1
00:00:00,848 --> 00:00:03,684
Wyobraź sobie, że jesteś w próżni.

2
00:00:04,096 --> 00:00:05,832
Rzucasz piłkę do kosza.

3
00:00:06,400 --> 00:00:08,851
Próżnia sprawa, że na lecący przedmiot

4
00:00:08,951 --> 00:00:11,108
nie będzie napierało powietrze.

5
00:00:11,520 --> 00:00:13,399
Kształt lotu piłki, będzie wtedy

6
00:00:13,399 --> 00:00:15,148
idealną parabolą.

7
00:00:27,206 --> 00:00:29,162
Wiesz już, jak wygląda wykres

8
00:00:29,162 --> 00:00:31,788
funkcji y równa się x kwadrat.

9
00:00:32,212 --> 00:00:34,185
Przed wyrażeniem x do kwadratu

10
00:00:34,185 --> 00:00:35,965
nie ma żadnego znaku, więc możemy

11
00:00:35,965 --> 00:00:37,968
powiedzieć, że x do kwadratu jest

12
00:00:37,968 --> 00:00:39,880
przemnożone przez liczbę 1.

13
00:00:40,248 --> 00:00:42,417
Zobacz, co się stanie z wykresem

14
00:00:42,417 --> 00:00:44,829
tej funkcji, gdy x do kwadratu będziemy

15
00:00:44,829 --> 00:00:47,560
mnożyli przez liczby większe niż 1.

16
00:00:47,872 --> 00:00:50,079
Gdy x kwadrat pomnożymy przez 2

17
00:00:50,179 --> 00:00:51,958
to ramiona tej paraboli znajdą się

18
00:00:51,958 --> 00:00:53,648
bliżej osi y.

19
00:00:54,016 --> 00:00:55,584
Ramiona paraboli dalej są

20
00:00:55,584 --> 00:00:56,776
skierowane do góry.

21
00:00:56,988 --> 00:00:58,038
Zobacz, co się stanie

22
00:00:58,038 --> 00:01:00,460
gdy x kwadrat pomnożymy przez 3.

23
00:01:00,672 --> 00:01:02,130
Ramiona tej paraboli są

24
00:01:02,130 --> 00:01:03,844
jeszcze bliżej osi y.

25
00:01:04,000 --> 00:01:05,992
Dalej są skierowane do góry.

26
00:01:06,204 --> 00:01:08,032
Gdy x kwadrat będziemy mnożyli

27
00:01:08,132 --> 00:01:12,267
przez liczbę 4, 5, 6 i 7

28
00:01:12,367 --> 00:01:13,930
czyli przez coraz większe liczby

29
00:01:13,930 --> 00:01:16,433
to ramiona będą coraz bliżej osi y.

30
00:01:16,544 --> 00:01:18,670
Zauważ, że ramiona tej paraboli

31
00:01:18,770 --> 00:01:21,096
są cały czas skierowane do góry.

32
00:01:21,464 --> 00:01:23,400
Co jeszcze możemy zauważyć?

33
00:01:23,612 --> 00:01:24,839
Wszystkie te funkcje

34
00:01:24,939 --> 00:01:26,568
które przed chwilą Ci pokazałem

35
00:01:26,668 --> 00:01:29,033
mają wierzchołek w punkcie 0, 0.

36
00:01:30,836 --> 00:01:33,825
Wiesz również, jak wygląda wykres funkcji

37
00:01:33,925 --> 00:01:36,712
y równa się –x do kwadratu.

38
00:01:37,280 --> 00:01:40,194
Przed wyrażeniem x do kwadratu stoi minus.

39
00:01:40,194 --> 00:01:41,966
Oznacza to, że x do kwadratu

40
00:01:41,966 --> 00:01:44,136
zostało pomnożone przez –1.

41
00:01:44,704 --> 00:01:47,820
Ramiona tej paraboli są skierowane w dół.

42
00:01:48,032 --> 00:01:51,160
Gdy x kwadrat mnożymy przez liczbę ujemną

43
00:01:51,160 --> 00:01:53,508
to ramiona zawsze będą skierowane w dół.

44
00:01:53,664 --> 00:01:55,330
Gdy wyrażenie x kwadrat

45
00:01:55,330 --> 00:01:56,950
mnożymy przez liczbą dodatnią

46
00:01:56,950 --> 00:01:59,596
to ramiona zawsze będą skierowane do góry.

47
00:02:00,370 --> 00:02:02,719
Zobacz, co się stanie, gdy zamiast liczby

48
00:02:02,719 --> 00:02:05,480
–1, wyrażenie x kwadrat pomnożymy

49
00:02:05,480 --> 00:02:06,564
przez –2.

50
00:02:06,910 --> 00:02:09,770
–2 to liczba mniejsza niż –1.

51
00:02:10,048 --> 00:02:11,636
Widzisz jednak, że są one

52
00:02:11,636 --> 00:02:13,826
w dalszym ciągu skierowane w dół.

53
00:02:14,656 --> 00:02:17,140
Gdy x kwadrat pomnożymy przez –4

54
00:02:17,240 --> 00:02:18,526
to ramiona będą w dół

55
00:02:18,526 --> 00:02:20,332
i jeszcze bliżej osi y.

56
00:02:20,544 --> 00:02:22,861
Taki sam efekt otrzymamy, gdy pomnożymy

57
00:02:22,861 --> 00:02:27,400
x kwadrat przez –5, –6 i –7.

58
00:02:27,712 --> 00:02:29,353
Można również zauważyć

59
00:02:29,353 --> 00:02:31,389
że wierzchołkiem każdej z tych funkcji

60
00:02:31,389 --> 00:02:34,056
jest punkt o współrzędnych 0, 0.

61
00:02:34,770 --> 00:02:36,696
Wierzchołek paraboli oznaczamy

62
00:02:36,696 --> 00:02:38,352
wielką literą W.

63
00:02:39,232 --> 00:02:41,850
Ważne jest, aby zapamiętać, że gdy x

64
00:02:41,850 --> 00:02:44,150
kwadrat mnożymy przez liczbę dodatnią

65
00:02:44,150 --> 00:02:46,244
to ramiona są skierowane do góry

66
00:02:46,400 --> 00:02:48,536
a gdy x kwadrat mnożymy przez liczbę

67
00:02:48,536 --> 00:02:51,308
ujemną, to ramiona są skierowane w dół.

68
00:02:52,756 --> 00:02:54,916
Czy pamiętasz, co dzieje się z ramionami

69
00:02:55,016 --> 00:02:56,482
gdy x kwadrat mnożymy

70
00:02:56,581 --> 00:02:59,018
przez coraz to większe liczby dodatnie?

71
00:02:59,134 --> 00:03:01,804
Ramiona będą coraz bliżej osi y.

72
00:03:01,906 --> 00:03:03,433
A czy pamiętasz, co dzieje się

73
00:03:03,433 --> 00:03:04,903
gdy x kwadrat mnożymy

74
00:03:04,903 --> 00:03:07,217
przez coraz mniejsze liczby ujemne?

75
00:03:07,392 --> 00:03:10,678
Ramiona również są coraz bliżej osi y.

76
00:03:14,004 --> 00:03:16,550
Do tej pory rozpatrywaliśmy przypadki

77
00:03:16,650 --> 00:03:18,243
w których x do kwadratu

78
00:03:18,343 --> 00:03:21,149
mnożyliśmy przez liczby całkowite.

79
00:03:21,206 --> 00:03:23,365
Teraz pokażę Ci, co się stanie

80
00:03:23,575 --> 00:03:26,792
gdy x kwadrat będziemy mnożyć przez ułamki

81
00:03:26,892 --> 00:03:29,496
zarówno dodatnie, jak i ujemne.

82
00:03:29,920 --> 00:03:32,299
Spójrz na wykres funkcji kwadratowej

83
00:03:32,399 --> 00:03:34,572
1/2x kwadrat.

84
00:03:34,840 --> 00:03:36,530
Co można powiedzieć o ramionach

85
00:03:36,630 --> 00:03:39,436
paraboli będącej wykresem tej funkcji?

86
00:03:39,904 --> 00:03:42,067
1/2 jest liczbą dodatnią

87
00:03:42,167 --> 00:03:44,812
więc ramiona będą skierowane do góry.

88
00:03:45,024 --> 00:03:47,086
Sprawdźmy, co się stanie z ramionami

89
00:03:47,086 --> 00:03:49,605
paraboli, gdy x kwadrat pomnożymy

90
00:03:49,705 --> 00:03:52,036
przez ułamek mniejszy niż 1/2.

91
00:03:52,192 --> 00:03:54,440
Na przykład przez 1/3.

92
00:03:54,876 --> 00:03:57,910
Zobacz: ramiona są szerzej rozłożone

93
00:03:57,910 --> 00:03:59,360
wzdłuż osi x.

94
00:03:59,616 --> 00:04:01,452
Są dalej od osi y.

95
00:04:01,920 --> 00:04:04,803
Mnożąc x kwadrat przez liczbę mniejszą

96
00:04:04,803 --> 00:04:08,164
niż 1/3, na przykład przez 1/4

97
00:04:08,320 --> 00:04:10,724
efekt będzie jeszcze bardziej widoczny

98
00:04:10,880 --> 00:04:13,371
a wykres paraboli jeszcze bardziej

99
00:04:13,371 --> 00:04:15,788
rozciągnięty wzdłuż osi x.

100
00:04:16,000 --> 00:04:18,842
Podsumujmy: mnożąc x kwadrat

101
00:04:18,842 --> 00:04:20,864
przez coraz to mniejsze ułamki

102
00:04:21,019 --> 00:04:23,282
otrzymamy parabole coraz to bardziej

103
00:04:23,382 --> 00:04:25,671
rozciągnięte wzdłuż osi x.

104
00:04:25,883 --> 00:04:28,662
Dzieje się tak dlatego, że mnożenie przez

105
00:04:28,662 --> 00:04:30,947
ułamek mniejszy od jednego

106
00:04:31,103 --> 00:04:33,763
powoduje zmniejszenie wartości funkcji.

107
00:04:33,919 --> 00:04:36,570
Na przykład y równa się x kwadrat

108
00:04:36,670 --> 00:04:40,241
dla x równego jednemu, przyjmowała wartość

109
00:04:40,241 --> 00:04:43,400
czyli y, równą jednemu, a y równa się

110
00:04:43,400 --> 00:04:46,819
1/3x kwadrat dla tego samego x

111
00:04:46,975 --> 00:04:48,867
przyjmie wartość 1/3

112
00:04:49,023 --> 00:04:51,115
czyli wykres się spłaszcza.

113
00:04:51,483 --> 00:04:53,715
Teraz pokażę Ci, jak wygląda

114
00:04:53,715 --> 00:04:56,447
wykres funkcji –1/2x kwadrat.

115
00:04:56,703 --> 00:04:57,863
Ale zanim to zrobię

116
00:04:57,863 --> 00:04:59,467
mam do Ciebie pytanie.

117
00:04:59,519 --> 00:05:01,709
Jak będą skierowane ramiona paraboli

118
00:05:01,709 --> 00:05:03,845
będącej wykresem tej funkcji?

119
00:05:04,127 --> 00:05:05,639
W górę czy w dół?

120
00:05:09,047 --> 00:05:11,312
Tym razem x kwadrat mnożymy przez

121
00:05:11,312 --> 00:05:14,408
liczbę ujemną, więc ramiona paraboli będą

122
00:05:14,408 --> 00:05:15,691
skierowane w dół.

123
00:05:15,903 --> 00:05:18,526
A co się stanie z ramionami tej paraboli

124
00:05:18,626 --> 00:05:22,247
jeśli –1/2 zamienimy na –1/3?

125
00:05:22,459 --> 00:05:25,080
Ramiona nowej funkcji będą bliżej

126
00:05:25,180 --> 00:05:26,799
czy dalej od osi y?

127
00:05:30,195 --> 00:05:33,381
Widzisz, że ramiona oddaliły się od osi y

128
00:05:33,481 --> 00:05:35,715
a rozciągnęły wzdłuż osi x

129
00:05:35,871 --> 00:05:37,607
jak w poprzednim przykładzie.

130
00:05:38,175 --> 00:05:41,683
–1/3 to liczba większa niż –1/2

131
00:05:41,683 --> 00:05:43,428
ale wartość bezwzględna

132
00:05:43,528 --> 00:05:45,955
tego współczynnika jest mniejsza.

133
00:05:46,111 --> 00:05:48,971
1/3 to przecież mniej niż 1/2.

134
00:05:49,083 --> 00:05:50,890
Biorąc zatem pod uwagę

135
00:05:50,990 --> 00:05:53,175
wartości bezwzględne ułamków

136
00:05:53,275 --> 00:05:55,527
przez które mnożymy nasz x kwadrat

137
00:05:55,627 --> 00:05:58,444
zachowana jest zasada, że im mniejszy

138
00:05:58,444 --> 00:06:01,059
ułamek przez który mnożymy x kwadrat

139
00:06:01,215 --> 00:06:02,765
tym bardziej ramiona paraboli

140
00:06:02,765 --> 00:06:05,355
są rozciągnięte wzdłuż osi x.

141
00:06:05,879 --> 00:06:08,229
A co się stanie, gdy x kwadrat

142
00:06:08,229 --> 00:06:09,863
pomnożymy przez 0?

143
00:06:10,175 --> 00:06:12,423
Czy otrzymamy funkcję kwadratową?

144
00:06:12,735 --> 00:06:16,007
0 razy x kwadrat to po prostu 0.

145
00:06:16,319 --> 00:06:19,335
y równa się 0 jest funkcją stałą.

146
00:06:19,547 --> 00:06:22,051
Jej wykresem nie jest zatem parabola

147
00:06:22,207 --> 00:06:23,988
lecz pozioma linia przechodząca

148
00:06:24,088 --> 00:06:25,891
przez y równe zeru

149
00:06:26,047 --> 00:06:28,451
czyli pokrywająca się z osią x.

150
00:06:28,863 --> 00:06:31,495
Pamiętaj zatem, że aby otrzymać funkcję

151
00:06:31,495 --> 00:06:34,457
kwadratową, x kwadrat możemy mnożyć

152
00:06:34,557 --> 00:06:37,967
przez dowolną liczbę, ale różną od zera.

153
00:06:41,819 --> 00:06:43,911
Podsumujmy nasze rozważania.

154
00:06:44,223 --> 00:06:47,051
Wykresem funkcji kwadratowej opisanej

155
00:06:47,051 --> 00:06:50,467
wzorem: y równa się a razy x do kwadratu

156
00:06:50,623 --> 00:06:53,283
gdzie a jest liczbą różną od zera

157
00:06:53,439 --> 00:06:55,197
jest parabola o wierzchołku

158
00:06:55,197 --> 00:06:57,067
w punkcie 0 i 0.

159
00:06:57,279 --> 00:07:00,395
Jej kształt zależy od współczynnika a.

160
00:07:00,863 --> 00:07:02,913
Jeżeli liczba, przez którą mnożymy

161
00:07:02,913 --> 00:07:05,391
x kwadrat jest dodatnia, to ramiona

162
00:07:05,391 --> 00:07:07,563
paraboli skierowane są w górę.

163
00:07:07,775 --> 00:07:09,759
Jeżeli ujemna, to ramiona paraboli

164
00:07:09,859 --> 00:07:11,403
są skierowane w dół.

165
00:07:11,615 --> 00:07:13,651
Przejdźmy teraz do zadania.

166
00:07:17,715 --> 00:07:20,236
Widzisz wykres funkcji kwadratowej

167
00:07:20,336 --> 00:07:22,623
o wierzchołku w punkcie 0, 0

168
00:07:22,779 --> 00:07:25,539
przechodzący przez punkty A, B i C.

169
00:07:25,851 --> 00:07:27,657
Znajdź wzór tej funkcji

170
00:07:27,757 --> 00:07:31,015
oraz brakujące współrzędne punktów B i C.

171
00:07:31,583 --> 00:07:33,475
Co wiemy z treści zadania?

172
00:07:33,631 --> 00:07:35,694
Wierzchołek tej funkcji kwadratowej

173
00:07:35,794 --> 00:07:38,201
jest w punkcie 0, 0

174
00:07:38,201 --> 00:07:41,355
a wykres przechodzi przez punkty A, B i C.

175
00:07:41,567 --> 00:07:43,265
Czy jesteśmy w stanie odczytać

176
00:07:43,265 --> 00:07:45,963
współrzędne któregoś z tych punktów?

177
00:07:46,175 --> 00:07:48,779
Tak. Współrzędne punktu A.

178
00:07:49,247 --> 00:07:51,142
Współrzędna x-owa tego punktu

179
00:07:51,242 --> 00:07:53,287
to minus pierwiastek z pięciu

180
00:07:53,443 --> 00:07:54,923
a współrzędna y to 3.

181
00:07:55,135 --> 00:07:56,961
Skoro wierzchołkiem tej paraboli

182
00:07:57,061 --> 00:07:59,587
jest punkt o współrzędnych 0, 0

183
00:07:59,743 --> 00:08:02,583
to wiemy, że jej wzór można zapisać

184
00:08:02,583 --> 00:08:06,236
w postaci y równa się pewna liczba a

185
00:08:06,236 --> 00:08:09,515
różna od zera razy x do kwadratu.

186
00:08:09,883 --> 00:08:11,863
Aby wyznaczyć wzór tej funkcji

187
00:08:11,863 --> 00:08:15,047
należy obliczyć wartość współczynnika a.

188
00:08:15,359 --> 00:08:17,295
Czy masz pomysł, jak to zrobić?

189
00:08:20,705 --> 00:08:23,287
Do obliczenia wartości współczynnika a

190
00:08:23,387 --> 00:08:25,899
wykorzystamy współrzędne punktu A.

191
00:08:26,011 --> 00:08:28,771
Wstawiając w miejsce x w tym wzorze

192
00:08:28,927 --> 00:08:31,175
czyli y równa się ax kwadrat

193
00:08:31,287 --> 00:08:33,279
minus pierwiastek z pięciu

194
00:08:33,535 --> 00:08:35,427
a w miejsce y, 3

195
00:08:35,583 --> 00:08:37,987
otrzymamy równanie z jedną niewiadomą.

196
00:08:38,143 --> 00:08:41,163
Mamy zatem: 3 równa się a razy

197
00:08:41,163 --> 00:08:43,626
w nawiasie minus pierwiastek z pięciu

198
00:08:43,726 --> 00:08:46,123
zamykamy nawias, do kwadratu.

199
00:08:46,335 --> 00:08:47,865
Minus pierwiastek z pięciu

200
00:08:47,865 --> 00:08:49,295
do kwadratu to 5.

201
00:08:49,563 --> 00:08:52,579
Otrzymujemy 3 równa się a razy 5

202
00:08:52,735 --> 00:08:54,471
czyli a to 3/5.

203
00:08:54,783 --> 00:08:57,114
Wzór tej paraboli to y równa się

204
00:08:57,214 --> 00:08:59,691
3/5 razy x do kwadratu.

205
00:09:00,059 --> 00:09:02,136
Ten wzór przyda się do znalezienia

206
00:09:02,136 --> 00:09:05,123
brakujących współrzędnych punktów B i C.

207
00:09:05,535 --> 00:09:08,468
Zobacz: znamy x-ową współrzędną

208
00:09:08,468 --> 00:09:09,319
punktu B.

209
00:09:09,531 --> 00:09:11,623
To –1 i 1/2.

210
00:09:11,935 --> 00:09:13,728
Jak wykorzystać ten wzór

211
00:09:13,828 --> 00:09:16,843
do znalezienia współrzędnej y punktu B?

212
00:09:20,237 --> 00:09:24,067
Wystarczy w miejsce x wstawić –1 i 1/2.

213
00:09:24,379 --> 00:09:26,201
Otrzymujemy y równa się

214
00:09:26,301 --> 00:09:30,449
3/5 razy, w nawiasie –1 i 1/2

215
00:09:30,449 --> 00:09:32,659
zamykamy nawias, do kwadratu.

216
00:09:32,927 --> 00:09:35,943
–1 i 1/2 to –3/2.

217
00:09:36,255 --> 00:09:39,997
Mamy więc 3/5 razy, w nawiasie –3/2

218
00:09:40,097 --> 00:09:42,237
zamykamy nawias, do kwadratu.

219
00:09:42,655 --> 00:09:45,515
–3/2 do kwadratu to 9/4.

220
00:09:45,983 --> 00:09:49,767
3/5 razy 9/4 to 27/20

221
00:09:49,979 --> 00:09:52,115
czyli 1 i 7/20.

222
00:09:52,383 --> 00:09:57,035
Współrzędna y punktu B to 1 i 7/20.

223
00:09:57,403 --> 00:09:59,182
Teraz samodzielnie znajdź

224
00:09:59,182 --> 00:10:01,899
brakującą współrzędną punktu C.

225
00:10:04,983 --> 00:10:08,967
Tym razem znamy współrzędną y, wynosi 6.

226
00:10:09,179 --> 00:10:10,603
Nie znamy x-owej.

227
00:10:10,871 --> 00:10:12,925
Do jej znalezienia wykorzystujemy

228
00:10:12,925 --> 00:10:14,287
wzór funkcji.

229
00:10:14,399 --> 00:10:17,671
y równa się 3/5 razy x kwadrat.

230
00:10:17,883 --> 00:10:20,231
W miejsce y wstawiamy 6.

231
00:10:20,543 --> 00:10:23,343
Otrzymujemy 6 równa się 3/5 razy

232
00:10:23,343 --> 00:10:24,683
x do kwadratu.

233
00:10:25,151 --> 00:10:27,433
Żeby znaleźć x, obustronnie mnożymy

234
00:10:27,533 --> 00:10:29,647
to równanie przez 5/3.

235
00:10:29,759 --> 00:10:32,675
Otrzymujemy 10 równa się x kwadrat.

236
00:10:33,343 --> 00:10:35,811
Istnieją dwie liczby, które można podnieść

237
00:10:35,811 --> 00:10:38,215
do kwadratu, aby otrzymać 10.

238
00:10:38,463 --> 00:10:39,922
Pierwiastek z dziesięciu

239
00:10:40,022 --> 00:10:42,247
i minus pierwiastek z dziesięciu.

240
00:10:42,559 --> 00:10:43,783
Którą wybieramy?

241
00:10:44,151 --> 00:10:45,631
Popatrz na wykres.

242
00:10:46,043 --> 00:10:47,438
Punkt C znajduje się

243
00:10:47,538 --> 00:10:50,240
w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych

244
00:10:50,340 --> 00:10:52,257
a w niej wszystkie punkty mają

245
00:10:52,257 --> 00:10:54,479
dodatnią współrzędną x-ową.

246
00:10:55,103 --> 00:10:57,271
Brakującą współrzędną punktu C

247
00:10:57,271 --> 00:10:59,655
jest zatem pierwiastek z dziesięciu.

248
00:10:59,967 --> 00:11:02,827
Gotowe! Wykonaliśmy nasze zadanie!

249
00:11:03,039 --> 00:11:04,107
Gratulacje!

250
00:11:08,109 --> 00:11:10,731
Wykresem funkcji kwadratowej opisanej

251
00:11:10,731 --> 00:11:13,997
wzorem: y równa się a razy x do kwadratu

252
00:11:14,387 --> 00:11:16,707
gdzie a jest liczbą różną od zera

253
00:11:16,863 --> 00:11:18,588
jest parabola o wierzchołku

254
00:11:18,588 --> 00:11:20,135
w punkcie 0 i 0.

255
00:11:20,347 --> 00:11:23,363
Jej kształt zależy od współczynnika a.

256
00:11:23,519 --> 00:11:25,411
Gdy liczba a jest dodatnia

257
00:11:25,567 --> 00:11:27,971
ramiona paraboli są skierowane w górę

258
00:11:28,127 --> 00:11:30,219
a gdy ujemna, w dół.

259
00:11:33,483 --> 00:11:35,164
Zapraszam Cię do obejrzenia

260
00:11:35,164 --> 00:11:37,596
pozostałych lekcji o funkcji kwadratowej

261
00:11:37,596 --> 00:11:40,615
oraz do zasubskrybowania naszego kanału.