1
00:00:00,768 --> 00:00:03,338
Filozof Albert Schweitzer powiedział

2
00:00:03,338 --> 00:00:05,496
że szczęście to jedyna rzecz

3
00:00:05,502 --> 00:00:08,226
która się mnoży, kiedy się ją dzieli.

4
00:00:08,704 --> 00:00:10,496
Nie do końca miał rację.

5
00:00:11,008 --> 00:00:12,617
W matematyce do wykazania

6
00:00:12,617 --> 00:00:14,036
podzielności liczb

7
00:00:14,036 --> 00:00:16,440
też często wykorzystuje się sześciany

8
00:00:16,440 --> 00:00:19,208
czyli wynik trzykrotnego mnożenia.

9
00:00:31,744 --> 00:00:34,089
W tej lekcji dowiesz się jak rozwiązywać

10
00:00:34,089 --> 00:00:36,562
zadania dowodowe dotyczące podzielności.

11
00:00:36,608 --> 00:00:38,508
Na początku jednak pokażę Ci

12
00:00:38,508 --> 00:00:40,123
pewien sposób zapisywania

13
00:00:40,123 --> 00:00:41,741
wszystkich liczb podzielnych

14
00:00:41,741 --> 00:00:42,948
przez jakąś liczbę

15
00:00:42,948 --> 00:00:44,834
na przykład przez 15.

16
00:00:45,312 --> 00:00:47,354
Wypiszmy kilka początkowych liczb

17
00:00:47,354 --> 00:00:49,066
podzielnych przez 15.

18
00:00:49,664 --> 00:00:52,736
minus 30, czyli 15 razy minus 2

19
00:00:53,248 --> 00:00:56,064
minus 15, czyli 15 razy minus 1

20
00:00:56,576 --> 00:00:58,368
zero, czyli 15 razy zero.

21
00:00:58,880 --> 00:01:01,440
Następnie 15, czyli 15 razy 1.

22
00:01:01,696 --> 00:01:03,744
30, czyli 15 razy 2

23
00:01:04,000 --> 00:01:06,560
45, czyli 15 razy 3.

24
00:01:07,328 --> 00:01:08,920
Liczb ujemnych i dodatnich

25
00:01:08,920 --> 00:01:10,375
podzielnych przez 15

26
00:01:10,375 --> 00:01:12,122
jest nieskończenie wiele

27
00:01:12,448 --> 00:01:14,616
więc na dole i u góry zapisujemy

28
00:01:14,626 --> 00:01:15,794
trzy kropki.

29
00:01:16,032 --> 00:01:17,959
Wszystkie te liczby możemy opisać

30
00:01:17,959 --> 00:01:19,234
jednym wyrażeniem.

31
00:01:19,616 --> 00:01:22,430
Da się je zapisać jako iloczyn liczby 15

32
00:01:22,596 --> 00:01:24,319
i dowolnej liczby całkowitej

33
00:01:24,319 --> 00:01:26,648
którą oznaczymy jakąś literą

34
00:01:26,648 --> 00:01:27,812
na przykład k.

35
00:01:28,064 --> 00:01:30,330
Jak zatem zapisać wszystkie liczby

36
00:01:30,330 --> 00:01:32,476
podzielne przez 73?

37
00:01:32,928 --> 00:01:34,720
73 razy k

38
00:01:34,976 --> 00:01:37,264
gdzie k to dowolna liczba całkowita.

39
00:01:37,536 --> 00:01:39,861
Analogicznie możemy zapisywać wszystkie

40
00:01:39,861 --> 00:01:41,888
liczby podzielne przez daną liczbę.

41
00:01:42,144 --> 00:01:44,834
Pokażę Ci jaki to ma związek z zadaniami

42
00:01:44,874 --> 00:01:47,428
dowodowymi dotyczącymi podzielności.

43
00:01:51,872 --> 00:01:53,808
Spójrz na zadanie pierwsze.

44
00:01:53,920 --> 00:01:56,096
Udowodnij, że liczba 105

45
00:01:56,096 --> 00:01:57,826
do potęgi trzeciej

46
00:01:57,826 --> 00:02:00,422
dodać 95 do potęgi trzeciej

47
00:02:00,432 --> 00:02:02,668
jest podzielna przez 200.

48
00:02:03,392 --> 00:02:05,528
Aby to zrobić wystarczy pokazać

49
00:02:05,528 --> 00:02:07,300
że tę liczbę da się zapisać

50
00:02:07,300 --> 00:02:09,289
w postaci iloczynu liczby 200

51
00:02:09,289 --> 00:02:11,072
i innej liczby całkowitej.

52
00:02:11,840 --> 00:02:13,583
Zwróć uwagę, że mamy tutaj

53
00:02:13,583 --> 00:02:14,976
sumę sześcianów.

54
00:02:15,168 --> 00:02:16,821
Możemy skorzystać ze wzoru

55
00:02:16,821 --> 00:02:18,374
skróconego mnożenia.

56
00:02:18,752 --> 00:02:22,892
Otrzymany w nawiasie 105 dodać 95

57
00:02:22,892 --> 00:02:24,249
zamknąć nawias

58
00:02:24,249 --> 00:02:25,532
razy w nawiasie

59
00:02:25,532 --> 00:02:29,324
105 do kwadratu odjąć 105 razy 95

60
00:02:29,324 --> 00:02:31,696
dodać 95 do kwadratu.

61
00:02:32,064 --> 00:02:34,880
105 dodać 95 to 200.

62
00:02:35,392 --> 00:02:37,318
Połowa sukcesu za nami.

63
00:02:37,696 --> 00:02:39,475
Teraz wystarczy uzasadnić

64
00:02:39,475 --> 00:02:41,165
że wartość tego nawiasu

65
00:02:41,165 --> 00:02:42,714
jest liczbą całkowitą.

66
00:02:43,072 --> 00:02:44,282
Oczywiście można ją

67
00:02:44,282 --> 00:02:45,857
obliczyć na kalkulatorze

68
00:02:45,857 --> 00:02:47,498
ale istnieje inny sposób.

69
00:02:47,936 --> 00:02:51,072
105 i 95 to liczby całkowite.

70
00:02:51,520 --> 00:02:53,326
Podnosząc te liczby do potęgi

71
00:02:53,326 --> 00:02:54,884
o wykładniku naturalnym

72
00:02:54,884 --> 00:02:56,714
otrzymamy liczby całkowite.

73
00:02:56,896 --> 00:02:58,880
Iloczyn dwóch liczb całkowitych

74
00:02:58,880 --> 00:03:00,860
też jest liczbą całkowitą.

75
00:03:01,248 --> 00:03:03,080
Dodając lub odejmując od siebie

76
00:03:03,080 --> 00:03:05,280
liczby całkowite także otrzymamy

77
00:03:05,280 --> 00:03:06,798
liczbę całkowitą.

78
00:03:07,136 --> 00:03:08,133
Liczba w nawiasie

79
00:03:08,133 --> 00:03:09,976
musi zatem być całkowita.

80
00:03:10,208 --> 00:03:12,779
Oznaczmy ją literą k i zapiszmy

81
00:03:12,779 --> 00:03:15,236
że należy do zbioru liczb całkowitych.

82
00:03:15,584 --> 00:03:18,864
Pokazaliśmy, że 105 do potęgi trzeciej

83
00:03:18,864 --> 00:03:21,245
dodać 95 do potęgi trzeciej

84
00:03:21,245 --> 00:03:22,708
dzieli się przez 200

85
00:03:22,724 --> 00:03:24,638
co zapisujemy w taki sposób.

86
00:03:25,056 --> 00:03:26,686
Wykonaliśmy nasze zadanie.

87
00:03:26,848 --> 00:03:28,382
Koniec dowodu.

88
00:03:28,640 --> 00:03:30,726
Przejdźmy do kolejnego zadania.

89
00:03:35,040 --> 00:03:36,934
Spróbuj samodzielnie wykazać

90
00:03:36,934 --> 00:03:40,169
że liczba 135 do potęgi trzeciej

91
00:03:40,169 --> 00:03:42,694
odjąć 82 do potęgi trzeciej

92
00:03:42,694 --> 00:03:44,938
jest podzielna przez 53.

93
00:03:45,168 --> 00:03:46,218
Wskazówka.

94
00:03:46,560 --> 00:03:48,834
Przekształcając tę liczbę skorzystaj

95
00:03:48,834 --> 00:03:51,424
z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia.

96
00:03:51,936 --> 00:03:54,423
Wykaż, że tę liczbę da się zapisać

97
00:03:54,423 --> 00:03:56,918
w postaci iloczynu liczby 53

98
00:03:56,918 --> 00:03:59,112
i jakiejś liczby całkowitej.

99
00:04:02,432 --> 00:04:04,631
Stosując wzór skróconego mnożenia

100
00:04:04,631 --> 00:04:06,066
na różnicę sześcianów

101
00:04:06,066 --> 00:04:10,332
otrzymamy w nawiasie 135 odjąć 82

102
00:04:10,368 --> 00:04:11,625
zamknąć nawias

103
00:04:11,625 --> 00:04:12,972
razy w nawiasie

104
00:04:13,184 --> 00:04:18,327
135 do kwadratu dodać 135 razy 82

105
00:04:18,327 --> 00:04:20,351
dodać 82 do kwadratu.

106
00:04:20,863 --> 00:04:24,447
135 odjąć 82 to 53.

107
00:04:24,959 --> 00:04:27,775
Wartość tego nawiasu jest liczbą całkowitą

108
00:04:28,031 --> 00:04:29,191
bo mamy tutaj potęgi

109
00:04:29,191 --> 00:04:30,769
o wykładnikach naturalnych

110
00:04:30,769 --> 00:04:33,089
oraz dodawanie liczb całkowitych.

111
00:04:33,407 --> 00:04:35,272
Oznaczając ją literą k

112
00:04:35,272 --> 00:04:36,981
i zapisując, że należy ona

113
00:04:36,981 --> 00:04:38,756
do zbioru liczb całkowitych

114
00:04:38,806 --> 00:04:41,207
otrzymujemy 53 razy k.

115
00:04:41,855 --> 00:04:44,956
Pokazaliśmy, że tę liczbę da się zapisać

116
00:04:44,956 --> 00:04:47,856
w postaci iloczynu liczb 53

117
00:04:47,856 --> 00:04:49,725
i jakiejś liczby całkowitej

118
00:04:49,725 --> 00:04:52,099
więc jest podzielna przez 53.

119
00:04:52,351 --> 00:04:53,679
Koniec dowodu.

120
00:04:53,887 --> 00:04:56,523
Przejdźmy do kolejnych przykładów.

121
00:05:00,287 --> 00:05:03,292
Udowodnij, że liczba 5 do potęgi szóstej

122
00:05:03,292 --> 00:05:05,246
dodać 9 do potęgi szóstej

123
00:05:05,246 --> 00:05:07,529
jest podzielna przez 106.

124
00:05:07,967 --> 00:05:10,772
Aby to zrobić trzeba pokazać, że tę liczbę

125
00:05:10,772 --> 00:05:13,100
da się zapisać w postaci iloczynu liczby

126
00:05:13,100 --> 00:05:15,877
106 i jakiejś liczby całkowitej.

127
00:05:16,159 --> 00:05:17,361
Do dzieła.

128
00:05:20,767 --> 00:05:22,406
Czy sumę szóstych potęg

129
00:05:22,406 --> 00:05:25,033
da się przekształcić w sumę sześcianów?

130
00:05:25,375 --> 00:05:27,449
Zauważ, że 5 do potęgi szóstej

131
00:05:27,449 --> 00:05:30,751
to 5 do potęgi drugiej do potęgi trzeciej.

132
00:05:31,263 --> 00:05:34,349
9 do potęgi szóstej to 9 do potęgi drugiej

133
00:05:34,349 --> 00:05:35,825
do potęgi trzeciej.

134
00:05:36,127 --> 00:05:38,175
5 do kwadratu to 25

135
00:05:38,431 --> 00:05:40,479
a 9 do kwadratu to 81.

136
00:05:41,247 --> 00:05:43,633
Mamy 25 do sześcianu dodać

137
00:05:43,633 --> 00:05:45,343
81 do sześcianu.

138
00:05:45,855 --> 00:05:47,994
Teraz możemy już skorzystać ze wzoru

139
00:05:47,994 --> 00:05:49,533
skróconego mnożenia.

140
00:05:49,695 --> 00:05:51,042
Weź kartkę i długopis

141
00:05:51,042 --> 00:05:53,643
i spróbuj to zrobić samodzielnie.

142
00:05:56,607 --> 00:06:00,565
Otrzymujemy w nawiasie 25 dodać 81

143
00:06:00,565 --> 00:06:01,860
zamknąć nawias

144
00:06:01,860 --> 00:06:03,247
razy w nawiasie

145
00:06:03,263 --> 00:06:07,678
25 do kwadratu odjąć 25 razy 81

146
00:06:07,678 --> 00:06:09,987
dodać 81 do kwadratu.

147
00:06:10,431 --> 00:06:13,503
25 dodać 81 to 106

148
00:06:13,759 --> 00:06:16,423
i tę liczbę mnożymy przez ten nawias.

149
00:06:16,831 --> 00:06:18,761
Zastanówmy się czy ten nawias

150
00:06:18,761 --> 00:06:20,539
jest liczbą całkowitą.

151
00:06:20,927 --> 00:06:22,189
Mamy tutaj potęgowanie

152
00:06:22,189 --> 00:06:23,891
o wykładnikach naturalnych

153
00:06:23,891 --> 00:06:25,723
oraz dodawanie i odejmowanie

154
00:06:25,763 --> 00:06:27,211
liczb całkowitych.

155
00:06:27,327 --> 00:06:29,956
Bez wykonywania tych działań stwierdzamy

156
00:06:29,956 --> 00:06:32,541
że wynik musi być liczbą całkowitą.

157
00:06:32,703 --> 00:06:34,543
Oznaczamy ją literą k

158
00:06:34,589 --> 00:06:37,774
otrzymując 106 razy k i zapisujemy

159
00:06:37,826 --> 00:06:40,409
że k należy do zbioru liczb całkowitych.

160
00:06:40,639 --> 00:06:42,435
Wykonaliśmy nasze zadanie.

161
00:06:42,435 --> 00:06:45,812
Udowodniliśmy, że 106 dzieli wyrażenie

162
00:06:45,834 --> 00:06:47,629
5 do potęgi szóstej dodać

163
00:06:47,659 --> 00:06:49,469
9 do potęgi szóstej.

164
00:06:49,599 --> 00:06:52,271
Przejdźmy do kolejnego zadania.

165
00:06:55,999 --> 00:06:57,853
Udowodnij, że liczba 13

166
00:06:57,853 --> 00:06:59,366
do potęgi dwunastej

167
00:06:59,366 --> 00:07:01,517
odjąć 5 do potęgi dwunastej

168
00:07:01,517 --> 00:07:03,423
jest podzielna przez 18.

169
00:07:04,191 --> 00:07:06,220
Schemat rozwiązywania tego zadania

170
00:07:06,220 --> 00:07:08,145
jest analogiczny do poprzedniego.

171
00:07:08,287 --> 00:07:10,265
Naszym celem jest przekształcenie

172
00:07:10,265 --> 00:07:12,022
tej liczby i zapisanie jej

173
00:07:12,022 --> 00:07:14,354
w postaci iloczynu liczby 18

174
00:07:14,354 --> 00:07:16,869
i jakiejś innej liczby całkowitej.

175
00:07:17,247 --> 00:07:19,005
Skoro chcemy otrzymać iloczyn

176
00:07:19,005 --> 00:07:20,347
a tutaj mamy różnicę

177
00:07:20,347 --> 00:07:21,809
to należy skorzystać

178
00:07:21,809 --> 00:07:23,647
ze wzoru skróconego mnożenia.

179
00:07:23,903 --> 00:07:25,011
Ale którego?

180
00:07:25,439 --> 00:07:27,717
Wykładnik obu potęg to 12.

181
00:07:27,999 --> 00:07:31,839
12 to 2 razy 6 ale również 4 razy 3.

182
00:07:32,607 --> 00:07:34,547
Zobaczmy najpierw, co się stanie

183
00:07:34,547 --> 00:07:36,684
gdy zamienimy to potęgowanie na takie

184
00:07:36,724 --> 00:07:38,609
w którym mamy 2 i 6.

185
00:07:39,007 --> 00:07:41,236
13 do potęgi dwunastej to inaczej

186
00:07:41,236 --> 00:07:43,871
13 do potęgi szóstej do potęgi drugiej.

187
00:07:44,639 --> 00:07:46,215
5 do potęgi dwunastej

188
00:07:46,215 --> 00:07:48,735
to 5 do potęgi szóstej do potęgi drugiej.

189
00:07:49,247 --> 00:07:51,295
Mamy tutaj różnicę kwadratów.

190
00:07:51,807 --> 00:07:54,054
Ta różnica to jest zatem to samo

191
00:07:54,054 --> 00:07:55,089
co w nawiasie.

192
00:07:55,135 --> 00:07:56,914
13 do potęgi szóstej

193
00:07:56,914 --> 00:07:58,960
odjąć 5 do potęgi szóstej

194
00:07:58,960 --> 00:08:00,285
zamknąć nawias

195
00:08:00,285 --> 00:08:03,126
razy w nawiasie 13 do potęgi szóstej

196
00:08:03,126 --> 00:08:04,957
dodać 5 do potęgi szóstej

197
00:08:04,957 --> 00:08:06,143
zamknąć nawias.

198
00:08:06,911 --> 00:08:08,703
Mamy tu gdzieś 18?

199
00:08:08,959 --> 00:08:09,711
No nie.

200
00:08:09,727 --> 00:08:11,653
Przekształcamy więc dalej.

201
00:08:11,775 --> 00:08:13,055
Ale który nawias?

202
00:08:13,311 --> 00:08:15,397
Wszędzie mamy szóste potęgi.

203
00:08:15,615 --> 00:08:17,167
Zamieńmy w tym nawiasie

204
00:08:17,167 --> 00:08:18,642
13 do potęgi szóstej

205
00:08:18,642 --> 00:08:20,411
na 13 do potęgi trzeciej

206
00:08:20,411 --> 00:08:21,802
do potęgi drugiej

207
00:08:21,802 --> 00:08:23,521
a 5 do potęgi szóstej

208
00:08:23,521 --> 00:08:26,111
na 5 do potęgi trzeciej do potęgi drugiej.

209
00:08:26,623 --> 00:08:29,054
Po takiej zamianie potęg dostrzegamy tutaj

210
00:08:29,054 --> 00:08:30,537
różnicę kwadratów.

211
00:08:30,719 --> 00:08:32,942
Stosując wzór skróconego mnożenia

212
00:08:32,942 --> 00:08:35,127
dostajemy 13 do potęgi trzeciej

213
00:08:35,127 --> 00:08:37,318
odjąć 5 do potęgi trzeciej

214
00:08:37,318 --> 00:08:38,582
zamykamy nawias

215
00:08:38,712 --> 00:08:40,689
razy 13 do potęgi trzeciej

216
00:08:40,689 --> 00:08:42,758
dodać 5 do potęgi trzeciej

217
00:08:42,758 --> 00:08:44,271
zamykamy nawias.

218
00:08:44,271 --> 00:08:45,841
Ten nawias przepisujemy

219
00:08:46,113 --> 00:08:48,025
bo nic z nim nie zrobimy.

220
00:08:48,383 --> 00:08:51,618
Pamiętaj, że chcemy otrzymać iloczyn 18

221
00:08:51,638 --> 00:08:53,481
i innej liczby całkowitej.

222
00:08:53,759 --> 00:08:55,851
Możemy przekształcić ten nawias

223
00:08:55,851 --> 00:08:58,607
korzystając ze wzoru na różnicę sześcianów

224
00:08:58,623 --> 00:09:00,369
i otrzymalibyśmy czynnik

225
00:09:00,369 --> 00:09:02,696
w którym byłoby 13 odjąć

226
00:09:02,696 --> 00:09:04,345
a to nie jest 18.

227
00:09:05,023 --> 00:09:06,879
Jeżeli jednak zastosujemy wzór

228
00:09:06,879 --> 00:09:08,953
na sumę sześcianów dla tego nawiasu

229
00:09:09,119 --> 00:09:10,383
to otrzymamy czynnik

230
00:09:10,383 --> 00:09:12,845
w którym będzie 13 dodać 5

231
00:09:12,845 --> 00:09:14,455
a to już jest 18.

232
00:09:15,007 --> 00:09:16,953
To zastosujmy ten wzór.

233
00:09:17,311 --> 00:09:20,666
Otrzymane w nawiasie 13 dodać 5

234
00:09:20,666 --> 00:09:22,162
zamykamy nawias

235
00:09:22,162 --> 00:09:24,056
razy 13 do kwadratu

236
00:09:24,056 --> 00:09:25,621
odjąć 13 razy 5

237
00:09:25,621 --> 00:09:27,375
dodać 5 do kwadratu

238
00:09:27,375 --> 00:09:28,759
zamykamy nawias.

239
00:09:29,087 --> 00:09:31,269
Pozostałe nawiasy przepisujemy.

240
00:09:31,391 --> 00:09:33,287
Zatrzymajmy się na chwilę.

241
00:09:33,695 --> 00:09:36,511
Otrzymaliśmy to co chcieliśmy, czyli 18.

242
00:09:37,279 --> 00:09:39,974
Tę liczbę mnożymy przez 3 inne liczby

243
00:09:39,974 --> 00:09:42,001
które znajdują się w nawiasach.

244
00:09:42,143 --> 00:09:43,935
Czy to są liczby całkowite?

245
00:09:44,191 --> 00:09:46,152
Możesz to sprawdzić samodzielnie

246
00:09:46,152 --> 00:09:48,543
obliczając ich wartości na kalkulatorze.

247
00:09:48,895 --> 00:09:50,704
Można to też uzasadnić tak

248
00:09:50,704 --> 00:09:52,637
jak w poprzednim przykładzie.

249
00:09:52,895 --> 00:09:55,326
Pokazaliśmy, że to wyrażenie da się

250
00:09:55,326 --> 00:09:57,994
zapisać w postaci iloczynu osiemnastki

251
00:09:57,994 --> 00:09:59,749
i innej liczby całkowitej

252
00:09:59,749 --> 00:10:01,855
czyli, że dzieli się przez 18.

253
00:10:02,367 --> 00:10:03,391
Koniec dowodu.

254
00:10:04,415 --> 00:10:06,413
To zadanie można też rozwiązać

255
00:10:06,413 --> 00:10:08,641
podążając nieco inną drogą.

256
00:10:09,023 --> 00:10:10,487
Wróćmy do początku.

257
00:10:10,559 --> 00:10:13,017
Mamy 13 do potęgi dwunastej odjąć

258
00:10:13,017 --> 00:10:14,655
5 do potęgi dwunastej.

259
00:10:14,911 --> 00:10:17,918
Kilka chwil temu 13 do potęgi dwunastej

260
00:10:17,918 --> 00:10:20,346
zapisałem jako 13 do potęgi szóstej

261
00:10:20,366 --> 00:10:21,785
do potęgi drugiej.

262
00:10:21,823 --> 00:10:24,127
Powiedziałem też, że można inaczej.

263
00:10:24,639 --> 00:10:27,119
13 do potęgi dwunastej to także

264
00:10:27,119 --> 00:10:29,759
13 do potęgi czwartej do potęgi trzeciej.

265
00:10:30,271 --> 00:10:32,116
Analogicznie przekształcamy

266
00:10:32,116 --> 00:10:33,649
5 do potęgi dwunastej

267
00:10:33,649 --> 00:10:35,912
otrzymując 5 do potęgi czwartej

268
00:10:35,922 --> 00:10:37,187
do potęgi trzeciej.

269
00:10:37,695 --> 00:10:39,857
Mamy tutaj różnicę sześcianów.

270
00:10:40,255 --> 00:10:42,369
Stosujemy wzór skróconego mnożenia

271
00:10:42,369 --> 00:10:45,687
i mamy w nawiasie 13 do potęgi czwartej

272
00:10:45,687 --> 00:10:47,638
odjąć 5 do potęgi czwartej

273
00:10:47,638 --> 00:10:48,689
zamykamy nawias

274
00:10:49,215 --> 00:10:51,990
razy w nawiasie 13 do potęgi czwartej

275
00:10:51,990 --> 00:10:53,304
do potęgi drugiej

276
00:10:53,304 --> 00:10:55,217
dodać 13 do potęgi czwartej

277
00:10:55,217 --> 00:10:56,989
razy 5 do potęgi czwartej

278
00:10:56,989 --> 00:10:59,330
dodać 5 do potęgi czwartej

279
00:10:59,350 --> 00:11:00,763
do potęgi drugiej.

280
00:11:00,991 --> 00:11:02,768
13 do potęgi czwartej

281
00:11:02,768 --> 00:11:05,979
to 13 do potęgi drugiej do potęgi drugiej.

282
00:11:06,111 --> 00:11:07,309
5 do potęgi czwartej

283
00:11:07,309 --> 00:11:10,311
to 5 do potęgi drugiej do potęgi drugiej.

284
00:11:10,719 --> 00:11:12,545
Ten czynnik przepisujemy.

285
00:11:13,023 --> 00:11:15,677
Zobacz, mamy tutaj różnicę kwadratów.

286
00:11:16,095 --> 00:11:18,399
Możemy zatem zapisać to wyrażenie jako:

287
00:11:18,655 --> 00:11:20,580
w nawiasie 13 do kwadratu

288
00:11:20,580 --> 00:11:22,279
odjąć 5 do kwadratu

289
00:11:22,279 --> 00:11:23,621
zamykamy nawias

290
00:11:23,657 --> 00:11:27,113
razy 13 do kwadratu dodać 5 do kwadratu

291
00:11:27,179 --> 00:11:28,587
zamykamy nawias.

292
00:11:28,795 --> 00:11:30,299
Resztę przepisujemy.

293
00:11:30,687 --> 00:11:33,222
Sumy kwadratów liczb 13 i 5

294
00:11:33,252 --> 00:11:34,871
już nie przekształcimy.

295
00:11:35,039 --> 00:11:36,815
Różnicę kwadratów tych liczb

296
00:11:36,831 --> 00:11:39,251
znów możemy zapisać w postaci mnożenia

297
00:11:39,357 --> 00:11:42,191
korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

298
00:11:42,719 --> 00:11:45,801
Otrzymujemy w nawiasie 13 dodać 5

299
00:11:45,811 --> 00:11:46,953
zamykamy nawias

300
00:11:46,953 --> 00:11:48,095
razy w nawiasie

301
00:11:48,351 --> 00:11:49,746
13 odjąć 5

302
00:11:49,746 --> 00:11:50,911
zamykamy nawias.

303
00:11:51,167 --> 00:11:53,565
Pozostałe wyrażenia przepisujemy.

304
00:11:53,727 --> 00:11:56,031
13 dodać 5 to 18.

305
00:11:56,799 --> 00:11:58,749
Wynik iloczynu trzech pozostałych

306
00:11:58,749 --> 00:12:00,999
czynników jest liczbą całkowitą.

307
00:12:01,407 --> 00:12:03,717
Uzasadnienie tego faktu jest analogiczne

308
00:12:03,727 --> 00:12:05,391
jak w pierwszej metodzie.

309
00:12:05,759 --> 00:12:08,121
Pokazaliśmy, że to wyrażenie da się

310
00:12:08,121 --> 00:12:10,712
zapisać w postaci iloczynu osiemnastki

311
00:12:10,712 --> 00:12:12,579
i innej liczby całkowitej

312
00:12:12,579 --> 00:12:14,583
czyli, że dzieli się przez 18.

313
00:12:15,231 --> 00:12:16,409
Koniec dowodu.

314
00:12:16,511 --> 00:12:17,791
Wykonaliśmy tym samym

315
00:12:17,837 --> 00:12:19,627
wszystkie zadania w tej lekcji.

316
00:12:19,739 --> 00:12:21,077
Gratulacje.

317
00:12:26,239 --> 00:12:28,332
Liczba podzielna przez 7

318
00:12:28,332 --> 00:12:30,445
ma postać 7 razy k

319
00:12:30,445 --> 00:12:32,592
gdzie k należy do liczb całkowitych

320
00:12:32,592 --> 00:12:34,758
a liczba podzielna przez 53

321
00:12:34,758 --> 00:12:36,951
ma postać 53 razy k

322
00:12:37,247 --> 00:12:39,409
gdzie k należy do liczb całkowitych.

323
00:12:39,807 --> 00:12:42,128
I tak można zapisać każdą liczbę

324
00:12:42,128 --> 00:12:44,159
podzielną przez pewną liczbę.

325
00:12:44,415 --> 00:12:46,850
Aby przedstawić liczbę w takiej postaci

326
00:12:46,850 --> 00:12:48,256
często pomogą Ci wzory

327
00:12:48,256 --> 00:12:50,195
skróconego mnożenia.

328
00:12:54,655 --> 00:12:56,379
Zapraszam Cię do obejrzenia

329
00:12:56,379 --> 00:12:58,369
pozostałych lekcji o sześcianach

330
00:12:58,369 --> 00:13:00,172
w wyrażeniach algebraicznych

331
00:13:00,172 --> 00:13:01,718
oraz do zasubskrybowania

332
00:13:01,748 --> 00:13:04,008
naszego kanału.