi piątej

25
00:01:10,163 --> 00:01:13,317
to 3 do potęgi drugiej do potęgi piątej

26
00:01:13,317 --> 00:01:15,055
a to jest to samo co

27
00:01:15,055 --> 00:01:17,616
3 do potęgi piątej do potęgi drugiej.

28
00:01:18,076 --> 00:01:21,488
1 z kolei to inaczej 1 do potęgi drugiej.

29
00:01:21,920 --> 00:01:24,250
Licznik możemy zapisać zatem jako

30
00:01:24,250 --> 00:01:26,571
3 do potęgi piątej do potęgi drugiej

31
00:01:26,631 --> 00:01:28,622
odjąć 1 do potęgi drugiej.

32
00:01:29,344 --> 00:01:30,880
Co dostrzegamy w liczniku?

33
00:01:31,648 --> 00:01:33,440
Wzór na różnicę kwadratów.

34
00:01:33,952 --> 00:01:36,256
3 do potęgi piątej do potęgi drugiej

35
00:01:36,512 --> 00:01:38,064
odjąć 1 do kwadratu

36
00:01:38,064 --> 00:01:39,392
to w nawiasie

37
00:01:39,392 --> 00:01:41,514
3 do potęgi piątej odjąć 1

38
00:01:41,514 --> 00:01:42,856
zamknąć nawias,

39
00:01:42,912 --> 00:01:44,130
razy w nawiasie

40
00:01:44,130 --> 00:01:46,240
3 do potęgi piątej dodać 1

41
00:01:46,496 --> 00:01:47,860
zamknąć nawias.

42
00:01:48,544 --> 00:01:50,860
Ten czynnik iloczynu jest taki sam

43
00:01:50,860 --> 00:01:52,086
jak mianownik.

44
00:01:52,166 --> 00:01:53,532
Możemy oba skrócić.

45
00:01:53,920 --> 00:01:56,736
Zostaje 3 do potęgi piątej dodać 1.

46
00:01:56,992 --> 00:02:00,152
3 do potęgi piątej to 243

47
00:02:00,218 --> 00:02:02,254
a po dodaniu jedynki do tej liczby

48
00:02:02,254 --> 00:02:06,630
otrzymujemy 244, czyli liczbę całkowitą.

49
00:02:07,232 --> 00:02:09,008
Wykonaliśmy nasze zadanie.

50
00:02:09,280 --> 00:02:11,370
Koniec dowodu, więc na końcu

51
00:02:11,370 --> 00:02:12,878
rysujemy kwadracik.

52
00:02:13,376 --> 00:02:15,854
Zmierzmy się z kolejnym wyzwaniem.

53
00:02:19,776 --> 00:02:21,632
Wykaż, że liczba:

54
00:02:21,824 --> 00:02:23,540
pierwiastek z siedemnastu

55
00:02:23,540 --> 00:02:25,301
dodać pierwiastek z piętnastu

56
00:02:25,301 --> 00:02:27,645
podzielić przez pierwiastek z siedemnastu

57
00:02:27,645 --> 00:02:29,342
odjąć pierwiastek z piętnastu

58
00:02:29,342 --> 00:02:31,726
dodać pierwiastek z siedemnastu

59
00:02:31,726 --> 00:02:33,539
odjąć pierwiastek z piętnastu

60
00:02:33,539 --> 00:02:35,936
podzielić przez pierwiastek z siedemnastu

61
00:02:35,936 --> 00:02:37,600
dodać pierwiastek z piętnastu

62
00:02:37,720 --> 00:02:39,462
jest liczbą naturalną.

63
00:02:40,000 --> 00:02:42,162
Mamy tutaj sumę dwóch ułamków

64
00:02:42,202 --> 00:02:43,638
o różnych mianownikach.

65
00:02:44,096 --> 00:02:45,493
Jedną liczbę otrzymamy

66
00:02:45,493 --> 00:02:47,734
dodając do siebie oba ułamki.

67
00:02:47,936 --> 00:02:49,849
Żeby to zrobić, trzeba najpierw

68
00:02:49,849 --> 00:02:52,252
sprowadzić je do wspólnego mianownika.

69
00:02:52,800 --> 00:02:54,336
Weź kartkę i długopis

70
00:02:54,462 --> 00:02:56,664
i spróbuj to zrobić samodzielnie.

71
00:03:00,224 --> 00:03:02,035
Wspólnym mianownikiem będzie

72
00:03:02,035 --> 00:03:03,606
iloczyn obu mianowników.

73
00:03:04,064 --> 00:03:06,624
Pod kreską ułamkową mamy zatem w nawiasie

74
00:03:07,136 --> 00:03:08,213
pierwiastek z siedemnastu

75
00:03:08,213 --> 00:03:10,391
odjąć pierwiastek z piętnastu

76
00:03:10,391 --> 00:03:11,518
zamykamy nawias

77
00:03:11,744 --> 00:03:12,801
razy w nawiasie

78
00:03:12,801 --> 00:03:14,563
pierwiastek z siedemnastu

79
00:03:14,563 --> 00:03:16,224
dodać pierwiastek z piętnastu

80
00:03:16,314 --> 00:03:17,732
zamykamy nawias.

81
00:03:18,144 --> 00:03:20,120
Co zapisujemy nad kreską?

82
00:03:20,704 --> 00:03:22,327
Licznik pierwszego ułamka

83
00:03:22,327 --> 00:03:24,775
mnożymy przez mianownik drugiego

84
00:03:24,775 --> 00:03:26,660
i do tego dodajemy iloczyn

85
00:03:26,660 --> 00:03:28,400
licznika drugiego ułamka

86
00:03:28,440 --> 00:03:30,496
oraz mianownika pierwszego.

87
00:03:30,688 --> 00:03:32,789
Zauważ, że mamy tutaj iloczyn

88
00:03:32,789 --> 00:03:34,528
dwóch jednakowych nawiasów.

89
00:03:35,040 --> 00:03:36,064
Tak samo tutaj.

90
00:03:36,576 --> 00:03:38,101
Możemy zapisać te iloczyny

91
00:03:38,101 --> 00:03:39,602
w postaci potęgowania.

92
00:03:40,160 --> 00:03:41,440
Otrzymamy w liczniku.

93
00:03:41,696 --> 00:03:44,169
W nawiasie pierwiastek z siedemnastu

94
00:03:44,169 --> 00:03:46,143
dodać pierwiastek z piętnastu

95
00:03:46,143 --> 00:03:48,570
zamykamy nawias do kwadratu

96
00:03:48,570 --> 00:03:50,008
dodać w nawiasie

97
00:03:50,144 --> 00:03:51,942
pierwiastek z siedemnastu odjąć

98
00:03:51,942 --> 00:03:53,510
pierwiastek z piętnastu

99
00:03:53,510 --> 00:03:54,533
zamykamy nawias

100
00:03:54,743 --> 00:03:55,830
do kwadratu.

101
00:03:56,544 --> 00:03:59,285
Aby uprościć licznik należy skorzystać

102
00:03:59,285 --> 00:04:01,356
ze wzorów skróconego mnożenia

103
00:04:01,356 --> 00:04:03,712
na kwadrat sumy i kwadrat różnicy.

104
00:04:04,224 --> 00:04:06,576
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

105
00:04:09,856 --> 00:04:11,097
Kwadrat pierwszego nawiasu

106
00:04:11,097 --> 00:04:14,119
to pierwiastek z siedemnastu do kwadratu

107
00:04:14,149 --> 00:04:16,400
dodać 2 razy pierwiastek z siedemnastu

108
00:04:16,400 --> 00:04:18,153
razy pierwiastek z piętnastu

109
00:04:18,153 --> 00:04:20,957
dodać pierwiastek z piętnastu do kwadratu.

110
00:04:21,631 --> 00:04:23,167
Kwadrat drugiego nawiasu

111
00:04:23,423 --> 00:04:25,727
to pierwiastek z siedemnastu do kwadratu

112
00:04:25,983 --> 00:04:28,303
odjąć 2 razy pierwiastek z siedemnastu

113
00:04:28,303 --> 00:04:30,739
razy pierwiastek z piętnastu dodać

114
00:04:30,779 --> 00:04:33,009
pierwiastek z piętnastu do kwadratu.

115
00:04:33,663 --> 00:04:35,184
W mianowniku mamy iloczyn

116
00:04:35,184 --> 00:04:37,723
dwóch nawiasów, które różnią się jedynie

117
00:04:37,723 --> 00:04:39,625
znakiem między elementami.

118
00:04:40,063 --> 00:04:41,404
Dostrzegamy tutaj wzór

119
00:04:41,404 --> 00:04:43,033
na różnicę kwadratów.

120
00:04:43,391 --> 00:04:45,465
Iloczyn tych dwóch nawiasów

121
00:04:45,465 --> 00:04:46,463
zapisujemy jako:

122
00:04:46,719 --> 00:04:48,877
pierwiastek z siedemnastu do kwadratu

123
00:04:48,877 --> 00:04:51,577
odjąć pierwiastek z piętnastu do kwadratu.

124
00:04:51,839 --> 00:04:54,596
Pierwiastek z siedemnastu do kwadratu to 17

125
00:04:54,596 --> 00:04:56,429
a pierwiastek z piętnastu

126
00:04:56,429 --> 00:04:58,007
do kwadratu to 15.

127
00:04:58,239 --> 00:05:01,567
W mianowniku mamy więc 17 odjąć 15

128
00:05:01,613 --> 00:05:04,797
a w liczniku 17 dodać 17

129
00:05:04,797 --> 00:05:06,943
dodać 15 dodać 15.

130
00:05:07,711 --> 00:05:10,312
Po uproszczeniu licznika mamy 64

131
00:05:10,312 --> 00:05:12,831
a po uproszczeniu mianownika 2.

132
00:05:13,087 --> 00:05:14,604
Otrzymujemy 32

133
00:05:14,604 --> 00:05:17,091
a to jest liczba naturalna.

134
00:05:17,183 --> 00:05:18,596
Koniec dowodu oznaczamy

135
00:05:18,596 --> 00:05:20,255
rysując na końcu kwadracik.

136
00:05:20,511 --> 00:05:22,267
Wykonaliśmy nasze zadanie.

137
00:05:22,417 --> 00:05:23,457
Gratulacje.

138
00:05:23,839 --> 00:05:25,709
Przejdźmy do kolejnego.

139
00:05:29,471 --> 00:05:32,199
Wykaż, że pierwiastek trzeciego stopnia

140
00:05:32,199 --> 00:05:35,871
z sumy 6 pierwiastków z trzech dodać 10

141
00:05:36,127 --> 00:05:38,303
dodać pierwiastek trzeciego stopnia

142
00:05:38,303 --> 00:05:41,785
z różnicy 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech

143
00:05:42,271 --> 00:05:43,133
to 2.

144
00:05:43,439 --> 00:05:45,533
Uwaga, bądź skupiony!

145
00:05:46,111 --> 00:05:48,579
Na początku korzystamy z pewnej sztuczki.

146
00:05:48,927 --> 00:05:50,463
Załóżmy, że nie wiemy

147
00:05:50,463 --> 00:05:51,999
ile wynosi nasza suma.

148
00:05:52,511 --> 00:05:54,705
Oznacza to, że całe to wyrażenie

149
00:05:54,705 --> 00:05:56,468
równa się jakiejś liczbię

150
00:05:56,468 --> 00:05:58,835
którą oznaczymy sobie literą a.

151
00:05:59,423 --> 00:06:01,485
Mamy równanie z niewiadomą a.

152
00:06:01,983 --> 00:06:03,553
Spróbujmy je uprościć.

153
00:06:04,031 --> 00:06:05,422
Po lewej stronie widzimy

154
00:06:05,422 --> 00:06:07,343
pierwiastki trzeciego stopnia.

155
00:06:07,615 --> 00:06:09,793
Podnieśmy zatem obie strony równania

156
00:06:09,793 --> 00:06:10,943
do potęgi trzeciej.

157
00:06:11,455 --> 00:06:13,743
Sumę obu pierwiastków po lewej stronie

158
00:06:13,743 --> 00:06:16,477
zapisujemy więc w nawiasie i podnosimy ją

159
00:06:16,487 --> 00:06:17,387
do sześcianu.

160
00:06:17,599 --> 00:06:19,947
Z prawej strony mamy a do sześcianu.

161
00:06:20,415 --> 00:06:23,147
Przekształcamy teraz lewą stronę równania

162
00:06:23,147 --> 00:06:25,509
korzystając ze wzoru na sześcian sumy.

163
00:06:26,047 --> 00:06:28,379
Otrzymujemy 6 pierwiastków z trzech

164
00:06:28,379 --> 00:06:30,885
dodać 10 dodać 3 razy

165
00:06:30,885 --> 00:06:31,744
w nawiasie

166
00:06:31,744 --> 00:06:34,337
pierwiastek trzeciego stopnia z sumy

167
00:06:34,337 --> 00:06:37,295
6 pierwiastków z trzech dodać 10

168
00:06:37,335 --> 00:06:39,557
zamykamy nawias do kwadratu

169
00:06:39,777 --> 00:06:41,722
razy pierwiastek trzeciego stopnia

170
00:06:41,722 --> 00:06:42,657
z różnicy

171
00:06:42,657 --> 00:06:45,807
10 odjąć 6 pierwiastków z trzech

172
00:06:45,807 --> 00:06:48,071
do tego dodajemy 3 razy

173
00:06:48,111 --> 00:06:50,603
pierwiastek trzeciego stopnia z sumy

174
00:06:50,603 --> 00:06:53,505
6 pierwiastków z trzech dodać 10

175
00:06:53,505 --> 00:06:54,788
razy w nawiasie

176
00:06:54,788 --> 00:06:56,505
pierwiastek trzeciego stopnia

177
00:06:56,505 --> 00:06:58,411
z różnicy 10 odjąć

178
00:06:58,411 --> 00:07:00,481
6 pierwiastków z trzech

179
00:07:00,481 --> 00:07:02,911
zamykamy nawias do kwadratu

180
00:07:03,167 --> 00:07:06,559
dodać 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech

181
00:07:07,263 --> 00:07:09,621
Prawą stronę równania przepisujemy.

182
00:07:10,079 --> 00:07:12,181
Dalej upraszczamy lewą stronę.

183
00:07:12,639 --> 00:07:14,866
6 pierwiastków z trzech odjąć

184
00:07:14,866 --> 00:07:17,165
6 pierwiastków z trzech nam znika

185
00:07:17,175 --> 00:07:18,255
bo to zero.

186
00:07:18,527 --> 00:07:20,815
10 dodać 10 to 20.

187
00:07:21,343 --> 00:07:23,947
Teraz skorzystajmy z kolejnej sztuczki.

188
00:07:24,159 --> 00:07:26,847
Widzimy, że w tych dwóch składnikach

189
00:07:26,847 --> 00:07:29,327
wspólnym czynnikiem jest 3 razy

190
00:07:29,327 --> 00:07:31,567
pierwiastek trzeciego stopnia z sumy

191
00:07:31,583 --> 00:07:34,143
6 pierwiastków z trzech dodać 10

192
00:07:34,399 --> 00:07:36,406
razy pierwiastek trzeciego stopnia

193
00:07:36,406 --> 00:07:40,291
z różnicy 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech.

194
00:07:40,799 --> 00:07:43,615
Wyłączamy ten wspólny czynnik przed nawias

195
00:07:43,871 --> 00:07:45,119
w którym mamy:

196
00:07:45,151 --> 00:07:47,199
pierwiastek trzeciego stopnia z sumy

197
00:07:47,455 --> 00:07:49,732
6 pierwiastków z trzech dodać 10

198
00:07:49,732 --> 00:07:52,197
dodać pierwiastek trzeciego stopnia

199
00:07:52,197 --> 00:07:55,647
z różnicy 10 odjąć 6 pierwiastków z trzech.

200
00:07:56,415 --> 00:07:58,463
Prawą stronę równania przepisujemy.

201
00:07:58,975 --> 00:08:01,023
Dalej przekształcamy lewą stronę.

202
00:08:01,535 --> 00:08:03,651
Będzie nam do tego potrzebna wiedza

203
00:08:03,651 --> 00:08:06,137
że to wyrażenie oznaczyliśmy literą a.

204
00:08:06,399 --> 00:08:08,703
Przepisujemy 20 dodać 3 razy.

205
00:08:09,471 --> 00:08:11,396
Iloczyn tych dwóch pierwiastków

206
00:08:11,396 --> 00:08:13,531
trzeciego stopnia możemy zapisać jako

207
00:08:13,531 --> 00:08:15,609
jeden pierwiastek trzeciego stopnia

208
00:08:15,615 --> 00:08:17,151
pod którym mamy w nawiasie

209
00:08:17,663 --> 00:08:20,223
10 dodać 6 pierwiastków z trzech

210
00:08:20,479 --> 00:08:21,765
zamykamy nawias

211
00:08:21,765 --> 00:08:23,051
razy w nawiasie

212
00:08:23,141 --> 00:08:26,031
10 odjąć 6 pierwiastków z trzech

213
00:08:26,201 --> 00:08:27,459
zamykamy nawias.

214
00:08:27,903 --> 00:08:31,089
Zauważ, że ten nawias jest taki sam

215
00:08:31,089 --> 00:08:33,114
jak ten zapis, którego wartość

216
00:08:33,114 --> 00:08:35,571
oznaczyliśmy wcześniej literą a.

217
00:08:35,839 --> 00:08:38,143
Zamieńmy zatem to wyrażenie na a.

218
00:08:38,655 --> 00:08:41,215
Prawą stronę równania znów przepisujemy.

219
00:08:41,727 --> 00:08:42,775
Idziemy dalej.

220
00:08:43,263 --> 00:08:45,774
Przepisujemy 20 dodać 3 razy

221
00:08:45,774 --> 00:08:47,744
pierwiastek trzeciego stopnia

222
00:08:47,744 --> 00:08:49,663
a pod nim 100 odjąć 108.

223
00:08:50,175 --> 00:08:51,967
Dlaczego 100 odjąć 108?

224
00:08:52,223 --> 00:08:54,422
Zwróć uwagę, że mamy tutaj iloczyn

225
00:08:54,422 --> 00:08:55,569
dwóch nawiasów

226
00:08:55,569 --> 00:08:56,815
w których dostrzegamy

227
00:08:56,815 --> 00:08:58,297
wzór skróconego mnożenia

228
00:08:58,297 --> 00:09:00,403
na różnicę kwadratów, czyli:

229
00:09:00,415 --> 00:09:02,039
w nawiasie 10 dodać

230
00:09:02,039 --> 00:09:03,946
6 pierwiastków z trzech

231
00:09:03,946 --> 00:09:05,273
zamykamy nawias

232
00:09:05,273 --> 00:09:06,600
razy w nawiasie

233
00:09:06,600 --> 00:09:09,755
10 odjąć 6 pierwiastków z trzech.

234
00:09:10,143 --> 00:09:11,691
Po wykonaniu obliczeń mamy

235
00:09:11,691 --> 00:09:14,142
10 do kwadratu, czyli 100

236
00:09:14,142 --> 00:09:16,914
odjąć 6 pierwiastków z trzech do kwadratu

237
00:09:16,914 --> 00:09:18,093
czyli 108.

238
00:09:18,591 --> 00:09:20,127
To mnożymy jeszcze przez a

239
00:09:20,383 --> 00:09:22,431
a całość wynosi a do sześcianu.

240
00:09:23,455 --> 00:09:26,026
100 odjąć 108 to minus 8

241
00:09:26,026 --> 00:09:28,257
a pierwiastek trzeciego stopnia

242
00:09:28,257 --> 00:09:30,623
z liczby minus 8 to minus 2.

243
00:09:31,135 --> 00:09:32,499
Otrzymujemy zatem:

244
00:09:32,671 --> 00:09:36,286
20 dodać 3 razy minus 2a

245
00:09:36,286 --> 00:09:38,059
równa się a do potęgi trzeciej.

246
00:09:38,469 --> 00:09:40,601
Po dalszych przekształceniach mamy:

247
00:09:40,863 --> 00:09:43,536
a do potęgi trzeciej dodać 6a

248
00:09:43,536 --> 00:09:45,811
odjąć 20 równa się zero.

249
00:09:46,495 --> 00:09:48,287
Przeanalizujmy, co się stało.

250
00:09:48,799 --> 00:09:51,295
Przyjęliśmy, że ta skomplikowana liczba

251
00:09:51,295 --> 00:09:52,825
przyjmuje pewną wartość

252
00:09:52,825 --> 00:09:55,057
którą oznaczyliśmy literą a.

253
00:09:55,455 --> 00:09:57,235
Wykonując przekształcenia

254
00:09:57,235 --> 00:09:58,730
otrzymaliśmy równanie

255
00:09:58,730 --> 00:10:01,683
którego niewiadomą jest właśnie litera a.

256
00:10:01,855 --> 00:10:05,090
Wiemy, że a do sześcianu dodać 6a

257
00:10:05,090 --> 00:10:06,713
odjąć 20 to zero.

258
00:10:07,231 --> 00:10:10,047
Skoro mamy udowodnić, że ta liczba to 2

259
00:10:10,303 --> 00:10:11,743
to wystarczy pokazać

260
00:10:11,743 --> 00:10:14,443
że 2 jest rozwiązaniem tego równania.

261
00:10:14,655 --> 00:10:17,081
Aby to zrobić należy w miejsce litery a

262
00:10:17,081 --> 00:10:18,729
wstawić liczbę 2.

263
00:10:19,007 --> 00:10:21,812
Otrzymamy 2 do sześcianu dodać 6 razy

264
00:10:21,812 --> 00:10:23,557
2 odjąć 20

265
00:10:23,557 --> 00:10:26,839
a to równa się 8 dodać 12 odjąć 20

266
00:10:26,839 --> 00:10:27,955
czyli zero.

267
00:10:27,967 --> 00:10:29,381
Jaki z tego wniosek?

268
00:10:29,759 --> 00:10:32,831
Ta liczba z pierwiastkami to po prostu 2.

269
00:10:33,087 --> 00:10:34,111
Koniec dowodu.

270
00:10:34,367 --> 00:10:36,083
Wykonaliśmy wszystkie zadania.

271
00:10:36,415 --> 00:10:37,553
Gratulacje.

272
00:10:43,071 --> 00:10:44,695
Wzory skróconego mnożenia

273
00:10:44,695 --> 00:10:45,917
to świetne narzędzie

274
00:10:45,917 --> 00:10:47,506
które możemy wykorzystywać

275
00:10:47,506 --> 00:10:48,792
do zadań dowodowych

276
00:10:48,792 --> 00:10:50,685
na przykład przy wykazywaniu

277
00:10:50,685 --> 00:10:51,969
podzielności liczb.

278
00:10:52,287 --> 00:10:54,655
Dzięki nim twój dowód przeprowadzisz

279
00:10:54,655 --> 00:10:57,339
szybciej i będzie bardzo czytelny.

280
00:11:01,247 --> 00:11:03,615
Dzięki tej playliście poznasz sekrety

281
00:11:03,615 --> 00:11:06,481
sześcianów w wyrażeniach algebraicznych.

282
00:11:06,623 --> 00:11:09,033
Wszystkie playlisty znajdziesz na naszej

283
00:11:09,033 --> 00:11:11,802
stronie internetowej pi-stacja.tv