1
00:00:00,768 --> 00:00:02,040
Twierdzenie Pitagorasa

2
00:00:02,040 --> 00:00:04,537
mówi, że suma kwadratów długości

3
00:00:04,537 --> 00:00:06,444
przyprostokątnych trójkąta

4
00:00:06,446 --> 00:00:08,475
jest równa kwadratowi długości

5
00:00:08,515 --> 00:00:10,560
jego przeciwprostokątnej.

6
00:00:10,752 --> 00:00:13,391
Std znając długości dwóch boków

7
00:00:13,391 --> 00:00:16,604
w trójkącie, zawsze da się odnaleźć

8
00:00:16,604 --> 00:00:18,256
długość trzeciego.

9
00:00:18,432 --> 00:00:19,910
Twierdzenie Pitagorasa

10
00:00:19,910 --> 00:00:22,485
jest zatem najsłynniejszym przykładem

11
00:00:22,485 --> 00:00:24,368
równania kwadratowego.

12
00:00:35,072 --> 00:00:36,601
W tym filmie pokażę Ci

13
00:00:36,601 --> 00:00:37,991
skąd się biorą wzory

14
00:00:37,991 --> 00:00:40,316
na równania drugiego stopnia postaci

15
00:00:40,448 --> 00:00:43,494
ax kwadrat dodać bx dodać c.

16
00:00:43,776 --> 00:00:45,345
Na początku zajmiemy się

17
00:00:45,345 --> 00:00:47,558
pewnym szczególnym przypadkiem.

18
00:00:47,616 --> 00:00:49,136
Przyjrzyj się równaniu

19
00:00:49,292 --> 00:00:52,773
2x kwadrat odjąć 4x odjąć 16

20
00:00:52,773 --> 00:00:54,152
równa się 0.

21
00:00:54,152 --> 00:00:55,820
Zaczniemy od pozbycia się

22
00:00:55,820 --> 00:00:58,282
współczynnika przy najwyższej potędze

23
00:00:58,328 --> 00:00:59,972
czyli przy x kwadrat.

24
00:01:00,160 --> 00:01:02,100
W tym celu obie strony równania

25
00:01:02,100 --> 00:01:03,606
dzielimy przez 2.

26
00:01:03,606 --> 00:01:06,280
Dostajemy: x kwadrat odjąć 2x

27
00:01:06,280 --> 00:01:08,556
odjąć 8 równa się 0.

28
00:01:08,608 --> 00:01:10,720
Teraz, tak jak przy rozwiązywaniu

29
00:01:10,720 --> 00:01:12,186
równań liniowych

30
00:01:12,186 --> 00:01:14,461
wszystkie wyrazy zawierające niewiadomą

31
00:01:14,461 --> 00:01:16,528
zostaną po lewej stronie równania

32
00:01:16,528 --> 00:01:18,504
a wszystkie wyrazy bez x

33
00:01:18,504 --> 00:01:20,334
przerzucimy na prawą stronę

34
00:01:20,334 --> 00:01:22,640
pamiętając o zmianie znaków.

35
00:01:22,688 --> 00:01:26,532
Mamy x kwadrat odjąć 2x równa się 8.

36
00:01:27,040 --> 00:01:28,455
Teraz musimy sprytnie

37
00:01:28,455 --> 00:01:31,120
wykorzystać wzór skróconego mnożenia.

38
00:01:31,392 --> 00:01:33,729
Zauważ, że gdyby po lewej stronie

39
00:01:33,729 --> 00:01:35,230
był taki zapis

40
00:01:35,232 --> 00:01:38,144
x kwadrat odjąć 2x dodać 1

41
00:01:38,144 --> 00:01:40,118
to byłby to kwadrat wyrażenia

42
00:01:40,118 --> 00:01:41,946
x odjąć 1.

43
00:01:41,946 --> 00:01:44,070
W naszym wyrażeniu brakuje jedynki

44
00:01:44,070 --> 00:01:46,158
ale to przecież nie problem.

45
00:01:46,240 --> 00:01:47,674
Do obu stron równania

46
00:01:47,674 --> 00:01:49,832
możemy przecież dodać 1.

47
00:01:49,832 --> 00:01:51,810
Po lewej stronie otrzymujemy:

48
00:01:51,872 --> 00:01:54,688
x kwadrat odjąć 2x dodać 1

49
00:01:54,944 --> 00:01:57,014
a po prawej stronie 9.

50
00:01:57,014 --> 00:01:58,568
Po skorzystaniu ze wzoru

51
00:01:58,568 --> 00:01:59,710
skróconego mnożenia

52
00:01:59,710 --> 00:02:03,201
otrzymujemy, że x odjąć 1 do kwadratu

53
00:02:03,201 --> 00:02:05,116
równa się 9.

54
00:02:05,184 --> 00:02:07,816
Kiedy kwadrat liczby wynosi 9?

55
00:02:07,816 --> 00:02:11,072
Wtedy, kiedy jest to 3 lub -3.

56
00:02:11,324 --> 00:02:12,623
Oznacza to

57
00:02:12,623 --> 00:02:14,964
że x odjąć 1 to 3

58
00:02:14,964 --> 00:02:17,642
lub x odjąć 1 to -3.

59
00:02:17,984 --> 00:02:21,040
Stąd x to 4 lub x to -2.

60
00:02:21,312 --> 00:02:23,295
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania

61
00:02:23,295 --> 00:02:24,950
równania kwadratowego.

62
00:02:25,152 --> 00:02:27,886
Niepotrzebne były nam do tego żadne wzory.

63
00:02:27,886 --> 00:02:29,420
Podobne rozumowanie można

64
00:02:29,420 --> 00:02:31,976
przeprowadzić dla każdego równania.

65
00:02:32,064 --> 00:02:33,506
Taką metodę nazywamy

66
00:02:33,506 --> 00:02:35,150
dopełnieniem do kwadratu.

67
00:02:38,720 --> 00:02:40,636
Możemy się jeszcze zastanowić

68
00:02:40,636 --> 00:02:42,579
jak zadziałałaby ta metoda

69
00:02:42,579 --> 00:02:45,194
gdyby nasze równanie nie miało rozwiązań

70
00:02:45,376 --> 00:02:47,192
czyli miało deltę ujemną.

71
00:02:47,680 --> 00:02:49,400
Przyjrzyj się równaniu

72
00:02:49,472 --> 00:02:52,950
3x kwadrat dodać 12x dodać 15

73
00:02:52,950 --> 00:02:54,336
równa się zeru.

74
00:02:54,336 --> 00:02:55,822
Delta w tym przypadku to

75
00:02:55,822 --> 00:03:00,066
12 do kwadratu odjąć 4 razy 3 razy 15.

76
00:03:00,224 --> 00:03:03,772
Daje nam to 144 odjąć 180

77
00:03:03,808 --> 00:03:05,518
czyli -36.

78
00:03:05,856 --> 00:03:07,922
To równanie nie ma rozwiązań.

79
00:03:08,160 --> 00:03:10,989
Spróbuj samodzielnie rozwiązać to równanie

80
00:03:10,989 --> 00:03:13,520
zaprezentowaną przed chwilą metodą.

81
00:03:13,662 --> 00:03:15,434
Zapewne dojdziesz do takiego samego

82
00:03:15,434 --> 00:03:18,672
wniosku, że to równanie nie ma rozwiązań.

83
00:03:21,472 --> 00:03:22,982
Zaczynamy tak samo

84
00:03:23,008 --> 00:03:26,164
usuwając współczynnik przy x kwadrat.

85
00:03:26,592 --> 00:03:29,152
W tym celu dzielimy całe równanie przez 3

86
00:03:29,408 --> 00:03:30,305
otrzymując:

87
00:03:30,305 --> 00:03:34,482
x kwadrat dodać 4x dodać 5 równa się zeru.

88
00:03:34,624 --> 00:03:36,129
Teraz wyraz bez x

89
00:03:36,129 --> 00:03:38,056
przenosimy na prawą stronę równania

90
00:03:38,056 --> 00:03:39,720
ze zmienionym znakiem.

91
00:03:39,720 --> 00:03:43,030
x kwadrat dodać 4x to -5.

92
00:03:43,376 --> 00:03:45,194
Zauważ, że gdybyśmy mieli

93
00:03:45,194 --> 00:03:48,382
x kwadrat dodać 4x dodać 4

94
00:03:48,608 --> 00:03:52,136
to byłby to kwadrat wyrażenia x dodać 2.

95
00:03:52,448 --> 00:03:54,208
Brakuje nam liczby 4

96
00:03:54,208 --> 00:03:56,498
więc do obu stron dodajemy 4.

97
00:03:56,800 --> 00:03:59,104
W ten sposób po lewej stronie dostajemy

98
00:03:59,360 --> 00:04:02,454
x kwadrat dodać 4x dodać 4

99
00:04:02,454 --> 00:04:06,455
a po prawej -1, czyli x dodać 2

100
00:04:06,455 --> 00:04:08,224
w nawiasie do kwadratu

101
00:04:08,224 --> 00:04:09,548
to -1.

102
00:04:09,600 --> 00:04:11,897
Zastanów się, czy istnieje liczba

103
00:04:11,897 --> 00:04:14,568
która podniesiona do kwadratu da -1?

104
00:04:17,791 --> 00:04:19,266
Nie, bo kwadrat liczby

105
00:04:19,266 --> 00:04:21,137
nie może być ujemny.

106
00:04:21,375 --> 00:04:23,423
Stąd to równanie jest sprzeczne.

107
00:04:23,679 --> 00:04:25,183
Nie ma rozwiązania.

108
00:04:25,215 --> 00:04:26,273
Nic dziwnego.

109
00:04:26,273 --> 00:04:28,245
W końcu delta była ujemna.

110
00:04:31,615 --> 00:04:34,175
Teraz przejdziemy do przypadku ogólnego

111
00:04:34,431 --> 00:04:35,981
czyli równania postaci

112
00:04:35,981 --> 00:04:37,639
a razy x kwadrat

113
00:04:37,639 --> 00:04:39,723
dodać b razy x dodać c

114
00:04:39,723 --> 00:04:41,485
równa się zeru.

115
00:04:41,485 --> 00:04:43,693
Przed orzeszkiem zaczęliśmy od podzielenia

116
00:04:43,693 --> 00:04:46,149
wszystkiego przez czynnik stojący

117
00:04:46,149 --> 00:04:47,751
przy x kwadrat.

118
00:04:47,751 --> 00:04:50,129
Naszym współczynnikiem jest a.

119
00:04:50,303 --> 00:04:51,617
Obie strony równania

120
00:04:51,617 --> 00:04:53,063
dzielimy więc przez a.

121
00:04:53,119 --> 00:04:55,287
Możemy to zrobić ponieważ w założeniu

122
00:04:55,287 --> 00:04:56,914
to ma być równanie kwadratowe

123
00:04:56,914 --> 00:04:59,263
więc współczynnik przy x kwadrat

124
00:04:59,519 --> 00:05:01,251
jest zawsze różny od zera.

125
00:05:01,251 --> 00:05:02,067
Otrzymujemy:

126
00:05:02,067 --> 00:05:05,063
x kwadrat dodać bx podzielić przez a

127
00:05:05,063 --> 00:05:07,991
dodać c podzielić przez a równa się 0.

128
00:05:08,223 --> 00:05:09,757
Teraz wyraz bez x

129
00:05:09,757 --> 00:05:11,663
przenosimy na prawą stronę równania

130
00:05:11,663 --> 00:05:13,162
ze zmienionym znakiem

131
00:05:13,162 --> 00:05:15,647
otrzymując x kwadrat dodać bx

132
00:05:15,733 --> 00:05:17,207
podzielić przez a

133
00:05:17,207 --> 00:05:19,743
równa się -c podzielić przez a.

134
00:05:20,255 --> 00:05:22,405
Przed wyrazem z x-em stoi plus

135
00:05:22,405 --> 00:05:25,117
więc poszukiwany wzór skróconego mnożenia

136
00:05:25,117 --> 00:05:27,481
będzie wzorem na kwadrat sumy.

137
00:05:27,481 --> 00:05:29,177
Standardowo zapisujemy go

138
00:05:29,177 --> 00:05:30,595
jako a dodać b

139
00:05:30,595 --> 00:05:32,311
w nawiasie do kwadratu.

140
00:05:32,311 --> 00:05:33,256
Ale w tym zadaniu

141
00:05:33,256 --> 00:05:36,001
już wykorzystaliśmy literki a i b

142
00:05:36,001 --> 00:05:38,192
więc, aby uniknąć nieporozumień

143
00:05:38,376 --> 00:05:39,601
zapiszemy ten wzór

144
00:05:39,641 --> 00:05:41,431
w trochę nietypowy sposób.

145
00:05:41,563 --> 00:05:42,909
Pik dodać krzyż

146
00:05:42,909 --> 00:05:44,860
w nawiasie do kwadratu

147
00:05:44,860 --> 00:05:46,765
równa się pik do kwadratu

148
00:05:46,765 --> 00:05:49,183
dodać 2 razy pik razy krzyż

149
00:05:49,209 --> 00:05:51,103
dodać krzyż do kwadratu.

150
00:05:51,487 --> 00:05:53,845
Pik do kwadratu to x kwadrat.

151
00:05:54,047 --> 00:05:55,411
A czym jest krzyż?

152
00:05:55,583 --> 00:05:56,899
Chcemy, aby wyraz

153
00:05:56,899 --> 00:05:58,911
b razy x podzielić przez a

154
00:05:58,957 --> 00:05:59,999
był tym samym

155
00:05:59,999 --> 00:06:02,007
co 2 razy pik razy krzyż.

156
00:06:02,495 --> 00:06:03,832
Skoro pik to x

157
00:06:03,832 --> 00:06:05,487
to b podzielić przez a

158
00:06:05,487 --> 00:06:06,849
musi być z tym samym

159
00:06:06,849 --> 00:06:08,447
co 2 razy krzyż.

160
00:06:08,639 --> 00:06:10,943
Po podzieleniu przez 2 otrzymujemy

161
00:06:11,199 --> 00:06:13,381
że krzyż powinien wynosić

162
00:06:13,381 --> 00:06:15,749
b podzielić przez 2a.

163
00:06:15,807 --> 00:06:18,791
Wstawiając x do wzoru skróconego mnożenia

164
00:06:18,791 --> 00:06:19,971
w miejsce pika

165
00:06:19,971 --> 00:06:23,143
a b podzielić przez 2a w miejsce krzyża

166
00:06:23,143 --> 00:06:25,107
otrzymamy, w nawiasie

167
00:06:25,279 --> 00:06:28,305
x dodać b podzielić przez 2a

168
00:06:28,305 --> 00:06:30,553
zamknąć nawias do kwadratu.

169
00:06:30,911 --> 00:06:31,922
Spróbuj samodzielnie

170
00:06:31,922 --> 00:06:33,685
rozwinąć to wyrażenie.

171
00:06:37,055 --> 00:06:38,073
Zapisujemy:

172
00:06:38,073 --> 00:06:41,312
x kwadrat dodać 2 razy x razy b

173
00:06:41,312 --> 00:06:43,016
podzielić przez 2a

174
00:06:43,016 --> 00:06:45,387
dodać b podzielić przez 2a

175
00:06:45,387 --> 00:06:46,691
do kwadratu.

176
00:06:46,783 --> 00:06:49,087
Po wykonaniu obliczeń nasz wynik to:

177
00:06:49,343 --> 00:06:52,415
x kwadrat dodać bx podzielić przez a

178
00:06:52,671 --> 00:06:54,671
dodać b kwadrat podzielić przez

179
00:06:54,671 --> 00:06:55,897
4a kwadrat.

180
00:06:56,569 --> 00:06:57,369
Zobacz.

181
00:06:57,369 --> 00:06:59,307
Dwa pierwsze wyrazy są takie same

182
00:06:59,307 --> 00:07:00,751
jak w naszym równaniu.

183
00:07:00,863 --> 00:07:02,959
Trzeci w nim nie występuje.

184
00:07:02,959 --> 00:07:05,593
Dlatego tak jak w poprzednich przykładach

185
00:07:05,593 --> 00:07:07,457
sztucznie go wprowadzimy.

186
00:07:07,519 --> 00:07:09,500
Dodajmy do obu stron równania

187
00:07:09,500 --> 00:07:12,517
b kwadrat podzielić przez 4a kwadrat.

188
00:07:12,745 --> 00:07:13,917
Wtedy po lewej stronie

189
00:07:13,917 --> 00:07:16,017
mamy kwadrat rozważanej sumy

190
00:07:16,037 --> 00:07:16,956
a po prawej

191
00:07:16,956 --> 00:07:19,559
b kwadrat podzielić przez 4a kwadrat

192
00:07:19,559 --> 00:07:21,633
odjąć c podzielić przez a.

193
00:07:21,855 --> 00:07:23,097
Lewą stronę zwijamy

194
00:07:23,097 --> 00:07:25,756
do wzoru skróconego mnożenia.

195
00:07:25,756 --> 00:07:28,456
x dodać b podzielić przez 2a

196
00:07:28,456 --> 00:07:30,797
w nawiasie do kwadratu.

197
00:07:30,815 --> 00:07:33,047
Po prawej stronie mamy odejmowanie.

198
00:07:33,145 --> 00:07:34,273
Aby je wykonać

199
00:07:34,273 --> 00:07:35,915
musimy sprowadzić oba ułamki

200
00:07:35,915 --> 00:07:37,955
do wspólnego mianownika.

201
00:07:37,983 --> 00:07:40,557
Mianownik pierwszego to 4a kwadrat

202
00:07:40,557 --> 00:07:42,363
a w drugim mamy a.

203
00:07:42,363 --> 00:07:44,441
Jaki będzie wspólny mianownik?

204
00:07:44,441 --> 00:07:45,977
4a kwadrat.

205
00:07:45,977 --> 00:07:47,575
Widać, że drugi ułamek

206
00:07:47,575 --> 00:07:49,979
musimy rozszerzyć przez 4a.

207
00:07:50,015 --> 00:07:51,261
Otrzymujemy b kwadrat

208
00:07:51,261 --> 00:07:53,254
podzielić przez 4a kwadrat

209
00:07:53,254 --> 00:07:56,837
odjąć 4ac podzielić przez 4a kwadrat.

210
00:07:58,463 --> 00:07:59,715
Po odjęciu mamy

211
00:07:59,715 --> 00:08:02,303
b kwadrat odjąć 4 razy a razy c

212
00:08:02,559 --> 00:08:04,831
podzielić przez 4a kwadrat.

213
00:08:05,119 --> 00:08:07,167
Czy coś Ci te zapisy przypominają?

214
00:08:07,679 --> 00:08:10,269
Licznik ułamka po prawej stronie równania

215
00:08:10,269 --> 00:08:12,893
to po prostu dobrze znana nam delta.

216
00:08:13,311 --> 00:08:16,295
Zastąpmy górę ułamka przez deltę

217
00:08:16,295 --> 00:08:20,101
otrzymując delta dzielona przez 4a kwadrat

218
00:08:20,479 --> 00:08:21,773
Po lewej stronie równania

219
00:08:21,773 --> 00:08:24,409
mamy wyrażenie podniesione do kwadratu

220
00:08:24,409 --> 00:08:26,768
a po prawej stronie jakąś liczbę

221
00:08:26,768 --> 00:08:29,453
zależną od literek a, b i c.

222
00:08:29,695 --> 00:08:32,255
Aby to równanie w ogóle miało rozwiązanie

223
00:08:32,511 --> 00:08:33,939
liczba po prawej stronie

224
00:08:33,939 --> 00:08:35,831
nie może być ujemna.

225
00:08:35,839 --> 00:08:38,137
A kiedy taki ułamek jest nieujemny?

226
00:08:38,655 --> 00:08:41,671
4a kwadrat nigdy nie jest ujemne

227
00:08:41,671 --> 00:08:43,868
więc aby ułamek był nieujemny

228
00:08:43,868 --> 00:08:46,169
nieujemny musi być jego licznik

229
00:08:46,169 --> 00:08:47,597
czyli delta.

230
00:08:47,615 --> 00:08:49,664
Jeśli delta jest dodatnia

231
00:08:49,664 --> 00:08:52,493
wtedy istnieją dwa rozwiązania równania.

232
00:08:52,493 --> 00:08:54,973
x dodać b podzielić przez 2a.

233
00:08:55,295 --> 00:08:57,454
Pierwiastek z delta podzielić przez

234
00:08:57,454 --> 00:09:00,413
4a kwadrat, albo minus pierwiastek z delta

235
00:09:00,413 --> 00:09:02,977
podzielić przez 4a kwadrat.

236
00:09:02,977 --> 00:09:05,539
Zauważmy, że 4a kwadrat

237
00:09:05,539 --> 00:09:08,275
to inaczej 2a w nawiasie do kwadratu.

238
00:09:08,351 --> 00:09:11,000
Więc w obu przypadkach ten zapis

239
00:09:11,000 --> 00:09:13,780
jest równoważny pierwiastkowi z delty

240
00:09:13,780 --> 00:09:15,793
podzielić przez 2a.

241
00:09:15,793 --> 00:09:18,273
Przyjrzyjmy się pierwszemu rozwiązaniu.

242
00:09:18,335 --> 00:09:20,949
x dodać b podzielić przez 2a

243
00:09:20,949 --> 00:09:24,081
to pierwiastek z delty podzielić przez 2a.

244
00:09:24,479 --> 00:09:26,376
Aby wyliczyć samego x

245
00:09:26,376 --> 00:09:28,284
musimy odjąć od obu stron

246
00:09:28,284 --> 00:09:30,365
b podzielić przez 2a.

247
00:09:30,367 --> 00:09:31,877
Otrzymamy wtedy

248
00:09:31,903 --> 00:09:35,142
że x równa się -b podzielić przez 2a

249
00:09:35,142 --> 00:09:36,804
 dodać pierwiastek z delty

250
00:09:36,804 --> 00:09:38,517
podzielić przez 2a.

251
00:09:38,559 --> 00:09:41,119
Zapisując to w jednym ułamku dostaniemy

252
00:09:41,631 --> 00:09:44,068
-b dodać pierwiastek z delty

253
00:09:44,068 --> 00:09:45,931
podzielić przez 2a.

254
00:09:45,983 --> 00:09:48,145
W drugim przypadku również przenosimy

255
00:09:48,145 --> 00:09:49,802
b podzielić przez 2a

256
00:09:49,802 --> 00:09:50,989
na drugą stronę równania

257
00:09:50,989 --> 00:09:52,427
ze zmienionym znakiem

258
00:09:52,427 --> 00:09:54,380
i otrzymujemy -b

259
00:09:54,380 --> 00:09:56,127
odjąć pierwiastek z delty

260
00:09:56,143 --> 00:09:57,913
podzielić przez 2a.

261
00:09:58,015 --> 00:09:59,770
To wzory ogólne na rozwiązania

262
00:09:59,770 --> 00:10:01,663
równania drugiego stopnia.

263
00:10:02,111 --> 00:10:05,439
Jeżeli znamy wartości literek a, b i c

264
00:10:05,695 --> 00:10:07,421
to jesteśmy w stanie podać

265
00:10:07,421 --> 00:10:09,279
rozwiązanie takiego równania

266
00:10:09,535 --> 00:10:10,899
o ile istnieje.

267
00:10:11,327 --> 00:10:12,291
A co się stanie

268
00:10:12,291 --> 00:10:14,593
kiedy delta będzie równa zeru?

269
00:10:14,911 --> 00:10:16,517
Wtedy otrzymamy, że

270
00:10:16,517 --> 00:10:19,637
x dodać b podzielić przez 2a do kwadratu

271
00:10:19,637 --> 00:10:20,947
to 0.

272
00:10:20,947 --> 00:10:23,304
Jedyna liczba podniesiona do kwadratu

273
00:10:23,304 --> 00:10:25,927
dająca 0 to właśnie 0.

274
00:10:26,175 --> 00:10:29,024
Czyli x dodać b podzielić przez 2a

275
00:10:29,024 --> 00:10:30,941
musi być równe zeru.

276
00:10:31,039 --> 00:10:34,367
Stąd x to -b podzielić przez 2a.

277
00:10:34,879 --> 00:10:37,151
W takim przypadku równanie

278
00:10:37,183 --> 00:10:39,737
ax kwadrat dodać bx dodać c

279
00:10:39,737 --> 00:10:41,016
równa się zeru

280
00:10:41,016 --> 00:10:43,115
ma jedno podwójne rozwiązanie.

281
00:10:43,583 --> 00:10:45,093
Jeżeli chcesz się nauczyć

282
00:10:45,093 --> 00:10:47,103
jak wykorzystywać wyprowadzone wzory

283
00:10:47,103 --> 00:10:49,153
do rozwiązywania równań

284
00:10:49,153 --> 00:10:51,717
to obejrzyj nasz film na ten temat.

285
00:10:56,127 --> 00:10:57,545
Aby dowiedzieć się

286
00:10:57,545 --> 00:10:59,869
skąd biorą się wzory na rozwiązania

287
00:10:59,869 --> 00:11:01,336
równania kwadratowego

288
00:11:01,336 --> 00:11:03,289
zapisanego w postaci ogólnej

289
00:11:03,299 --> 00:11:04,588
przyjrzyj się zapisom

290
00:11:04,588 --> 00:11:06,771
znajdującym się na planszy.

291
00:11:14,047 --> 00:11:15,954
Jeśli chcesz nauczyć się

292
00:11:15,954 --> 00:11:17,905
rozwiązywać równania kwadratowe

293
00:11:17,905 --> 00:11:19,763
to obejrzyj wszystkie filmy

294
00:11:19,763 --> 00:11:21,801
znajdujące się w tym dziale.

295
00:11:21,801 --> 00:11:23,782
Wszystkie znajdziesz na naszej stronie

296
00:11:23,802 --> 00:11:26,412
internetowej pistacja.tv