1
00:00:00,256 --> 00:00:01,759
François Viète

2
00:00:01,759 --> 00:00:03,942
francuski matematyk i astronom

3
00:00:03,942 --> 00:00:06,400
sformułował wzory algebraiczne

4
00:00:06,496 --> 00:00:08,038
pozwalające rozwiązywać

5
00:00:08,058 --> 00:00:09,552
równania kwadratowe

6
00:00:09,598 --> 00:00:12,042
zwane dziś wzorami wzory Viete'a.

7
00:00:12,288 --> 00:00:15,019
Dzięki nim na podstawie współczynników

8
00:00:15,019 --> 00:00:16,744
równania kwadratowego

9
00:00:16,744 --> 00:00:18,997
zapisanego w postaci ogólnej

10
00:00:18,997 --> 00:00:21,965
da się bez wyliczania miejsc zerowych

11
00:00:21,965 --> 00:00:24,484
obliczyć ich sumę oraz iloczyn.

12
00:00:35,584 --> 00:00:37,090
W tej lekcji rozwiążemy

13
00:00:37,090 --> 00:00:39,353
wszystkie typy równań kwadratowych

14
00:00:39,353 --> 00:00:41,216
które poznaliśmy do tej pory.

15
00:00:41,472 --> 00:00:43,008
Oto pierwszy przykład.

16
00:00:43,520 --> 00:00:46,449
x kwadrat odjąć 5x dodać 4

17
00:00:46,449 --> 00:00:47,750
równa się 0.

18
00:00:47,872 --> 00:00:50,183
Rozwiąż to równanie samodzielnie

19
00:00:50,183 --> 00:00:52,367
a potem puść dalszą część filmu

20
00:00:52,367 --> 00:00:54,234
i sprawdź wynik.

21
00:00:57,088 --> 00:00:58,496
To jest postać ogólna

22
00:00:58,496 --> 00:00:59,904
równania kwadratowego.

23
00:01:00,160 --> 00:01:01,591
a równa się 1

24
00:01:01,591 --> 00:01:04,736
b równa się -5, a c to 4.

25
00:01:04,768 --> 00:01:07,072
Wszystkie współczynniki są niezerowe

26
00:01:07,328 --> 00:01:08,927
więc najpierw sprawdzimy

27
00:01:08,927 --> 00:01:10,968
liczbę rozwiązań tego równania

28
00:01:10,968 --> 00:01:12,822
korzystając z delty.

29
00:01:12,960 --> 00:01:13,986
Delta równa się

30
00:01:13,986 --> 00:01:17,056
b kwadrat odjąć 4 razy a razy c

31
00:01:17,312 --> 00:01:20,758
czyli -5 do kwadratu odjąć 4 razy

32
00:01:20,758 --> 00:01:23,712
1 razy 4, co daje 9.

33
00:01:24,224 --> 00:01:25,875
Delta jest dodatnia

34
00:01:25,875 --> 00:01:28,284
więc to równanie ma dwa rozwiązania.

35
00:01:28,576 --> 00:01:30,246
Teraz je obliczymy.

36
00:01:30,624 --> 00:01:33,440
Najpierw wyznaczamy pierwiastek z delty.

37
00:01:33,696 --> 00:01:35,744
Pierwiastek z dziewięciu to 3.

38
00:01:36,256 --> 00:01:38,884
x1, czyli pierwsze miejsce zerowe

39
00:01:38,884 --> 00:01:40,213
liczymy ze wzoru

40
00:01:40,213 --> 00:01:42,793
-b odjąć pierwiastek z delty

41
00:01:42,793 --> 00:01:44,477
podzielić przez 2a.

42
00:01:44,477 --> 00:01:46,852
Podstawiając odpowiednie wartości

43
00:01:46,852 --> 00:01:48,032
mamy w liczniku

44
00:01:48,288 --> 00:01:51,179
5 odjąć 3, a w mianowniku 2

45
00:01:51,179 --> 00:01:53,532
co po obliczeniu daje 1.

46
00:01:54,176 --> 00:01:56,707
x2, czyli drugie miejsce zerowe

47
00:01:56,707 --> 00:01:57,766
liczymy ze wzoru

48
00:01:57,766 --> 00:02:00,320
-b dodać pierwiastek z delty

49
00:02:00,336 --> 00:02:02,106
podzielić przez 2a.

50
00:02:02,112 --> 00:02:04,224
Podstawiając odpowiednie wartości

51
00:02:04,224 --> 00:02:06,976
mamy w liczniku 5 dodać 3

52
00:02:07,232 --> 00:02:08,512
a w mianowniku 2

53
00:02:08,768 --> 00:02:10,304
co po obliczeniu daje 4.

54
00:02:11,072 --> 00:02:12,352
Zapiszmy odpowiedź.

55
00:02:12,608 --> 00:02:14,252
Rozwiązaniami równania

56
00:02:14,252 --> 00:02:16,897
x kwadrat odjąć 5x dodać 4

57
00:02:16,897 --> 00:02:19,776
równa się 0, są liczby 1 i 4.

58
00:02:20,288 --> 00:02:22,660
Przejdźmy do drugiego wyznawania.

59
00:02:26,688 --> 00:02:29,763
Spróbuj samodzielnie rozwiązać równanie

60
00:02:29,763 --> 00:02:32,832
3x kwadrat odjąć 10 równa się 0.

61
00:02:36,416 --> 00:02:38,734
Tu współczynnik b jest zerem.

62
00:02:38,734 --> 00:02:41,142
Możemy oczywiście skorzystać z delty

63
00:02:41,142 --> 00:02:42,508
jak w każdej postaci

64
00:02:42,508 --> 00:02:44,352
ogólnej równania kwadratowego

65
00:02:44,608 --> 00:02:46,011
ale rozwiązanie da się

66
00:02:46,011 --> 00:02:47,936
znaleźć też szybciej.

67
00:02:47,982 --> 00:02:50,944
Przerzućmy -10 na prawą stronę równania

68
00:02:50,944 --> 00:02:52,288
ze zmienionym znakiem.

69
00:02:52,544 --> 00:02:55,360
Mamy 3x kwadrat równa się 10.

70
00:02:55,872 --> 00:02:57,615
Teraz obie strony równania

71
00:02:57,615 --> 00:02:59,148
dzielimy przez 3.

72
00:02:59,200 --> 00:03:02,552
Otrzymujemy x kwadrat równa się 10/3.

73
00:03:03,040 --> 00:03:04,704
Skoro x kwadrat równa się

74
00:03:04,704 --> 00:03:06,368
jakiejś liczbie dodatniej

75
00:03:06,624 --> 00:03:08,672
to istnieją dwa rozwiązania.

76
00:03:09,184 --> 00:03:11,232
Pierwsze, czyli x1

77
00:03:11,488 --> 00:03:13,716
to pierwiastek z dziesięciu trzecich

78
00:03:13,792 --> 00:03:16,830
a drugie, czyli x2 to minus pierwiastek

79
00:03:16,830 --> 00:03:18,544
z dziesięciu trzecich.

80
00:03:18,656 --> 00:03:19,424
Gotowe.

81
00:03:20,192 --> 00:03:22,264
Idźmy do kolejnego równania.

82
00:03:27,104 --> 00:03:31,249
-2 razy, w nawiasie x dodać 2

83
00:03:31,249 --> 00:03:33,618
zamykamy nawias do kwadratu

84
00:03:33,618 --> 00:03:35,808
dodać 1 równa się 0.

85
00:03:36,320 --> 00:03:37,710
Po lewej stronie mamy

86
00:03:37,710 --> 00:03:40,160
postać kanoniczną funkcji kwadratowej.

87
00:03:40,672 --> 00:03:43,031
Możemy najpierw przekształcić tę postać

88
00:03:43,031 --> 00:03:46,216
do ogólnej i sprawdzić za pomocą delty

89
00:03:46,216 --> 00:03:48,456
czy to równanie ma rozwiązanie.

90
00:03:48,608 --> 00:03:49,963
Bardziej opłaca się jednak

91
00:03:49,963 --> 00:03:52,011
sprawdzić liczbę rozwiązań

92
00:03:52,011 --> 00:03:54,018
rysując wykres pomocniczy.

93
00:03:54,240 --> 00:03:57,200
Jeśli się okaże, że nie ma miejsc zerowych

94
00:03:57,200 --> 00:03:58,707
to nie będziemy tracić czasu

95
00:03:58,707 --> 00:04:01,152
na zmianę równania na postać ogólną.

96
00:04:01,664 --> 00:04:03,968
Samodzielnie wykonaj wykres pomocniczy

97
00:04:04,224 --> 00:04:06,240
korzystając ze współrzędnych

98
00:04:06,240 --> 00:04:09,592
wierzchołka i wartości współczynnika a.

99
00:04:12,160 --> 00:04:14,734
Wierzchołek paraboli opisanej tym wzorem

100
00:04:14,734 --> 00:04:18,563
jest w punkcie -2 i 1, czyli tutaj.

101
00:04:18,925 --> 00:04:21,467
Skoro druga współrzędna jest dodatnia

102
00:04:21,467 --> 00:04:24,191
to wierzchołek znajduje się nad osią x.

103
00:04:24,959 --> 00:04:27,176
Współczynnik a jest ujemny

104
00:04:27,176 --> 00:04:30,079
więc ramiona paraboli są skierowane w dół

105
00:04:30,335 --> 00:04:32,584
co oznacza, że wykres funkcji

106
00:04:32,584 --> 00:04:34,426
opisanej tym wzorem

107
00:04:34,426 --> 00:04:37,029
przecina oś x w dwóch miejscach.

108
00:04:37,503 --> 00:04:40,097
Nasze równanie ma więc dwa rozwiązania.

109
00:04:40,319 --> 00:04:43,178
Aby je wyznaczyć zamieniamy tę postać

110
00:04:43,178 --> 00:04:44,415
na postać ogólną.

111
00:04:44,927 --> 00:04:46,647
Zrób to samodzielnie.

112
00:04:49,421 --> 00:04:52,007
Po przekształceniu lewej strony równania

113
00:04:52,007 --> 00:04:56,511
otrzymujemy: -2x kwadrat odjąć 8x odjąć 7

114
00:04:56,511 --> 00:04:57,727
równa się 0.

115
00:04:58,239 --> 00:05:00,814
Teraz spróbuj samodzielnie rozwiązać

116
00:05:00,814 --> 00:05:03,103
to równanie korzystając z delty.

117
00:05:06,431 --> 00:05:11,555
a to -2, b to -8, a c to -7.

118
00:05:11,807 --> 00:05:15,703
Delta równa się -8 do kwadratu

119
00:05:15,703 --> 00:05:20,409
odjąć 4 razy -2 razy -7, czyli 8.

120
00:05:20,907 --> 00:05:23,867
Pierwiastek z delty to pierwiastek z ośmiu

121
00:05:23,867 --> 00:05:26,311
czyli 2 pierwiastki z dwóch.

122
00:05:26,311 --> 00:05:29,029
Pierwsze miejsce zerowe to -b

123
00:05:29,029 --> 00:05:30,677
odjąć pierwiastek z delty

124
00:05:30,677 --> 00:05:32,437
podzielić przez 2a

125
00:05:32,543 --> 00:05:35,231
czyli 8 odjąć 2 pierwiastki z dwóch

126
00:05:35,231 --> 00:05:37,254
podzielić przez -4.

127
00:05:37,254 --> 00:05:38,701
Drugie miejsce zerowe

128
00:05:38,701 --> 00:05:41,345
to 8 dodać 2 pierwiastki z dwóch

129
00:05:41,345 --> 00:05:43,039
podzielić przez -4.

130
00:05:43,551 --> 00:05:45,675
Możemy jeszcze uprościć oba wyniki

131
00:05:45,675 --> 00:05:49,005
otrzymując: -2 dodać 1/2 razy

132
00:05:49,005 --> 00:05:52,046
pierwiastek z dwóch oraz -2 odjąć

133
00:05:52,046 --> 00:05:54,303
1/2 razy pierwiastek z dwóch.

134
00:05:54,559 --> 00:05:55,327
Gotowe.

135
00:05:56,095 --> 00:05:58,405
Możemy ten przykład rozwiązać także

136
00:05:58,405 --> 00:06:01,115
bez sprowadzania go do postaci ogólnej

137
00:06:01,115 --> 00:06:02,184
analogicznie jak

138
00:06:02,184 --> 00:06:04,451
przy rozwiązywaniu poprzedniego.

139
00:06:04,543 --> 00:06:06,687
W tym celu przekształcamy równanie

140
00:06:06,687 --> 00:06:08,926
tak, aby po jednej stronie otrzymać

141
00:06:08,926 --> 00:06:11,383
x dodać 2 do kwadratu.

142
00:06:11,711 --> 00:06:14,817
W tym celu przenosimy 1 na drugą stronę

143
00:06:14,817 --> 00:06:17,255
a następnie dzielimy obie strony równania

144
00:06:17,255 --> 00:06:18,933
przez -2.

145
00:06:18,933 --> 00:06:22,468
Otrzymujemy, że x dodać 2 do kwadratu

146
00:06:22,468 --> 00:06:24,269
równa się 1/2.

147
00:06:24,511 --> 00:06:26,350
Teraz wystarczyć zauważyć

148
00:06:26,350 --> 00:06:28,568
że w takim razie x dodać 2

149
00:06:28,568 --> 00:06:30,141
to pierwiastek z jednej drugiej

150
00:06:30,141 --> 00:06:32,847
lub minus pierwiastek z jednej drugiej.

151
00:06:32,847 --> 00:06:35,187
Po usunięciu niewymierności z mianownika

152
00:06:35,187 --> 00:06:37,719
otrzymujemy, że to to samo co

153
00:06:37,719 --> 00:06:40,895
-2 odjąć pierwiastek z dwóch przez 2.

154
00:06:41,407 --> 00:06:44,095
Analogicznie x2 to -2 dodać

155
00:06:44,095 --> 00:06:46,783
pierwiastek z dwóch przez 2

156
00:06:47,039 --> 00:06:49,149
czyli -2 dodać 1/2 razy

157
00:06:49,149 --> 00:06:50,697
pierwiastek z dwóch.

158
00:06:51,067 --> 00:06:53,447
Przejdźmy do kolejnego równania.

159
00:06:57,279 --> 00:07:01,375
-2x kwadrat dodać 13x równa się zeru.

160
00:07:01,887 --> 00:07:04,255
Rozwiąż samodzielnie to równanie.

161
00:07:08,031 --> 00:07:10,067
To równanie w postaci ogólnej

162
00:07:10,067 --> 00:07:12,693
gdzie współczynnik c jest równy zeru.

163
00:07:12,895 --> 00:07:14,877
W takiej sytuacji wiemy na pewno

164
00:07:14,877 --> 00:07:16,985
że równanie ma dwa rozwiązania.

165
00:07:17,247 --> 00:07:18,207
Aby je obliczyć

166
00:07:18,207 --> 00:07:20,289
należy wyłączyć po lewej stronie

167
00:07:20,289 --> 00:07:22,111
wspólny czynnik przed nawias.

168
00:07:22,623 --> 00:07:24,369
Otrzymujemy x razy

169
00:07:24,369 --> 00:07:28,320
otwieramy nawias -2x dodać 13

170
00:07:28,320 --> 00:07:30,815
zamykamy nawias, równa się 0.

171
00:07:31,327 --> 00:07:34,143
Pierwszym rozwiązaniem jest x równy zeru.

172
00:07:34,655 --> 00:07:37,220
Drugie rozwiązanie otrzymamy rozwiązując

173
00:07:37,220 --> 00:07:41,373
równanie: -2x dodać 13 równa się 0.

174
00:07:41,373 --> 00:07:43,269
Przerzucamy 13 na drugą stronę

175
00:07:43,269 --> 00:07:44,639
ze zmienionym znakiem

176
00:07:44,895 --> 00:07:48,479
otrzymując -2x równa się -13.

177
00:07:48,991 --> 00:07:50,471
Dzielimy obie strony równania

178
00:07:50,471 --> 00:07:54,367
przez -2 i mamy x równa się 13/2.

179
00:07:54,879 --> 00:07:56,573
To jest drugie rozwiązanie

180
00:07:56,573 --> 00:07:58,463
naszego równania kwadratowego.

181
00:07:58,975 --> 00:08:01,483
Przejdźmy do kolejnego przykładu.

182
00:08:06,143 --> 00:08:08,191
Samodzielnie rozwiąż równanie.

183
00:08:08,447 --> 00:08:12,953
x kwadrat dodać 2x dodać 7 równa się zeru.

184
00:08:15,871 --> 00:08:17,373
Mamy tutaj postać ogólną

185
00:08:17,373 --> 00:08:18,687
równania kwadratowego.

186
00:08:19,289 --> 00:08:22,271
a to 1, b to 2, a c to 7.

187
00:08:22,527 --> 00:08:23,807
Liczymy deltę.

188
00:08:24,063 --> 00:08:27,751
2 kwadrat odjąć 4 razy 1 razy 7

189
00:08:27,751 --> 00:08:29,443
to -24.

190
00:08:29,695 --> 00:08:31,301
Skoro delta jest ujemna

191
00:08:31,301 --> 00:08:33,269
to równanie nie ma rozwiązań

192
00:08:33,269 --> 00:08:35,071
i to jest to nasza odpowiedź.

193
00:08:40,703 --> 00:08:42,979
Kolejny przykład dla Ciebie.

194
00:08:43,007 --> 00:08:46,398
Rozwiąż równanie: 3 razy, w nawiasie

195
00:08:46,398 --> 00:08:47,883
x dodać 4

196
00:08:47,883 --> 00:08:49,849
zamykamy nawias do kwadratu

197
00:08:49,849 --> 00:08:52,223
dodać 3 równa się zeru.

198
00:08:55,807 --> 00:08:58,217
Po lewej stronie mamy postać kanoniczną

199
00:08:58,217 --> 00:08:59,751
funkcji kwadratowej.

200
00:08:59,751 --> 00:09:02,975
Jej wierzchołek jest w punkcie -4 i 3.

201
00:09:03,231 --> 00:09:05,297
Druga współrzędna jest dodatnia

202
00:09:05,297 --> 00:09:08,715
więc wierzchołek znajduje się nad osią x.

203
00:09:08,863 --> 00:09:11,205
Współczynnik a jest dodatni

204
00:09:11,205 --> 00:09:13,905
więc ramiona są skierowane w górę.

205
00:09:13,983 --> 00:09:15,576
Oznacza to, że ramiona

206
00:09:15,576 --> 00:09:17,285
nie przecinają osi x

207
00:09:17,285 --> 00:09:19,359
więc to równanie nie ma rozwiązań.

208
00:09:19,615 --> 00:09:22,286
Do takich samych wniosków doszlibyśmy

209
00:09:22,286 --> 00:09:23,999
przekształcając lewą stronę

210
00:09:23,999 --> 00:09:26,783
do postaci ogólnej i licząc deltę.

211
00:09:27,039 --> 00:09:28,599
Możesz to zrobić.

212
00:09:28,599 --> 00:09:31,445
Zapewniam, że delta wyjdzie ujemna.

213
00:09:31,903 --> 00:09:34,261
Przejdźmy do ostatniego równania.

214
00:09:39,327 --> 00:09:43,693
6x kwadrat dodać 36 równa się zeru.

215
00:09:43,935 --> 00:09:46,343
Rozwiąż to równanie samodzielnie.

216
00:09:49,567 --> 00:09:51,916
Po lewej stronie dostrzegamy postać ogólną

217
00:09:51,916 --> 00:09:53,765
równania kwadratowego

218
00:09:53,765 --> 00:09:55,945
którego współczynnik b to 0.

219
00:09:55,967 --> 00:09:57,944
Przerzucamy zatem 36

220
00:09:57,944 --> 00:10:00,319
na prawą stronę ze zmienionym znakiem.

221
00:10:00,831 --> 00:10:04,671
Otrzymujemy 6x kwadrat równa się -36.

222
00:10:05,147 --> 00:10:07,743
Dzielimy obie strony równania przez 6.

223
00:10:08,255 --> 00:10:11,071
Mamy x kwadrat równa się -6.

224
00:10:11,583 --> 00:10:13,119
Czy istnieje taka liczba

225
00:10:13,119 --> 00:10:14,936
która po podniesieniu do kwadratu

226
00:10:14,936 --> 00:10:16,191
da nam -6?

227
00:10:16,703 --> 00:10:17,989
Nie, bo nie ma liczby

228
00:10:17,989 --> 00:10:19,224
której kwadrat da nam

229
00:10:19,224 --> 00:10:21,311
jakąkolwiek liczbę ujemną.

230
00:10:21,567 --> 00:10:22,549
Oznacza to

231
00:10:22,549 --> 00:10:24,895
że to równanie nie ma rozwiązań.

232
00:10:25,197 --> 00:10:26,855
To wszystkie przykłady, które

233
00:10:26,855 --> 00:10:28,751
przygotowałem dla Ciebie w tej lekcji.

234
00:10:29,171 --> 00:10:30,691
Gratulacje!

235
00:10:36,159 --> 00:10:38,182
Ze względu na współczynniki

236
00:10:38,182 --> 00:10:41,006
i sposób rozwiązywania, możemy wyróżnić

237
00:10:41,006 --> 00:10:42,933
trzy typy równań kwadratowych.

238
00:10:42,933 --> 00:10:45,610
Pierwszy to taki, w którym współczynnik b

239
00:10:45,610 --> 00:10:46,655
jest równy 0.

240
00:10:46,911 --> 00:10:49,433
Drugi to taki, w którym współczynnik c

241
00:10:49,433 --> 00:10:50,495
jest równy 0.

242
00:10:50,751 --> 00:10:52,571
A trzeci to taki, gdzie wszystkie

243
00:10:52,571 --> 00:10:54,821
współczynniki są niezerowe.

244
00:11:00,735 --> 00:11:02,463
Zapraszam Cię do obejrzenia

245
00:11:02,463 --> 00:11:03,659
pozostałych lekcji

246
00:11:03,659 --> 00:11:05,320
o równaniach kwadratowych

247
00:11:05,320 --> 00:11:06,879
oraz postaci iloczynowej

248
00:11:06,879 --> 00:11:08,109
a także do polubienia

249
00:11:08,109 --> 00:11:10,599
naszej strony na Facebooku.