1
00:00:00,156 --> 00:00:02,504
Co można równać albo do czego?

2
00:00:02,560 --> 00:00:04,840
Można równać szanse, równać szereg

3
00:00:04,940 --> 00:00:06,956
albo równać do najlepszego.

4
00:00:07,168 --> 00:00:09,572
Matematycy też zajmują się równaniem.

5
00:00:09,728 --> 00:00:11,108
A raczej równaniami.

6
00:00:11,264 --> 00:00:12,488
Wielomianowymi.

7
00:00:12,800 --> 00:00:15,048
O nich posłuchasz w tej lekcji.

8
00:00:26,424 --> 00:00:28,104
Mamy takie równanie:

9
00:00:28,416 --> 00:00:31,382
x razy, w nawiasie x odjąć 2

10
00:00:31,382 --> 00:00:34,604
razy, w nawiasie x dodać 1 równa się 0.

11
00:00:35,072 --> 00:00:36,452
Jak je rozwiązać?

12
00:00:36,608 --> 00:00:38,565
Zauważ, że po prawej stronie

13
00:00:38,665 --> 00:00:40,292
znaku równości stoi 0.

14
00:00:40,448 --> 00:00:41,906
Natomiast po lewej stronie

15
00:00:42,006 --> 00:00:43,564
mamy mnożenie trzech liczb.

16
00:00:44,032 --> 00:00:46,024
Kiedy ich iloczyn byłby zerem?

17
00:00:46,336 --> 00:00:47,957
Tylko wtedy, kiedy przynajmniej

18
00:00:48,057 --> 00:00:49,508
jedna liczba będzie zerem.

19
00:00:49,920 --> 00:00:51,387
Na przykład x równe zeru

20
00:00:51,487 --> 00:00:53,192
jest rozwiązaniem tego równania.

21
00:00:53,760 --> 00:00:56,008
Ale czy jest to jedyne rozwiązanie?

22
00:00:56,332 --> 00:00:57,950
Nie, przecież zerem może być też

23
00:00:57,960 --> 00:01:00,204
wynik wyrażenia x odjąć 2.

24
00:01:00,416 --> 00:01:02,249
Dla jakiego x to wyrażenie

25
00:01:02,249 --> 00:01:03,588
będzie się zerować?

26
00:01:03,744 --> 00:01:05,324
Oczywiście dla dwójki.

27
00:01:05,536 --> 00:01:07,274
Dwójka jest kolejnym rozwiązaniem

28
00:01:07,274 --> 00:01:08,296
tego równania.

29
00:01:08,508 --> 00:01:11,468
Jak myślisz, czy to wszystkie rozwiązania?

30
00:01:14,296 --> 00:01:16,388
Pozostał nam jeszcze ten nawias.

31
00:01:16,544 --> 00:01:19,204
Jeśli x dodać 1 będzie równy zeru

32
00:01:19,360 --> 00:01:21,012
to x będzie kolejnym rozwiązaniem

33
00:01:21,112 --> 00:01:22,476
naszego równania.

34
00:01:22,688 --> 00:01:25,648
Tak się stanie dla x równego -1.

35
00:01:26,016 --> 00:01:28,299
To równanie ma więc 3 rozwiązania:

36
00:01:28,299 --> 00:01:31,080
0, 2 i –1.

37
00:01:31,548 --> 00:01:33,112
Zwróć uwagę, że ta metoda

38
00:01:33,212 --> 00:01:35,076
nadaje się tylko do równań

39
00:01:35,176 --> 00:01:37,580
w których po jednej ze stron stoi 0

40
00:01:37,692 --> 00:01:39,940
a po drugiej iloczyn jakichś wyrażeń.

41
00:01:40,096 --> 00:01:42,536
Dlatego upewnij się, że po którejś

42
00:01:42,636 --> 00:01:44,748
ze stron równania stoi 0.

43
00:01:45,528 --> 00:01:47,114
Jak myślisz, jak nazywamy

44
00:01:47,214 --> 00:01:48,900
wyrażenie po lewej stronie?

45
00:01:49,056 --> 00:01:50,897
Możesz mi nie uwierzyć na słowo

46
00:01:50,997 --> 00:01:52,228
ale jest to wieloman.

47
00:01:52,384 --> 00:01:53,608
Zaraz Ci to pokażę.

48
00:01:53,820 --> 00:01:55,629
Pomnóżmy wszystkie czynniki po lewej

49
00:01:55,629 --> 00:01:57,960
stronie i sprawdźmy, co otrzymamy.

50
00:01:58,272 --> 00:01:59,652
Ja zacznę od nawiasów.

51
00:01:59,808 --> 00:02:01,800
x razy x to x kwadrat

52
00:02:02,112 --> 00:02:04,360
x razy 1 to po prostu x

53
00:02:04,672 --> 00:02:07,176
–2 razy x daje –2x

54
00:02:07,488 --> 00:02:10,348
i na końcu –2 razy 1 to –2.

55
00:02:10,616 --> 00:02:12,964
Po uproszczeniu w nawiasie dostajemy:

56
00:02:13,176 --> 00:02:16,336
x kwadrat odjąć x odjąć 2.

57
00:02:16,604 --> 00:02:19,214
Po pomnożeniu tego przez x otrzymamy

58
00:02:19,314 --> 00:02:21,558
x do trzeciej odjąć x kwadrat

59
00:02:21,658 --> 00:02:23,948
odjąć 2x równa się 0.

60
00:02:24,284 --> 00:02:25,947
Jak widzisz, jest to wielomian

61
00:02:25,947 --> 00:02:26,944
stopnia trzeciego.

62
00:02:27,200 --> 00:02:28,790
Jeśli chcesz przypomnieć sobie

63
00:02:28,890 --> 00:02:31,655
podstawowe informacje na temat wielomianów

64
00:02:31,655 --> 00:02:33,220
to odsyłam Cię do playlisty

65
00:02:33,220 --> 00:02:34,824
poświęconej temu zagadnieniu.

66
00:02:35,392 --> 00:02:37,380
Jak myślisz, czym są znalezione

67
00:02:37,380 --> 00:02:38,764
przez nas liczby?

68
00:02:39,132 --> 00:02:41,124
To miejsca zerowe tego wielomianu.

69
00:02:41,280 --> 00:02:43,172
Wielomian jest stopnia trzeciego

70
00:02:43,328 --> 00:02:45,033
a my znaleźliśmy dokładnie

71
00:02:45,033 --> 00:02:46,244
3 takie miejsca.

72
00:02:46,596 --> 00:02:49,144
Stąd wiemy, że znaleźliśmy je wszystkie

73
00:02:49,144 --> 00:02:50,757
ponieważ wielomian nie może mieć

74
00:02:50,757 --> 00:02:52,844
ich więcej niż wynosi jego stopień.

75
00:02:53,112 --> 00:02:54,446
Każdy wielomian możemy

76
00:02:54,546 --> 00:02:56,384
zapisać w postaci iloczynowej.

77
00:02:56,540 --> 00:02:58,867
Czynniki będą stopnia pierwszego

78
00:02:58,867 --> 00:02:59,812
lub drugiego.

79
00:02:59,968 --> 00:03:01,965
Nie zawsze da się zapisać wielomian

80
00:03:02,065 --> 00:03:03,817
w postaci iloczynu czynników

81
00:03:03,917 --> 00:03:05,712
stopnia tylko pierwszego

82
00:03:05,868 --> 00:03:07,442
ponieważ trójmiany kwadratowe

83
00:03:07,542 --> 00:03:10,152
o ujemnej delcie są nierozkładalne.

84
00:03:10,676 --> 00:03:12,509
W przypadku funkcji kwadratowych

85
00:03:12,509 --> 00:03:14,151
liczyliśmy deltę, a następnie

86
00:03:14,151 --> 00:03:16,472
podstawialiśmy ją do wzoru na pierwiastki

87
00:03:16,572 --> 00:03:18,700
otrzymując postać iloczynową.

88
00:03:18,968 --> 00:03:20,966
Wielomiany wysokiego stopnia, powyżej

89
00:03:20,966 --> 00:03:23,276
czwartego nie posiadają takich gotowych

90
00:03:23,276 --> 00:03:25,926
wzorów, dlatego w tej playliście pokażę Ci

91
00:03:26,026 --> 00:03:27,927
kilka metod pozwalających doprowadzać

92
00:03:28,027 --> 00:03:30,320
wielomiany do postaci iloczynowej.

93
00:03:30,432 --> 00:03:32,679
Schrup orzeszka, a za chwilę rozwiążemy

94
00:03:32,779 --> 00:03:34,984
nieco bardziej złożone przykłady.

95
00:03:37,244 --> 00:03:39,492
Rozwiążmy teraz taki przykład.

96
00:03:39,648 --> 00:03:42,432
W nawiasie x kwadrat dodać 2 razy

97
00:03:42,432 --> 00:03:45,892
w nawiasie x kwadrat dodać 1 równa się 0.

98
00:03:46,048 --> 00:03:48,196
Postępujemy podobnie jak poprzednio.

99
00:03:48,352 --> 00:03:50,350
Nasz x musi spełniać równanie

100
00:03:50,450 --> 00:03:52,548
x kwadrat dodać 2 równa się 0

101
00:03:52,860 --> 00:03:55,820
lub x kwadrat dodać 1 równa się 0.

102
00:03:56,288 --> 00:03:58,024
Zajmijmy się pierwszym z nich.

103
00:03:58,236 --> 00:04:00,193
Przenosimy dwójkę na prawą stronę

104
00:04:00,293 --> 00:04:03,044
i otrzymujemy x kwadrat równa się –2.

105
00:04:03,682 --> 00:04:05,394
Jaka liczba podniesiona

106
00:04:05,494 --> 00:04:07,852
do potęgi drugiej da nam –2?

107
00:04:08,546 --> 00:04:10,408
To było nieco podchwytliwe pytanie

108
00:04:10,408 --> 00:04:12,160
ponieważ taka liczba nie istnieje.

109
00:04:12,316 --> 00:04:14,528
Cokolwiek podniesione do potęgi drugiej

110
00:04:14,628 --> 00:04:16,100
da nam liczbę nieujemną.

111
00:04:16,256 --> 00:04:17,891
Możemy zatem napisać

112
00:04:18,047 --> 00:04:20,295
że x należy do zbioru pustego.

113
00:04:20,507 --> 00:04:22,143
A co z drugim równaniem?

114
00:04:22,399 --> 00:04:25,040
Jeśli jedynkę przeniesiemy na prawą stronę

115
00:04:25,140 --> 00:04:27,819
to otrzymamy x kwadrat równa się –1.

116
00:04:28,187 --> 00:04:30,126
Ponownie po prawej stronie mamy liczbę

117
00:04:30,126 --> 00:04:32,239
ujemną dlatego znowu x należy

118
00:04:32,239 --> 00:04:33,551
do zbioru pustego.

119
00:04:33,819 --> 00:04:35,808
Skoro żaden z czynników tego równania

120
00:04:35,908 --> 00:04:37,091
nie może być zerem

121
00:04:37,247 --> 00:04:39,395
to ono samo nie ma rozwiązań

122
00:04:39,551 --> 00:04:42,155
czyli x należy do zbioru pustego.

123
00:04:42,679 --> 00:04:43,987
Kolejny przykład:

124
00:04:43,987 --> 00:04:47,368
w nawiasie x do trzeciej dodać 8 razy

125
00:04:47,368 --> 00:04:51,115
w nawiasie x kwadrat dodać 3 równa się 0.

126
00:04:51,327 --> 00:04:54,287
Zatrzymaj film i rozwiąż go samodzielnie.

127
00:04:57,271 --> 00:04:59,476
To równanie będzie spełnione jeśli

128
00:04:59,476 --> 00:05:02,584
x do trzeciej dodać 8 będzie równe zeru

129
00:05:02,683 --> 00:05:04,437
lub kiedy x kwadrat dodać 3

130
00:05:04,437 --> 00:05:05,607
będzie równe zeru.

131
00:05:05,819 --> 00:05:07,372
Zacznijmy od tego wyrażenia

132
00:05:07,472 --> 00:05:09,603
i przenieśmy ósemkę na prawą stronę.

133
00:05:09,759 --> 00:05:12,519
Mamy x do trzeciej równa się –8.

134
00:05:12,831 --> 00:05:14,896
Zatem x równa się –2

135
00:05:14,896 --> 00:05:17,895
bo –2 do potęgi trzeciej daje –8.

136
00:05:18,107 --> 00:05:19,974
Przechodzimy do drugiego wyrażenia

137
00:05:20,074 --> 00:05:22,441
i przenosimy trójkę na prawą stronę

138
00:05:22,540 --> 00:05:25,475
otrzymując x kwadrat równa się –3.

139
00:05:25,631 --> 00:05:27,491
Podobnie jak w poprzednim przykładzie

140
00:05:27,491 --> 00:05:29,514
otrzymujemy sprzeczność, ponieważ nie ma

141
00:05:29,514 --> 00:05:31,308
takiej liczby, która po podniesieniu

142
00:05:31,308 --> 00:05:32,999
do kwadratu będzie ujemna.

143
00:05:33,367 --> 00:05:35,815
x należy zatem do zbioru pustego.

144
00:05:36,639 --> 00:05:39,461
To równanie ma tylko jedno rozwiązanie

145
00:05:39,561 --> 00:05:41,491
a mianowicie –2.

146
00:05:42,015 --> 00:05:44,124
Zwróć uwagę na stopnie wielomianów

147
00:05:44,124 --> 00:05:45,251
w równaniach.

148
00:05:45,361 --> 00:05:47,517
Aby je obliczyć, wystarczy dodać do siebie

149
00:05:47,617 --> 00:05:50,507
najwyższe potęgi x z każdego z nawiasów.

150
00:05:50,931 --> 00:05:53,124
W pierwszym przypadku dostajemy wielomian

151
00:05:53,224 --> 00:05:55,683
stopnia 2 dodać 2, czyli czwartego.

152
00:05:55,839 --> 00:05:57,739
Jest to wielomian stopnia parzystego.

153
00:05:57,839 --> 00:05:59,507
W naszym przypadku nie posiada on

154
00:05:59,537 --> 00:06:00,663
żadnych pierwiastków

155
00:06:00,763 --> 00:06:03,207
bo takie wielomiany nie muszą ich mieć.

156
00:06:03,519 --> 00:06:05,840
Na pewno ich nie mają jeśli można je

157
00:06:05,840 --> 00:06:07,775
przedstawić tylko jako iloczyn

158
00:06:07,875 --> 00:06:10,731
nierozkładalnych wyrażeń stopnia drugiego.

159
00:06:11,195 --> 00:06:13,079
Wielomian w drugim przykładzie jest

160
00:06:13,079 --> 00:06:15,278
natomiast stopnia 3 dodać 2

161
00:06:15,278 --> 00:06:16,619
czyli piątego.

162
00:06:16,987 --> 00:06:18,823
Jako wielomian stopnia nieparzystego

163
00:06:18,923 --> 00:06:21,283
musi posiadać co najmniej 1 pierwiastek.

164
00:06:21,439 --> 00:06:24,099
I tak właśnie jest. Znaleźliśmy go.

165
00:06:24,255 --> 00:06:25,851
Wielomian stopnia nieparzystego

166
00:06:25,851 --> 00:06:26,915
musi mieć pierwiastek

167
00:06:27,071 --> 00:06:28,741
ponieważ nie da się go rozłożyć

168
00:06:28,841 --> 00:06:31,311
na iloczyn wyrażeń o parzystym stopniu.

169
00:06:31,735 --> 00:06:33,526
Przy obliczaniu miejsc zerowych

170
00:06:33,526 --> 00:06:36,181
wielomianów, zwracaj uwagę na ich stopnie

171
00:06:36,181 --> 00:06:37,824
aby weryfikować poprawność

172
00:06:37,824 --> 00:06:39,191
swoich obliczeń.

173
00:06:42,617 --> 00:06:44,323
Ten przykład jest dla Ciebie.

174
00:06:44,479 --> 00:06:46,274
Zatrzymaj film i samodzielnie

175
00:06:46,274 --> 00:06:47,951
rozwiąż to równanie.

176
00:06:51,441 --> 00:06:52,837
Nasz iloczyn będzie zerem

177
00:06:52,837 --> 00:06:54,705
jeśli któryś z nawiasów będzie zerem.

178
00:06:54,805 --> 00:06:56,043
Zapiszmy to.

179
00:06:56,511 --> 00:06:57,635
W pierwszym wyrażeniu

180
00:06:57,735 --> 00:06:59,512
przenosimy jedynkę na prawą stronę

181
00:06:59,512 --> 00:07:01,817
i otrzymujemy, że nawias jest zerem wtedy

182
00:07:01,817 --> 00:07:03,423
kiedy x równa się 1.

183
00:07:03,679 --> 00:07:05,415
A co z drugim wyrażeniem?

184
00:07:05,627 --> 00:07:07,103
Tutaj musimy odwołać się

185
00:07:07,203 --> 00:07:09,155
do wiedzy z równań kwadratowych.

186
00:07:09,311 --> 00:07:11,414
Zachęcam Cię do obejrzenia odpowiedniej

187
00:07:11,414 --> 00:07:13,455
wideolekcji, jeśli chcesz przypomnieć

188
00:07:13,455 --> 00:07:14,731
sobie to zagadnie.

189
00:07:15,255 --> 00:07:17,547
Kiedy takie wyrażenie będzie równe zeru?

190
00:07:17,659 --> 00:07:20,224
Żeby się tego dowiedzieć musimy obliczyć

191
00:07:20,224 --> 00:07:22,211
wyróżnik trójmianu kwadratowego

192
00:07:22,367 --> 00:07:23,947
czyli potocznie deltę.

193
00:07:24,821 --> 00:07:27,328
Delta równa się 2 do kwadratu

194
00:07:27,428 --> 00:07:32,651
odjąć 4 razy 1 razy –2, a to daje 12.

195
00:07:33,105 --> 00:07:34,563
Pierwiastek z delty równa się

196
00:07:34,563 --> 00:07:35,932
pierwiastek z dwunastu

197
00:07:36,132 --> 00:07:38,283
czyli 2 razy pierwiastek z trzech.

198
00:07:38,907 --> 00:07:40,949
Następnie podstawiamy deltę do wzoru

199
00:07:40,949 --> 00:07:43,047
na pierwiastki równania kwadratowego.

200
00:07:43,359 --> 00:07:46,555
Pierwszy z nich równa się –2 odjąć

201
00:07:46,555 --> 00:07:48,835
2 pierwiastki z trzech podzielić przez 2

202
00:07:48,991 --> 00:07:50,335
a po skróceniu dwójek

203
00:07:50,435 --> 00:07:52,975
to –1 odjąć pierwiastek z trzech.

204
00:07:53,499 --> 00:07:55,788
Drugi pierwiastek liczymy z drugiego wzoru

205
00:07:55,888 --> 00:07:57,603
ale różni się on jedynie znakiem

206
00:07:57,603 --> 00:07:58,563
przy delcie.

207
00:07:58,719 --> 00:08:01,031
Więc x równa się –1 dodać

208
00:08:01,031 --> 00:08:02,647
pierwiastek z trzech.

209
00:08:02,815 --> 00:08:04,807
To równanie ma zatem 3 rozwiązania:

210
00:08:05,119 --> 00:08:08,213
1, –1 odjąć pierwiastek z trzech

211
00:08:08,843 --> 00:08:11,937
i –1 dodać pierwiastek z trzech.

212
00:08:14,953 --> 00:08:16,326
W ostatnim przykładzie

213
00:08:16,426 --> 00:08:17,997
wykorzystaj wszystkie metody

214
00:08:18,097 --> 00:08:19,636
które dotychczas ćwiczyliśmy

215
00:08:19,736 --> 00:08:21,291
i zrób go samodzielnie.

216
00:08:24,375 --> 00:08:26,157
Tak jak poprzednio musimy znaleźć

217
00:08:26,257 --> 00:08:27,757
zerowe wartości każdego

218
00:08:27,757 --> 00:08:29,127
z czynników iloczynu.

219
00:08:29,439 --> 00:08:31,431
Zaczynamy od pierwszego wyrażenia.

220
00:08:31,643 --> 00:08:33,658
Przenosimy dwójkę na prawą stronę

221
00:08:33,758 --> 00:08:36,295
i otrzymujemy x kwadrat równa się 2.

222
00:08:36,763 --> 00:08:38,349
Po wyciągnięciu pierwiastka

223
00:08:38,449 --> 00:08:40,135
otrzymujemy 2 rozwiązania:

224
00:08:40,447 --> 00:08:42,183
x równa się pierwiastek z dwóch

225
00:08:42,239 --> 00:08:44,843
lub x równa się minus pierwiastek z dwóch.

226
00:08:45,823 --> 00:08:47,418
W drugim wyrażeniu wystarczy

227
00:08:47,518 --> 00:08:49,507
przenieść piątkę na prawą stronę.

228
00:08:49,663 --> 00:08:52,523
Otrzymamy wtedy x równy –5.

229
00:08:53,247 --> 00:08:55,239
A co z ostatnim wyrażeniem?

230
00:08:55,551 --> 00:08:57,877
Tu należy obliczyć deltę, a następnie

231
00:08:57,877 --> 00:09:00,203
podstawić ją do wzoru na pierwiastki.

232
00:09:00,571 --> 00:09:02,051
Delta równa się

233
00:09:02,207 --> 00:09:05,749
–2 do kwadratu odjąć 4 razy 1

234
00:09:05,749 --> 00:09:08,551
razy 2, a to równa się –4.

235
00:09:08,863 --> 00:09:10,833
Okazuje się że delta jest ujemna

236
00:09:10,933 --> 00:09:13,671
więc to wyrażenie nigdy nie będzie zerem.

237
00:09:13,983 --> 00:09:16,843
Piszemy, że x należy do zbioru pustego.

238
00:09:17,311 --> 00:09:19,541
Podsumowując, nasze równanie

239
00:09:19,541 --> 00:09:20,895
ma 3 rozwiązania:

240
00:09:21,151 --> 00:09:23,765
pierwiastek z dwóch, minus pierwiastek

241
00:09:23,765 --> 00:09:25,803
z dwóch oraz –5.

242
00:09:26,071 --> 00:09:28,222
Jak widzisz, jeśli zapiszesz wielomian

243
00:09:28,222 --> 00:09:30,471
w postaci iloczynowej, to szukanie jego

244
00:09:30,471 --> 00:09:32,259
miejsc zerowych będzie prostsze

245
00:09:32,415 --> 00:09:34,035
i sprowadzi się do sprawdzania

246
00:09:34,135 --> 00:09:36,655
kiedy wyrażenia w nawiasach się zerują.

247
00:09:41,199 --> 00:09:43,581
Aby rozwiązać równanie wielomianowe

248
00:09:43,581 --> 00:09:45,115
należy doprowadzić je

249
00:09:45,115 --> 00:09:46,795
do postaci iloczynowej.

250
00:09:47,263 --> 00:09:49,438
Aby iloczyn był równy zeru

251
00:09:49,438 --> 00:09:52,171
któryś z czynników musi być zerem.

252
00:09:55,595 --> 00:09:56,640
Ta playlista opowiada

253
00:09:56,640 --> 00:09:58,364
o równaniach wielomianowych.

254
00:09:58,414 --> 00:10:00,073
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej

255
00:10:00,073 --> 00:10:02,322
na ten temat to zachęcam Cię do obejrzenia

256
00:10:02,422 --> 00:10:04,170
naszej innej playlisty

257
00:10:04,170 --> 00:10:06,630
na temat wielomianów.