1
00:00:00,156 --> 00:00:02,609
Czy wiesz, że bez szyfrowania informacji

2
00:00:02,609 --> 00:00:04,130
można by stracić wszystkie

3
00:00:04,130 --> 00:00:05,476
oszczędności na koncie?

4
00:00:05,632 --> 00:00:07,316
Nic więc dziwnego, że matematycy

5
00:00:07,316 --> 00:00:08,988
wciąż szukają nowych sposobów

6
00:00:08,988 --> 00:00:10,084
szyfrowania danych.

7
00:00:10,240 --> 00:00:11,913
Do jednego z nich potrzebna jest

8
00:00:12,013 --> 00:00:13,996
znajomość szczególnych wielomianów

9
00:00:13,996 --> 00:00:16,784
zwanych wielomianami Viète'a — Lucasa.

10
00:00:28,074 --> 00:00:30,276
W tej lekcji pokażę Ci kolejne sposoby

11
00:00:30,276 --> 00:00:31,608
przekształcania wielomianów

12
00:00:31,608 --> 00:00:32,968
do postaci iloczynowej.

13
00:00:33,280 --> 00:00:35,528
Rozpocznijmy od takiego przykładu.

14
00:00:36,076 --> 00:00:38,265
Moglibyśmy pozbyć się nawiasów

15
00:00:38,265 --> 00:00:40,214
i zobaczyć, czy otrzymamy coś

16
00:00:40,214 --> 00:00:41,355
co można doprowadzić do

17
00:00:41,355 --> 00:00:42,740
postaci iloczynowej.

18
00:00:42,842 --> 00:00:44,578
Zróbmy jednak inaczej.

19
00:00:44,800 --> 00:00:46,694
Zauważ, że w obu składnikach

20
00:00:46,794 --> 00:00:49,096
występuje x dodać 2 w nawiasie.

21
00:00:49,408 --> 00:00:51,912
Wyciągnijmy to wyrażenie przed nawias.

22
00:00:52,224 --> 00:00:53,960
Co nam pozostanie w nawiasie?

23
00:00:54,272 --> 00:00:56,676
Z pierwszego składnika x kwadrat

24
00:00:56,832 --> 00:00:58,568
z drugiego natomiast 1.

25
00:00:58,880 --> 00:01:01,117
Zauważ, że jeśli pomnożylibyśmy oba

26
00:01:01,117 --> 00:01:03,250
te nawiasy to otrzymalibyśmy

27
00:01:03,250 --> 00:01:04,712
pierwotne wyrażenie.

28
00:01:05,180 --> 00:01:06,931
To jest iloczyn dwóch nawiasów

29
00:01:07,031 --> 00:01:09,192
ale możemy rozłożyć go jeszcze bardziej

30
00:01:09,292 --> 00:01:11,724
wykorzystując wzór skróconego mnożenia.

31
00:01:12,458 --> 00:01:15,876
W efekcie otrzymamy, że W od x równa się

32
00:01:16,032 --> 00:01:17,924
w nawiasie x dodać 2

33
00:01:18,080 --> 00:01:20,087
razy, w nawiasie x dodać 1

34
00:01:20,187 --> 00:01:22,732
i razy, w nawiasie x odjąć 1.

35
00:01:23,100 --> 00:01:26,316
I to jest odpowiedź do naszego zadania.

36
00:01:30,168 --> 00:01:32,211
Ten przykład jest dla Ciebie.

37
00:01:32,311 --> 00:01:34,164
Zatrzymaj film i samodzielnie

38
00:01:34,164 --> 00:01:35,842
rozwiąż to zadanie.

39
00:01:38,766 --> 00:01:40,571
Postępujemy jak poprzednio

40
00:01:40,671 --> 00:01:43,112
wyciągamy x odjąć 2 przed nawias.

41
00:01:43,424 --> 00:01:46,184
Pozostanie nam x kwadrat odjąć 4.

42
00:01:46,496 --> 00:01:49,256
Czwórkę możemy zapisać jako 2 do kwadratu.

43
00:01:49,568 --> 00:01:52,840
Teraz stosujemy wzór skróconego mnożenia.

44
00:01:53,232 --> 00:01:57,010
Otrzymujemy: W od x równa się w nawiasie

45
00:01:57,010 --> 00:01:59,908
x odjąć 2 razy w nawiasie x dodać 2

46
00:02:00,064 --> 00:02:02,412
i razy w nawiasie x odjąć 2.

47
00:02:03,086 --> 00:02:05,869
Zwróć uwagę, że x odjąć 2 występuje

48
00:02:05,869 --> 00:02:07,332
tutaj i tutaj.

49
00:02:07,488 --> 00:02:09,980
Dlatego możemy napisać, że W od x

50
00:02:09,980 --> 00:02:12,538
równa się, w nawiasie x odjąć 2

51
00:02:12,538 --> 00:02:15,880
do kwadratu, razy w nawiasie x dodać 2.

52
00:02:16,478 --> 00:02:18,246
W nawiasach otrzymaliśmy wyrażenie

53
00:02:18,246 --> 00:02:20,179
najniższego możliwego stopnia

54
00:02:20,179 --> 00:02:21,592
czyli pierwszego.

55
00:02:21,738 --> 00:02:23,219
Jest to zatem odpowiedź

56
00:02:23,219 --> 00:02:24,954
do naszego zadania.

57
00:02:28,234 --> 00:02:30,428
Poprzednie przykłady były całkiem proste.

58
00:02:30,584 --> 00:02:32,457
Teraz pokażę Ci typowe przykłady

59
00:02:32,457 --> 00:02:34,312
z którymi będziesz mieć do czynienia.

60
00:02:34,412 --> 00:02:36,780
Jeśli mamy 4 składniki, tak jak w tym

61
00:02:36,780 --> 00:02:38,797
przykładzie, to wystarczy połączyć

62
00:02:38,797 --> 00:02:39,852
je w pary.

63
00:02:40,000 --> 00:02:41,484
Z pierwszych dwóch wyrazów

64
00:02:41,584 --> 00:02:43,698
wyciągnijmy x kwadrat przed nawias.

65
00:02:43,948 --> 00:02:46,333
Mamy wtedy x kwadrat razy

66
00:02:46,333 --> 00:02:48,336
w nawiasie x dodać 3.

67
00:02:48,604 --> 00:02:50,396
Z kolejnych dwóch składników

68
00:02:50,496 --> 00:02:52,488
wyciągnijmy przed nawias 2.

69
00:02:52,700 --> 00:02:56,584
Otrzymamy: 2 razy, w nawiasie x dodać 3.

70
00:02:56,896 --> 00:02:59,044
Czy wiesz już co robić dalej?

71
00:02:59,200 --> 00:03:01,201
Zatrzymaj film i sprawdź się.

72
00:03:01,381 --> 00:03:03,760
Odpowiedź poznasz za chwilę.

73
00:03:06,604 --> 00:03:09,284
Wyciągamy x dodać 3 przed nawias

74
00:03:09,440 --> 00:03:12,300
i zostaje nam x kwadrat dodać 2.

75
00:03:12,668 --> 00:03:14,048
Czy jest to koniec?

76
00:03:14,304 --> 00:03:16,321
Nie, musimy jeszcze sprawdzić

77
00:03:16,421 --> 00:03:19,085
czy x kwadrat dodać 2 możemy rozłożyć

78
00:03:19,085 --> 00:03:21,038
na czynniki stopnia pierwszego.

79
00:03:21,214 --> 00:03:23,618
Obliczmy deltę, przy czym współczynnik

80
00:03:23,618 --> 00:03:25,256
przy x wynosi 0.

81
00:03:25,412 --> 00:03:26,948
Stąd delta równa się

82
00:03:27,104 --> 00:03:30,532
0 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 2

83
00:03:30,688 --> 00:03:32,324
a to jest mniejsze od zera.

84
00:03:32,660 --> 00:03:34,659
Wyrażenia x kwadrat dodać 2

85
00:03:34,659 --> 00:03:36,222
nie można więc przedstawić

86
00:03:36,222 --> 00:03:37,544
w postaci iloczynowej.

87
00:03:38,012 --> 00:03:39,492
To, co otrzymaliśmy

88
00:03:39,648 --> 00:03:41,640
jest rozwiązaniem naszego zadania.

89
00:03:42,178 --> 00:03:43,770
Metoda, której użyliśmy

90
00:03:43,770 --> 00:03:45,892
nosi nazwę grupowania wyrazów.

91
00:03:46,048 --> 00:03:47,272
Na czym polega?

92
00:03:47,484 --> 00:03:49,261
Na doprowadzaniu naszego wielomianu

93
00:03:49,361 --> 00:03:51,721
do postaci iloczynowej dzięki dostrzeżeniu

94
00:03:51,821 --> 00:03:54,128
w składnikach jednakowych czynników.

95
00:03:54,496 --> 00:03:56,388
Ten sposób jest bardzo użyteczny

96
00:03:56,544 --> 00:03:58,892
dlatego warto go przećwiczyć.

97
00:04:02,306 --> 00:04:04,480
Kontynuujemy rozkładanie wielomianów.

98
00:04:04,736 --> 00:04:07,340
Rozwiąż ten przykład samodzielnie.

99
00:04:10,504 --> 00:04:12,088
Z pierwszych dwóch składników

100
00:04:12,188 --> 00:04:14,052
możemy wyciągnąć x do trzeciej.

101
00:04:14,208 --> 00:04:15,076
Zróbmy to.

102
00:04:15,422 --> 00:04:17,736
W nawiasie zostanie nam x odjąć 2.

103
00:04:17,947 --> 00:04:19,839
Z kolejnych dwóch składników

104
00:04:20,095 --> 00:04:22,855
wyciągnijmy –9x przed nawias.

105
00:04:23,067 --> 00:04:25,927
W nawiasie też zostanie nam x odjąć 2.

106
00:04:26,299 --> 00:04:28,468
Teraz widzimy, że wspólnym czynnikiem

107
00:04:28,568 --> 00:04:30,797
który możemy wyciągnąć przed nawias

108
00:04:30,897 --> 00:04:33,251
jest wyrażenie x odjąć 2.

109
00:04:33,407 --> 00:04:35,555
Co nam zostanie jako drugi czynnik?

110
00:04:35,711 --> 00:04:38,215
x do trzeciej odjąć 9x.

111
00:04:38,527 --> 00:04:39,239
Co dalej?

112
00:04:39,791 --> 00:04:42,723
Z tego nawiasu możemy wyciągnąć x

113
00:04:42,879 --> 00:04:45,639
i zostanie nam x kwadrat odjąć 9.

114
00:04:45,951 --> 00:04:48,555
Zastosujmy wzór skróconego mnożenia.

115
00:04:48,923 --> 00:04:50,559
Na końcu otrzymujemy:

116
00:04:50,815 --> 00:04:54,356
W od x równa się x, razy w nawiasie

117
00:04:54,356 --> 00:04:55,267
x odjąć 2

118
00:04:55,423 --> 00:04:57,571
razy, w nawiasie x dodać 3

119
00:04:57,727 --> 00:05:00,331
i razy, w nawiasie x odjąć 3.

120
00:05:00,849 --> 00:05:02,961
Każdy czynnik ma stopień 1

121
00:05:03,271 --> 00:05:05,607
zatem jest to koniec naszego zadania.

122
00:05:05,919 --> 00:05:07,563
Schrup orzeszka, a po przerwie

123
00:05:07,663 --> 00:05:10,059
poznasz ostatni przykład z tej lekcji.

124
00:05:13,453 --> 00:05:16,011
W tym przykładzie wielomian W od x

125
00:05:16,111 --> 00:05:18,151
ma aż 6 składników!

126
00:05:18,653 --> 00:05:20,580
Zrób to zadanie samodzielnie

127
00:05:20,580 --> 00:05:23,271
wykorzystując metodę grupowania wyrazów.

128
00:05:26,655 --> 00:05:28,388
Z pierwszych trzech składników

129
00:05:28,488 --> 00:05:30,083
wyciągnijmy x do trzeciej.

130
00:05:30,489 --> 00:05:32,271
W nawiasie pozostanie nam:

131
00:05:32,287 --> 00:05:35,047
x kwadrat dodać x dodać 1.

132
00:05:35,415 --> 00:05:37,526
Z kolejnych trzech składników

133
00:05:37,626 --> 00:05:39,299
możemy wyciągnąć dwójkę.

134
00:05:39,455 --> 00:05:41,095
Wtedy w nawiasie również mamy

135
00:05:41,195 --> 00:05:43,239
x kwadrat dodać x dodać 1.

136
00:05:43,551 --> 00:05:45,187
Już widzisz, do czego zmierzamy?

137
00:05:45,343 --> 00:05:46,798
Wyciągnijmy x kwadrat

138
00:05:46,898 --> 00:05:49,027
dodać x dodać 1 przed nawias.

139
00:05:49,183 --> 00:05:51,687
Pozostanie nam x do trzeciej dodać 2.

140
00:05:51,899 --> 00:05:54,205
Teraz trzeba sprawdzić czy to

141
00:05:54,205 --> 00:05:56,243
co znajduje się w pierwszym nawiasie

142
00:05:56,243 --> 00:05:58,443
możemy jeszcze rozłożyć na czynniki.

143
00:05:58,911 --> 00:06:00,135
Liczymy deltę.

144
00:06:00,447 --> 00:06:03,619
1 do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy 1

145
00:06:03,775 --> 00:06:05,411
a to jest mniejsze od zera.

146
00:06:05,567 --> 00:06:08,057
Skoro delta jest ujemna, to tego nawiasu

147
00:06:08,057 --> 00:06:09,863
nie da się bardziej rozłożyć.

148
00:06:10,175 --> 00:06:11,499
Popatrzmy na drugi.

149
00:06:11,711 --> 00:06:14,048
Jest to wyrażenie stopnia trzeciego

150
00:06:14,048 --> 00:06:15,459
dlatego na pewno możemy

151
00:06:15,459 --> 00:06:16,931
rozłożyć je na czynniki.

152
00:06:17,237 --> 00:06:18,921
Dwójkę zapiszmy jako pierwiastek

153
00:06:18,921 --> 00:06:20,597
trzeciego stopnia z dwóch

154
00:06:20,597 --> 00:06:21,795
do potęgi trzeciej.

155
00:06:21,951 --> 00:06:23,526
Wtedy możemy zastosować wzór

156
00:06:23,526 --> 00:06:25,991
skróconego mnożenia na sumę sześcianów.

157
00:06:26,213 --> 00:06:27,281
Mamy więc:

158
00:06:27,327 --> 00:06:29,978
W od x równa się, w nawiasie x kwadrat

159
00:06:29,978 --> 00:06:33,221
dodać x dodać 1, razy w nawiasie x dodać

160
00:06:33,221 --> 00:06:35,463
pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

161
00:06:35,675 --> 00:06:38,582
razy w nawiasie x kwadrat odjąć x

162
00:06:38,582 --> 00:06:40,995
razy pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

163
00:06:41,151 --> 00:06:42,935
dodać pierwiastek trzeciego stopnia

164
00:06:42,935 --> 00:06:44,523
z dwóch do kwadratu.

165
00:06:45,091 --> 00:06:47,395
Obliczmy jeszcze deltę tego wyrażenia.

166
00:06:47,841 --> 00:06:49,833
Pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

167
00:06:49,833 --> 00:06:52,941
do kwadratu odjąć 4 razy 1 razy

168
00:06:52,941 --> 00:06:54,791
pierwiastek trzeciego stopnia z dwóch

169
00:06:54,791 --> 00:06:57,991
do kwadratu, a to jest mniejsze od zera.

170
00:06:58,303 --> 00:07:00,752
Dlatego nie możemy rozbić tego wyrażenia

171
00:07:00,752 --> 00:07:03,011
na czynniki niższego stopnia.

172
00:07:03,167 --> 00:07:04,391
Koniec obliczeń.

173
00:07:04,703 --> 00:07:06,452
Metoda grupowania wyrazów

174
00:07:06,452 --> 00:07:08,121
opiera się w głównej mierze

175
00:07:08,121 --> 00:07:09,923
na intuicji i doświadczeniu.

176
00:07:10,079 --> 00:07:12,483
Wraz z liczbą rozwiązanych przykładów

177
00:07:12,639 --> 00:07:14,479
będziesz intuicyjnie wiedzieć

178
00:07:14,579 --> 00:07:16,523
co wyciągnąć przed nawias.

179
00:07:21,323 --> 00:07:23,423
Jedną z metod rozkładu wielomianu

180
00:07:23,423 --> 00:07:26,051
na czynniki, jest grupowanie wyrazów.

181
00:07:26,363 --> 00:07:28,636
Polega ona na wielokrotnym wyłączaniu

182
00:07:28,736 --> 00:07:31,115
przed nawias wspólnego czynnika.

183
00:07:35,679 --> 00:07:37,425
Jest to kolejny film z serii

184
00:07:37,425 --> 00:07:39,619
o rozkładaniu wielomianów na czynniki.

185
00:07:39,775 --> 00:07:42,143
Może ten temat pojawił się ostatnio

186
00:07:42,243 --> 00:07:43,715
na Twojej klasówce?

187
00:07:43,871 --> 00:07:44,895
Jak Ci poszło?

188
00:07:45,231 --> 00:07:46,946
Pochwal się tym w komentarzu

189
00:07:46,946 --> 00:07:48,713
i nie zapomnij zasubskrybować

190
00:07:48,713 --> 00:07:50,773
naszego kanału!