1
00:00:00,156 --> 00:00:02,382
Z ciągami liczbowymi możemy często

2
00:00:02,482 --> 00:00:04,708
spotykać się w kulturze popularnej.

3
00:00:04,864 --> 00:00:07,386
W serialu „Fringe: Na granicy światów”

4
00:00:07,486 --> 00:00:10,561
agentka FBI wraz z genialnym naukowcem

5
00:00:10,561 --> 00:00:12,388
Walterem i jego synem

6
00:00:12,544 --> 00:00:14,670
tworzą zespół prowadzący śledztwa

7
00:00:14,770 --> 00:00:17,086
dotyczące serii zagadkowych zdarzeń.

8
00:00:17,408 --> 00:00:20,836
Walter, aby zasnąć, zamiast liczenia owiec

9
00:00:20,992 --> 00:00:23,852
cytuje kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego.

10
00:00:36,246 --> 00:00:38,004
Wiesz już, że ciągi możemy

11
00:00:38,004 --> 00:00:39,154
opisywać wzorami.

12
00:00:39,254 --> 00:00:41,268
Spójrz zatem na ciąg an

13
00:00:41,368 --> 00:00:43,408
opisany wzorem n do kwadratu.

14
00:00:43,520 --> 00:00:46,286
Ten ciąg jest rosnący, malejący

15
00:00:46,386 --> 00:00:49,152
stały, nierosnący czy niemalejący?

16
00:00:49,408 --> 00:00:51,400
A może jest niemonotoniczny?

17
00:00:51,712 --> 00:00:53,080
Jak to sprawdzić?

18
00:00:53,248 --> 00:00:55,110
Wypiszmy kilka początkowych

19
00:00:55,110 --> 00:00:56,420
wyrazów tego ciągu.

20
00:00:56,576 --> 00:00:58,446
Pierwszym wyrazem ciągu an

21
00:00:58,446 --> 00:01:00,416
jest 1 do kwadratu, czyli 1.

22
00:01:00,672 --> 00:01:02,820
Drugim 2 do kwadratu, czyli 4.

23
00:01:02,976 --> 00:01:05,224
Trzecim 3 do kwadratu, czyli 9.

24
00:01:05,436 --> 00:01:08,708
Czwarty wyraz to 4 do kwadratu, czyli 16.

25
00:01:08,864 --> 00:01:10,641
Moglibyśmy oczywiście robić tak

26
00:01:10,741 --> 00:01:13,616
w nieskończoność, ale tyle nam wystarczy.

27
00:01:13,728 --> 00:01:15,052
Co obserwujemy?

28
00:01:15,320 --> 00:01:17,488
Każdy kolejny wyraz jest większy

29
00:01:17,488 --> 00:01:18,436
niż poprzedni.

30
00:01:18,848 --> 00:01:22,476
Spójrz na wzór tego ciągu — n do kwadratu.

31
00:01:22,918 --> 00:01:25,345
Pamiętaj, że n oznacza numery miejsc

32
00:01:25,345 --> 00:01:27,416
wyrazów ciągu, czyli w miejsce n

33
00:01:27,416 --> 00:01:29,166
możemy wstawiać kolejne dodatnie

34
00:01:29,166 --> 00:01:30,513
liczby naturalne.

35
00:01:30,780 --> 00:01:32,918
Zasada tworzenia kolejnych wyrazów

36
00:01:32,918 --> 00:01:34,486
polega na podnoszeniu kolejnych

37
00:01:34,486 --> 00:01:36,912
dodatnich liczb naturalnych do kwadratu.

38
00:01:37,024 --> 00:01:38,612
Logiczne jest zatem

39
00:01:38,612 --> 00:01:40,536
że każdy kolejny wyraz w tym ciągu

40
00:01:40,536 --> 00:01:42,344
jest większy niż poprzedni.

41
00:01:42,656 --> 00:01:45,160
Ciąg an jest zatem rosnący.

42
00:01:45,472 --> 00:01:47,510
Spójrz teraz na ciąg bn

43
00:01:47,510 --> 00:01:50,386
opisany wzorem n minus 3 w nawiasie

44
00:01:50,386 --> 00:01:51,504
do kwadratu.

45
00:01:51,616 --> 00:01:53,079
Wypisz samodzielnie kilka

46
00:01:53,179 --> 00:01:55,344
pierwszych wyrazów tego ciągu.

47
00:01:58,784 --> 00:02:00,431
Pierwszy wyraz to 4

48
00:02:00,531 --> 00:02:02,624
drugi to 1, trzeci to 0.

49
00:02:03,090 --> 00:02:05,584
Co możemy zaobserwować do tego momentu?

50
00:02:05,952 --> 00:02:07,956
Każdy kolejny wyraz do tego momentu

51
00:02:07,956 --> 00:02:09,736
jest mniejszy niż poprzedni.

52
00:02:10,048 --> 00:02:11,984
Do tego miejsca ciąg maleje.

53
00:02:12,352 --> 00:02:13,676
A co się dzieje dalej?

54
00:02:14,144 --> 00:02:15,624
Czwarty wyraz to 1.

55
00:02:15,836 --> 00:02:17,416
Piąty to 4.

56
00:02:17,628 --> 00:02:18,896
Szósty to 9.

57
00:02:19,008 --> 00:02:20,288
Siódmy to 16.

58
00:02:20,600 --> 00:02:23,271
Od czwartego wyrazu każdy kolejny wyraz

59
00:02:23,271 --> 00:02:25,040
jest większy niż poprzedni.

60
00:02:25,152 --> 00:02:27,779
Oznacza to, że od czwartego miejsca

61
00:02:27,779 --> 00:02:28,850
ciąg rośnie.

62
00:02:28,992 --> 00:02:31,223
Badając monotoniczność ciągu

63
00:02:31,223 --> 00:02:32,813
wypisując kolejne wyrazy

64
00:02:32,813 --> 00:02:34,568
musimy mieć się na baczności.

65
00:02:34,780 --> 00:02:36,695
Ten ciąg najpierw maleje

66
00:02:36,695 --> 00:02:38,052
a później rośnie.

67
00:02:38,208 --> 00:02:40,756
Jest zatem niemonotoniczny.

68
00:02:45,020 --> 00:02:47,518
Wiemy, że ciąg jest rosnący

69
00:02:47,518 --> 00:02:48,881
gdy każdy kolejny wyraz

70
00:02:48,881 --> 00:02:50,596
jest większy niż poprzedni.

71
00:02:50,752 --> 00:02:52,844
Jak to zapisać w języku matematyki?

72
00:02:53,312 --> 00:02:55,999
Ciąg jest rosnący, gdy an plus 1

73
00:02:55,999 --> 00:02:57,808
jest większe niż an.

74
00:02:58,176 --> 00:03:01,041
Skoro an plus 1 jest większe niż an

75
00:03:01,141 --> 00:03:03,824
to różnica an plus 1 i an

76
00:03:03,824 --> 00:03:05,598
będzie zawsze dodatnia.

77
00:03:05,712 --> 00:03:07,136
Skąd to wiemy?

78
00:03:07,136 --> 00:03:09,896
Wystarczy an przenieść na drugą stronę.

79
00:03:10,264 --> 00:03:11,594
Przypomnijmy sobie teraz

80
00:03:11,694 --> 00:03:13,124
kiedy ciąg jest malejący.

81
00:03:13,336 --> 00:03:15,546
Ciąg jest malejący, gdy każdy kolejny

82
00:03:15,546 --> 00:03:17,686
wyraz jest mniejszy niż poprzedni.

83
00:03:17,888 --> 00:03:19,468
Zapisujemy to tak:

84
00:03:19,680 --> 00:03:22,540
an plus 1 jest mniejsze niż an.

85
00:03:22,908 --> 00:03:25,668
Skoro an plus 1 jest mniejsze niż an

86
00:03:25,824 --> 00:03:28,456
to różnica an plus 1 i an będzie

87
00:03:28,456 --> 00:03:29,868
zawsze ujemna.

88
00:03:30,060 --> 00:03:31,912
A kiedy ciąg jest stały?

89
00:03:32,254 --> 00:03:34,355
Wtedy, gdy każdy kolejny wyraz

90
00:03:34,355 --> 00:03:36,346
jest taki sam jak poprzedni

91
00:03:36,346 --> 00:03:38,898
czyli an plus 1 równa się an.

92
00:03:39,136 --> 00:03:41,487
Oznacza to, że odejmując kolejny wyraz

93
00:03:41,587 --> 00:03:44,044
od poprzedniego, otrzymamy zawsze 0.

94
00:03:44,256 --> 00:03:46,157
A co z ciągami niemalejącymi

95
00:03:46,157 --> 00:03:47,528
i nierosnącymi?

96
00:03:47,840 --> 00:03:50,384
Ciąg jest niemalejący, gdy każdy kolejny

97
00:03:50,384 --> 00:03:52,231
wyraz jest większy niż poprzedni

98
00:03:52,331 --> 00:03:53,928
lub taki sam jak poprzedni.

99
00:03:54,140 --> 00:03:55,464
Zapisujemy to tak:

100
00:03:55,776 --> 00:03:59,048
an plus 1 jest większe bądź równe an.

101
00:03:59,360 --> 00:04:02,729
Skoro an plus 1 jest większe bądź równe an

102
00:04:02,829 --> 00:04:05,068
to różnica an plus 1 i an

103
00:04:05,168 --> 00:04:07,696
będzie zawsze większa lub równa zeru.

104
00:04:08,064 --> 00:04:10,730
Ciąg jest nierosnący, gdy każdy kolejny

105
00:04:10,730 --> 00:04:12,506
wyraz jest mniejszy niż poprzedni

106
00:04:12,506 --> 00:04:14,312
lub taki sam jak poprzedni.

107
00:04:14,398 --> 00:04:15,678
Zapisujemy to tak:

108
00:04:15,900 --> 00:04:19,271
an plus 1 jest mniejsze bądź równe an.

109
00:04:19,583 --> 00:04:22,274
Skoro an plus 1 jest mniejsze bądź równe

110
00:04:22,274 --> 00:04:25,230
an, to różnica an plus 1 i an

111
00:04:25,230 --> 00:04:27,719
będzie zawsze mniejsza lub równa zeru.

112
00:04:28,187 --> 00:04:31,562
Badanie różnicy między an plus 1 i an

113
00:04:31,562 --> 00:04:34,031
pozwala zatem określić, czy ciąg jest

114
00:04:34,031 --> 00:04:36,323
rosnący, malejący, stały

115
00:04:36,479 --> 00:04:38,727
nierosnący czy też niemalejący.

116
00:04:39,039 --> 00:04:40,203
Pokażę Ci jak to robić

117
00:04:40,303 --> 00:04:42,411
wykorzystując wzory ciągów.

118
00:04:46,327 --> 00:04:48,775
Weźmy na tapetę ciąg an równa się

119
00:04:48,775 --> 00:04:49,735
n plus 3.

120
00:04:50,047 --> 00:04:51,271
Czego potrzebujemy?

121
00:04:51,583 --> 00:04:53,931
Wzoru na an plus 1.

122
00:04:54,143 --> 00:04:56,310
W ciągu an w miejsce litery n

123
00:04:56,410 --> 00:04:59,207
wstawiamy w nawiasie wyrażenie n plus 1.

124
00:04:59,575 --> 00:05:01,902
Otrzymujemy w nawiasie n plus 1

125
00:05:02,002 --> 00:05:03,715
a poza nawiasem dodać 3

126
00:05:03,871 --> 00:05:05,551
czyli n plus 4.

127
00:05:06,175 --> 00:05:08,380
an plus 1 odjąć an

128
00:05:08,380 --> 00:05:10,138
to n plus 4 odjąć

129
00:05:10,138 --> 00:05:12,007
w nawiasie n plus 3

130
00:05:12,163 --> 00:05:14,731
czyli n plus 4 odjąć n odjąć 3

131
00:05:14,831 --> 00:05:16,203
a to wynosi 1.

132
00:05:16,415 --> 00:05:18,413
Różnica między kolejnymi wyrazami

133
00:05:18,513 --> 00:05:20,711
ciągu an jest liczbą dodatnią.

134
00:05:21,023 --> 00:05:22,347
Jaki z tego wniosek?

135
00:05:22,615 --> 00:05:24,295
Ciąg jest rosnący.

136
00:05:24,407 --> 00:05:26,875
Można to sprawdzić wypisując kilka

137
00:05:26,875 --> 00:05:28,947
kolejnych wyrazów tego ciągu.

138
00:05:29,215 --> 00:05:33,395
a1 to 4, a2 to 5, a3 to 6

139
00:05:33,395 --> 00:05:36,231
a4 to 7, a5 to 8.

140
00:05:36,343 --> 00:05:37,736
Za każdym razem otrzymujemy

141
00:05:37,836 --> 00:05:39,655
liczbę większą od poprzedniej.

142
00:05:39,967 --> 00:05:41,447
Wszystko się zgadza.

143
00:05:41,759 --> 00:05:43,851
Przejdźmy teraz do kolejnego przykładu.

144
00:05:44,063 --> 00:05:46,923
Ciąg an jest opisany wzorem n do kwadratu.

145
00:05:47,135 --> 00:05:48,659
Tym ciągiem zajmowaliśmy się

146
00:05:48,659 --> 00:05:49,895
na początku lekcji.

147
00:05:50,107 --> 00:05:52,198
Zbadamy teraz jego monotoniczność

148
00:05:52,298 --> 00:05:53,460
obliczając różnicę

149
00:05:53,560 --> 00:05:55,583
między kolejnymi wyrazami ciągu.

150
00:05:55,839 --> 00:05:59,367
Zaufaj mi, napotkamy coś intrygującego!

151
00:05:59,679 --> 00:06:02,795
Wyznaczmy najpierw wzór na an plus 1.

152
00:06:03,007 --> 00:06:04,943
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

153
00:06:08,439 --> 00:06:11,547
We wzorze na an w miejsce litery n

154
00:06:11,547 --> 00:06:14,215
wstawiamy w nawiasie wyrażenie n plus 1.

155
00:06:14,527 --> 00:06:16,669
Otrzymamy w nawiasie n plus 1

156
00:06:16,669 --> 00:06:18,351
i to podnosimy do kwadratu.

157
00:06:18,367 --> 00:06:20,938
Stosując wzór skróconego mnożenia

158
00:06:21,038 --> 00:06:24,811
otrzymamy n do kwadratu dodać 2n dodać 1.

159
00:06:25,023 --> 00:06:26,393
Teraz badamy różnicę

160
00:06:26,393 --> 00:06:28,551
między kolejnymi wyrazami ciągu.

161
00:06:28,863 --> 00:06:31,879
Od an plus 1 odejmujemy an.

162
00:06:32,191 --> 00:06:34,766
Otrzymujemy n do kwadratu dodać 2n

163
00:06:34,866 --> 00:06:37,255
dodać 1 odjąć n do kwadratu.

164
00:06:37,467 --> 00:06:40,171
Zostanie nam 2n dodać 1.

165
00:06:40,383 --> 00:06:42,885
Zwróć uwagę, że nie mamy tutaj liczby

166
00:06:42,985 --> 00:06:45,191
a wyrażenie, które zależy od n.

167
00:06:45,503 --> 00:06:47,450
To jest ta intrygująca część

168
00:06:47,450 --> 00:06:48,769
o której mówiłem.

169
00:06:48,831 --> 00:06:50,629
Aby wytłumaczyć Ci to wyrażenie

170
00:06:50,729 --> 00:06:53,383
potrzebuję jego kilku pierwszych wartości.

171
00:06:53,751 --> 00:06:56,733
Obliczyliśmy, że an plus 1 odjąć an

172
00:06:56,833 --> 00:06:58,247
to 2n plus 1.

173
00:06:58,559 --> 00:07:00,475
Co się stanie, gdy do tego równania

174
00:07:00,475 --> 00:07:03,211
wstawię w miejsce litery n liczbę 1?

175
00:07:03,423 --> 00:07:05,480
Otrzymam a2 odjąć a1

176
00:07:05,580 --> 00:07:08,487
równa się 2 razy 1 dodać 1, czyli 3.

177
00:07:08,799 --> 00:07:10,914
Ten zapis mówi nam, że różnica między

178
00:07:10,914 --> 00:07:13,963
drugim, a pierwszym wyrazem wynosi 3.

179
00:07:14,175 --> 00:07:16,167
Widzimy, że rzeczywiście tak jest.

180
00:07:16,479 --> 00:07:18,349
Wstawmy teraz do tego równania

181
00:07:18,449 --> 00:07:20,519
w miejsce litery n liczbę 2.

182
00:07:20,831 --> 00:07:23,482
Otrzymamy a3 odjąć a2

183
00:07:23,482 --> 00:07:26,251
równa się 2 razy 2 plus 1, czyli 5.

184
00:07:26,719 --> 00:07:29,145
Ten zapis oznacza, że różnica między

185
00:07:29,145 --> 00:07:31,883
trzecim, a drugim wyrazem tego ciągu to 5.

186
00:07:32,195 --> 00:07:34,755
Trzeci wyraz to 9, drugi to 4.

187
00:07:34,911 --> 00:07:37,827
Różnica między tymi wyrazami wynosi 5.

188
00:07:37,983 --> 00:07:39,207
Znowu się zgadza.

189
00:07:39,579 --> 00:07:41,892
Wstaw teraz samodzielnie do tego równania

190
00:07:41,992 --> 00:07:43,971
w miejsce litery n liczbę 3

191
00:07:44,127 --> 00:07:46,575
oraz oblicz wartość tego wyrażenia.

192
00:07:50,327 --> 00:07:51,920
Wstawiając w tym równaniu

193
00:07:52,020 --> 00:07:55,179
w miejsce litery n liczbę 3, otrzymamy:

194
00:07:55,391 --> 00:07:59,363
a4 odjąć a3 równa się 2 razy 3 dodać 1

195
00:07:59,363 --> 00:08:00,199
czyli 7.

196
00:08:00,511 --> 00:08:02,409
Widać, że różnica między czwartym

197
00:08:02,509 --> 00:08:04,224
a trzecim wyrazem tego ciągu

198
00:08:04,324 --> 00:08:05,931
rzeczywiście wynosi 7.

199
00:08:06,503 --> 00:08:09,698
Jeśli an plus 1 odjąć an, po uproszczeniu

200
00:08:09,698 --> 00:08:12,387
będzie wyrażeniem, które zależy od n

201
00:08:12,543 --> 00:08:14,556
to różnica między kolejnymi wyrazami

202
00:08:14,656 --> 00:08:16,427
za każdym razem będzie inna.

203
00:08:16,639 --> 00:08:19,449
Może być zawsze dodatnia, zawsze ujemna

204
00:08:19,449 --> 00:08:21,859
albo czasami dodatnia i czasami ujemna.

205
00:08:22,015 --> 00:08:23,851
Może też wynosić 0.

206
00:08:24,063 --> 00:08:26,727
Badając różnice między kolejnymi wyrazami

207
00:08:26,727 --> 00:08:29,483
ciągu, też trzeba mieć się na baczności!

208
00:08:29,751 --> 00:08:31,834
Dla jedynki ta różnica wynosi 3

209
00:08:31,834 --> 00:08:33,167
czyli jest dodatnia.

210
00:08:33,279 --> 00:08:34,473
Dla dwójki wynosi 5

211
00:08:34,573 --> 00:08:36,195
czyli też jest dodatnia.

212
00:08:36,351 --> 00:08:38,955
Dla trójki wynosi 7 i też jest dodatnia.

213
00:08:39,323 --> 00:08:41,345
Zastanów się, jaka zachodzi zależność

214
00:08:41,445 --> 00:08:43,451
między kolejnymi różnicami.

215
00:08:46,521 --> 00:08:48,856
Im dalsza pozycja pary wyrazów

216
00:08:48,856 --> 00:08:50,328
tym różnica jest większa

217
00:08:50,328 --> 00:08:51,875
ale zawsze dodatnia.

218
00:08:51,977 --> 00:08:54,469
Ten ciąg jest zatem rosnący.

219
00:08:58,031 --> 00:08:59,903
Mam teraz polecenie dla Ciebie:

220
00:08:59,903 --> 00:09:02,739
spróbuj samodzielnie zbadać monotoniczność

221
00:09:02,739 --> 00:09:06,291
ciągu an równa się 3 odjąć 4n.

222
00:09:09,887 --> 00:09:12,362
Najpierw wyznaczamy wzór na kolejny

223
00:09:12,362 --> 00:09:14,695
wyraz ciągu, czyli na an plus 1.

224
00:09:14,907 --> 00:09:16,865
W miejsce litery n w tym wzorze

225
00:09:16,865 --> 00:09:19,303
w nawiasie wstawiamy wyrażenie n plus 1.

226
00:09:19,615 --> 00:09:22,025
Otrzymujemy 3 minus 4 razy

227
00:09:22,025 --> 00:09:23,455
w nawiasie n plus 1

228
00:09:23,611 --> 00:09:26,271
czyli 3 minus 4n minus 4

229
00:09:26,427 --> 00:09:29,267
a to wynosi –1 minus 4n.

230
00:09:29,529 --> 00:09:32,945
Teraz od an plus 1 odejmujemy an

231
00:09:32,945 --> 00:09:35,943
to daje nam –1 minus 4n

232
00:09:35,999 --> 00:09:38,403
minus w nawiasie 3 minus 4n.

233
00:09:38,559 --> 00:09:39,922
Po opuszczeniu nawiasu

234
00:09:40,022 --> 00:09:41,981
i zmianie znaków dostajemy:

235
00:09:41,981 --> 00:09:48,019
–1 minus 4n minus 3 plus 4n, czyli –4.

236
00:09:48,287 --> 00:09:49,533
W tym przypadku różnica

237
00:09:49,633 --> 00:09:51,329
między dwoma kolejnymi wyrazami

238
00:09:51,429 --> 00:09:52,639
jest zawsze taka sama

239
00:09:52,895 --> 00:09:54,375
i jest liczbą ujemną.

240
00:09:54,687 --> 00:09:57,235
Ciąg an jest malejący.

241
00:10:02,261 --> 00:10:04,584
Aby zbadać monotoniczność ciągu

242
00:10:04,584 --> 00:10:06,981
o podanym wzorze, musimy wykonać

243
00:10:06,981 --> 00:10:10,057
odejmowanie an plus 1 minus an

244
00:10:10,057 --> 00:10:11,557
i zinterpretować wynik.

245
00:10:11,627 --> 00:10:13,535
Jeżeli jest on liczbą dodatnią

246
00:10:13,635 --> 00:10:15,055
to ciąg jest rosnący.

247
00:10:15,167 --> 00:10:16,615
Jeżeli jest liczbą ujemną

248
00:10:16,715 --> 00:10:18,083
to ciąg jest malejący.

249
00:10:18,239 --> 00:10:20,899
Jeżeli wynosi 0, to ciąg jest stały.

250
00:10:21,055 --> 00:10:24,307
Gdy różnica jest wyrażeniem ze zmienną n

251
00:10:24,307 --> 00:10:25,958
to określenie monotoniczności

252
00:10:26,058 --> 00:10:28,199
wymaga dalszej interpretacji.

253
00:10:31,757 --> 00:10:33,360
Zapraszam Cię do obejrzenia

254
00:10:33,460 --> 00:10:35,111
pozostałych lekcji z tego działu

255
00:10:35,211 --> 00:10:37,466
oraz do zasubskrybowania naszego kanału

256
00:10:37,566 --> 00:10:39,219
aby byc na bieżąco.