1
00:00:00,256 --> 00:00:02,452
Wiesz, że woda występuje w trzech

2
00:00:02,452 --> 00:00:03,764
stanach skupienia.

3
00:00:03,840 --> 00:00:06,424
Stałym jako lód, ciekłym

4
00:00:06,424 --> 00:00:08,286
i gazowym jako para.

5
00:00:08,448 --> 00:00:11,213
Tak samo jedną funkcję kwadratową da się

6
00:00:11,213 --> 00:00:13,568
zapisać w trzech różnych postaciach.

7
00:00:14,080 --> 00:00:17,152
Ogólnej, iloczynowej i kanonicznej.

8
00:00:17,664 --> 00:00:19,952
Jedna z nich nie zawsze jest możliwa

9
00:00:19,952 --> 00:00:21,026
do zapisania.

10
00:00:21,248 --> 00:00:22,100
Która?

11
00:00:22,272 --> 00:00:24,318
Tego dowiesz się z tej lekcji.

12
00:00:35,072 --> 00:00:37,604
Masz już niezbędną wiedzę, aby zamieniać

13
00:00:37,604 --> 00:00:40,648
postać kanoniczna na ogólną i odwrotnie.

14
00:00:40,704 --> 00:00:42,570
Ogólną na kanoniczną.

15
00:00:42,752 --> 00:00:44,942
W tym filmie pokażę Ci jak zamieniać

16
00:00:44,942 --> 00:00:47,872
postać ogólną i kanoniczną na iloczynową.

17
00:00:48,384 --> 00:00:50,176
Wzór postaci ogólnej to:

18
00:00:50,432 --> 00:00:55,114
y równa się ax kwadrat dodać bx dodać c.

19
00:00:55,296 --> 00:00:57,037
Przykładem takiej funkcji jest:

20
00:00:57,037 --> 00:01:00,672
y równa się x kwadrat odjąć x odjąć 2.

21
00:01:01,184 --> 00:01:04,084
Zamienię tą postać na postaci iloczynową.

22
00:01:04,256 --> 00:01:06,729
Czy pamiętasz wzór funkcji kwadratowej

23
00:01:06,729 --> 00:01:08,486
w postaci iloczynowej?

24
00:01:11,680 --> 00:01:13,984
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

25
00:01:14,240 --> 00:01:16,544
to y równa się a razy, w nawiasie

26
00:01:17,056 --> 00:01:20,300
x odjąć x1 zamknąć nawias razy

27
00:01:20,300 --> 00:01:23,357
w drugim nawiasie x odjąć x2

28
00:01:23,357 --> 00:01:24,736
zamknąć nawias.

29
00:01:24,992 --> 00:01:26,784
Gdzie x1 i x2

30
00:01:27,040 --> 00:01:29,088
to miejsca zerowe funkcji kwadratowej.

31
00:01:29,856 --> 00:01:32,423
Czego zatem potrzebujemy, aby zamienić

32
00:01:32,423 --> 00:01:34,720
postać ogólną na postać iloczynową?

33
00:01:35,232 --> 00:01:38,252
Współczynnika a i miejsc zerowych.

34
00:01:38,560 --> 00:01:41,350
Ile wynosi współczynnik a tej funkcji?

35
00:01:41,632 --> 00:01:42,494
1

36
00:01:42,656 --> 00:01:45,160
Zostały do obliczenia miejsca zerowe.

37
00:01:45,472 --> 00:01:47,142
To zadanie dla Ciebie.

38
00:01:50,336 --> 00:01:52,961
Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji

39
00:01:52,961 --> 00:01:54,688
należy rozwiązać równanie:

40
00:01:54,944 --> 00:01:58,272
x kwadrat odjąć x odjąć 2 równa się 0.

41
00:01:58,784 --> 00:02:00,835
Najpierw liczymy deltę ze wzoru:

42
00:02:00,835 --> 00:02:03,648
b kwadrat odjąć 4 razy a razy c.

43
00:02:04,160 --> 00:02:06,680
Mamy -1 do kwadratu odjąć

44
00:02:06,680 --> 00:02:09,792
4 razy 1 razy -2, czyli 9.

45
00:02:10,560 --> 00:02:12,352
Skoro delta jest dodatnia

46
00:02:12,608 --> 00:02:14,750
to funkcja ma dwa miejsca zerowe.

47
00:02:15,168 --> 00:02:17,190
Pierwsze liczymy ze wzoru:

48
00:02:17,216 --> 00:02:19,605
-b odjąć pierwiastek z delty

49
00:02:19,605 --> 00:02:21,406
podzielić przez 2a.

50
00:02:21,568 --> 00:02:23,097
Mamy zatem 1 odjąć

51
00:02:23,097 --> 00:02:25,408
pierwiastek z dziewięciu, czyli 3

52
00:02:25,664 --> 00:02:28,800
podzielić przez 2, co daje nam -1.

53
00:02:28,992 --> 00:02:31,284
Drugie miejsce zerowe liczymy ze wzoru:

54
00:02:31,284 --> 00:02:33,579
-b dodać pierwiastek z delty

55
00:02:33,579 --> 00:02:35,136
podzielić przez 2a.

56
00:02:35,392 --> 00:02:37,334
Po wstawieniu odpowiednich wartości

57
00:02:37,334 --> 00:02:40,512
otrzymujemy: 1 dodać 3 podzielić przez 2

58
00:02:40,768 --> 00:02:41,536
czyli 2.

59
00:02:42,048 --> 00:02:44,122
Mamy już wszystko czego potrzeba

60
00:02:44,122 --> 00:02:45,844
do zamiany postaci ogólnej

61
00:02:45,844 --> 00:02:47,168
na postać iloczynową.

62
00:02:47,424 --> 00:02:51,228
Otrzymujemy: y równa się 1 razy

63
00:02:51,264 --> 00:02:55,360
w nawiasie x odjąć -1 zamknąć nawias

64
00:02:55,616 --> 00:02:58,722
razy w drugim nawiasie x odjąć 2.

65
00:02:59,200 --> 00:03:01,408
Jedynki przed nawiasem nie musimy

66
00:03:01,408 --> 00:03:05,604
zapisywać, a x odjąć -1 to x dodać 1.

67
00:03:05,856 --> 00:03:07,806
Postać iloczynowa tej funkcji to

68
00:03:07,806 --> 00:03:11,427
w nawiasie x dodać 1 zamknąć nawias

69
00:03:11,427 --> 00:03:14,048
razy w drugim nawiasie x odjąć 2.

70
00:03:14,560 --> 00:03:15,432
Gotowe.

71
00:03:15,584 --> 00:03:17,812
Zwróć uwagę, że nie ma znaczenia

72
00:03:17,812 --> 00:03:20,867
czy w miejsce x1 w tym wzorze wstawimy

73
00:03:20,867 --> 00:03:23,008
pierwsze rozwiązanie czy też drugie.

74
00:03:23,520 --> 00:03:26,210
Wstawiając w miejsce x1 liczbę 2

75
00:03:26,336 --> 00:03:29,876
a w miejsce x2, -1 otrzymalibyśmy iloczyn

76
00:03:29,876 --> 00:03:31,632
dwóch nawiasów zapisanych

77
00:03:31,632 --> 00:03:34,272
w odwrotnej kolejności, a wiesz już

78
00:03:34,318 --> 00:03:36,934
że mnożenie jest przemienne.

79
00:03:40,672 --> 00:03:42,720
Spójrz teraz na taką funkcję:

80
00:03:42,976 --> 00:03:46,816
y równa się x kwadrat odjąć x dodać 4.

81
00:03:47,328 --> 00:03:49,465
Aby zapisać tę funkcję w postaci

82
00:03:49,465 --> 00:03:51,962
iloczynowej potrzebujemy współczynnika a

83
00:03:51,962 --> 00:03:53,672
oraz miejsc zerowych.

84
00:03:53,728 --> 00:03:55,264
Współczynnik a to 1.

85
00:03:55,776 --> 00:03:57,056
A miejsca zerowe?

86
00:03:57,312 --> 00:04:00,128
Aby je odnaleźć należy rozwiązać równanie

87
00:04:00,384 --> 00:04:03,712
x kwadrat odjąć x dodać 4 równa się 0.

88
00:04:04,224 --> 00:04:08,320
Współczynnik a to 1, b to -1, a c to 4.

89
00:04:08,832 --> 00:04:09,980
Liczymy deltę.

90
00:04:10,112 --> 00:04:12,928
b kwadrat odjąć 4 razy a razy c

91
00:04:13,184 --> 00:04:16,624
dla tej funkcji to -1 do kwadratu odjąć

92
00:04:16,624 --> 00:04:19,839
4 razy 1 razy 4, czyli -15.

93
00:04:20,607 --> 00:04:23,031
To równanie nie ma zatem rozwiązań

94
00:04:23,031 --> 00:04:24,892
a co za tym idzie ta funkcja

95
00:04:24,892 --> 00:04:26,589
nie ma miejsc zerowych.

96
00:04:26,751 --> 00:04:28,215
Czyli nie da się jej zapisać

97
00:04:28,215 --> 00:04:29,917
w postaci iloczynowej.

98
00:04:30,079 --> 00:04:32,531
Sprawdźmy jeszcze jeden przypadek.

99
00:04:36,223 --> 00:04:39,463
Mamy tutaj funkcję: y równa się x kwadrat

100
00:04:39,463 --> 00:04:41,599
odjąć 4x dodać 4.

101
00:04:42,367 --> 00:04:44,586
Naszym zadaniem jest zapisanie tej funkcji

102
00:04:44,586 --> 00:04:46,135
w postaci iloczynowej.

103
00:04:46,207 --> 00:04:47,999
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

104
00:04:51,839 --> 00:04:56,481
Współczynnik a to 1, b to -4, a c to 4.

105
00:04:56,703 --> 00:04:59,913
Delta równa się -4 do kwadratu odjąć

106
00:04:59,913 --> 00:05:03,217
4 razy 1 razy 4, co daje nam 0.

107
00:05:03,359 --> 00:05:05,130
To równanie ma zatem jedno

108
00:05:05,130 --> 00:05:07,551
podwójne rozwiązanie, które liczymy

109
00:05:07,551 --> 00:05:09,759
ze wzoru: -b przez 2a.

110
00:05:10,527 --> 00:05:12,981
Otrzymujemy 4 podzielić przez 2

111
00:05:13,087 --> 00:05:13,939
czyli 2.

112
00:05:14,111 --> 00:05:15,903
Spójrz na postaci iloczynową.

113
00:05:16,159 --> 00:05:18,719
We wzorze mamy x1 i x2.

114
00:05:18,975 --> 00:05:21,363
Nigdzie nie zostało jednak powiedziane

115
00:05:21,363 --> 00:05:24,351
że x1 i x2 nie mogą być identyczne.

116
00:05:24,863 --> 00:05:27,423
Wstawiamy zatem nasze podwójne rozwiązanie

117
00:05:27,679 --> 00:05:29,727
czyli 2 w dwa miejsca.

118
00:05:29,983 --> 00:05:32,031
Za x1 i za x2.

119
00:05:32,799 --> 00:05:36,653
Otrzymujemy 1 razy, w nawiasie x odjąć 2

120
00:05:36,653 --> 00:05:39,464
zamknąć nawias razy w drugim nawiasie

121
00:05:39,464 --> 00:05:40,735
x odjąć 2.

122
00:05:41,503 --> 00:05:43,614
Iloczyn dwóch jednakowych nawiasów

123
00:05:43,614 --> 00:05:45,599
możemy zapisać jako potęgę

124
00:05:45,855 --> 00:05:49,457
czyli w nawiasie x odjąć 2 zamknąć nawias

125
00:05:49,457 --> 00:05:50,657
do kwadratu.

126
00:05:50,975 --> 00:05:52,975
Przypadek gdy funkcja kwadratowa

127
00:05:52,975 --> 00:05:55,396
ma jedno miejsce zerowe skrywa jeszcze

128
00:05:55,396 --> 00:05:56,751
jedną tajemnicę.

129
00:05:57,375 --> 00:05:58,887
Przeszliśmy od postaci ogólnej

130
00:05:58,887 --> 00:06:00,447
do postaci iloczynowej.

131
00:06:00,703 --> 00:06:03,607
A tę zapisaliśmy w postaci potęgowania.

132
00:06:03,775 --> 00:06:06,506
Zauważ, że ta postać jest jednocześnie

133
00:06:06,506 --> 00:06:08,281
postacią kanoniczną.

134
00:06:08,383 --> 00:06:11,489
Przypomnę Ci, że jej ogólna forma to:

135
00:06:11,541 --> 00:06:14,559
a razy, w nawiasie x odjąć p

136
00:06:14,559 --> 00:06:17,889
zamknąć nawias do kwadratu dodać q.

137
00:06:18,111 --> 00:06:19,385
Ile wynosi a?

138
00:06:19,515 --> 00:06:20,395
1

139
00:06:20,671 --> 00:06:21,765
Ile wynosi p?

140
00:06:22,085 --> 00:06:22,825
2

141
00:06:22,975 --> 00:06:24,345
A ile wynosi q?

142
00:06:24,635 --> 00:06:25,435
0

143
00:06:25,791 --> 00:06:27,338
Gdy postać iloczynowa ma jedno

144
00:06:27,338 --> 00:06:29,103
podwójne miejsce zerowe

145
00:06:29,119 --> 00:06:31,153
to funkcję możemy zapisać od razu

146
00:06:31,153 --> 00:06:32,657
w postaci kanonicznej.

147
00:06:32,703 --> 00:06:35,007
Zapisując iloczyn dwóch nawiasów

148
00:06:35,053 --> 00:06:36,597
w postaci potęgi.

149
00:06:37,055 --> 00:06:38,942
Wierzchołek tej funkcji jest zatem

150
00:06:38,942 --> 00:06:40,909
w punkcie 2 i 0.

151
00:06:45,247 --> 00:06:47,198
Teraz zajmiemy się taką funkcją

152
00:06:47,198 --> 00:06:49,317
zapisaną w postaci kanonicznej:

153
00:06:49,343 --> 00:06:53,655
y równa się 5 razy, w nawiasie x dodać 3

154
00:06:53,655 --> 00:06:55,907
zamknąć nawias do kwadratu.

155
00:06:56,255 --> 00:06:57,565
Jak zapisać tę funkcję

156
00:06:57,565 --> 00:06:59,205
w postaci iloczynowej?

157
00:06:59,511 --> 00:07:02,091
Zauważ, że druga współrzędna wierzchołka

158
00:07:02,091 --> 00:07:03,031
wynosi 0.

159
00:07:03,167 --> 00:07:04,987
Tak jak w poprzednim przypadku.

160
00:07:05,471 --> 00:07:08,095
Kwadrat tego nawiasu zapiszmy w postaci

161
00:07:08,095 --> 00:07:09,721
iloczynu dwóch nawiasów.

162
00:07:10,079 --> 00:07:12,709
Otrzymujemy: 5 razy, w nawiasie 

163
00:07:12,815 --> 00:07:15,119
x dodać 3 zamknąć nawias

164
00:07:15,455 --> 00:07:18,527
razy w drugim nawiasie x dodać 3.

165
00:07:18,783 --> 00:07:19,551
Gotowe.

166
00:07:19,807 --> 00:07:22,202
Mamy postać iloczynową, która ma jedno

167
00:07:22,202 --> 00:07:24,671
podwójne miejsce zerowe, -3.

168
00:07:28,255 --> 00:07:29,812
Spróbujmy podsumować

169
00:07:29,812 --> 00:07:31,381
czego dowiedzieliśmy się z dwóch

170
00:07:31,381 --> 00:07:32,851
poprzednich przypadków.

171
00:07:32,863 --> 00:07:35,118
Jeśli mamy postać kanoniczną funkcji

172
00:07:35,118 --> 00:07:37,356
kwadratowej, której druga współrzędna

173
00:07:37,356 --> 00:07:40,241
wierzchołka jest zerem, to jej wzór to:

174
00:07:40,313 --> 00:07:43,180
a razy, w nawiasie x odjąć p

175
00:07:43,180 --> 00:07:45,321
zamknąć nawias do kwadratu.

176
00:07:45,919 --> 00:07:47,791
Aby zapisać tę funkcję w postaci

177
00:07:47,791 --> 00:07:50,298
iloczynowej, należy zapisać kwadrat

178
00:07:50,298 --> 00:07:51,793
nawiasów w postaci iloczynu

179
00:07:51,793 --> 00:07:53,191
dwóch nawiasów. 

180
00:07:53,343 --> 00:07:56,927
Otrzymamy: a razy, w nawiasie x odjąć p

181
00:07:57,183 --> 00:08:00,073
razy w drugim nawiasie x odjąć p.

182
00:08:00,511 --> 00:08:02,959
Porównajmy to z postacią iloczynową.

183
00:08:03,071 --> 00:08:06,210
A razy, w nawiasie x odjąć x1 razy

184
00:08:06,210 --> 00:08:08,913
w drugim nawiasie x odjąć x2.

185
00:08:09,215 --> 00:08:12,835
Widzimy, że x1 i x2 są równe p, czyli

186
00:08:12,835 --> 00:08:15,281
pierwszej współrzędnej wierzchołka.

187
00:08:15,359 --> 00:08:17,690
W takim przypadku p jest podwójnym

188
00:08:17,690 --> 00:08:19,967
miejscem zerowym funkcji kwadratowej.

189
00:08:20,479 --> 00:08:22,737
Można to też dostrzec na wykresie.

190
00:08:23,039 --> 00:08:25,025
Wykresem funkcji kwadratowej

191
00:08:25,025 --> 00:08:26,916
której druga współrzędna wierzchołka

192
00:08:26,916 --> 00:08:29,960
to 0, jest parabola, której wierzchołek

193
00:08:29,960 --> 00:08:31,231
leży na osi x.

194
00:08:31,743 --> 00:08:34,047
Pierwsza współrzędna, czyli p

195
00:08:34,113 --> 00:08:36,760
jest jednocześnie jedynym miejscem zerowym

196
00:08:36,760 --> 00:08:38,589
tej funkcji kwadratowej.

197
00:08:38,911 --> 00:08:41,460
Zwróć jednak uwagę że jest tak tylko

198
00:08:41,460 --> 00:08:43,775
w przypadku, gdy q wynosi 0.

199
00:08:44,287 --> 00:08:46,333
Nie ma znaczenia ile wynosi p.

200
00:08:50,943 --> 00:08:53,183
A jak zamienić na postać iloczynową

201
00:08:53,183 --> 00:08:55,687
postać kanoniczna, której p i q

202
00:08:55,687 --> 00:08:57,015
są różne od zera?

203
00:08:57,087 --> 00:08:58,275
Sprawdźmy.

204
00:08:58,623 --> 00:09:01,745
Mamy tutaj funkcję: y równa się 2 razy

205
00:09:01,745 --> 00:09:05,231
w nawiasie x odjąć 2 zamykamy nawias

206
00:09:05,231 --> 00:09:07,371
do kwadratu odjąć 1.

207
00:09:07,839 --> 00:09:10,211
Przypomnij sobie czego potrzebujemy

208
00:09:10,211 --> 00:09:12,447
aby móc zapisać postać iloczynową.

209
00:09:12,959 --> 00:09:15,849
Miejsc zerowych i współczynnika a.

210
00:09:16,031 --> 00:09:17,996
Wiesz jednak, że nie każda funkcja

211
00:09:17,996 --> 00:09:19,615
kwadratowa ma miejsca zerowe.

212
00:09:20,127 --> 00:09:22,431
Jak szybko sprawdzić czy nasza je ma?

213
00:09:22,943 --> 00:09:23,685
Zobacz.

214
00:09:23,711 --> 00:09:26,229
q jest mniejsze od zera, czyli wierzchołek

215
00:09:26,229 --> 00:09:28,107
paraboli jest pod osią x.

216
00:09:28,319 --> 00:09:31,003
a jest dodatnie, czyli ramiona wykresu

217
00:09:31,003 --> 00:09:33,335
są skierowane w górę, co oznacza

218
00:09:33,335 --> 00:09:35,199
że przetną oś x.

219
00:09:35,231 --> 00:09:37,279
Wiemy więc, że ta funkcja ma dwa

220
00:09:37,279 --> 00:09:39,775
miejsca zerowe, czyli da się ją zapisać

221
00:09:39,775 --> 00:09:41,389
w postaci iloczynowej.

222
00:09:41,631 --> 00:09:42,859
Jak to zrobić?

223
00:09:43,167 --> 00:09:45,421
Zapiszmy najpierw kwadrat tego nawiasu

224
00:09:45,421 --> 00:09:47,487
w postaci iloczynu dwóch nawiasów.

225
00:09:47,989 --> 00:09:50,628
Zauważ, że w uzyskaniu postaci iloczynowej

226
00:09:50,628 --> 00:09:52,467
przeszkadza nam -1.

227
00:09:52,639 --> 00:09:53,897
Co możemy zrobić?

228
00:09:54,175 --> 00:09:56,577
Pomnożyć przez siebie te nawiasy lub

229
00:09:56,577 --> 00:09:59,013
skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia.

230
00:09:59,551 --> 00:10:02,943
Otrzymamy: 2 razy, w nawiasie x kwadrat

231
00:10:03,199 --> 00:10:06,631
odjąć 4x dodać 4, zamykamy nawias

232
00:10:06,631 --> 00:10:07,821
odjąć 1.

233
00:10:07,999 --> 00:10:10,148
Mnożymy nawias przez 2 i od wyniku

234
00:10:10,148 --> 00:10:13,375
odejmujemy 1, otrzymując 2x kwadrat

235
00:10:13,631 --> 00:10:15,679
odjąć 8x dodać 7.

236
00:10:16,191 --> 00:10:17,675
Co otrzymaliśmy?

237
00:10:17,727 --> 00:10:19,207
Postać ogólną.

238
00:10:19,519 --> 00:10:21,642
Gdy druga współrzędna wierzchołka

239
00:10:21,642 --> 00:10:24,505
czyli q jest różna od zera, należy postać

240
00:10:24,505 --> 00:10:27,128
kanoniczną zamienić najpierw na ogólną

241
00:10:27,128 --> 00:10:29,868
tak jak zrobiliśmy to tutaj, a następnie

242
00:10:29,868 --> 00:10:32,609
postać ogólną zamienić na iloczynową.

243
00:10:32,831 --> 00:10:34,285
Zrób to samodzielnie.

244
00:10:37,951 --> 00:10:40,269
Delta tej postaci wynosi 8.

245
00:10:40,767 --> 00:10:42,856
Pierwsze miejsce zerowe wynosi 2

246
00:10:42,856 --> 00:10:45,515
odjąć 1/2 razy pierwiastek z dwóch

247
00:10:45,631 --> 00:10:47,587
a drugie: 2 dodać 1/2 razy

248
00:10:47,587 --> 00:10:49,133
pierwiastek z dwóch.

249
00:10:49,215 --> 00:10:51,624
Postać iloczynowa tej funkcji kwadratowej

250
00:10:51,624 --> 00:10:56,293
to 2 razy, w nawiasie x odjąć w nawiasie

251
00:10:56,293 --> 00:10:59,136
2 odjąć 1/2 razy pierwiastek z dwóch

252
00:10:59,136 --> 00:11:00,681
zamykamy nawias i raz jeszcze 

253
00:11:00,681 --> 00:11:02,783
zamykamy nawias razy

254
00:11:03,039 --> 00:11:06,321
w drugim nawiasie x odjąć w nawiasie

255
00:11:06,367 --> 00:11:09,403
2 dodać 1/2 razy pierwiastek z dwóch

256
00:11:09,439 --> 00:11:10,975
i zamykamy dwa nawiasy.

257
00:11:11,487 --> 00:11:12,329
Gotowe.

258
00:11:12,511 --> 00:11:13,649
Zapamiętaj!

259
00:11:13,791 --> 00:11:16,351
Gdy obie współrzędne funkcji kwadratowej

260
00:11:16,351 --> 00:11:18,823
zapisanej w postaci kanonicznej są różne

261
00:11:18,823 --> 00:11:21,033
od zera, to najpierw przechodzimy

262
00:11:21,033 --> 00:11:23,579
do postaci ogólnej, a dopiero później

263
00:11:23,579 --> 00:11:24,763
do iloczynowej.

264
00:11:24,799 --> 00:11:27,136
Warto tu wspomnieć, że po przejściu

265
00:11:27,136 --> 00:11:29,923
od postaci ogólnej do postaci iloczynowej

266
00:11:29,923 --> 00:11:32,369
może się okazać, że dana funkcja nie ma

267
00:11:32,369 --> 00:11:34,722
miejsc zerowych, czyli nie da się zamienić

268
00:11:34,722 --> 00:11:36,178
danej postaci kanonicznej

269
00:11:36,178 --> 00:11:37,673
w postać iloczynową.

270
00:11:37,855 --> 00:11:39,945
Pokażę Ci taki przykład.

271
00:11:43,743 --> 00:11:46,746
y równa się -3 razy, w nawiasie

272
00:11:46,746 --> 00:11:50,131
x odjąć 4 zamykamy nawias do kwadratu

273
00:11:50,131 --> 00:11:51,201
odjąć 5.

274
00:11:51,679 --> 00:11:53,461
Czy tę funkcję da się zapisać

275
00:11:53,461 --> 00:11:54,851
w postaci iloczynowej?

276
00:11:55,007 --> 00:11:57,418
Aby odpowiedzieć na to pytanie, sprawdźmy

277
00:11:57,418 --> 00:11:59,769
czy ta funkcja ma miejsca zerowe.

278
00:11:59,871 --> 00:12:01,858
Przeanalizujmy położenie wierzchołka

279
00:12:01,858 --> 00:12:03,253
i kierunek ramion.

280
00:12:03,455 --> 00:12:06,189
Druga współrzędna wierzchołka, czyli q

281
00:12:06,189 --> 00:12:07,039
to -5.

282
00:12:07,551 --> 00:12:09,900
Wierzchołek paraboli znajduje się zatem

283
00:12:09,900 --> 00:12:10,879
pod osią x.

284
00:12:11,391 --> 00:12:14,370
Współczynnik a jest ujemny, więc ramiona

285
00:12:14,370 --> 00:12:15,827
są skierowane w dół.

286
00:12:15,999 --> 00:12:18,056
Wynika z tego, że ramiona nigdy

287
00:12:18,056 --> 00:12:20,264
nie przetną osi x, czyli ta funkcja

288
00:12:20,264 --> 00:12:21,725
nie ma miejsc zerowych.

289
00:12:21,887 --> 00:12:23,075
Co za tym idzie?

290
00:12:23,167 --> 00:12:24,562
Nie da się jej zapisać

291
00:12:24,562 --> 00:12:25,957
w postaci iloczynowej.

292
00:12:26,239 --> 00:12:28,132
Dzięki temu sprawdzeniu, nie musimy

293
00:12:28,132 --> 00:12:29,739
zamieniać postaci kanonicznej

294
00:12:29,739 --> 00:12:31,825
na ogólną ani liczyć delty.

295
00:12:35,711 --> 00:12:37,859
Istnieje druga metoda zamiany postaci

296
00:12:37,859 --> 00:12:40,619
kanonicznej na iloczynową, wykorzystująca

297
00:12:40,619 --> 00:12:42,335
wzory skróconego mnożenia.

298
00:12:42,623 --> 00:12:45,317
Posłużymy się nią na przykładzie funkcji.

299
00:12:45,439 --> 00:12:48,423
y równa się minus razy, w nawiasie

300
00:12:48,423 --> 00:12:50,517
x dodać 3 zamknąć nawias

301
00:12:50,517 --> 00:12:52,453
do kwadratu dodać 4.

302
00:12:53,119 --> 00:12:55,056
Najpierw sprawdź samodzielnie

303
00:12:55,056 --> 00:12:57,727
korzystając ze współrzędnych wierzchołka

304
00:12:57,983 --> 00:13:00,577
czy ta funkcja posiada postać iloczynową.

305
00:13:04,383 --> 00:13:06,753
Wierzchołek jest w punkcie -3 i 4

306
00:13:06,753 --> 00:13:09,025
a ramiona są skierowane do dołu

307
00:13:09,025 --> 00:13:10,591
więc przetną oś x.

308
00:13:10,783 --> 00:13:13,451
Stąd wynika, że funkcja ma miejsca zerowe

309
00:13:13,451 --> 00:13:15,033
i postać iloczynową.

310
00:13:15,391 --> 00:13:17,541
Zaczynamy od wyciągnięcia a

311
00:13:17,541 --> 00:13:18,975
przed całe wyrażenie.

312
00:13:19,231 --> 00:13:22,047
Nasze a wynosi -1, więc otrzymujemy:

313
00:13:22,559 --> 00:13:25,375
-1 razy, otwieramy nawias

314
00:13:25,631 --> 00:13:28,191
x plus 3 w nawiasie do kwadratu

315
00:13:28,447 --> 00:13:30,971
odjąć 4, bo zmieniamy znak

316
00:13:31,007 --> 00:13:32,511
i zamykamy nawias.

317
00:13:32,799 --> 00:13:35,871
Zauważamy, że 4 to 2 do kwadratu

318
00:13:36,127 --> 00:13:38,495
i w nawiasie kwadratowym mamy różnicę

319
00:13:38,495 --> 00:13:40,367
kwadratów dwóch wyrażeń.

320
00:13:40,479 --> 00:13:43,037
x dodać 3 i dwójki.

321
00:13:43,295 --> 00:13:45,949
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

322
00:13:46,111 --> 00:13:47,903
a kwadrat odjąć b kwadrat

323
00:13:48,159 --> 00:13:51,249
gdzie a to x dodać 3, a b to 2.

324
00:13:51,899 --> 00:13:53,369
-1 przepisujemy.

325
00:13:54,047 --> 00:13:55,839
W pierwszym nawiasie jest suma.

326
00:13:56,095 --> 00:13:59,935
a dodać b, czyli x dodać 3 dodać 2.

327
00:14:00,191 --> 00:14:02,281
A w drugim różnica, czyli

328
00:14:02,281 --> 00:14:04,543
x dodać 3 odjąć 2.

329
00:14:04,799 --> 00:14:06,719
Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy:

330
00:14:06,719 --> 00:14:09,919
-1 razy, w nawiasie x dodać 5

331
00:14:10,175 --> 00:14:11,967
zamknąć nawias razy

332
00:14:12,223 --> 00:14:14,471
w nawiasie x dodać 1.

333
00:14:14,783 --> 00:14:15,745
Koniec.

334
00:14:20,671 --> 00:14:23,219
Aby zamienić postać ogólna funkcji

335
00:14:23,219 --> 00:14:25,667
kwadratowej na postać iloczynową

336
00:14:25,667 --> 00:14:28,314
najłatwiej jest skorzystać ze wzorów

337
00:14:28,314 --> 00:14:30,357
na x1 i x2.

338
00:14:30,655 --> 00:14:32,499
Aby zamienić postać kanoniczna

339
00:14:32,499 --> 00:14:35,459
na iloczynową, najprościej jest zacząć

340
00:14:35,459 --> 00:14:37,140
od przekształcenia jej

341
00:14:37,140 --> 00:14:38,669
do postaci ogólnej. 

342
00:14:41,919 --> 00:14:43,578
Zapraszam Cię do obejrzenia

343
00:14:43,578 --> 00:14:45,571
pozostałych lekcji z tego działu

344
00:14:45,571 --> 00:14:47,919
oraz do zasubskrybowania naszego kanału

345
00:14:47,919 --> 00:14:49,799
aby być na bieżąco.