1
00:00:00,256 --> 00:00:02,839
Możesz nie zdawać sobie z tego sprawy

2
00:00:02,839 --> 00:00:04,914
ale z równaniami kwadratowymi

3
00:00:04,914 --> 00:00:07,046
uczeń spotyka się niechcący

4
00:00:07,046 --> 00:00:09,480
już w szkole podstawowej.

5
00:00:09,480 --> 00:00:11,272
Na przykład, pole kwadratu

6
00:00:11,272 --> 00:00:14,820
jest obliczane jako kwadrat długości boku.

7
00:00:14,820 --> 00:00:16,546
A jeśli znamy pole?

8
00:00:16,546 --> 00:00:18,862
Wtedy możemy obliczyć bok a

9
00:00:18,862 --> 00:00:21,504
rozwiązując równanie kwadratowe:

10
00:00:21,504 --> 00:00:23,525
P równa się a do kwadratu

11
00:00:23,525 --> 00:00:26,888
gdzie a to długość boku naszej figury.

12
00:00:26,888 --> 00:00:29,544
W geometrii trzeba tylko pamiętać

13
00:00:29,544 --> 00:00:32,244
że długości zawsze są nieujemne

14
00:00:32,256 --> 00:00:33,804
Dlatego przyjmujemy tylko

15
00:00:33,804 --> 00:00:36,956
dodatnie rozwiązania takiego równania.

16
00:00:48,128 --> 00:00:50,534
Potrafisz już zamieniać postać ogólną

17
00:00:50,534 --> 00:00:52,674
i kanoniczną na iloczynową.

18
00:00:52,736 --> 00:00:53,895
Teraz pokażę Ci

19
00:00:53,895 --> 00:00:56,058
jak to działa w drugą stronę

20
00:00:56,064 --> 00:00:58,229
czyli jak zamieniać postać iloczynową

21
00:00:58,229 --> 00:01:00,420
na ogólną i kanoniczną.

22
00:01:00,420 --> 00:01:02,468
Spójrz na taką funkcję:

23
00:01:02,468 --> 00:01:05,776
y równa się 3 razy, w nawiasie

24
00:01:05,792 --> 00:01:08,346
x odjąć 1 zamykamy nawias

25
00:01:08,352 --> 00:01:10,158
razy w drugim nawiasie

26
00:01:10,158 --> 00:01:11,764
x dodać 2.

27
00:01:11,764 --> 00:01:13,753
Spróbuj samodzielnie przekształcić

28
00:01:13,753 --> 00:01:16,014
ten wzór wymnażając po kolei

29
00:01:16,014 --> 00:01:18,382
wszystkie czynniki.

30
00:01:21,408 --> 00:01:23,464
Najpierw pomnożę nawiasy

31
00:01:23,464 --> 00:01:25,768
x razy x to x kwadrat

32
00:01:25,768 --> 00:01:28,048
x razy 2 to 2x

33
00:01:28,064 --> 00:01:30,807
-1 razy x to -x

34
00:01:30,807 --> 00:01:33,980
a -1 razy 2 to -2.

35
00:01:33,980 --> 00:01:35,236
Zamykam nawias.

36
00:01:35,236 --> 00:01:37,268
Po uproszczeniu otrzymamy

37
00:01:37,280 --> 00:01:39,307
3 razy, w nawiasie

38
00:01:39,307 --> 00:01:42,408
x kwadrat dodać x odjąć 2.

39
00:01:42,408 --> 00:01:45,539
Teraz każdy element nawiasu mnożę przez 3

40
00:01:45,539 --> 00:01:48,624
i dostaję 3x kwadrat dodać 3x

41
00:01:48,624 --> 00:01:50,068
odjąć 6.

42
00:01:50,080 --> 00:01:53,140
Mamy postać ogólną funkcji kwadratowej.

43
00:01:53,152 --> 00:01:56,165
Aby zamienić postać iloczynową na ogólną

44
00:01:56,165 --> 00:01:57,979
wystarczy zapisać tę postać

45
00:01:57,979 --> 00:02:00,068
jako sumę algebraiczną

46
00:02:00,068 --> 00:02:02,636
czyli wymnożyć wszystkie czynniki.

47
00:02:02,636 --> 00:02:04,984
Spróbuj teraz samodzielnie zapisać

48
00:02:04,984 --> 00:02:07,210
w postaci ogólnej funkcję:

49
00:02:07,232 --> 00:02:10,812
y równa się -2 razy, w nawiasie

50
00:02:10,812 --> 00:02:13,280
x dodać 3 zamykamy nawias

51
00:02:13,280 --> 00:02:17,466
razy w drugim nawiasie x dodać 1.

52
00:02:19,776 --> 00:02:21,608
Po wymnożeniu wszystkich czynników

53
00:02:21,608 --> 00:02:27,454
otrzymujemy -2x kwadrat odjąć 8x odjąć 6.

54
00:02:27,456 --> 00:02:28,872
Masz taki sam wynik?

55
00:02:28,872 --> 00:02:30,510
To gratuluję.

56
00:02:34,624 --> 00:02:36,788
A jak zamienić postać iloczynową

57
00:02:36,788 --> 00:02:38,718
na postać kanoniczną?

58
00:02:38,720 --> 00:02:40,443
Zastanówmy się najpierw

59
00:02:40,443 --> 00:02:42,577
czy każdą funkcję kwadratową

60
00:02:42,577 --> 00:02:44,740
zapisaną w postaci iloczynowej

61
00:02:44,740 --> 00:02:47,452
da się zapisać w postaci kanonicznej.

62
00:02:47,452 --> 00:02:49,228
Jak myślisz?

63
00:02:53,056 --> 00:02:55,439
Wiesz, że każda parabola

64
00:02:55,439 --> 00:02:58,164
będąca wykresem funkcji kwadratowej

65
00:02:58,164 --> 00:02:59,354
ma wierzchołek.

66
00:02:59,354 --> 00:03:02,663
Oznacza to, że każdą funkcję kwadratową

67
00:03:02,663 --> 00:03:04,524
zapisaną w postaci iloczynowej

68
00:03:04,524 --> 00:03:07,280
da się zapisać w postaci kanonicznej.

69
00:03:07,280 --> 00:03:09,383
Jednym ze sposobów jest zamiana

70
00:03:09,383 --> 00:03:11,745
postaci iloczynowej do ogólnej

71
00:03:11,745 --> 00:03:14,016
a następnie wyliczenie współrzędnych

72
00:03:14,016 --> 00:03:16,786
wierzchołka ze znanych wzorów.

73
00:03:16,864 --> 00:03:17,906
Zobacz.

74
00:03:17,906 --> 00:03:19,684
Postać ogólna funkcji:

75
00:03:19,684 --> 00:03:22,917
y równa się -2 razy, w nawiasie

76
00:03:22,917 --> 00:03:25,572
x dodać 3 zamykamy nawias

77
00:03:25,572 --> 00:03:28,664
razy w drugim nawiasie x dodać 1

78
00:03:28,664 --> 00:03:32,980
to -2x kwadrat odjąć 8x odjąć 6.

79
00:03:32,992 --> 00:03:35,816
Czego potrzebujemy do postaci kanonicznej?

80
00:03:35,816 --> 00:03:37,530
Współczynnika a

81
00:03:37,530 --> 00:03:39,788
oraz współrzędnych wierzchołka

82
00:03:39,788 --> 00:03:41,382
czyli p i q.

83
00:03:41,382 --> 00:03:43,481
Oblicz p i q samodzielnie

84
00:03:43,481 --> 00:03:45,842
korzystając ze wzorów na p:

85
00:03:45,842 --> 00:03:48,673
-b przez 2a, oraz na q:

86
00:03:48,673 --> 00:03:51,976
minus delta przez 4a.

87
00:03:54,240 --> 00:03:58,364
p to 8 podzielić przez -4, czyli -2.

88
00:03:58,364 --> 00:04:00,151
Do q potrzebujemy delty

89
00:04:00,151 --> 00:04:03,716
czyli b kwadrat odjąć 4 razy a razy c.

90
00:04:03,716 --> 00:04:06,427
Otrzymujemy w nawiasie -8

91
00:04:06,427 --> 00:04:08,580
zamykamy nawias do kwadratu

92
00:04:08,580 --> 00:04:13,644
odjąć 4 razy -2 razy -6, co daje 16.

93
00:04:13,696 --> 00:04:16,064
q równa się zatem -16

94
00:04:16,064 --> 00:04:19,079
podzielić przez -8, czyli 2.

95
00:04:19,079 --> 00:04:21,374
Zapisz samodzielnie postać kanoniczną

96
00:04:21,374 --> 00:04:24,231
tej funkcji kwadratowej.

97
00:04:27,007 --> 00:04:32,863
Współczynnik a to -2, p to -2, a q to 2.

98
00:04:32,903 --> 00:04:34,996
Postać kanoniczna tej funkcji

99
00:04:34,996 --> 00:04:38,439
to -2 razy, w nawiasie x dodać 2

100
00:04:38,439 --> 00:04:42,239
zamykamy nawias, do kwadratu dodać 2.

101
00:04:42,367 --> 00:04:43,955
Gotowe.

102
00:04:46,719 --> 00:04:49,869
Istnieje też drugi sposób zamiany.

103
00:04:49,869 --> 00:04:51,623
Spójrz na postać iloczynową

104
00:04:51,623 --> 00:04:53,127
takiej funkcji:

105
00:04:53,127 --> 00:04:55,969
y równa się 2 razy, w nawiasie

106
00:04:55,969 --> 00:04:58,804
x odjąć 3 razy, w drugim nawiasie

107
00:04:58,804 --> 00:05:00,791
x odjąć 1.

108
00:05:00,799 --> 00:05:03,621
Wiemy, że miejsca zerowe tej funkcji

109
00:05:03,621 --> 00:05:05,079
to 3 i 1.

110
00:05:05,151 --> 00:05:07,615
Wiemy też, że ramiona tej funkcji

111
00:05:07,615 --> 00:05:09,235
są skierowane w górę.

112
00:05:09,247 --> 00:05:11,270
Narysujmy wykres pomocniczy

113
00:05:11,270 --> 00:05:13,408
czyli parabolę przechodzącą przez

114
00:05:13,408 --> 00:05:17,295
x równy 3 i przez x równe 1.

115
00:05:17,951 --> 00:05:19,209
Nie znamy wartości

116
00:05:19,209 --> 00:05:21,027
współrzędnych wierzchołka.

117
00:05:21,027 --> 00:05:22,563
Mamy je obliczyć.

118
00:05:22,563 --> 00:05:24,360
Istnieje wiele parabol

119
00:05:24,360 --> 00:05:26,459
przechodzących przez te dwa miejsca

120
00:05:26,459 --> 00:05:28,951
z ramionami skierowanymi do góry.

121
00:05:28,959 --> 00:05:31,672
Jak zatem znaleźć konkretny wierzchołek

122
00:05:31,672 --> 00:05:34,091
przypisany do naszej paraboli?

123
00:05:34,091 --> 00:05:36,073
Wiemy, że każda parabola

124
00:05:36,073 --> 00:05:39,193
jest symetryczna względem pewnej prostej

125
00:05:39,199 --> 00:05:42,239
której równanie to x równa się p.

126
00:05:42,271 --> 00:05:45,046
To znaczy, że prosta symetrii przechodzi

127
00:05:45,046 --> 00:05:46,260
dokładnie w połowie

128
00:05:46,260 --> 00:05:48,809
odległości miejsc zerowych.

129
00:05:48,809 --> 00:05:51,987
Jest zatem średnią arytmetyczną ich sumy.

130
00:05:52,007 --> 00:05:54,448
p liczymy zatem, dodając do siebie

131
00:05:54,448 --> 00:05:57,369
współrzędne x-owe obu miejsc zerowych

132
00:05:57,375 --> 00:05:59,667
i dzieląc wynik przez 2.

133
00:05:59,679 --> 00:06:02,046
Otrzymujemy 1 dodać 3

134
00:06:02,046 --> 00:06:04,551
podzielić przez 2, czyli 2.

135
00:06:04,551 --> 00:06:06,583
p jest równe dwóm.

136
00:06:06,591 --> 00:06:08,331
A jak obliczyć q?

137
00:06:08,639 --> 00:06:10,341
q to inaczej wartość

138
00:06:10,341 --> 00:06:13,761
którą funkcja przyjmuje dla argumentu p.

139
00:06:13,761 --> 00:06:16,336
Możemy ją obliczyć, wstawiając do wzoru

140
00:06:16,336 --> 00:06:19,655
w miejsce x wartość p, czyli 2.

141
00:06:19,655 --> 00:06:22,211
Otrzymujemy 2 razy, w nawiasie

142
00:06:22,211 --> 00:06:26,113
2 odjąć 3 razy, w drugim nawiasie

143
00:06:26,113 --> 00:06:29,369
2 odjąć 1, czyli -2.

144
00:06:29,375 --> 00:06:32,091
Wierzchołek tej paraboli jest w punkcie

145
00:06:32,091 --> 00:06:35,261
o współrzędnych 2 i -2.

146
00:06:35,263 --> 00:06:36,151
Możemy zapisać

147
00:06:36,151 --> 00:06:38,053
postać kanoniczną tej funkcji?

148
00:06:38,079 --> 00:06:39,357
Możemy.

149
00:06:39,359 --> 00:06:42,445
To 2 razy, w nawiasie x odjąć 2

150
00:06:42,445 --> 00:06:45,753
zamykamy nawias do kwadratu odjąć 2.

151
00:06:45,759 --> 00:06:47,047
Gotowe.

152
00:06:47,047 --> 00:06:48,848
Zamieniając postać iloczynową

153
00:06:48,848 --> 00:06:50,076
na kanoniczną

154
00:06:50,076 --> 00:06:51,174
wybierz sposób

155
00:06:51,174 --> 00:06:54,213
który jest dla ciebie wygodniejszy.

156
00:06:54,213 --> 00:06:57,235
Teraz pora na trening zdobytej wiedzy.

157
00:06:59,839 --> 00:07:02,423
Zamień postać iloczynową funkcji:

158
00:07:02,423 --> 00:07:04,154
y równa się 2 razy

159
00:07:04,154 --> 00:07:06,429
w nawiasie x odjąć 1

160
00:07:06,429 --> 00:07:09,353
razy w drugim nawiasie x dodać 4

161
00:07:09,353 --> 00:07:12,745
na postać ogólną i kanoniczną.

162
00:07:14,687 --> 00:07:16,743
Najpierw postać ogólna.

163
00:07:16,743 --> 00:07:19,459
Wystarczy przemnożyć wszystkie czynniki.

164
00:07:19,459 --> 00:07:22,584
Otrzymujemy: 2 razy, w nawiasie

165
00:07:22,584 --> 00:07:26,959
x kwadrat dodać 4x odjąć x odjąć 4

166
00:07:26,975 --> 00:07:28,751
czyli 2 razy, w nawiasie

167
00:07:28,767 --> 00:07:32,079
x kwadrat dodać 3x odjąć 4

168
00:07:32,099 --> 00:07:34,653
a po wymnożeniu nawiasu przez 2

169
00:07:34,655 --> 00:07:38,493
2x kwadrat dodać 6x odjąć 8.

170
00:07:38,495 --> 00:07:40,281
Teraz postać kanoniczna.

171
00:07:40,287 --> 00:07:42,225
Możemy wykorzystać do tego

172
00:07:42,225 --> 00:07:44,381
otrzymaną już postać ogólną.

173
00:07:44,383 --> 00:07:47,193
p to -b podzielić przez 2a

174
00:07:47,199 --> 00:07:49,763
czyli -6 podzielić przez 4

175
00:07:49,763 --> 00:07:51,805
co daje -3/2.

176
00:07:51,807 --> 00:07:54,897
q to minus delta przez 4a.

177
00:07:54,897 --> 00:07:56,177
Liczymy deltę:

178
00:07:56,177 --> 00:08:00,048
6 kwadrat odjąć 4 razy 2 razy -8

179
00:08:00,048 --> 00:08:02,863
czyli 36 dodać 64

180
00:08:02,863 --> 00:08:04,549
a to wynosi 100.

181
00:08:04,607 --> 00:08:06,113
q równa się zatem:

182
00:08:06,113 --> 00:08:10,759
-100 podzielić przez 8, czyli -12,5.

183
00:08:10,759 --> 00:08:13,837
Teraz wystarczy zapisać postać kanoniczną

184
00:08:13,837 --> 00:08:17,312
czyli 2 razy, w nawiasie x dodać 3/2

185
00:08:17,312 --> 00:08:18,691
zamykamy nawias

186
00:08:18,691 --> 00:08:21,757
do kwadratu odjąć 12,5.

187
00:08:21,759 --> 00:08:24,059
Współrzędne wierzchołka tej funkcji

188
00:08:24,059 --> 00:08:26,355
możesz też obliczyć drugim sposobem.

189
00:08:26,355 --> 00:08:29,419
Spróbuj to zrobić samodzielnie.

190
00:08:31,999 --> 00:08:34,140
Pierwsza współrzędna wierzchołka

191
00:08:34,140 --> 00:08:35,686
czyli p jest równa

192
00:08:35,686 --> 00:08:38,387
średniej arytmetycznej miejsc zerowych.

193
00:08:38,399 --> 00:08:40,957
Te odczytujemy z postaci iloczynowej.

194
00:08:40,959 --> 00:08:42,945
To 1 i -4.

195
00:08:42,945 --> 00:08:46,278
1 dodać -4 podzielić przez 2

196
00:08:46,278 --> 00:08:50,865
daje -3/2, czyli nasze p to -3/2.

197
00:08:50,943 --> 00:08:52,631
q to wartość funkcji

198
00:08:52,631 --> 00:08:55,327
dla argumentu równego -3/2

199
00:08:55,327 --> 00:08:57,337
co obliczamy, wstawiając do tego wzoru

200
00:08:57,337 --> 00:09:00,161
w miejsce x, -3/2.

201
00:09:00,161 --> 00:09:02,723
Otrzymujemy 2 razy, w nawiasie

202
00:09:02,723 --> 00:09:06,205
-3/2 odjąć 1 razy, w drugim nawiasie

203
00:09:06,205 --> 00:09:08,609
-3/2 dodać 4.

204
00:09:08,609 --> 00:09:11,312
Otrzymamy, tak jak poprzednią metodą

205
00:09:11,312 --> 00:09:13,203
-12,5.

206
00:09:13,215 --> 00:09:14,777
Gotowe.

207
00:09:19,871 --> 00:09:22,626
Aby zamienić postać iloczynową funkcji

208
00:09:22,626 --> 00:09:24,918
kwadratowej na postać ogólną

209
00:09:24,918 --> 00:09:26,485
wykonujemy takie działania

210
00:09:26,485 --> 00:09:29,099
jak na wyrażeniach algebraicznych.

211
00:09:29,099 --> 00:09:31,441
Postać iloczynową możemy zamienić

212
00:09:31,441 --> 00:09:33,699
na kanoniczną na dwa sposoby.

213
00:09:33,699 --> 00:09:36,438
Przejść przez postać ogólną

214
00:09:36,438 --> 00:09:39,315
albo skorzystać ze wzorów na p i q.

215
00:09:39,327 --> 00:09:42,387
p to średnia arytmetyczna miejsce zerowych

216
00:09:42,387 --> 00:09:46,682
a q to wartość funkcji dla argumentu p.

217
00:09:50,372 --> 00:09:52,542
W tym dziale znajdziesz niezbędną wiedzę

218
00:09:52,542 --> 00:09:54,222
dotyczącą postaci iloczynowej

219
00:09:54,222 --> 00:09:55,682
funkcji kwadratowej

220
00:09:55,682 --> 00:09:58,162
oraz rozwiązywania równań kwadratowych.

221
00:09:58,262 --> 00:09:59,752
Jeśli lubisz nasze lekcje

222
00:09:59,752 --> 00:10:02,402
to polub naszą stronę na Facebooku.