1
00:00:00,289 --> 00:00:02,817
Ciągi arytmetyczne to chleb powszedni 

2
00:00:02,917 --> 00:00:04,067
wielu sportowców.

3
00:00:04,167 --> 00:00:06,350
Przed ważnymi zawodami stopniowo 

4
00:00:06,450 --> 00:00:09,547
zwiększają oni swoje obciążenia treningowe tak,

5
00:00:09,647 --> 00:00:13,056
by w określonym dniu być w optymalnej formie.

6
00:00:13,189 --> 00:00:16,640
Jeśli półmaraton ma się odbyć za 3 miesiące,

7
00:00:16,740 --> 00:00:19,929
najlepiej założyć, że trenując co drugi dzień 

8
00:00:20,029 --> 00:00:22,040
należy wydłużyć dystans biegowy 

9
00:00:22,140 --> 00:00:24,320
za każdym razem o 500 metrów.

10
00:00:24,676 --> 00:00:26,895
Pamiętaj jednak, że nie każdy trening 

11
00:00:26,995 --> 00:00:29,160
musi być taki arytmetyczny.

12
00:00:40,122 --> 00:00:43,238
Wiesz już, że ciąg arytmetyczny wyraża się 

13
00:00:43,338 --> 00:00:46,299
wzorem ogólnym an równa się a1

14
00:00:46,399 --> 00:00:48,896
dodać w nawiasie n minus 1

15
00:00:48,996 --> 00:00:50,944
zamknąć nawias razy r.

16
00:00:51,146 --> 00:00:53,257
Przyglądając się temu wzorowi

17
00:00:53,357 --> 00:00:56,064
zapewne bez problemu możesz stwierdzić,

18
00:00:56,164 --> 00:00:59,046
że znając wyraz początkowy i różnicę ciągu 

19
00:00:59,146 --> 00:01:01,401
obliczysz dowolny wyraz ciągu.

20
00:01:01,501 --> 00:01:04,073
Jeśli jednak nie pamiętasz, jak to zrobić, 

21
00:01:04,173 --> 00:01:06,255
obejrzyj film pod tytułem 

22
00:01:06,355 --> 00:01:08,765
„Wzór ogólny ciągu – zadania”.

23
00:01:08,865 --> 00:01:10,532
W tym filmie pokażę ci,

24
00:01:10,632 --> 00:01:12,524
jak mając dane dwa wyrazy 

25
00:01:12,625 --> 00:01:15,968
ciągu arytmetycznego, ustalić jego wzór ogólny,

26
00:01:16,068 --> 00:01:19,147
to znaczy obliczyć wyraz początkowy i różnicę.

27
00:01:19,247 --> 00:01:21,152
Popatrzmy na takie zadanie.

28
00:01:21,252 --> 00:01:24,673
Ciąg arytmetyczny an jest określony wzorem

29
00:01:24,773 --> 00:01:28,064
an równa się minus 2n dodać 1.

30
00:01:28,164 --> 00:01:30,607
Jaki jest pierwszy wyraz tego ciągu 

31
00:01:30,707 --> 00:01:32,790
i ile wynosi jego różnica?

32
00:01:32,890 --> 00:01:35,272
Obliczmy najpierw pierwszy wyraz.

33
00:01:35,481 --> 00:01:38,048
W miejsce litery n wstawiamy 1.

34
00:01:38,379 --> 00:01:41,822
Otrzymujemy a1 równa się minus 2 razy 1 

35
00:01:41,922 --> 00:01:44,848
dodać 1, a to równa się minus 1.

36
00:01:44,993 --> 00:01:47,112
Pierwszym wyrazem naszego ciągu 

37
00:01:47,212 --> 00:01:49,296
jest więc liczba minus 1.

38
00:01:49,396 --> 00:01:52,640
Pozostaje nam jeszcze obliczenie różnicy ciągu.

39
00:01:52,765 --> 00:01:54,944
Masz jakiś pomysł, jak to zrobić?

40
00:01:58,291 --> 00:02:01,600
Sugeruje nam to już samo słowo różnica.

41
00:02:01,700 --> 00:02:04,160
A co od czego będziemy odejmować?

42
00:02:04,315 --> 00:02:06,834
Musimy wziąć dwa kolejne wyrazy

43
00:02:06,934 --> 00:02:09,542
i od wyrazu stojącego na dalszym miejscu 

44
00:02:09,642 --> 00:02:11,426
odjąć ten poprzedzający,

45
00:02:11,526 --> 00:02:14,656
czyli na przykład od wyrazu 5. odjąć 4.

46
00:02:14,756 --> 00:02:16,526
albo od czwartego trzeci 

47
00:02:16,626 --> 00:02:18,496
albo od drugiego pierwszy.

48
00:02:18,746 --> 00:02:20,884
My wybierzemy ten ostatni wariant, 

49
00:02:20,984 --> 00:02:23,194
bo pierwszy wyraz już znamy.

50
00:02:23,294 --> 00:02:27,171
Tak więc liczymy a2, czyli do wzoru w miejsce n

51
00:02:27,271 --> 00:02:29,849
wstawiamy dwójkę. Otrzymujemy:

52
00:02:29,949 --> 00:02:33,090
a2 równa się minus 2 razy 2 dodać 1, 

53
00:02:33,190 --> 00:02:37,170
a to równa się minus 4 dodać 1, czyli minus 3.

54
00:02:37,272 --> 00:02:41,024
Teraz obliczamy różnicę a2 odjąć a1.

55
00:02:41,203 --> 00:02:44,864
a2 odjąć a1 to minus 3 odjąć minus 1,

56
00:02:44,964 --> 00:02:48,650
a to równa się minus 3 dodać 1, czyli minus 2.

57
00:02:48,912 --> 00:02:50,496
Zapiszmy odpowiedź.

58
00:02:50,942 --> 00:02:54,411
Pierwszym wyrazem tego ciągu jest liczba -1,

59
00:02:54,511 --> 00:02:56,896
a różnicą jest liczba -2.

60
00:02:57,319 --> 00:02:59,456
Pobawmy się jeszcze tym zadaniem.

61
00:02:59,556 --> 00:03:02,120
Skoro ciąg an jest arytmetyczny,

62
00:03:02,220 --> 00:03:05,600
a1 to minus 1, a różnica to -2,

63
00:03:05,700 --> 00:03:08,371
to inna postać wzoru ogólnego tego ciągu 

64
00:03:08,471 --> 00:03:11,260
to an równa się minus 1 dodać

65
00:03:11,369 --> 00:03:14,499
w nawiasie n minus 1, zamykamy nawias,

66
00:03:14,599 --> 00:03:18,399
razy minus 2. Oba zapisy opisują ten sam ciąg.

67
00:03:18,526 --> 00:03:20,927
Aby przejść z tego wzoru do tego, 

68
00:03:21,027 --> 00:03:22,684
należy obliczyć pierwszy wyraz

69
00:03:22,793 --> 00:03:26,336
i różnicę oraz wstawić do znanej już formuły.

70
00:03:26,525 --> 00:03:28,644
Aby przejść z tego wzoru do tego,

71
00:03:28,744 --> 00:03:30,629
należy uprościć to wyrażenie 

72
00:03:30,729 --> 00:03:32,748
wykonując odpowiednie działania.

73
00:03:32,848 --> 00:03:35,983
Zauważ, że różnicę ciągu możemy obliczyć 

74
00:03:36,083 --> 00:03:39,243
nie znając wartości kolejnych wyrazów.

75
00:03:39,343 --> 00:03:43,112
Wiemy, że an równa się minus 2n dodać 1.

76
00:03:43,212 --> 00:03:45,024
Mamy to w treści zadania.

77
00:03:45,286 --> 00:03:47,469
Możemy spróbować za pomocą wzoru 

78
00:03:47,569 --> 00:03:50,332
obliczyć wyraz stojący po wyrazie n-tym.

79
00:03:50,432 --> 00:03:52,960
Jego pozycja to n plus jeden.

80
00:03:53,294 --> 00:03:55,468
W miejsce n wstawiamy do wzoru 

81
00:03:55,568 --> 00:03:58,141
wyrażenie n plus 1 i obliczamy.

82
00:03:58,340 --> 00:04:01,547
an plus 1 równa się minus 2 razy 

83
00:04:01,647 --> 00:04:03,168
w nawiasie n plus jeden

84
00:04:03,268 --> 00:04:05,504
zamykamy nawias dodać 1.

85
00:04:05,795 --> 00:04:08,006
Opuszczając nawias otrzymamy 

86
00:04:08,106 --> 00:04:10,778
minus 2n odjąć 2, dodać 1,

87
00:04:10,878 --> 00:04:13,696
a po dodaniu minus 2 n odjąć 1.

88
00:04:14,208 --> 00:04:17,217
Różnica ciągu, czyli r, równa się 

89
00:04:17,317 --> 00:04:19,156
a(n plus 1) odjąć an,

90
00:04:19,257 --> 00:04:21,404
czyli minus 2n odjąć 1

91
00:04:21,504 --> 00:04:24,855
odjąć w nawiasie -2n plus 1.

92
00:04:25,100 --> 00:04:27,618
Opuszczamy nawias zmieniając znaki 

93
00:04:27,718 --> 00:04:30,689
i otrzymujemy minus 2n odjąć 1

94
00:04:30,789 --> 00:04:34,067
dodać 2n odjąć 1, 2n się redukuje 

95
00:04:34,167 --> 00:04:35,879
i zostaje minus 2.

96
00:04:36,297 --> 00:04:38,770
Jak widzisz, tą metodą można obliczyć 

97
00:04:38,870 --> 00:04:40,854
różnicę ciągu, wykorzystując 

98
00:04:40,954 --> 00:04:42,837
jedynie wzór ogólny.

99
00:04:43,037 --> 00:04:44,927
Przejdźmy do innego zadania.

100
00:04:48,853 --> 00:04:51,715
Oblicz różnicę ciągu arytmetycznego, 

101
00:04:51,815 --> 00:04:53,917
w którym piąty wyraz wynosi 3, 

102
00:04:54,017 --> 00:04:55,728
a wyraz dziewiąty to 5.

103
00:04:55,828 --> 00:04:58,844
To zadanie da się rozwiązać dwiema metodami.

104
00:04:58,944 --> 00:05:02,182
Najpierw na logikę: przedstawmy nasz ciąg 

105
00:05:02,282 --> 00:05:05,470
na rysunku. Zaczniemy od miejsca piątego, 

106
00:05:05,570 --> 00:05:07,712
bo jego wartość znamy. To 3.

107
00:05:07,822 --> 00:05:09,759
Kolejny wyraz to a6.

108
00:05:09,859 --> 00:05:11,192
Jego wartości nie znamy,

109
00:05:11,292 --> 00:05:14,367
podobnie jak wartości a7 i a8.

110
00:05:14,698 --> 00:05:18,330
Wiemy za to, ile wynosi a9 – pięć.

111
00:05:18,493 --> 00:05:20,169
Aby otrzymać wyraz szósty, 

112
00:05:20,269 --> 00:05:22,932
należy do piątego dodać różnicę ciągu.

113
00:05:23,032 --> 00:05:26,143
Nie znamy jej, więc oznaczamy ją literą r.

114
00:05:26,483 --> 00:05:28,413
Podobnie wyraz siódmy otrzymujemy 

115
00:05:28,513 --> 00:05:31,103
dodając r do wartości wyrazu szóstego,

116
00:05:31,203 --> 00:05:34,079
a ósmy dodając wartość r do siódmego.

117
00:05:34,179 --> 00:05:38,020
I wreszcie, dodając r do a8 otrzymamy a9,

118
00:05:38,120 --> 00:05:42,435
czyli 5. Ile razy należy dodać tę samą liczbę 

119
00:05:42,536 --> 00:05:45,344
do a5, aby otrzymać a9?

120
00:05:45,444 --> 00:05:46,623
4 razy.

121
00:05:46,748 --> 00:05:47,903
Zapiszmy to.

122
00:05:48,170 --> 00:05:51,848
a5 dodać 4r równa się a9.

123
00:05:52,365 --> 00:05:55,583
a5 to 3, a9 to 5.

124
00:05:56,052 --> 00:05:58,911
3 dodać 4r równa się 5.

125
00:05:59,096 --> 00:06:01,727
Otrzymaliśmy równanie z niewiadomą r.

126
00:06:01,827 --> 00:06:03,519
Rozwiąż je samodzielnie.

127
00:06:06,995 --> 00:06:09,731
Najpierw od obu stron odejmę 3, 

128
00:06:09,831 --> 00:06:12,475
otrzymując 4r równa się 2.

129
00:06:12,575 --> 00:06:14,568
Teraz to równanie dzielę obustronnie 

130
00:06:14,668 --> 00:06:18,490
przez 4 i otrzymuję, że r równa się 1/2.

131
00:06:18,590 --> 00:06:20,671
Tej różnicy poszukiwaliśmy.

132
00:06:20,792 --> 00:06:22,214
Możemy zapisać odpowiedź.

133
00:06:22,468 --> 00:06:25,279
Różnica tego ciągu to 1/2.

134
00:06:25,439 --> 00:06:27,885
Możemy jeszcze wykonać sprawdzenie, 

135
00:06:27,985 --> 00:06:30,421
aby upewnić się, że ten wynik i ta metoda 

136
00:06:30,521 --> 00:06:32,378
są poprawne. Zobacz:

137
00:06:32,478 --> 00:06:36,799
jeżeli do liczby 3 dodamy 1/2, otrzymamy 3 1/2.

138
00:06:36,962 --> 00:06:40,290
Jeżeli do tej liczby dodamy jedną drugą, 

139
00:06:40,390 --> 00:06:43,966
otrzymamy 4. 4 dodać jedna druga to 4 i 1/2.

140
00:06:44,067 --> 00:06:47,124
Jeżeli do tej liczby dodamy jedną drugą, 

141
00:06:47,224 --> 00:06:50,585
otrzymamy 5. Widzisz, że wszystko się zgadza.

142
00:06:51,737 --> 00:06:54,207
Pokażę ci teraz inny sposób.

143
00:06:54,307 --> 00:06:56,810
Dowolny ciąg arytmetyczny można opisać 

144
00:06:56,910 --> 00:06:59,736
wzorem an równa się a1 dodać 

145
00:06:59,836 --> 00:07:01,557
w nawiasie n minus jeden, 

146
00:07:01,657 --> 00:07:03,241
zamykamy nawias, razy r.

147
00:07:03,396 --> 00:07:04,959
Wstawmy do niego to, 

148
00:07:05,059 --> 00:07:07,006
co wiemy z treści zadania.

149
00:07:07,246 --> 00:07:11,023
Skoro a5 równa się 3, to wstawiając do wzoru 

150
00:07:11,123 --> 00:07:14,176
w miejsce litery n liczbę 5 otrzymamy 3.

151
00:07:14,276 --> 00:07:18,017
3 równa się a1 dodać w nawiasie 5 minus 1,

152
00:07:18,117 --> 00:07:20,063
zamykamy nawias, razy r.

153
00:07:20,254 --> 00:07:23,742
Podobnie skoro a9 równa się 5,

154
00:07:23,842 --> 00:07:25,826
to wstawiając do tego wzoru 

155
00:07:25,926 --> 00:07:27,936
w miejsce litery n liczbę 9,

156
00:07:28,036 --> 00:07:29,535
otrzymamy 5.

157
00:07:29,902 --> 00:07:32,805
5 równa się a1 dodać w nawiasie

158
00:07:32,905 --> 00:07:36,190
9 odjąć 1, zamykamy nawias, razy r.

159
00:07:36,471 --> 00:07:39,342
Zobacz: powstał nam układ dwóch równań

160
00:07:39,442 --> 00:07:40,799
z dwiema niewiadomymi.

161
00:07:40,899 --> 00:07:42,847
Rozwiąż go samodzielnie.

162
00:07:46,118 --> 00:07:48,735
Można to zrobić na kilka sposobów.

163
00:07:48,835 --> 00:07:50,197
Ja wykorzystam metodę

164
00:07:50,297 --> 00:07:52,062
przeciwnych współczynników.

165
00:07:52,287 --> 00:07:54,623
Najpierw uproszczę oba równania.

166
00:07:54,950 --> 00:07:58,501
Otrzymam 3 równa się a1 dodać 4r

167
00:07:58,601 --> 00:08:01,791
oraz 5 równa się a1 dodać 8r.

168
00:08:02,061 --> 00:08:03,874
Najłatwiej będzie otrzymać 

169
00:08:03,974 --> 00:08:06,961
przeciwne współczynniki przy niewiadomej a1.

170
00:08:07,062 --> 00:08:10,046
Wystarczy, że jedno z naszych równań 

171
00:08:10,146 --> 00:08:11,490
pomnożę przez -1,

172
00:08:11,591 --> 00:08:13,823
na przykład pierwsze równanie.

173
00:08:17,299 --> 00:08:20,290
Otrzymam wtedy minus 3 równa się 

174
00:08:20,390 --> 00:08:21,999
minus a1 odjąć 4r.

175
00:08:22,100 --> 00:08:24,063
Drugie równanie przepisuję.

176
00:08:24,718 --> 00:08:27,526
Teraz dodajemy równania stronami,

177
00:08:27,626 --> 00:08:30,463
otrzymując po lewej minus 3 dodać 5,

178
00:08:30,563 --> 00:08:34,047
a po prawej minus 4r dodać 8r.

179
00:08:34,147 --> 00:08:36,808
Po uproszczeniu obu stron otrzymujemy 

180
00:08:36,908 --> 00:08:38,142
że 2 równa się 4r.

181
00:08:38,379 --> 00:08:40,843
Teraz to równanie dzielimy obustronnie 

182
00:08:40,943 --> 00:08:44,031
przez 4 i otrzymujemy... zgadnij, ile?

183
00:08:44,312 --> 00:08:46,505
1/2, czyli taki sam wynik, 

184
00:08:46,605 --> 00:08:48,382
jak poprzednią metodą.

185
00:08:48,483 --> 00:08:50,065
To od ciebie zależy, którą wybierzesz

186
00:08:50,165 --> 00:08:53,503
rozwiązując konkretne zadanie.

187
00:08:53,603 --> 00:08:55,950
My wykonaliśmy już wszystkie zadania

188
00:08:56,050 --> 00:08:57,598
w tej lekcji. Gratuluję.

189
00:09:01,470 --> 00:09:04,631
Znając wartości dwóch dowolnych wyrazów 

190
00:09:04,731 --> 00:09:07,364
ciągu arytmetycznego i numery pozycji, 

191
00:09:07,464 --> 00:09:10,391
na których stoją te wyrazy, możemy wyznaczyć

192
00:09:10,491 --> 00:09:13,262
różnicę tego ciągu i jego pierwszy wyraz.

193
00:09:13,364 --> 00:09:16,045
Aby to zrobić, ułóż układ równań, 

194
00:09:16,145 --> 00:09:19,258
stosując wzór ogólny  lub ułóż równanie 

195
00:09:19,358 --> 00:09:22,440
z wyrazów i odpowiedniej liczby różnic.

196
00:09:25,558 --> 00:09:28,338
Ta playlista dotyczy ciągu arytmetycznego.

197
00:09:28,438 --> 00:09:30,286
Jeśli chcesz być na bieżąco 

198
00:09:30,386 --> 00:09:33,185
z nowym materiałem, zasubskrybuj kanał.