1
00:00:00,316 --> 00:00:03,028
Wyobraź sobie równoległe promienie światła

2
00:00:03,128 --> 00:00:05,000
lecące na zwierciadło.

3
00:00:05,006 --> 00:00:07,314
To zwierciadło ma kształt paraboli.

4
00:00:07,364 --> 00:00:09,552
Promienie po odbiciu skupią się

5
00:00:09,552 --> 00:00:10,752
w jednym punkcie.

6
00:00:11,008 --> 00:00:14,024
Taki punkt nazywa się ogniskiem paraboli.

7
00:00:25,400 --> 00:00:28,010
Teraz zbadamy taką funkcję:

8
00:00:28,110 --> 00:00:30,920
y równa się –x kwadrat.

9
00:00:31,232 --> 00:00:34,234
Czy ta funkcja jest funkcją kwadratową?

10
00:00:34,334 --> 00:00:35,628
Jak myślisz?

11
00:00:38,712 --> 00:00:40,980
To jest funkcja kwadratowa

12
00:00:40,980 --> 00:00:44,232
ponieważ największa potęga przy x to 2.

13
00:00:44,544 --> 00:00:47,504
A jaka jest dziedzina tej funkcji?

14
00:00:50,388 --> 00:00:52,394
Zwróć uwagę, że każdą liczbę

15
00:00:52,494 --> 00:00:54,200
możemy podnieść do kwadratu

16
00:00:54,300 --> 00:00:56,264
i pomnożyć przez –1.

17
00:00:56,832 --> 00:00:58,731
Dziedziną tej funkcji jest więc

18
00:00:58,831 --> 00:01:00,516
zbiór liczb rzeczywistych.

19
00:01:00,672 --> 00:01:02,824
Możemy też zapisać, że x należy

20
00:01:02,824 --> 00:01:04,732
do przedziału od minus nieskończoności

21
00:01:04,732 --> 00:01:06,504
do plus nieskończoności.

22
00:01:06,716 --> 00:01:09,028
Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie.

23
00:01:09,128 --> 00:01:11,579
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

24
00:01:11,579 --> 00:01:13,390
obliczyć wartości tej funkcji

25
00:01:13,390 --> 00:01:14,260
dla argumentów:

26
00:01:14,260 --> 00:01:20,952
0, 1, –1, 2, –2, 3, –3 i 1/2.

27
00:01:21,408 --> 00:01:24,065
Podpowiem tylko, że najpierw argument

28
00:01:24,065 --> 00:01:26,449
czyli x podnosimy do potęgi drugiej

29
00:01:26,548 --> 00:01:29,232
a na końcu mnożymy go przez –1.

30
00:01:32,808 --> 00:01:34,848
Jeżeli 0 podniesiemy do kwadratu

31
00:01:34,948 --> 00:01:36,676
i pomnożymy je przez –1

32
00:01:36,676 --> 00:01:38,404
to również otrzymamy 0.

33
00:01:38,560 --> 00:01:41,143
Gdy liczbę 1 podniesiemy do kwadratu

34
00:01:41,143 --> 00:01:44,804
i pomnożymy ją przez– 1, to otrzymamy –1.

35
00:01:45,216 --> 00:01:47,777
Funkcja y równa się –x kwadrat

36
00:01:47,877 --> 00:01:51,460
dla argumentu –1 przyjmuje wartość –1.

37
00:01:51,772 --> 00:01:55,200
Dla argumentu 2 przyjmuje wartość –4

38
00:01:55,512 --> 00:01:58,462
a dla argumentu –2 również przyjmuje

39
00:01:58,462 --> 00:02:00,264
wartość –4.

40
00:02:01,022 --> 00:02:03,666
Dla argumentu 3 funkcja y równa się

41
00:02:03,666 --> 00:02:06,920
–x kwadrat, przyjmuje wartość –9.

42
00:02:07,132 --> 00:02:09,464
A jaką wartość przyjmuje ta funkcja

43
00:02:09,464 --> 00:02:11,387
dla argumentu –3?

44
00:02:11,387 --> 00:02:13,365
Również –9.

45
00:02:13,632 --> 00:02:16,197
Dla argumentu równego 1/2 ta funkcja

46
00:02:16,197 --> 00:02:19,308
przyjmuje wartość równą –1/4.

47
00:02:20,082 --> 00:02:22,786
Zapewne masz takie same wyniki jak ja.

48
00:02:22,786 --> 00:02:23,616
Brawo!

49
00:02:23,872 --> 00:02:26,020
Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie.

50
00:02:26,176 --> 00:02:28,298
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

51
00:02:28,298 --> 00:02:30,508
zapisać, jakie punkty utworzą dane

52
00:02:30,508 --> 00:02:32,520
argumenty i wartości.

53
00:02:32,832 --> 00:02:35,536
Zapisz je w odpowiednich wierszach.

54
00:02:38,264 --> 00:02:40,946
Argument 0 i wartość 0 tworzą

55
00:02:41,046 --> 00:02:43,428
punkt o współrzędnych 0, 0.

56
00:02:43,584 --> 00:02:45,287
Następna para tworzy punkt

57
00:02:45,287 --> 00:02:47,799
o współrzędnych 1, –1.

58
00:02:47,799 --> 00:02:51,520
Dalej mamy punkt o współrzędnych –1, –1.

59
00:02:51,776 --> 00:02:53,005
Kolejna para tworzy punkt

60
00:02:53,005 --> 00:02:55,460
o współrzędnych 2 i –4.

61
00:02:55,616 --> 00:02:59,556
Dalej mamy punkt o współrzędnych –2, –4.

62
00:02:59,968 --> 00:03:01,219
Następnie mamy punkt

63
00:03:01,219 --> 00:03:03,908
o współrzędnych 3 i – 9.

64
00:03:04,064 --> 00:03:07,904
Przedostatni punkt ma współrzędne –3 i –9

65
00:03:08,160 --> 00:03:11,432
a ostatni 1/2 i –1/4.

66
00:03:11,644 --> 00:03:14,148
Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie.

67
00:03:14,304 --> 00:03:16,537
Narysuj taki układ współrzędnych

68
00:03:16,637 --> 00:03:18,756
najlepiej w zeszycie w kratkę.

69
00:03:18,912 --> 00:03:20,528
Następnie umieść na nim

70
00:03:20,628 --> 00:03:23,152
punkty o takich współrzędnych.

71
00:03:26,522 --> 00:03:28,606
Punkt o takich współrzędnych

72
00:03:28,606 --> 00:03:30,020
znajduje się tutaj.

73
00:03:30,588 --> 00:03:32,430
Punkt o takich współrzędnych

74
00:03:32,530 --> 00:03:34,372
znajduje się w tym miejscu.

75
00:03:34,528 --> 00:03:36,400
Punkt o takich współrzędnych

76
00:03:36,400 --> 00:03:38,056
znajduje się tutaj.

77
00:03:38,368 --> 00:03:41,484
Te współrzędne oznaczymy w tym miejscu

78
00:03:41,992 --> 00:03:44,000
te z kolei w tym miejscu.

79
00:03:44,512 --> 00:03:46,254
Zostały nam 3 punkty.

80
00:03:46,354 --> 00:03:48,708
Ten punkt zaznaczymy tutaj.

81
00:03:48,864 --> 00:03:51,368
Ten punkt zaznaczymy tutaj.

82
00:03:51,580 --> 00:03:55,308
Ostatni punkt narysujemy w tym miejscu.

83
00:03:56,544 --> 00:03:58,762
Mam teraz dla Ciebie kolejne zadanie.

84
00:03:58,862 --> 00:04:00,713
Zatrzymaj lekcję i spróbuj

85
00:04:00,813 --> 00:04:02,354
połączyć otrzymane punkty

86
00:04:02,354 --> 00:04:03,878
tworząc wykres funkcji

87
00:04:03,878 --> 00:04:06,572
y równa się –x kwadrat.

88
00:04:10,268 --> 00:04:12,772
Czy też wyszedł Ci taki kształt?

89
00:04:12,928 --> 00:04:14,883
Pewnie tak! Gratulacje!

90
00:04:15,063 --> 00:04:16,601
A czy pamiętasz, jak nazywa się

91
00:04:16,601 --> 00:04:18,603
wykres funkcji kwadratowej?

92
00:04:21,787 --> 00:04:23,521
Wykres funkcji kwadratowej

93
00:04:23,521 --> 00:04:25,315
nazywa się parabolą.

94
00:04:25,471 --> 00:04:26,784
A czy potrafisz wskazać

95
00:04:26,784 --> 00:04:28,587
wierzchołek tej paraboli?

96
00:04:31,671 --> 00:04:33,513
Zwróć uwagę, że ta parabola

97
00:04:33,613 --> 00:04:35,555
ma ramiona skierowane w dół.

98
00:04:35,711 --> 00:04:37,423
Wierzchołkiem tej funkcji

99
00:04:37,523 --> 00:04:39,447
jest najwyżej położony punkt

100
00:04:39,547 --> 00:04:41,120
który znajduje się tutaj.

101
00:04:41,220 --> 00:04:42,923
To jest jej wierzchołek.

102
00:04:46,679 --> 00:04:48,630
Tym razem zatrzymaj lekcję

103
00:04:48,630 --> 00:04:50,328
i spróbuj samodzielnie powiedzieć

104
00:04:50,328 --> 00:04:52,511
jaka jest oś symetrii funkcji

105
00:04:52,511 --> 00:04:54,755
y równa się –x kwadrat.

106
00:04:55,067 --> 00:04:57,224
Patrząc na wykres widzimy, że osią

107
00:04:57,224 --> 00:05:00,031
symetrii tej funkcji jest oś y.

108
00:05:00,287 --> 00:05:02,536
Przypomnę, że oś y to prosta

109
00:05:02,636 --> 00:05:04,839
o równaniu x równa się 0.

110
00:05:05,151 --> 00:05:07,789
Osią symetrii tej funkcji jest oś y

111
00:05:07,889 --> 00:05:10,727
której równanie to x równa się 0.

112
00:05:11,285 --> 00:05:13,197
Mam dla Ciebie kolejne zadanie.

113
00:05:13,297 --> 00:05:15,628
Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie

114
00:05:15,728 --> 00:05:17,648
opisać monotoniczność funkcji

115
00:05:17,748 --> 00:05:20,199
y równa się –x kwadrat.

116
00:05:24,151 --> 00:05:25,853
Znowu ustawiamy się na wykresie

117
00:05:25,953 --> 00:05:26,969
najbardziej na lewo

118
00:05:26,969 --> 00:05:28,547
czyli na przykład tutaj.

119
00:05:28,703 --> 00:05:30,474
Poruszając się w prawą stronę

120
00:05:30,574 --> 00:05:32,255
będziemy jechali po wykresie

121
00:05:32,255 --> 00:05:34,179
do góry aż do wierzchołka.

122
00:05:34,591 --> 00:05:36,392
Oznacza to, że dla tych x–ów

123
00:05:36,392 --> 00:05:37,863
funkcja rośnie.

124
00:05:38,175 --> 00:05:39,299
Zapiszmy to:

125
00:05:39,455 --> 00:05:41,993
funkcja rośnie dla x–ów należących

126
00:05:41,993 --> 00:05:44,171
do przedziału od minus nieskończoności

127
00:05:44,171 --> 00:05:45,031
do zera.

128
00:05:45,343 --> 00:05:47,220
0 należy do wykresu tej funkcji

129
00:05:47,320 --> 00:05:49,795
dlatego mamy tutaj przedział domknięty.

130
00:05:49,951 --> 00:05:51,754
Przy symbolu nieskończoności zawsze

131
00:05:51,754 --> 00:05:54,503
zapisujemy symbol przedziału otwartego.

132
00:05:54,971 --> 00:05:56,442
Gdy będziemy poruszali się

133
00:05:56,542 --> 00:05:58,599
od tego miejsca na prawo po wykresie

134
00:05:58,699 --> 00:06:00,291
to będziemy jechali w dół.

135
00:06:00,447 --> 00:06:02,001
Oznacza to, że dla ty ch x–ów

136
00:06:02,001 --> 00:06:03,563
funkcja maleje.

137
00:06:03,931 --> 00:06:06,470
Funkcja maleje zatem dla x–ów należących

138
00:06:06,570 --> 00:06:08,709
do przedziału lewostronnie domkniętego

139
00:06:08,809 --> 00:06:10,875
od zera do plus nieskończoności.

140
00:06:12,735 --> 00:06:14,776
Cały czas badamy funkcję y

141
00:06:14,776 --> 00:06:16,931
równa się –x kwadrat.

142
00:06:17,087 --> 00:06:18,278
Zastanów się teraz

143
00:06:18,378 --> 00:06:20,871
jaka jest jej najmniejsza wartość.

144
00:06:24,351 --> 00:06:25,514
Patrząc na wykres

145
00:06:25,514 --> 00:06:27,095
widzimy, że spada ona w dół

146
00:06:27,195 --> 00:06:29,208
aż do minus nieskończoności.

147
00:06:29,308 --> 00:06:30,355
Oznacza to, że nie ma

148
00:06:30,355 --> 00:06:32,435
wartości najmniejszej.

149
00:06:32,703 --> 00:06:35,563
A jaka jest jej największa wartość?

150
00:06:38,847 --> 00:06:41,205
Najwyżej położonym punktem tej funkcji

151
00:06:41,305 --> 00:06:42,887
jest jej wierzchołek.

152
00:06:43,199 --> 00:06:45,016
Wierzchołek znajduje się w punkcie

153
00:06:45,016 --> 00:06:48,230
o współrzędnych 0, 0 więc jej największa

154
00:06:48,230 --> 00:06:50,467
wartość to y równa się 0.

155
00:06:50,623 --> 00:06:52,733
Spróbuj zatem podać samodzielnie

156
00:06:52,833 --> 00:06:55,275
zbiór wartości tej funkcji.

157
00:06:59,171 --> 00:07:02,134
Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór

158
00:07:02,134 --> 00:07:04,747
od minus nieskończoności do zera.

159
00:07:05,115 --> 00:07:07,691
Pamiętaj, że odczytując zbiór wartości

160
00:07:07,791 --> 00:07:10,279
z wykresu patrzymy na oś y.

161
00:07:10,591 --> 00:07:12,589
Robimy to od dołu, dlatego mamy

162
00:07:12,689 --> 00:07:14,887
od minus nieskończoności do zera.

163
00:07:15,511 --> 00:07:17,722
Możemy też zapisać, że y

164
00:07:17,822 --> 00:07:19,874
czyli wartości, należą do przedziału

165
00:07:19,874 --> 00:07:22,155
od minus nieskończoności do zera.

166
00:07:24,711 --> 00:07:26,258
Teraz zastanów się

167
00:07:26,258 --> 00:07:28,867
ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

168
00:07:29,023 --> 00:07:31,107
Odpowiedź na to pytanie możesz znaleźć

169
00:07:31,207 --> 00:07:32,493
analizując wykres

170
00:07:32,593 --> 00:07:35,211
lub rozwiązując odpowiednie równanie.

171
00:07:38,495 --> 00:07:40,637
Analizując wykres dowiadujemy się

172
00:07:40,737 --> 00:07:43,459
że ta funkcja ma jedno miejsce zerowe.

173
00:07:43,871 --> 00:07:46,475
Jest nim argument równy zeru.

174
00:07:46,943 --> 00:07:49,859
Możemy też rozwiązać odpowiednie równanie.

175
00:07:50,015 --> 00:07:50,883
A jakie?

176
00:07:51,039 --> 00:07:52,425
Aby otrzymać to równanie

177
00:07:52,525 --> 00:07:55,597
wystarczy w miejsce y wstawić liczbę 0.

178
00:07:55,697 --> 00:07:59,119
Otrzymamy 0 równa się –x kwadrat.

179
00:07:59,899 --> 00:08:02,012
Zastanów się teraz, jaką liczbę

180
00:08:02,112 --> 00:08:03,720
należy podnieść do kwadratu

181
00:08:03,820 --> 00:08:05,462
i pomnożyć przez –1

182
00:08:05,562 --> 00:08:07,211
aby otrzymać 0?

183
00:08:07,423 --> 00:08:10,142
Gdy 0 podniesiemy do kwadratu otrzymamy 0.

184
00:08:10,242 --> 00:08:12,256
Gdy 0 pomnożymy przez –1

185
00:08:12,256 --> 00:08:13,767
znowu otrzymamy 0.

186
00:08:14,079 --> 00:08:17,607
Możemy zatem zapisać, że 0 równa się x.

187
00:08:17,819 --> 00:08:20,273
Zwróć uwagę, że otrzymaliśmy tutaj

188
00:08:20,373 --> 00:08:22,571
to samo, co w tym miejscu.

189
00:08:24,319 --> 00:08:25,461
Teraz zajmiemy się

190
00:08:25,561 --> 00:08:27,629
współrzędnymi punktów przecięcia

191
00:08:27,729 --> 00:08:29,795
z osiami układu współrzędnych.

192
00:08:29,951 --> 00:08:31,869
Spróbuj znaleźć współrzędne

193
00:08:31,869 --> 00:08:34,347
punktów przecięcia z osią y.

194
00:08:37,687 --> 00:08:39,897
Z wykresu widać, że ta parabola

195
00:08:39,997 --> 00:08:41,923
przecina oś y w punkcie

196
00:08:41,923 --> 00:08:43,719
który jest wierzchołkiem.

197
00:08:44,031 --> 00:08:46,791
Wierzchołek ma współrzędne 0, 0.

198
00:08:47,415 --> 00:08:50,687
A jak wygląda sytuacja w przypadku osi x?

199
00:08:50,999 --> 00:08:53,490
Podana funkcja nie przecina osi x

200
00:08:53,590 --> 00:08:55,446
jedynie się z nią styka.

201
00:08:55,546 --> 00:08:57,343
Ma 1 punkt wspólny.

202
00:08:57,499 --> 00:09:00,459
Tym punktem jest wierzchołek tej paraboli.

203
00:09:05,621 --> 00:09:08,663
Dziedziną funkcji y równa się –x kwadrat

204
00:09:08,763 --> 00:09:11,001
jest zbiór liczb rzeczywistych.

205
00:09:11,001 --> 00:09:12,460
Zbiorem wartości jest

206
00:09:12,460 --> 00:09:14,133
przedział prawostronnie domknięty

207
00:09:14,233 --> 00:09:16,387
od minus nieskończoności do zera.

208
00:09:16,543 --> 00:09:19,607
Funkcja –x kwadrat rośnie dla x–ów

209
00:09:19,707 --> 00:09:22,016
należących do przedziału prawostronnie

210
00:09:22,016 --> 00:09:24,025
domkniętego od minus nieskończoności

211
00:09:24,025 --> 00:09:26,675
do zera, a maleje dla x–ów należących

212
00:09:26,775 --> 00:09:29,079
do przedziału lewostronnie domkniętego

213
00:09:29,179 --> 00:09:31,305
od zera do plus nieskończoności.

214
00:09:31,571 --> 00:09:33,513
Miejscem zerowym tej funkcji

215
00:09:33,513 --> 00:09:34,876
jest x równe 0.

216
00:09:35,186 --> 00:09:37,635
Ta funkcja nie ma wartości najmniejszej

217
00:09:37,921 --> 00:09:39,977
ma za to wartość największą

218
00:09:39,977 --> 00:09:41,119
która wynosi 0.

219
00:09:41,375 --> 00:09:44,200
Punktem przecięcia z osiami jest punkt

220
00:09:44,200 --> 00:09:45,792
0 i 0, czyli początek

221
00:09:45,792 --> 00:09:47,663
układu współrzędnych.

222
00:09:51,273 --> 00:09:53,370
Lekcje znajdujące się w tym dziale

223
00:09:53,370 --> 00:09:56,186
wprowadzą Cię w świat funkcji kwadratowej.

224
00:09:56,416 --> 00:09:58,236
Wszystkie działy znajdziesz na naszej

225
00:09:58,236 --> 00:10:00,776
stronie internetowej pistacja.tv