1
00:00:00,292 --> 00:00:02,546
Chcesz wiedzieć, czy więcej zyskasz

2
00:00:02,586 --> 00:00:05,079
wkładając pieniądze na taki sam procent

3
00:00:05,119 --> 00:00:07,677
na lokatę roczną, czy na taką, w której 

4
00:00:07,717 --> 00:00:09,711
odsetki dolicza się co miesiąc?

5
00:00:09,984 --> 00:00:12,268
A może interesuje Cię, jak długo 

6
00:00:12,308 --> 00:00:15,130
groźne pozostają promieniotwórcze odpady?

7
00:00:15,170 --> 00:00:16,247
Albo jak szybko 

8
00:00:16,287 --> 00:00:18,431
rozprzestrzeniają się epidemie?

9
00:00:18,688 --> 00:00:21,488
W poznaniu odpowiedzi na te i wiele innych

10
00:00:21,528 --> 00:00:23,838
praktycznych pytań pomaga znajomość

11
00:00:23,878 --> 00:00:26,879
funkcji wykładniczych i metod ich obliczania.

12
00:00:27,136 --> 00:00:30,739
A o tym właśnie jest ten film. Zapraszamy.

13
00:00:42,240 --> 00:00:44,841
W innym filmie tej playlisty mówiliśmy

14
00:00:44,881 --> 00:00:46,427
o funkcji wykładniczej 

15
00:00:46,467 --> 00:00:48,378
jej wykresie i własnościach.

16
00:00:48,640 --> 00:00:51,200
W tym skupimy się na rozwiązywaniu zadań.

17
00:00:51,456 --> 00:00:53,571
Mniej i bardziej praktycznych.

18
00:00:54,016 --> 00:00:55,040
Zadanie 1

19
00:00:55,552 --> 00:00:57,160
Na rysunku przedstawiono 

20
00:00:57,200 --> 00:00:59,656
fragment wykresu funkcji wykładniczej f.

21
00:00:59,904 --> 00:01:01,686
Podaj wzór tej funkcji.

22
00:01:01,952 --> 00:01:03,476
Na początek przypomnijmy 

23
00:01:03,516 --> 00:01:05,535
wzór ogólny funkcji wykładniczej.

24
00:01:05,792 --> 00:01:09,010
To f(x) równe a do potęgi x.

25
00:01:09,120 --> 00:01:11,168
We wzorze tym poza zmienną x

26
00:01:11,424 --> 00:01:13,635
występuje tylko litera a.

27
00:01:13,984 --> 00:01:16,419
Naszym zadaniem jest zastąpienie jej 

28
00:01:16,459 --> 00:01:17,567
konkretną liczbą.

29
00:01:17,824 --> 00:01:20,995
Z rysunku wiemy, że do wykresu funkcji f

30
00:01:21,035 --> 00:01:23,967
należy punkt A o współrzędnych 2 i 9.

31
00:01:28,320 --> 00:01:32,426
2 to współrzędna iksowa, 9 - igrekowa.

32
00:01:32,672 --> 00:01:35,403
Naszą funkcję możemy zapisać jako

33
00:01:35,443 --> 00:01:37,257
y równe a do potęgi x.

34
00:01:38,048 --> 00:01:42,656
Jeśli pod y podstawimy 9, a pod x dwójkę

35
00:01:42,912 --> 00:01:46,077
otrzymamy równanie z jedną niewiadomą: 

36
00:01:46,117 --> 00:01:49,119
literą a. Ją właśnie chcemy obliczyć.

37
00:01:49,312 --> 00:01:52,300
9 równa się a do potęgi drugiej

38
00:01:52,384 --> 00:01:55,292
czyli a do kwadratu równa się 9.

39
00:01:55,456 --> 00:02:00,320
Widzisz, że a może być równe 3 lub -3.

40
00:02:00,576 --> 00:02:03,827
Z definicji funkcji wykładniczej wiemy jednak

41
00:02:03,867 --> 00:02:06,463
że a musi być liczbą większą od zera

42
00:02:06,720 --> 00:02:10,560
a więc -3 nie spełnia warunków zadania.

43
00:02:10,851 --> 00:02:12,693
Wzór naszej funkcji to:

44
00:02:12,733 --> 00:02:15,303
 f od x równa się 3 do potęgi x.

45
00:02:15,680 --> 00:02:18,054
Kolejne zadanie - po orzeszku.

46
00:02:22,080 --> 00:02:23,986
Funkcja wykładnicza o wzorze:

47
00:02:24,055 --> 00:02:27,252
f(x) równe 4 do potęgi x, przyjmuje 

48
00:02:27,373 --> 00:02:29,759
wartość 3 dla argumentu...

49
00:02:30,016 --> 00:02:32,320
...i tu 4 argumenty do wyboru.

50
00:02:32,576 --> 00:02:34,628
Wybierz właściwą odpowiedź.

51
00:02:34,880 --> 00:02:37,440
Zacznijmy od przepisania naszej funkcji.

52
00:02:38,976 --> 00:02:43,087
Wartość, czyli y, to 3. Zapiszmy to.

53
00:02:44,352 --> 00:02:46,471
Naszą wartość chcemy wstawić 

54
00:02:46,511 --> 00:02:48,703
do wzoru funkcji. Zapiszmy ją.

55
00:02:48,960 --> 00:02:52,852
Tym razem jako y równe 4 do potęgi x.

56
00:02:53,056 --> 00:02:55,534
Podstawiając trójkę otrzymujemy:

57
00:02:55,637 --> 00:02:58,318
 3 równe 4 do potęgi x.

58
00:02:58,688 --> 00:03:01,248
Naszą niewiadomą jest wykładnik potęgi

59
00:03:01,504 --> 00:03:03,666
A pytanie o potęgę to...?

60
00:03:03,941 --> 00:03:05,437
Tak, logarytm.

61
00:03:05,600 --> 00:03:08,160
Przypomnijmy sobie definicję logarytmu.

62
00:03:08,416 --> 00:03:12,512
Logarytm przy podstawie a z b równa się c

63
00:03:12,768 --> 00:03:16,864
wtedy i tylko wtedy, gdy a do potęgi c = b.

64
00:03:17,120 --> 00:03:19,424
Taką formę ma właśnie nasze równanie.

65
00:03:19,936 --> 00:03:21,472
a to czwórka

66
00:03:23,798 --> 00:03:25,449
c to x

67
00:03:28,384 --> 00:03:30,194
a b to trójka.

68
00:03:31,712 --> 00:03:33,408
Przekonwertuj nasz zapis 

69
00:03:33,448 --> 00:03:35,007
na formę logarytmiczną.

70
00:03:35,552 --> 00:03:37,741
a to czwórka

71
00:03:39,529 --> 00:03:41,696
b to trójka

72
00:03:44,256 --> 00:03:46,304
a c to nasza niewiadoma.

73
00:03:46,560 --> 00:03:49,521
X równa się więc takiemu logarytmowi

74
00:03:49,561 --> 00:03:52,440
i dokładnie taki mamy w odpowiedzi D.

75
00:03:57,824 --> 00:03:59,782
Czas na kolejne zadanie. Dana jest 

76
00:03:59,822 --> 00:04:01,982
funkcja wykładnicza określona wzorem:

77
00:04:02,022 --> 00:04:06,270
 h od x równe 3 do potęgi (x - 3).

78
00:04:06,528 --> 00:04:09,600
W jakim punkcie funkcja ta przecina oś Y?

79
00:04:10,112 --> 00:04:12,416
Na początek przepiszmy naszą funkcję.

80
00:04:12,672 --> 00:04:16,512
h od x = 3 do potęgi (x - 3).

81
00:04:17,536 --> 00:04:20,452
Mała ściąga: narysujmy dowolną funkcję 

82
00:04:20,492 --> 00:04:23,934
i zaznaczmy na niej punkt przecięcia z osią Y.

83
00:04:24,447 --> 00:04:27,519
Współrzędna x takiego punktu to zawsze 0.

84
00:04:28,031 --> 00:04:30,687
Aby obliczyć drugą współrzędną

85
00:04:30,727 --> 00:04:33,918
wystarczy więc pod x podstawić zero.

86
00:04:34,431 --> 00:04:36,298
W wykładniku naszej potęgi jest jednak

87
00:04:36,338 --> 00:04:39,806
zapis (x - 3). Coś Ci on mówi?

88
00:04:42,111 --> 00:04:44,814
Jeśli tak, super. Jeśli nie, to warto 

89
00:04:44,854 --> 00:04:47,251
przy okazji tego zadania powtórzyć

90
00:04:47,291 --> 00:04:49,278
przesuwanie wykresu funkcji.

91
00:04:49,535 --> 00:04:51,780
Dlatego rozwiążemy nasze zadanie

92
00:04:51,820 --> 00:04:52,862
na dwa sposoby.

93
00:04:53,375 --> 00:04:55,926
Pierwszy: podstawiamy pod x 

94
00:04:55,966 --> 00:04:58,864
wspomniane już zero, otrzymując:

95
00:04:58,904 --> 00:05:02,262
3 do potęgi 0 minus 3, a po wykonaniu

96
00:05:02,302 --> 00:05:04,853
odejmowania: 3 do potęgi -3.

97
00:05:05,151 --> 00:05:07,305
W takiej potędze minus odwraca 

98
00:05:07,345 --> 00:05:10,270
liczbę potęgowaną, czyli z trójki robi...?

99
00:05:11,039 --> 00:05:13,343
Masz rację, 1/3.

100
00:05:13,599 --> 00:05:17,951
Trójkę przepisujemy i otrzymujemy 1/27.

101
00:05:18,463 --> 00:05:21,212
To nasza szukana, igrekowa współrzędna

102
00:05:21,252 --> 00:05:23,783
punktu przecięcia funkcji z osią Y.

103
00:05:24,095 --> 00:05:26,123
Obiecaliśmy jednak przypomnieć 

104
00:05:26,163 --> 00:05:28,191
co znaczy taki zapis w potędze

105
00:05:28,447 --> 00:05:30,418
przy okazji powtarzając zagadnienie

106
00:05:30,458 --> 00:05:32,466
przesuwania wykresu funkcji.

107
00:05:32,799 --> 00:05:36,356
Kiedy funkcję f(x) przesuniemy o 3 jednostki

108
00:05:36,396 --> 00:05:39,710
w górę, otrzymujemy funkcję f(x) dodać 3.

109
00:05:39,967 --> 00:05:43,517
Kiedy przesuniemy ją o trzy jednostki w dół

110
00:05:43,557 --> 00:05:46,110
otrzymamy funkcję f(x) odjąć 3.

111
00:05:46,623 --> 00:05:49,439
Przesunięcie w lewo da nam taką funkcję

112
00:05:51,999 --> 00:05:53,733
a w prawo taką.

113
00:05:55,839 --> 00:05:58,486
W naszym przypadku wyjściową funkcją

114
00:05:58,526 --> 00:06:00,634
czyli tą przed przesunięciem 

115
00:06:00,674 --> 00:06:04,287
była funkcja 3 do potęgi x. Zapiszmy to.

116
00:06:05,311 --> 00:06:08,529
Taki zapis oznacza, że trójkę dodajemy 

117
00:06:08,569 --> 00:06:11,454
do całej funkcji, czyli otrzymujemy

118
00:06:11,494 --> 00:06:12,920
3 do potęgi iks

119
00:06:12,991 --> 00:06:15,295
i dopiero do tego dodajemy trójkę.

120
00:06:15,551 --> 00:06:17,343
Podobnie przy odejmowaniu:

121
00:06:17,599 --> 00:06:20,415
trójka ląduje na samym końcu zapisu.

122
00:06:20,927 --> 00:06:24,238
A tu? Tu trójka jest w nawiasie, co oznacza

123
00:06:24,278 --> 00:06:27,182
że ma być ona dodana bezpośrednio do x

124
00:06:27,222 --> 00:06:29,738
czyli w przypadku naszej funkcji 

125
00:06:29,778 --> 00:06:32,702
musimy ją dopisać w wykładniku potęgi.

126
00:06:33,215 --> 00:06:35,007
Analogicznie postępujemy tu.

127
00:06:35,263 --> 00:06:38,335
Trójkę odejmujemy od x w wykładniku.

128
00:06:38,591 --> 00:06:40,672
Jeśli chcesz dokładniej powtórzyć 

129
00:06:40,712 --> 00:06:43,205
przesuwanie funkcji, zajrzyj do playlisty

130
00:06:43,245 --> 00:06:45,017
poświęconej temu zagadnieniu.

131
00:06:45,503 --> 00:06:48,095
To, co otrzymaliśmy tu, to dokładnie 

132
00:06:48,135 --> 00:06:50,637
nasza funkcja, czyli funkcja h od x 

133
00:06:50,677 --> 00:06:53,813
powstała przez przesunięcie funkcji 3 do x

134
00:06:53,853 --> 00:06:55,486
o 3 jednostki w prawo.

135
00:06:55,743 --> 00:06:57,585
Zobaczmy to na wykresie.

136
00:06:57,791 --> 00:06:59,839
Oto wykres funkcji f(x)

137
00:07:00,095 --> 00:07:02,143
czyli tej przed przesunięciem.

138
00:07:02,399 --> 00:07:05,215
Kiedy przesuniemy ją o 3 jednostki w prawo

139
00:07:05,471 --> 00:07:10,335
otrzymamy funkcję h(x) = 3 do potęgi (x - 3)

140
00:07:10,591 --> 00:07:12,895
czyli tę z polecenia naszego zadania.

141
00:07:13,407 --> 00:07:15,748
Mamy znaleźć współrzędne punktu

142
00:07:15,788 --> 00:07:17,596
jej przecięcia z osią Y.

143
00:07:18,271 --> 00:07:20,451
Przed przesunięciem punkt ten znajdował się

144
00:07:20,491 --> 00:07:25,470
tu i miał współrzędne: -3 i 1/27.

145
00:07:25,695 --> 00:07:28,055
Po przesunięciu o trzy w prawo 

146
00:07:28,095 --> 00:07:29,534
x będzie równy zeru

147
00:07:29,791 --> 00:07:31,592
ale y się nie zmieni

148
00:07:31,839 --> 00:07:33,887
czyli szukany punkt przecięcia

149
00:07:34,143 --> 00:07:36,959
ma współrzędne 0 i 1/27.

150
00:07:43,103 --> 00:07:45,233
Kolejne zadanie brzmi: Masa m 

151
00:07:45,273 --> 00:07:47,813
pewnego leku zażytego przez chorego 

152
00:07:47,853 --> 00:07:49,605
zmienia się w organizmie 

153
00:07:49,645 --> 00:07:52,062
zgodnie z zależnością wykładniczą.

154
00:07:52,319 --> 00:07:56,671
m(t) = m0, czyli masa przyjętej dawki

155
00:07:56,927 --> 00:07:59,682
do potęgi 1/3 t, gdzie t to czas 

156
00:07:59,722 --> 00:08:02,814
jaki upłynął od momentu zażycia leku.

157
00:08:03,327 --> 00:08:06,031
Oblicz, ile miligramów leku pozostanie

158
00:08:06,071 --> 00:08:08,918
w organizmie chorego po upływie 6 godzin

159
00:08:08,959 --> 00:08:11,238
jeśli przyjął on jednorazowo dawkę leku

160
00:08:11,278 --> 00:08:13,507
o masie 100 mg.

161
00:08:13,823 --> 00:08:15,656
Przepiszmy naszą zależność:

162
00:08:15,871 --> 00:08:22,271
m(t) to m0 razy 1/2 do potęgi 1/3 t.

163
00:08:23,807 --> 00:08:27,006
Obliczyć mamy masę leku w organizmie

164
00:08:27,046 --> 00:08:29,976
po upływie 6 godzin, czyli t = 6.

165
00:08:30,719 --> 00:08:33,873
Początkowa dawka leku to 100 mg

166
00:08:33,913 --> 00:08:35,326
a to nasze m0.

167
00:08:37,887 --> 00:08:41,565
Tę liczbę wstawiamy tu, a tę tu.

168
00:08:42,495 --> 00:08:44,799
Masa po 6 godzinach to więc

169
00:08:45,055 --> 00:08:49,302
100 razy 1/2 do potęgi 1/3 razy 6.

170
00:08:51,199 --> 00:08:53,629
Całość wygląda dość skomplikowanie

171
00:08:53,669 --> 00:08:56,559
ale... po kolei. Zaczynamy od mnożenia

172
00:08:56,599 --> 00:08:58,110
w wykładniku potęgi.

173
00:08:58,367 --> 00:09:01,491
1/3 i szóstkę możemy skrócić.

174
00:09:01,695 --> 00:09:03,795
Początek przepisujemy.

175
00:09:05,535 --> 00:09:10,672
W wykładniku mamy 1/1 razy 2, czyli 2.

176
00:09:10,911 --> 00:09:12,459
Kolejnym krokiem jest

177
00:09:12,499 --> 00:09:14,495
podniesienie 1/2 do potęgi.

178
00:09:14,751 --> 00:09:20,660
Otrzymujemy 100 x 1/4, a 1/4 ze stu to 25.

179
00:09:20,895 --> 00:09:25,503
Szukana masa leku po 6 godzinach to 25 mg.

180
00:09:31,391 --> 00:09:32,671
Zadanie 5

181
00:09:32,927 --> 00:09:35,188
Czas połowicznego rozpadu to czas

182
00:09:35,228 --> 00:09:37,952
w którym połowa pierwotnej liczby atomów

183
00:09:37,992 --> 00:09:40,233
danego izotopu promieniotwórczego

184
00:09:40,273 --> 00:09:41,358
ulega rozpadowi.

185
00:09:41,631 --> 00:09:44,025
Możemy go zapisać w postaci zależności:

186
00:09:44,191 --> 00:09:48,357
Y równa się m0 razy 1/2 do potęgi x

187
00:09:48,543 --> 00:09:52,066
gdzie m0 oznacza początkową masę izotopu

188
00:09:52,106 --> 00:09:54,477
a x liczbę okresów rozpadu.

189
00:09:54,687 --> 00:09:56,844
Dla jednego z izotopów wodoru 

190
00:09:56,884 --> 00:09:59,550
okres połowicznego rozpadu to 12 lat.

191
00:10:00,063 --> 00:10:03,237
Jeśli na początku mieliśmy 2 i 4/10 g 

192
00:10:03,277 --> 00:10:06,289
tego izotopu, to po ilu latach zostanie go

193
00:10:06,329 --> 00:10:08,300
 15 setnych grama?

194
00:10:09,023 --> 00:10:11,493
Na początek zastanówmy się, co dokładnie

195
00:10:11,533 --> 00:10:13,630
oznacza czas połowicznego rozpadu?

196
00:10:13,887 --> 00:10:17,983
Jeśli na początek mieliśmy 2,4 g izotopu

197
00:10:18,239 --> 00:10:20,657
to po jednym czasie połowicznego rozpadu

198
00:10:20,697 --> 00:10:24,383
zostanie z niego połowa, czyli 1,2 grama.

199
00:10:24,895 --> 00:10:27,085
Kiedy znów minie taki sam czas

200
00:10:27,125 --> 00:10:29,369
czyli czas połowicznego rozpadu

201
00:10:29,409 --> 00:10:31,432
zostanie połowa z tej połowy

202
00:10:31,472 --> 00:10:34,620
czyli sześć dziesiątych grama, i tak dalej.

203
00:10:34,879 --> 00:10:37,451
W naszej funkcji m0 to początkowa 

204
00:10:37,491 --> 00:10:40,119
masa izotopu, a x to liczba czasów 

205
00:10:40,159 --> 00:10:42,635
połowicznego rozpadu, jakie miną 

206
00:10:42,675 --> 00:10:45,849
w całym analizowanym przez nas okresie.

207
00:10:46,143 --> 00:10:48,664
Musimy więc naszą masę początkową

208
00:10:48,704 --> 00:10:50,897
pomnożyć przez 1/2 tyle razy 

209
00:10:50,937 --> 00:10:54,131
ile czasów połowicznego rozpadu mieści się

210
00:10:54,171 --> 00:10:55,922
w analizowanym okresie.

211
00:10:56,127 --> 00:10:58,286
Zapiszmy to bardziej elegancko 

212
00:10:58,326 --> 00:10:59,430
w formie tabeli.

213
00:10:59,711 --> 00:11:03,551
Początkowa masa izotopu to 2,4 grama.

214
00:11:03,807 --> 00:11:06,944
Po jednym czasie połowicznego rozpadu

215
00:11:06,984 --> 00:11:08,414
zostaje 1,2 grama

216
00:11:08,671 --> 00:11:10,719
po drugim - sześć dziesiątych

217
00:11:11,231 --> 00:11:13,236
po trzecim - trzy dziesiąte

218
00:11:13,535 --> 00:11:16,095
a po czwartym - piętnaście setnych grama.

219
00:11:16,351 --> 00:11:18,655
Moglibyśmy wypełniać komórki dalej

220
00:11:18,911 --> 00:11:20,703
ale to już masa z polecenia.

221
00:11:20,959 --> 00:11:22,964
Jak widać, w tym zadaniu można

222
00:11:23,004 --> 00:11:25,866
znaleźć odpowiedź właściwie nie korzystając

223
00:11:25,906 --> 00:11:28,431
z podanej zależności, ale są przypadki

224
00:11:28,471 --> 00:11:30,341
kiedy tabelka nie wystarczy.

225
00:11:30,687 --> 00:11:32,735
Teraz skorzystajmy więc z wzoru.

226
00:11:33,247 --> 00:11:37,087
Końcowa masa, czyli y to 15/100 grama.

227
00:11:37,343 --> 00:11:40,140
m0 to 2,4 grama, a x zostanie 

228
00:11:40,180 --> 00:11:44,010
jako niewiadoma, którą będziemy obliczać.

229
00:11:44,255 --> 00:11:46,303
Po podstawieniu otrzymujemy

230
00:11:46,559 --> 00:11:53,215
2,4 razy 1/2 do potęgi x równa się 0,15 g.

231
00:11:53,727 --> 00:11:57,311
Najpierw musimy pozbyć się liczby 2,4

232
00:11:57,567 --> 00:11:59,871
dzieląc przez nią obustronnie.

233
00:12:00,383 --> 00:12:07,039
Dostaniemy: 1/2 do potęgi x = 0,0625.

234
00:12:07,295 --> 00:12:10,463
Łatwiej nam będzie obliczyć, do jakiej potęgi

235
00:12:10,503 --> 00:12:12,872
musimy podnieść 1/2, kiedy ułamek 

236
00:12:12,912 --> 00:12:15,230
dziesiętny zapiszemy jako zwykły.

237
00:12:18,559 --> 00:12:23,167
W liczniku 625, w mianowniku 10 000.

238
00:12:23,679 --> 00:12:25,341
Ułamek można skrócić.

239
00:12:25,471 --> 00:12:27,514
Liczby spore, więc jeśli chcesz

240
00:12:27,554 --> 00:12:28,798
to zrób to na raty.

241
00:12:29,055 --> 00:12:31,599
Wynik to 1/16.

242
00:12:32,383 --> 00:12:35,760
1/2 do jakiej potęgi daje 1/16?

243
00:12:36,223 --> 00:12:40,264
Tak, do 4, czyli x równa się 4.

244
00:12:40,319 --> 00:12:42,318
Niezapominajmy, że liczba 4 

245
00:12:42,358 --> 00:12:45,438
którą otrzymaliśmy i z tabeli, i z obliczeń

246
00:12:45,695 --> 00:12:48,255
to liczba czasów połowicznego rozpadu

247
00:12:48,511 --> 00:12:50,815
a nas pytają, ile lat upłynie.

248
00:12:51,071 --> 00:12:55,067
Ale to już proste. Jeden taki czas to 12 lat

249
00:12:55,136 --> 00:13:00,550
a więc upłynie 12 razy 4, czyli 48 lat.

250
00:13:00,799 --> 00:13:03,359
I to jest odpowiedź do naszego zadania.

251
00:13:07,455 --> 00:13:10,437
Funkcja wykładnicza opisuje wiele zjawisk

252
00:13:10,527 --> 00:13:12,517
w których coś rośnie lub maleje

253
00:13:12,575 --> 00:13:14,064
w sposób wykładniczy.

254
00:13:14,111 --> 00:13:15,883
Na przykład wzrost kapitału 

255
00:13:15,923 --> 00:13:17,995
na lokacie z procentem składanym 

256
00:13:18,035 --> 00:13:19,487
rozpad promieniotwórczy

257
00:13:19,743 --> 00:13:21,956
czy stężenie leków w organizmie.

258
00:13:22,303 --> 00:13:26,443
Przyjmuje ona postać f(x) = a do potęgi x

259
00:13:26,655 --> 00:13:29,010
gdzie a jest większe od zera 

260
00:13:29,050 --> 00:13:30,750
i a nie jest równe 1.

261
00:13:33,055 --> 00:13:35,716
Korzystając z wzorów funkcji wykładniczej

262
00:13:35,756 --> 00:13:37,089
można rozwiązać wiele

263
00:13:37,129 --> 00:13:38,613
praktycznych problemów.

264
00:13:38,943 --> 00:13:41,759
A jeśli Ty będziesz korzystać z pistacja.tv

265
00:13:42,015 --> 00:13:44,575
Twoja wiedza wzrośnie wykładniczo.

266
00:13:44,701 --> 00:13:47,160
Sprawdź nas.