1
00:00:00,312 --> 00:00:02,326
Czy wiesz, że funkcją kwadratową

2
00:00:02,426 --> 00:00:05,220
zajmowali się już starożytni Babilończycy?

3
00:00:05,590 --> 00:00:08,036
I to prawie 3000 lat temu?

4
00:00:08,192 --> 00:00:10,396
Zgłębiając tajniki tej funkcji

5
00:00:10,496 --> 00:00:13,000
uczysz się zatem wiedzy pradawnej!

6
00:00:23,462 --> 00:00:25,445
W tej lekcji opiszemy własności

7
00:00:25,545 --> 00:00:28,260
postaci kanonicznej funkcji kwadratowej.

8
00:00:28,416 --> 00:00:31,572
Zaczniemy od funkcji 1/2 razy

9
00:00:31,572 --> 00:00:33,474
w nawiasie x dodać 1

10
00:00:33,574 --> 00:00:36,808
zamykamy nawias, do kwadratu dodać 3.

11
00:00:37,120 --> 00:00:40,020
Skupmy się na własnościach, które da się

12
00:00:40,020 --> 00:00:42,340
odczytać z wykresu pomocniczego.

13
00:00:42,496 --> 00:00:44,062
Można go łatwo narysować

14
00:00:44,162 --> 00:00:46,536
korzystając z dostępnych informacji.

15
00:00:47,104 --> 00:00:49,707
Postać kanoniczna funkcji to f od x

16
00:00:49,707 --> 00:00:53,348
równa się a razy, w nawiasie x odjąć p

17
00:00:53,504 --> 00:00:56,676
zamykamy nawias, do kwadratu dodać q

18
00:00:56,832 --> 00:01:00,004
gdzie p i q to współrzędne wierzchołka.

19
00:01:00,104 --> 00:01:03,476
W naszym przypadku p to –1, a q to 3.

20
00:01:03,744 --> 00:01:06,916
Wierzchołek jest w punkcie –1, 3.

21
00:01:07,072 --> 00:01:09,676
Nanieśmy go na układ współrzędnych.

22
00:01:10,676 --> 00:01:13,728
Współczynnik a w tej funkcji to 1/2.

23
00:01:13,984 --> 00:01:16,251
Jest dodatni, więc ramiona funkcji

24
00:01:16,351 --> 00:01:17,868
są skierowane do góry.

25
00:01:18,080 --> 00:01:20,256
Przejdźmy do opisywania własności.

26
00:01:20,356 --> 00:01:22,532
Zacznijmy od dziedziny funkcji.

27
00:01:22,688 --> 00:01:25,380
Dziedzina to inaczej zbiór argumentów

28
00:01:25,380 --> 00:01:27,848
czyli wszystkie liczby dla których da się

29
00:01:27,848 --> 00:01:29,900
obliczyć wartość funkcji.

30
00:01:30,112 --> 00:01:32,266
Do każdej liczby da się dodać 1

31
00:01:32,366 --> 00:01:34,052
i wykonać resztę obliczeń.

32
00:01:34,208 --> 00:01:36,356
Nie ma tutaj żadnych ograniczeń.

33
00:01:36,512 --> 00:01:39,340
Skoro w miejsce x można wstawić dowolną

34
00:01:39,340 --> 00:01:41,390
liczbę to dziedziną jest zbiór

35
00:01:41,390 --> 00:01:42,756
liczb rzeczywistych.

36
00:01:42,912 --> 00:01:44,402
Dziedzinę możemy zapisać

37
00:01:44,502 --> 00:01:46,184
także w postaci przedziału.

38
00:01:46,496 --> 00:01:49,500
x należy do zbioru obustronnie otwartego

39
00:01:49,500 --> 00:01:51,179
od minus nieskończoności do

40
00:01:51,179 --> 00:01:52,484
plus nieskończoności.

41
00:01:52,640 --> 00:01:54,576
Oba zapisy są poprawne.

42
00:01:54,944 --> 00:01:56,680
Teraz zbiór wartości.

43
00:01:56,992 --> 00:01:59,118
Zastanów się, czy ta funkcja

44
00:01:59,218 --> 00:02:01,644
przyjmuje wartość równą –3.

45
00:02:04,728 --> 00:02:07,062
Można to sprawdzić, rysując

46
00:02:07,162 --> 00:02:08,892
bądź wyobrażając sobie

47
00:02:08,992 --> 00:02:11,940
poziomą linie przechodzącą przez –3.

48
00:02:12,352 --> 00:02:15,168
Funkcja przyjmuje tę wartość tylko wtedy

49
00:02:15,268 --> 00:02:18,084
jeśli taka linia przetnie nasz wykres.

50
00:02:18,240 --> 00:02:20,269
Jeśli nie przetnie, to znaczy

51
00:02:20,369 --> 00:02:21,924
że jej nie przyjmuje.

52
00:02:22,080 --> 00:02:23,716
I tak jest w tym przypadku.

53
00:02:23,872 --> 00:02:28,180
–3 nie należy do zbioru wartości. A –2?

54
00:02:28,180 --> 00:02:29,564
Też nie. A 0?

55
00:02:29,564 --> 00:02:30,536
Też nie.

56
00:02:30,784 --> 00:02:32,420
Tak samo jak 2.

57
00:02:32,576 --> 00:02:34,318
Pozioma linia dotknie wykresu

58
00:02:34,418 --> 00:02:36,160
tej funkcji dopiero w miejscu

59
00:02:36,416 --> 00:02:38,408
gdzie y jest równy trzem.

60
00:02:38,720 --> 00:02:42,008
+3 jest zatem najmniejszą wartością

61
00:02:42,008 --> 00:02:43,940
którą przyjmuje ta funkcja.

62
00:02:44,252 --> 00:02:46,133
A czy istnieje górna granica

63
00:02:46,233 --> 00:02:48,804
na której zatrzymują się jej wartości?

64
00:02:48,960 --> 00:02:52,288
Nie. Ramiona idą w nieskończoność do góry.

65
00:02:52,544 --> 00:02:55,173
Zbiorem wartości tej funkcji jest zatem

66
00:02:55,273 --> 00:02:57,508
zbiór lewostronnie domknięty

67
00:02:57,664 --> 00:03:00,680
od trzech do plus nieskończoności.

68
00:03:00,992 --> 00:03:03,386
Zauważ, że liczba 3 jest zarazem

69
00:03:03,486 --> 00:03:06,412
drugą współrzędną wierzchołka tej funkcji.

70
00:03:06,624 --> 00:03:08,772
Gdy ramiona są skierowane do góry

71
00:03:08,928 --> 00:03:11,351
to druga współrzędna wierzchołka paraboli

72
00:03:11,451 --> 00:03:13,380
jest jej najmniejszą wartością.

73
00:03:13,536 --> 00:03:15,447
Pozostałe wartości ciągną się

74
00:03:15,547 --> 00:03:17,220
do plus nieskończoności.

75
00:03:17,376 --> 00:03:19,624
Nie ma zatem wartości największej.

76
00:03:20,960 --> 00:03:23,876
Teraz wyznaczymy oś symetrii tej funkcji.

77
00:03:24,032 --> 00:03:25,995
Oś symetrii to prosta, która

78
00:03:25,995 --> 00:03:28,678
po narysowaniu dzieli parabolę na dwie

79
00:03:28,678 --> 00:03:30,020
symetryczne części.

80
00:03:30,176 --> 00:03:33,192
Zastanów się, jak narysować taką prostą.

81
00:03:36,310 --> 00:03:38,620
Oś symetrii paraboli to linia, która

82
00:03:38,620 --> 00:03:41,123
zawsze przechodzi przez jej wierzchołek

83
00:03:41,223 --> 00:03:43,321
i jest prostopadła do osi x

84
00:03:43,421 --> 00:03:45,380
więc równanie tej osi to

85
00:03:45,536 --> 00:03:48,633
x równa się współrzędna x wierzchołka

86
00:03:48,633 --> 00:03:51,012
czyli w naszym przypadku –1.

87
00:03:51,168 --> 00:03:52,136
Gotowe!

88
00:03:52,448 --> 00:03:54,952
Teraz przejdziemy do monotoniczności.

89
00:03:55,776 --> 00:03:58,453
Dla których x-ów funkcja maleje?

90
00:03:58,553 --> 00:04:00,874
Funkcja maleje, czyli jej wartości

91
00:04:00,974 --> 00:04:03,697
są coraz mniejsze dla x-ów należących

92
00:04:03,697 --> 00:04:06,272
do zbioru prawostronnie domkniętego

93
00:04:06,428 --> 00:04:09,088
od minus nieskończoności do –1.

94
00:04:09,344 --> 00:04:11,848
A dla których x-ów funkcja rośnie?

95
00:04:12,160 --> 00:04:13,437
Dla x-ów należących

96
00:04:13,537 --> 00:04:15,844
do zbioru lewostronnie domkniętego

97
00:04:16,000 --> 00:04:18,503
od –1 do plus nieskończoności.

98
00:04:18,815 --> 00:04:21,434
Zauważ, że monotoniczność paraboli

99
00:04:21,434 --> 00:04:24,150
jest związana z jej wierzchołkiem, ale

100
00:04:24,150 --> 00:04:27,151
istotny jest też kierunek ułożenia ramion.

101
00:04:31,415 --> 00:04:33,251
Teraz zadanie dla Ciebie.

102
00:04:33,407 --> 00:04:35,745
Samodzielnie narysuj wykres funkcji

103
00:04:35,845 --> 00:04:37,848
f od x równa się 2 razy

104
00:04:37,948 --> 00:04:40,223
w nawiasie x odjąć 1

105
00:04:40,223 --> 00:04:43,279
zamykamy nawias, do kwadratu odjąć 2.

106
00:04:47,287 --> 00:04:48,545
Najpierw odczytuję

107
00:04:48,545 --> 00:04:50,503
z postaci kanonicznej p i q.

108
00:04:50,615 --> 00:04:53,063
p to 1, a q to –2.

109
00:04:53,375 --> 00:04:55,229
Wierzchołek znajduje się zatem

110
00:04:55,329 --> 00:04:58,083
w punkcie o współrzędnych 1 i –2.

111
00:04:58,239 --> 00:05:00,948
Współczynnik a jest dodatni więc ramiona

112
00:05:00,948 --> 00:05:03,047
paraboli są skierowane do góry.

113
00:05:03,359 --> 00:05:04,483
Mamy wykres.

114
00:05:04,639 --> 00:05:07,299
Przejdźmy do opisywania własności funkcji.

115
00:05:07,455 --> 00:05:09,091
Jaka jest jej dziedzina?

116
00:05:09,247 --> 00:05:11,083
Odpowiedz samodzielnie.

117
00:05:14,167 --> 00:05:16,413
Dziedziną każdej funkcji kwadratowej

118
00:05:16,513 --> 00:05:18,563
jest zbiór liczb rzeczywistych.

119
00:05:18,975 --> 00:05:21,735
Podaj teraz zbiór wartości tej funkcji.

120
00:05:24,919 --> 00:05:26,267
Widać na wykresie

121
00:05:26,367 --> 00:05:28,803
że najmniejszą wartością jest –2.

122
00:05:28,959 --> 00:05:30,805
Ramiona są skierowane do góry

123
00:05:30,805 --> 00:05:32,559
więc wartości ciągną się do

124
00:05:32,559 --> 00:05:33,923
plus nieskończoności.

125
00:05:34,079 --> 00:05:36,747
Oznacza to, że zbiorem wartości

126
00:05:36,747 --> 00:05:38,837
jest przedział lewostronnie domknięty

127
00:05:38,937 --> 00:05:41,859
od –2 do plus nieskończoności.

128
00:05:42,015 --> 00:05:43,607
Liczba –2 jest drugą

129
00:05:43,707 --> 00:05:46,467
współrzędną wierzchołka, czyli q.

130
00:05:46,623 --> 00:05:48,166
Wyczyszczę teraz tablicę

131
00:05:48,266 --> 00:05:50,507
żeby mieć miejsce na kolejne wnioski.

132
00:05:50,975 --> 00:05:54,091
Jaka jest oś symetrii naszej funkcji?

133
00:05:57,431 --> 00:05:59,537
Oś symetrii to prosta przechodząca

134
00:05:59,637 --> 00:06:02,484
przez pierwszą współrzędną wierzchołka

135
00:06:02,484 --> 00:06:03,875
a ta wynosi 1.

136
00:06:04,031 --> 00:06:06,791
Jej równanie to x równa się 1.

137
00:06:07,103 --> 00:06:08,739
Teraz monotoniczność.

138
00:06:08,895 --> 00:06:11,143
Spróbuj wyznaczyć ją samodzielnie.

139
00:06:14,327 --> 00:06:16,475
Funkcja maleje dla x-ów należących

140
00:06:16,575 --> 00:06:19,110
do przedziału prawostronnie domkniętego

141
00:06:19,210 --> 00:06:21,539
od minus nieskończoności do jednego.

142
00:06:21,695 --> 00:06:23,137
Liczba 1 jest pierwszą

143
00:06:23,137 --> 00:06:24,711
współrzędną wierzchołka.

144
00:06:25,023 --> 00:06:27,252
Funkcja rośnie dla x-ów należących

145
00:06:27,352 --> 00:06:29,921
do przedziału lewostronie domkniętego

146
00:06:29,921 --> 00:06:32,235
od 1 do plus nieskończoności.

147
00:06:32,447 --> 00:06:34,259
Spróbuj jeszcze powiedzieć

148
00:06:34,359 --> 00:06:36,743
ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

149
00:06:39,671 --> 00:06:42,147
Widać na wykresie, że nasza parabola

150
00:06:42,247 --> 00:06:44,579
przecina oś x w dwóch miejscach.

151
00:06:44,735 --> 00:06:46,530
Oznacza to, że funkcja ma

152
00:06:46,530 --> 00:06:47,751
2 miejsca zerowe.

153
00:06:48,063 --> 00:06:50,412
Nauczysz się je wyznaczać w playliście

154
00:06:50,512 --> 00:06:51,909
o postaci iloczynowej

155
00:06:51,909 --> 00:06:53,639
i równaniach kwadratowych.

156
00:06:53,951 --> 00:06:55,943
Przejdźmy do kolejnej funkcji.

157
00:06:59,383 --> 00:07:01,582
Zacznij od narysowania funkcji

158
00:07:01,582 --> 00:07:02,755
opisanej wzorem:

159
00:07:02,911 --> 00:07:06,186
–2 razy, w nawiasie x dodać 1

160
00:07:06,186 --> 00:07:09,511
zamknąć nawias, do kwadratu odjąć 2.

161
00:07:12,695 --> 00:07:15,199
Mamy do czynienia z postacią kanoniczną.

162
00:07:15,355 --> 00:07:17,959
Najpierw wyznaczamy więc p i q.

163
00:07:18,171 --> 00:07:19,420
p to liczba z nawiasu

164
00:07:19,520 --> 00:07:21,955
ze zmienionym znakiem, czyli –1.

165
00:07:22,111 --> 00:07:23,591
q to –2.

166
00:07:24,571 --> 00:07:26,681
Współrzędne wierzchołka tej paraboli

167
00:07:26,781 --> 00:07:28,611
to –1 i –2.

168
00:07:28,767 --> 00:07:30,403
To jest ten punkt.

169
00:07:30,715 --> 00:07:32,707
Współczynnik a to –2.

170
00:07:32,863 --> 00:07:35,030
Jest ujemny, więc ramiona paraboli

171
00:07:35,130 --> 00:07:36,491
są skierowane w dół.

172
00:07:36,703 --> 00:07:38,339
Mamy wykres funkcji.

173
00:07:38,651 --> 00:07:41,155
Przejdźmy do opisywania jej własności.

174
00:07:41,567 --> 00:07:44,171
Jaka jest dziedzina tej funkcji?

175
00:07:47,255 --> 00:07:49,536
Dziedziną funkcji jest zbiór liczb

176
00:07:49,536 --> 00:07:51,397
rzeczywistych, jak w każdej

177
00:07:51,397 --> 00:07:52,775
funkcji kwadratowej.

178
00:07:53,087 --> 00:07:54,823
Teraz zbiór wartości.

179
00:07:57,921 --> 00:07:59,607
Ramiona tej paraboli

180
00:07:59,607 --> 00:08:01,787
inaczej niż w poprzednich przykładach

181
00:08:01,887 --> 00:08:03,371
są skierowane w dół.

182
00:08:03,583 --> 00:08:05,887
Wierzchołek nie jest najniższym

183
00:08:05,987 --> 00:08:08,291
a najwyższym punktem tej paraboli.

184
00:08:08,447 --> 00:08:10,096
Najwyższą wartością jest

185
00:08:10,196 --> 00:08:13,511
druga współrzędna wierzchołka, czyli –2.

186
00:08:13,823 --> 00:08:15,665
Pozostałe wartości ciągną się

187
00:08:15,765 --> 00:08:17,607
aż do minus nieskończoności.

188
00:08:17,919 --> 00:08:20,423
Nie ma zatem wartości najmniejszej.

189
00:08:20,635 --> 00:08:22,840
Zbiorem wartości tej funkcji jest

190
00:08:22,940 --> 00:08:25,045
przedział prawostronnie domknięty

191
00:08:25,145 --> 00:08:27,548
od minus nieskończoności do –2.

192
00:08:27,748 --> 00:08:28,639
Pamiętaj!

193
00:08:28,639 --> 00:08:31,431
Wartości zawsze opisujemy od dołu.

194
00:08:31,643 --> 00:08:32,731
Czyścimy tablicę

195
00:08:32,831 --> 00:08:35,115
żeby mieć miejsce na dalsze wnioski.

196
00:08:35,639 --> 00:08:38,799
Teraz samodzielnie wyznacz oś symetrii.

197
00:08:42,295 --> 00:08:44,680
Oś symetrii każdej paraboli

198
00:08:44,680 --> 00:08:46,725
to prosta równoległa do osi y

199
00:08:46,825 --> 00:08:48,553
przechodząca przez pierwszą

200
00:08:48,653 --> 00:08:52,423
współrzędną wierzchołka, czyli x równe–1.

201
00:08:52,735 --> 00:08:55,595
A jaka jest monotoniczność tej funkcji?

202
00:08:58,935 --> 00:09:01,222
Funkcja rośnie dla x-ów należących

203
00:09:01,322 --> 00:09:03,609
do zbioru prawostronnie domkniętego

204
00:09:03,709 --> 00:09:06,147
od minus nieskończoności do –1

205
00:09:06,303 --> 00:09:08,104
czyli od minus nieskończoności

206
00:09:08,204 --> 00:09:10,499
do pierwszej współrzędnej wierzchołka.

207
00:09:10,911 --> 00:09:13,215
Funkcja maleje dla x-ów należących

208
00:09:13,315 --> 00:09:15,619
do zbioru lewostronnie domkniętego

209
00:09:15,775 --> 00:09:18,831
od –1, czyli od pierwszej współrzędnej

210
00:09:18,831 --> 00:09:21,451
wierzchołka do plus nieskończoności.

211
00:09:21,919 --> 00:09:24,309
Powiedz jeszcze, ile miejsc zerowych

212
00:09:24,409 --> 00:09:25,547
ma ta funkcja?

213
00:09:28,887 --> 00:09:31,727
Nasza parabola nie przecina osi x

214
00:09:31,727 --> 00:09:34,407
więc ta funkcja nie ma miejsc zerowych.

215
00:09:34,619 --> 00:09:36,611
Przejdźmy do ostatniego zadania.

216
00:09:39,895 --> 00:09:42,735
Podaj przykładowy wzór funkcji kwadratowej

217
00:09:42,835 --> 00:09:44,681
jeżeli wiadomo, że rośnie ona

218
00:09:44,781 --> 00:09:47,150
w przedziale prawostronnie domkniętym

219
00:09:47,250 --> 00:09:49,317
od minus nieskończoności do dwóch

220
00:09:49,417 --> 00:09:51,216
a zbiorem jej wartości jest

221
00:09:51,316 --> 00:09:53,386
przedział prawostronnie domknięty

222
00:09:53,386 --> 00:09:55,555
od minus nieskończoności do pięciu.

223
00:09:56,253 --> 00:09:58,013
Skoro zbiorem wartości funkcji

224
00:09:58,113 --> 00:10:00,520
jest przedział prawostronnie domknięty

225
00:10:00,620 --> 00:10:02,467
od minus nieskończoności do pięciu

226
00:10:02,623 --> 00:10:05,509
to 5 jest zarazem największą wartością

227
00:10:05,509 --> 00:10:09,067
tej funkcji oraz współrzędną y wierzchołka

228
00:10:09,223 --> 00:10:11,015
czyli q równa się 5.

229
00:10:11,583 --> 00:10:13,219
Spróbuj samodzielnie powiedzieć

230
00:10:13,375 --> 00:10:16,235
dla jakich argumentów ta funkcja rośnie.

231
00:10:19,319 --> 00:10:20,949
Skoro rośnie ona w przedziale

232
00:10:21,049 --> 00:10:22,390
prawostronnie domkniętym

233
00:10:22,490 --> 00:10:24,483
od minus nieskończoności do dwóch

234
00:10:24,639 --> 00:10:27,133
to oznacza że p, czyli pierwsza

235
00:10:27,133 --> 00:10:29,547
współrzędna wierzchołka, to 2.

236
00:10:29,759 --> 00:10:31,155
Stąd wzór funkcji

237
00:10:31,155 --> 00:10:33,387
w postaci kanonicznej wygląda tak:

238
00:10:33,755 --> 00:10:37,027
a razy, w nawiasie x odjąć 2

239
00:10:37,183 --> 00:10:40,455
zamknąć nawias, do kwadratu dodać 5.

240
00:10:40,767 --> 00:10:42,820
Pozostało nam jeszcze określić

241
00:10:42,820 --> 00:10:44,039
ile wynosi a.

242
00:10:44,351 --> 00:10:46,610
Ponieważ funkcja przyjmuje wartość

243
00:10:46,610 --> 00:10:49,315
największą, a nie ma najmniejszej

244
00:10:49,471 --> 00:10:52,131
to na pewno a jest mniejsze niż 0.

245
00:10:52,287 --> 00:10:53,896
Ponieważ w zadaniu proszę

246
00:10:53,996 --> 00:10:55,140
o przykładowy wzór

247
00:10:55,240 --> 00:10:57,408
to wybieramy dowolną liczbę ujemną

248
00:10:57,508 --> 00:10:59,131
na przykład –3.

249
00:10:59,455 --> 00:11:01,291
Piszemy zatem odpowiedź:

250
00:11:01,559 --> 00:11:04,319
f od x równa się –3 razy

251
00:11:04,575 --> 00:11:06,425
w nawiasie x odjąć 2

252
00:11:06,525 --> 00:11:09,795
zamknąć nawias, do kwadratu dodać 5.

253
00:11:09,951 --> 00:11:12,312
To jest przykładowy wzór funkcji

254
00:11:12,312 --> 00:11:15,128
kwadratowej, która spełnia warunki podane

255
00:11:15,128 --> 00:11:16,295
w treści zadania.

256
00:11:16,607 --> 00:11:18,463
Wykonaliśmy wszystkie wyzwania

257
00:11:18,463 --> 00:11:19,267
z tej lekcji!

258
00:11:19,423 --> 00:11:20,747
Gratulacje!

259
00:11:25,367 --> 00:11:28,105
Opisując własności dowolnej funkcji

260
00:11:28,105 --> 00:11:30,978
kwadratowej, takie jak: monotoniczność

261
00:11:30,978 --> 00:11:32,411
równanie prostej symetrii

262
00:11:32,567 --> 00:11:35,213
wartość najmniejszą oraz największą

263
00:11:35,313 --> 00:11:37,187
a także zbiór wartości

264
00:11:37,343 --> 00:11:39,707
potrzebujesz znać obie współrzędne

265
00:11:39,807 --> 00:11:42,307
jej wierzchołka, czyli p i q.

266
00:11:42,463 --> 00:11:44,487
Te odczytasz od razu z postaci

267
00:11:44,587 --> 00:11:46,611
kanonicznej funkcji kwadratowej

268
00:11:46,711 --> 00:11:48,451
która jest opisana wzorem:

269
00:11:48,607 --> 00:11:52,133
y równa się a razy, w nawiasie x odjąć p

270
00:11:52,233 --> 00:11:55,819
zamknąć nawias, do kwadratu dodać q.

271
00:11:58,647 --> 00:12:00,369
Zapraszam Cię do obejrzenia

272
00:12:00,469 --> 00:12:03,043
pozostałych lekcji o funkcji kwadratowej

273
00:12:03,199 --> 00:12:06,059
oraz do zasubskrybowania naszego kanału!