1
00:00:00,512 --> 00:00:03,022
Myślisz, że zadania z dwusieczną kąta

2
00:00:03,122 --> 00:00:05,632
to czysta teoria? Pomyśl jeszcze raz.

3
00:00:06,144 --> 00:00:07,967
Umiejętność ich rozwiązywania 

4
00:00:08,067 --> 00:00:10,340
bardzo się przydaje przy projektowaniu

5
00:00:10,440 --> 00:00:13,075
optymalnej pozycji paneli fotowoltaicznych.

6
00:00:13,568 --> 00:00:15,791
Dwusieczną wykorzystują też rolnicy

7
00:00:15,891 --> 00:00:17,739
by zapewnić sadzonym roślinom 

8
00:00:17,839 --> 00:00:20,142
jak najlepsze doświetlenie i uniknąć 

9
00:00:20,242 --> 00:00:22,270
zacieniania ich przez sąsiednie.

10
00:00:22,528 --> 00:00:25,088
Pomyśl o tym, oglądając nasz film.

11
00:00:25,344 --> 00:00:27,829
A może przyjdą Ci do głowy jeszcze inne

12
00:00:27,929 --> 00:00:29,888
praktyczne zastosowania?

13
00:00:41,216 --> 00:00:42,888
Czym jest dwusieczna kąta 

14
00:00:42,988 --> 00:00:44,411
i jakie ma właściwości 

15
00:00:44,511 --> 00:00:46,846
mówimy w innym filmie tej playlisty.

16
00:00:47,104 --> 00:00:49,920
W tym skupmy się na zadaniach. Zaczynamy!

17
00:00:50,432 --> 00:00:51,826
Zadanie pierwsze. 

18
00:00:51,926 --> 00:00:55,568
Wykorzystując dane z rysunku oblicz wartość x.

19
00:00:56,320 --> 00:00:57,856
Przyjrzyj się rysunkowi.

20
00:00:58,112 --> 00:00:59,392
Co na nim widzisz?

21
00:01:00,672 --> 00:01:05,261
Trójkąt ABC, jego dwa boki o długościach 6 i 9

22
00:01:05,361 --> 00:01:09,294
dwa kąty o jednakowej mierze i biegnący 

23
00:01:09,394 --> 00:01:12,924
między nimi odcinek AD oraz punkt D 

24
00:01:13,024 --> 00:01:16,705
leżący na trzecim boku trójkąta - BC.

25
00:01:17,312 --> 00:01:19,054
A czy z tego rysunku da się 

26
00:01:19,154 --> 00:01:20,640
wywnioskować coś więcej?

27
00:01:23,968 --> 00:01:26,537
Skoro oba kąty przy wierzchołku A 

28
00:01:26,637 --> 00:01:29,541
są takie same, to znaczy, że odcinek AD

29
00:01:29,641 --> 00:01:31,902
leży na dwusiecznej tego kąta.

30
00:01:32,160 --> 00:01:34,610
Możemy więc zastosować tu twierdzenie

31
00:01:34,710 --> 00:01:36,637
o dwusiecznej kąta w trójkącie

32
00:01:36,737 --> 00:01:38,596
które szczegółowo wyjaśniamy 

33
00:01:38,696 --> 00:01:40,605
w innym filmie tej playlisty.

34
00:01:40,864 --> 00:01:42,387
Przypomnijmy je.

35
00:01:42,656 --> 00:01:43,983
W dowolnym trójkącie 

36
00:01:44,083 --> 00:01:45,885
dwusieczna kąta wewnętrznego 

37
00:01:45,985 --> 00:01:48,180
dzieli bok przeciwległy na odcinki 

38
00:01:48,280 --> 00:01:50,591
proporcjonalne do boków przyległych.

39
00:01:51,104 --> 00:01:55,922
W naszym trójkącie oznacza to, że zachodzi

40
00:01:56,022 --> 00:02:00,327
proporcja: CD do AC równa się DB do AB

41
00:02:00,427 --> 00:02:03,640
czyli (x - 1) ma się do sześciu tak

42
00:02:03,740 --> 00:02:06,593
jak x ma się do dziewięciu.

43
00:02:06,720 --> 00:02:08,171
Rozwiązując proporcję 

44
00:02:08,271 --> 00:02:10,089
mnożymy wyrazy na krzyż.

45
00:02:10,304 --> 00:02:14,725
6 razy x oraz (x - 1) razy 9.

46
00:02:15,680 --> 00:02:21,056
Otrzymujemy: 6x równa się 9 razy (x - 1).

47
00:02:21,568 --> 00:02:24,341
6x przepisujemy, a po prawej stronie 

48
00:02:24,441 --> 00:02:26,756
mnożymy dziewiątkę razy nawias.

49
00:02:27,200 --> 00:02:29,824
9 razy x to 9x

50
00:02:30,016 --> 00:02:33,088
9 razy minus 1 to minus 9.

51
00:02:33,600 --> 00:02:38,208
Otrzymujemy 6x równa się 9x odjąć 9.

52
00:02:38,720 --> 00:02:41,068
Przenosimy niewiadome na lewą stronę

53
00:02:41,168 --> 00:02:43,583
równania, pamiętając o zmianie znaku.

54
00:02:43,840 --> 00:02:49,180
Otrzymujemy 6x odjąć 9x równa się minus 9.

55
00:02:49,472 --> 00:02:55,861
6x odjąć 9x to minus 3x, a to równa się minus 9.

56
00:02:56,128 --> 00:02:59,973
Dzielimy obustronnie przez liczbę przy iksie

57
00:03:00,073 --> 00:03:03,602
czyli przez minus 3 i otrzymujemy wynik: 

58
00:03:03,702 --> 00:03:05,895
x równa się 3. Gotowe!

59
00:03:06,112 --> 00:03:08,535
Warto jeszcze sprawdzić obliczenia.

60
00:03:08,928 --> 00:03:13,024
Skoro x to 3, to x minus 1 daje 2.

61
00:03:13,280 --> 00:03:15,763
Nasza proporcja przyjmuje postać: 

62
00:03:15,863 --> 00:03:21,850
2 do 6 równa się 3 do 9.

63
00:03:23,776 --> 00:03:30,239
Skracając oba ułamki: ten oraz ten, zobaczymy

64
00:03:30,339 --> 00:03:35,551
że proporcja zmieni się w 1/3 równa się 1/3.

65
00:03:36,064 --> 00:03:37,184
Teraz mamy pewność 

66
00:03:37,284 --> 00:03:39,391
że nasze rozwiązanie jest poprawne.

67
00:03:39,904 --> 00:03:42,228
Kolejne zadanie - po orzeszku.

68
00:03:46,816 --> 00:03:49,838
Wykaż, że jeśli dwusieczna kąta trójkąta

69
00:03:49,938 --> 00:03:52,960
jest jednocześnie środkową tego trójkąta

70
00:03:53,216 --> 00:03:55,472
to ten trójkąt jest równoramienny.

71
00:03:55,776 --> 00:03:57,824
Zacznijmy od przypomnienia pojęć.

72
00:03:58,080 --> 00:04:00,384
Dwusieczna dzieli kąt na połowy.

73
00:04:00,896 --> 00:04:03,150
Środkowa łączy wierzchołek kąta 

74
00:04:03,250 --> 00:04:05,504
ze środkiem przeciwległego boku.

75
00:04:06,272 --> 00:04:08,110
Zaczynamy od rysunku trójkąta 

76
00:04:08,210 --> 00:04:10,111
i oznaczenia jego wierzchołków.

77
00:04:10,624 --> 00:04:12,727
To, że trójkąt jest równoramienny 

78
00:04:12,827 --> 00:04:15,007
mamy dopiero wykazać, więc na razie 

79
00:04:15,107 --> 00:04:16,767
udajemy, że tego nie wiemy.

80
00:04:17,280 --> 00:04:19,182
Zaznaczmy na nim odcinek 

81
00:04:19,282 --> 00:04:21,886
łączący wierzchołek A z bokiem BC.

82
00:04:22,143 --> 00:04:24,447
Ten punkt oznaczmy jako D.

83
00:04:24,959 --> 00:04:27,962
Odcinek AD ma się pokrywać z dwusieczną

84
00:04:28,062 --> 00:04:31,614
tego kąta, czyli dzielić go na dwa równe kąty.

85
00:04:31,871 --> 00:04:34,207
Oznaczmy każdy z nich jako alfa.

86
00:04:34,431 --> 00:04:36,705
Ma być też środkową trójkąta

87
00:04:36,805 --> 00:04:40,574
czyli dzielić odcinek BC na dwa równe odcinki.

88
00:04:40,831 --> 00:04:43,999
Jeśli są tej samej długości, oznaczmy je

89
00:04:44,099 --> 00:04:46,462
tą samą literą, na przykład x.

90
00:04:46,975 --> 00:04:49,535
Czas wykorzystać twierdzenie o dwusiecznej.

91
00:04:50,047 --> 00:04:52,040
Skoro AD jest dwusieczną

92
00:04:52,207 --> 00:04:53,681
to zachodzi proporcja: 

93
00:04:53,781 --> 00:05:01,821
CD do AC jest takie samo jak DB do AB.

94
00:05:05,663 --> 00:05:08,354
Odcinek CD oznaczyliśmy jako x 

95
00:05:08,454 --> 00:05:10,526
podobnie jak odcinek BD.

96
00:05:11,039 --> 00:05:13,599
Wstawmy więc iksy do naszej proporcji.

97
00:05:14,111 --> 00:05:17,601
x przez AC równa się x przez AB.

98
00:05:18,207 --> 00:05:21,299
Jeśli wykonamy mnożenie na krzyż

99
00:05:21,399 --> 00:05:25,374
otrzymamy: x razy AB równa się x razy AC.

100
00:05:25,887 --> 00:05:28,681
X powtarza nam się po obu stronach równania

101
00:05:28,781 --> 00:05:30,268
możemy więc przez niego 

102
00:05:30,368 --> 00:05:31,773
podzielić obustronnie.

103
00:05:32,799 --> 00:05:35,871
Otrzymujemy, że AB jest równe AC.

104
00:05:36,383 --> 00:05:37,670
Co to oznacza?

105
00:05:37,919 --> 00:05:41,503
Że boki AB i AC są tej samej długości

106
00:05:41,759 --> 00:05:43,044
Czyli?...

107
00:05:43,551 --> 00:05:45,549
Nasz trójkąt jest równoramienny 

108
00:05:45,649 --> 00:05:47,252
co należało wykazać.

109
00:05:53,023 --> 00:05:54,815
Przejdźmy do kolejnego zadania.

110
00:05:55,071 --> 00:05:57,976
Obwód trójkąta równoramiennego ABC

111
00:05:58,119 --> 00:06:00,447
jest równy 90 cm.

112
00:06:00,703 --> 00:06:03,279
Dwusieczna kąta przy podstawie AB 

113
00:06:03,421 --> 00:06:07,273
dzieli ramię BC na odcinki CD i BD

114
00:06:07,392 --> 00:06:11,965
dla których CD do BD jest tak jak 4:1.

115
00:06:12,223 --> 00:06:15,295
Oblicz długości boków trójkąta ABC.

116
00:06:16,063 --> 00:06:17,176
Nie mamy tu rysunku

117
00:06:17,276 --> 00:06:18,878
więc to od niego zacznijmy.

118
00:06:19,135 --> 00:06:21,439
Ty rób to razem z nami na kartce.

119
00:06:21,951 --> 00:06:24,646
Narysujmy dowolny trójkąt równoramienny

120
00:06:24,746 --> 00:06:27,582
najlepiej tak, aby podstawa była na dole.

121
00:06:28,095 --> 00:06:30,477
Czas narysować we właściwych miejscach

122
00:06:30,577 --> 00:06:32,397
wszystkie informacje z zadania

123
00:06:32,497 --> 00:06:34,404
i odpowiednio je opisać.

124
00:06:34,751 --> 00:06:36,901
W naszym trójkącie podstawą ma być

125
00:06:37,091 --> 00:06:42,027
odcinek AB, czyli to są wierzchołki A i B

126
00:06:42,127 --> 00:06:44,128
a więc tu musi być C.

127
00:06:44,735 --> 00:06:46,431
Dwusieczna ma wychodzić 

128
00:06:46,531 --> 00:06:49,269
z jednego z wierzchołków przy podstawie

129
00:06:49,369 --> 00:06:52,157
wiemy jednak, że ma podzielić ramię BC.

130
00:06:52,671 --> 00:06:55,994
To znaczy, że musi wychodzić z wierzchołka A.

131
00:06:56,255 --> 00:06:58,963
Narysujmy ją, pamiętając że dwusieczna 

132
00:06:59,063 --> 00:07:01,630
dzieli nam ten kąt na dwa równe kąty.

133
00:07:02,655 --> 00:07:06,269
Nasza dwusieczna ma podzielić bok BC

134
00:07:06,369 --> 00:07:11,102
na dwa odcinki: CD i BD, czyli tu jest punkt D.

135
00:07:12,127 --> 00:07:15,049
Z treści wiemy jeszcze, że CD 

136
00:07:15,149 --> 00:07:18,270
w stosunku do DB ma się jak 4:1.

137
00:07:19,039 --> 00:07:22,959
To znaczy, że odcinek CD jest 4 razy dłuższy

138
00:07:23,059 --> 00:07:27,820
od DB, czyli jeśli długość DB oznaczymy jako x

139
00:07:27,920 --> 00:07:30,814
to długość CD będzie równa 4x.

140
00:07:31,327 --> 00:07:33,887
W naszym przypadku odcinek CD jest

141
00:07:34,143 --> 00:07:37,215
tylko odrobinę dłuższy od odcinka BD.

142
00:07:37,471 --> 00:07:39,789
Takie nieścisłości nie przeszkadzają 

143
00:07:39,889 --> 00:07:42,221
w obliczeniach, ale jeśli je wyłapiesz

144
00:07:42,321 --> 00:07:44,845
warto rysunek dopasować do treści zadania

145
00:07:44,945 --> 00:07:46,175
choć w przybliżeniu.

146
00:07:46,687 --> 00:07:48,997
W naszym przypadku trójkąt musi być 

147
00:07:49,097 --> 00:07:52,062
dużo wyższy, aby osiągnął zakładane proporcje.

148
00:07:54,623 --> 00:07:57,695
O, teraz wygląda przyzwoicie. Uff.

149
00:07:57,951 --> 00:08:01,023
Większość danych jest już na rysunku. Co dalej?

150
00:08:01,279 --> 00:08:04,095
Z jakich informacji jeszcze nie korzystaliśmy?

151
00:08:07,423 --> 00:08:11,775
Z tego, że obwód trójkąta wynosi 90 cm

152
00:08:12,031 --> 00:08:15,871
oraz z tego, że AD to dwusieczna kąta BAC.

153
00:08:16,383 --> 00:08:18,687
Czyli możemy i w tym zadaniu skorzystać

154
00:08:18,943 --> 00:08:20,735
z twierdzenia o dwusiecznej kąta.

155
00:08:21,247 --> 00:08:22,527
Jak by ono wyglądało?

156
00:08:23,295 --> 00:08:27,135
Ten odcinek ma się do tego, jak ten do tego.

157
00:08:27,647 --> 00:08:31,487
Brakuje nam informacji o tym i o tym odcinku.

158
00:08:31,743 --> 00:08:35,583
Ale zaraz... Ten jest przecież taki sam jak ten.

159
00:08:36,095 --> 00:08:40,332
Skoro ten ma łącznie 5x, to ten również.

160
00:08:41,878 --> 00:08:43,138
A podstawa?

161
00:08:43,519 --> 00:08:45,680
To trochę mniej intuicyjne 

162
00:08:45,780 --> 00:08:47,917
ale mamy jeszcze obwód.

163
00:08:48,127 --> 00:08:51,199
Skoro wszystkie boki łącznie mają 90

164
00:08:51,455 --> 00:08:53,315
to podstawę możemy zapisać 

165
00:08:53,415 --> 00:08:57,069
jako 90 minus długość tego boku 

166
00:08:57,169 --> 00:08:59,903
i długość tego boku, czyli...

167
00:09:03,231 --> 00:09:05,791
Tak, 90 odjąć 10x.

168
00:09:06,303 --> 00:09:08,185
W ten sposób na naszym rysunku 

169
00:09:08,285 --> 00:09:10,740
wszystkie potrzebne do proporcji odcinki 

170
00:09:10,840 --> 00:09:13,470
mamy zapisane za pomocą jednej niewiadomej.

171
00:09:13,983 --> 00:09:15,650
Możemy więc układać proporcję 

172
00:09:15,750 --> 00:09:18,334
która stanie się równaniem z jedną niewiadomą.

173
00:09:19,359 --> 00:09:23,537
Ten odcinek do tego, czyli 4x do 5x 

174
00:09:24,297 --> 00:09:26,949
ma się jak ten do tego

175
00:09:27,049 --> 00:09:31,477
czyli x do wyrażenia 90 odjąć 10x.

176
00:09:31,647 --> 00:09:33,951
Zaczynamy. Pamiętasz, od czego?

177
00:09:34,975 --> 00:09:37,023
Tak, od mnożenia na krzyż.

178
00:09:37,279 --> 00:09:43,248
5x razy x równa się 4x razy (90 odjąć 10x).

179
00:09:43,423 --> 00:09:45,215
Po wymnożeniu dostajemy:

180
00:09:45,471 --> 00:09:52,141
5x kwadrat równa się 360x odjąć 40x kwadrat.

181
00:09:52,639 --> 00:09:54,829
Jak widzisz, tym razem otrzymaliśmy

182
00:09:54,929 --> 00:09:56,223
 równanie kwadratowe.

183
00:09:56,479 --> 00:09:58,459
W takim przypadku wszystkie wyrazy

184
00:09:58,559 --> 00:10:00,062
przenosimy na lewą stronę.

185
00:10:00,319 --> 00:10:06,719
5x do kwadratu odjąć 360x + 40x kwadrat

186
00:10:06,975 --> 00:10:09,279
a po prawej stronie zostaje nam 0.

187
00:10:09,791 --> 00:10:12,971
Redukujemy wyrazy podobne i otrzymujemy:

188
00:10:13,071 --> 00:10:18,494
45x kwadrat odjąć 360x równa się 0.

189
00:10:19,007 --> 00:10:21,906
To równanie kwadratowe bez wyrazu wolnego

190
00:10:22,006 --> 00:10:24,711
a więc możemy użyć delty lub zastosować

191
00:10:24,811 --> 00:10:27,710
szybką metodę i wyciągnąć x przed nawias.

192
00:10:28,223 --> 00:10:35,013
Otrzymujemy: x razy (45x - 360) równa się 0.

193
00:10:35,391 --> 00:10:42,099
Mamy więc x równe zeru lub (45x - 360) = 0.

194
00:10:42,559 --> 00:10:45,887
X zerem być nie może, bo to długość odcinka

195
00:10:46,143 --> 00:10:47,890
więc ta odpowiedź nie spełnia 

196
00:10:47,990 --> 00:10:49,470
warunków zadania.

197
00:10:49,983 --> 00:10:53,055
Tu przenosimy 360 na prawo.

198
00:10:53,823 --> 00:10:56,895
Dzielimy obustronnie przez 45

199
00:10:57,151 --> 00:11:00,991
i otrzymujemy wynik: x = 8. Gotowe.

200
00:11:01,503 --> 00:11:03,832
Może rzuciło Ci się w oczy, że wyciągając

201
00:11:03,951 --> 00:11:05,924
czynnik przed nawias można było

202
00:11:06,024 --> 00:11:09,063
od razu wyciągnąć 45x?

203
00:11:10,207 --> 00:11:12,175
Wydawałoby się, że to już koniec

204
00:11:12,275 --> 00:11:14,558
ale przeczytaj jeszcze raz polecenie.

205
00:11:14,815 --> 00:11:18,655
Brzmi ono: Oblicz długości boków trójkąta.

206
00:11:19,167 --> 00:11:21,372
Czeka nas zatem jeszcze trochę pracy 

207
00:11:21,472 --> 00:11:23,006
ale ułatwi nam ją rysunek.

208
00:11:23,519 --> 00:11:27,182
Spójrz: bok AC ma długość 5x.

209
00:11:27,359 --> 00:11:33,759
Jeśli x to 8, to 5x to 40 cm.

210
00:11:34,271 --> 00:11:36,381
Tej samej długości jest bok BC

211
00:11:36,481 --> 00:11:38,879
bo nasz trójkąt był równoramienny.

212
00:11:39,391 --> 00:11:42,207
Pozostaje jeszcze obliczyć długość AB.

213
00:11:42,463 --> 00:11:48,177
90 -odjąć 10 razy 8, czyli 90 odjąć 80

214
00:11:48,277 --> 00:11:50,654
a to daje 10 cm.

215
00:11:51,167 --> 00:11:52,447
Podajemy odpowiedź:

216
00:11:52,703 --> 00:11:56,799
boki AC i CB mają po 40 cm

217
00:11:57,055 --> 00:12:00,328
a podstawa AB: 10 cm.

218
00:12:04,991 --> 00:12:07,027
A teraz zadanie dla Ciebie.

219
00:12:07,127 --> 00:12:09,102
Dany jest trójkąt równoramienny 

220
00:12:09,202 --> 00:12:13,525
o podstawie długości 10 i ramieniu długości 15.

221
00:12:13,695 --> 00:12:15,533
Poprowadzono w nim dwusieczną 

222
00:12:15,633 --> 00:12:17,534
jednego z kątów przy podstawie.

223
00:12:18,047 --> 00:12:19,997
Na jakie odcinki ta dwusieczna

224
00:12:20,097 --> 00:12:21,847
dzieli ramię tego trójkąta?

225
00:12:22,399 --> 00:12:24,013
Wstrzymaj film i zmierz się 

226
00:12:24,113 --> 00:12:25,727
z tym zadaniem samodzielnie.

227
00:12:29,311 --> 00:12:30,847
Kroki jakie wykonaliśmy:

228
00:12:31,103 --> 00:12:34,117
1. Oznaczamy jeden z szukanych odcinków

229
00:12:34,217 --> 00:12:37,351
jako x, a drugi jako 15 odjąć x.

230
00:12:37,759 --> 00:12:39,652
2. Korzystamy z twierdzenia 

231
00:12:39,752 --> 00:12:41,854
o dwusiecznej kąta w trójkącie.

232
00:12:42,879 --> 00:12:44,963
3. Obliczamy x i tym samym

233
00:12:45,063 --> 00:12:47,230
jeden z szukanych odcinków.

234
00:12:47,999 --> 00:12:50,690
4. Obliczamy drugi odcinek.

235
00:12:58,239 --> 00:13:00,997
Zapamiętaj: dwusieczna kąta w trójkącie

236
00:13:01,097 --> 00:13:02,847
dzieli ten kąt na połowy.

237
00:13:03,359 --> 00:13:05,784
Środkowa trójkąta łączy wierzchołek 

238
00:13:05,884 --> 00:13:07,966
z środkiem przeciwległego boku.

239
00:13:08,735 --> 00:13:10,669
W trójkątach równoramiennych 

240
00:13:10,769 --> 00:13:12,858
dwusieczna kąta między ramionami

241
00:13:12,958 --> 00:13:15,645
jest jednocześnie środkową i wysokością.

242
00:13:18,975 --> 00:13:21,535
Dwusieczna dzieli, ale pistacja łączy.

243
00:13:21,791 --> 00:13:23,408
Wiedzę z wielu dziedzin.

244
00:13:23,583 --> 00:13:27,665
Zachęcamy, dołącz do nas na pistacja.tv