1
00:00:00,768 --> 00:00:03,150
Gdy wybierasz się na pieszą wycieczkę 

2
00:00:03,250 --> 00:00:05,646
wszystkie potrzebne rzeczy starasz się 

3
00:00:05,746 --> 00:00:07,950
spakować w jeden plecak, a przy tym 

4
00:00:08,050 --> 00:00:09,216
go nie przeładować.

5
00:00:09,472 --> 00:00:12,032
W końcu wiesz, że to ty będziesz go dźwigać.

6
00:00:12,288 --> 00:00:14,472
A co jeśli podróżujesz z kolegą?

7
00:00:14,572 --> 00:00:17,613
Macie dwa plecaki, ale przecież wystarczy wam

8
00:00:17,713 --> 00:00:19,967
jedna apteczka, czy jeden namiot.

9
00:00:20,224 --> 00:00:22,892
Warto przejrzeć zawartość obu plecaków

10
00:00:22,992 --> 00:00:25,087
i pozbyć się zbędnego balastu.

11
00:00:25,344 --> 00:00:27,283
Podobnie jest w matematyce.

12
00:00:27,392 --> 00:00:29,160
Staramy się pozbyć elementów 

13
00:00:29,260 --> 00:00:30,463
które się powielają.

14
00:00:30,720 --> 00:00:32,247
Ta zasada jest podstawą

15
00:00:32,347 --> 00:00:34,813
przy mnożeniu wyrażeń wymiernych.

16
00:00:46,080 --> 00:00:49,160
Jeśli oglądasz nasze filmy, na pewno znasz już

17
00:00:49,260 --> 00:00:51,455
zasady mnożenia ułamków zwykłych.

18
00:00:51,712 --> 00:00:53,070
Te zasady to podstawa 

19
00:00:53,170 --> 00:00:55,552
również w mnożeniu wyrażeń wymiernych.

20
00:00:55,808 --> 00:00:59,186
Jak mnożymy ułamki zwykłe? Licznik x licznik

21
00:00:59,286 --> 00:01:01,367
a mianownik razy mianownik. 

22
00:01:01,467 --> 00:01:04,767
Jeśli jednak się da, wcześniej je skracamy.

23
00:01:05,024 --> 00:01:07,809
Po co? Bo mniejsze liczby łatwiej wymnożyć 

24
00:01:07,909 --> 00:01:10,446
i w wynikach nie otrzymamy niepotrzebnie

25
00:01:10,546 --> 00:01:13,727
dużych liczb, które dużo trudniej będzie skrócić.

26
00:01:15,520 --> 00:01:18,575
To skracanie jest tu kluczem do dalszej części

27
00:01:18,675 --> 00:01:21,663
filmu, dlatego zatrzymajmy się na nim chwilę.

28
00:01:22,176 --> 00:01:25,382
Skracając w myślach dokonujesz rozkładu liczb.

29
00:01:25,482 --> 00:01:30,751
6 to 2 razy 3, a 9 to 3 razy 3

30
00:01:30,937 --> 00:01:33,694
więc obie możesz skrócić przez 3.

31
00:01:33,952 --> 00:01:36,496
I właśnie taki rozkład będziemy stosować 

32
00:01:36,596 --> 00:01:37,888
przy mnożeniu wyrażeń 

33
00:01:37,988 --> 00:01:39,583
i nie tylko przy mnożeniu.

34
00:01:39,840 --> 00:01:42,759
Do rozkładu wyrażeń potrzebnych nam będzie

35
00:01:42,859 --> 00:01:45,799
kilka umiejętności. Warto przypomnieć sobie

36
00:01:45,899 --> 00:01:47,637
wzory skróconego mnożenia 

37
00:01:47,737 --> 00:01:50,041
wyciąganie czynników przed nawias 

38
00:01:50,141 --> 00:01:52,586
oraz obliczanie delty. Mówimy o tym 

39
00:01:52,686 --> 00:01:55,485
w innych naszych filmach. Schrup orzeszka

40
00:01:55,585 --> 00:01:57,747
a po nim będziemy wykorzystywać 

41
00:01:57,847 --> 00:01:59,564
poznane zasady w praktyce.

42
00:02:03,136 --> 00:02:06,168
Zadanie 1: wykonaj mnożenie.

43
00:02:06,464 --> 00:02:08,768
Chcemy wymnożyć te dwa wyrażenia.

44
00:02:09,024 --> 00:02:11,052
Zanim zaczniemy, jeszcze drobny

45
00:02:11,152 --> 00:02:13,197
 acz niezwykle istotny szczegół:

46
00:02:13,297 --> 00:02:14,655
określenie dziedziny.

47
00:02:14,976 --> 00:02:16,843
Mianowniki naszych wyrażeń 

48
00:02:16,943 --> 00:02:19,520
nie mogą być równe zeru. Zapiszmy to.

49
00:02:21,568 --> 00:02:24,318
A więc w pierwszym przypadku x nie może

50
00:02:24,418 --> 00:02:27,455
być równy trójce, w drugim - minus jedynce.

51
00:02:27,968 --> 00:02:30,796
Możemy pod x wstawić każdą liczbę ze zbioru 

52
00:02:30,896 --> 00:02:33,855
liczb rzeczywistych, z wyłączeniem tych dwóch.

53
00:02:34,624 --> 00:02:37,599
Przechodzimy do głównego punktu programu

54
00:02:37,699 --> 00:02:41,279
czyli mnożenia. Czy da się je przedtem skrócić?

55
00:02:42,048 --> 00:02:43,841
Nie jest to tak intuicyjne 

56
00:02:43,941 --> 00:02:46,143
jak w przypadku ułamków zwykłych.

57
00:02:46,400 --> 00:02:49,216
6 dało się rozłożyć na 2 x 3

58
00:02:49,728 --> 00:02:52,544
a czy da się jakoś rozłożyć dwa iks plus dwa?

59
00:02:52,800 --> 00:02:56,128
Tak, możemy wyciągnąć dwójkę przed nawias.

60
00:02:58,944 --> 00:03:02,782
X kwadrat można ewentualnie zapisać 

61
00:03:02,882 --> 00:03:05,856
jako x razy x, a mianowniki?

62
00:03:06,112 --> 00:03:08,916
One już są w najprostszej możliwej formie

63
00:03:09,016 --> 00:03:11,910
ale warto je wziąć w nawiasy, żeby pamiętać

64
00:03:12,010 --> 00:03:14,814
że skracać możemy je jedynie jako całość.

65
00:03:15,328 --> 00:03:16,864
Czy coś nam się powtarza?

66
00:03:19,936 --> 00:03:23,520
Tak, wyrażenie x + 1, skracamy.

67
00:03:25,312 --> 00:03:27,360
Przepiszmy to, co nam zostało.

68
00:03:28,128 --> 00:03:32,992
2 przez x -3 razy x do kwadratu przez 1.

69
00:03:34,016 --> 00:03:35,296
Czas na mnożenie.

70
00:03:35,552 --> 00:03:38,880
Licznik razy licznik, mianownik razy mianownik.

71
00:03:39,904 --> 00:03:43,744
2 razy iks do kwadratu to dwa iks kwadrat

72
00:03:44,256 --> 00:03:48,864
a x-3 razy jeden to x-3. Gotowe.

73
00:03:49,120 --> 00:03:50,912
Jakie kroki wykonaliśmy?

74
00:03:51,424 --> 00:03:53,728
Pierwszy to określenie dziedziny.

75
00:03:53,984 --> 00:03:56,835
Drugi: rozkład liczników i mianowników

76
00:03:56,935 --> 00:03:58,335
jeśli tylko się da.

77
00:03:58,592 --> 00:04:01,920
Trzeci: skracanie. Czwarty: mnożenie.

78
00:04:02,176 --> 00:04:03,812
Z tą checklistą przechodzimy

79
00:04:03,912 --> 00:04:05,247
do kolejnego przykładu.

80
00:04:09,600 --> 00:04:12,160
Zadanie 2: wykonaj mnożenie.

81
00:04:12,672 --> 00:04:14,707
W tym przykładzie poszczególne 

82
00:04:14,807 --> 00:04:17,667
składniki wyrażenia są bardziej rozbudowane.

83
00:04:17,767 --> 00:04:20,559
Ale czy to coś zmienia? Nie. Wykorzystujemy

84
00:04:20,659 --> 00:04:23,165
ten sam schemat. Oto nasza checklista.

85
00:04:23,679 --> 00:04:25,371
Zaczynamy od dziedziny.

86
00:04:25,471 --> 00:04:27,956
Zarówno pierwszy, jak i drugi mianownik

87
00:04:28,056 --> 00:04:29,566
muszą być różne od zera.

88
00:04:30,079 --> 00:04:32,698
W pierwszym kroku warto sprawdzić, czy da się

89
00:04:32,798 --> 00:04:34,942
wyciągnąć jakiś czynnik przed nawias.

90
00:04:35,199 --> 00:04:37,247
Da się, i to w obu przypadkach.

91
00:04:37,503 --> 00:04:39,632
Jeśli to nie jest dla ciebie jasne 

92
00:04:39,732 --> 00:04:42,110
koniecznie powtórz rozkład wielomianów.

93
00:04:42,623 --> 00:04:46,402
A więc x do kwadratu musi być różny od zera

94
00:04:46,502 --> 00:04:49,124
i x + 2 musi być różne od zera

95
00:04:49,279 --> 00:04:53,122
a także sam x i wyrażenie x - 3.

96
00:04:54,399 --> 00:04:56,703
X nie może więc być równy zeru

97
00:04:57,215 --> 00:04:59,007
ani minus dwójce

98
00:04:59,263 --> 00:05:00,287
znów zeru

99
00:05:01,567 --> 00:05:02,591
i trójce.

100
00:05:03,871 --> 00:05:06,741
Dziedzina to więc zbiór liczb rzeczywistych

101
00:05:06,841 --> 00:05:10,481
z wyłączeniem -2, 0 i 3.

102
00:05:10,783 --> 00:05:12,319
Pierwszy krok za nami.

103
00:05:12,831 --> 00:05:15,915
Drugi krok to rozkład liczników i mianowników.

104
00:05:16,015 --> 00:05:17,346
Wyznaczając dziedzinę

105
00:05:17,446 --> 00:05:20,003
przy okazji rozłożyliśmy już mianowniki

106
00:05:20,103 --> 00:05:22,301
wyciągając czynniki przed nawias.

107
00:05:22,559 --> 00:05:25,119
Możemy więc je już zapisać w tej formie.

108
00:05:26,143 --> 00:05:28,233
Zajmijmy się zatem licznikami.

109
00:05:28,333 --> 00:05:30,494
Zwróć uwagę na pierwszy z nich.

110
00:05:30,751 --> 00:05:32,932
Możemy tu zastosować jeden ze wzorów

111
00:05:33,032 --> 00:05:35,837
skróconego mnożenia i dzięki niemu możesz go

112
00:05:35,937 --> 00:05:37,766
rozpisać od razu.

113
00:05:39,462 --> 00:05:42,855
A to w naszym przypadku x, a b to 3.

114
00:05:42,955 --> 00:05:46,490
Otrzymujemy x-3 w jednym nawiasie

115
00:05:46,590 --> 00:05:48,157
i x+3 w drugim.

116
00:05:48,671 --> 00:05:49,943
Możemy też rozłożyć go 

117
00:05:50,043 --> 00:05:52,314
przez znalezienie jego miejsc zerowych 

118
00:05:52,414 --> 00:05:55,567
w tradycyjny sposób, przyrównując do zera.

119
00:05:55,667 --> 00:05:57,403
Przenosimy dziewiątkę.

120
00:05:57,503 --> 00:05:59,681
X kwadrat będzie równy 9 

121
00:05:59,781 --> 00:06:03,260
jeśli x będzie równy trójce lub minus trójce.

122
00:06:05,055 --> 00:06:07,615
Możemy teraz zapisać postać iloczynową:

123
00:06:07,871 --> 00:06:10,943
(x - 3) razy (x + 3).

124
00:06:13,247 --> 00:06:15,551
Drugi licznik nie wymaga naszej uwagi.

125
00:06:16,063 --> 00:06:17,718
Przepiszmy nasze wyrażenie 

126
00:06:17,818 --> 00:06:19,234
z rozłożonym licznikiem 

127
00:06:19,334 --> 00:06:20,926
i dodajmy nawias w drugim.

128
00:06:21,695 --> 00:06:22,980
Teraz dobrze widać 

129
00:06:23,080 --> 00:06:25,278
dwie pary identycznych nawiasów.

130
00:06:25,535 --> 00:06:28,095
Możemy je skrócić i zapisać wynik.

131
00:06:30,399 --> 00:06:32,519
Trzeba jeszcze wymnożyć to

132
00:06:32,619 --> 00:06:34,238
co zostało i gotowe.

133
00:06:40,383 --> 00:06:42,008
Przed nami kolejny przykład

134
00:06:42,108 --> 00:06:44,478
zresztą bardzo podobny do poprzedniego.

135
00:06:44,603 --> 00:06:45,755
Co najpierw?

136
00:06:46,015 --> 00:06:47,807
Tak. Określ dziedzinę.

137
00:06:48,554 --> 00:06:51,134
Oba mianowniki muszą być różne od zera.

138
00:06:51,234 --> 00:06:53,495
Zobacz, że w drugim przypadku można

139
00:06:53,595 --> 00:06:56,175
wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias.

140
00:06:59,839 --> 00:07:02,990
A tu możemy od razu przenieść szóstkę

141
00:07:03,090 --> 00:07:05,589
podzielić obustronnie przez czwórkę

142
00:07:05,689 --> 00:07:07,519
i wyciągnąć całości.

143
00:07:08,031 --> 00:07:10,864
Tu każdy z elementów musi być różny od zera

144
00:07:10,964 --> 00:07:13,281
a więc x musi być różne od zera 

145
00:07:13,381 --> 00:07:16,222
i x musi być różne od -5.

146
00:07:16,735 --> 00:07:19,742
Dziedzina to więc zbiór liczb rzeczywistych

147
00:07:19,842 --> 00:07:24,854
z wyłączeniem -5, - 1 i 1/2 oraz 0.

148
00:07:25,183 --> 00:07:28,511
Krok drugi to rozkład liczników i mianowników.

149
00:07:28,767 --> 00:07:31,178
Obliczając dziedzinę rozłożyliśmy już 

150
00:07:31,278 --> 00:07:34,142
ten mianownik, a czy możemy coś zrobić z tym?

151
00:07:34,911 --> 00:07:38,241
Tak, możemy wyciągnąć dwójkę przed nawias.

152
00:07:39,263 --> 00:07:40,877
Przepiszmy nasze wyrażenie 

153
00:07:40,977 --> 00:07:42,591
z rozłożonymi mianownikami.

154
00:07:42,847 --> 00:07:44,895
Bierzmy się za liczniki.

155
00:07:45,151 --> 00:07:47,311
W przypadku tego możemy skorzystać

156
00:07:47,411 --> 00:07:49,246
ze wzoru skróconego mnożenia.

157
00:07:49,503 --> 00:07:51,039
Rozpiszmy go wspólnie.

158
00:07:51,551 --> 00:07:53,768
Określmy, które elementy wzoru 

159
00:07:53,868 --> 00:07:56,158
odpowiadają odpowiednim liczbom.

160
00:07:56,415 --> 00:08:02,303
A to x, a b do kwadratu to 25, czyli b to 5.

161
00:08:02,559 --> 00:08:05,119
Sprawdźmy jeszcze środkową część wzoru.

162
00:08:05,375 --> 00:08:09,983
2 razy x i razy 5 to 10x. Zgadza się.

163
00:08:10,358 --> 00:08:12,217
A co z drugim licznikiem?

164
00:08:12,543 --> 00:08:14,847
Możemy wyciągnąć dwójkę przed nawias.

165
00:08:16,639 --> 00:08:19,967
Zapisujemy całość z rozłożonymi licznikami.

166
00:08:21,503 --> 00:08:24,162
Pora poskracać powtarzające się elementy.

167
00:08:24,302 --> 00:08:27,856
Powtarza się dwójka oraz wyrażenie (x + 5).

168
00:08:28,159 --> 00:08:31,231
Resztę zapisz na wspólnej kresce ułamkowej.

169
00:08:33,279 --> 00:08:35,322
Widzisz, że zostało więcej czynników 

170
00:08:35,422 --> 00:08:36,906
niż w poprzednim przykładzie

171
00:08:37,006 --> 00:08:38,653
ale nie można już nic skrócić.

172
00:08:38,911 --> 00:08:40,191
Czas je wymnożyć.

173
00:08:41,471 --> 00:08:44,031
X razy x to x kwadrat.

174
00:08:44,287 --> 00:08:46,847
X razy 10 to 10x

175
00:08:47,871 --> 00:08:50,431
5 razy x to 5x

176
00:08:51,967 --> 00:08:54,783
a 5 razy 10 to 50.

177
00:08:55,551 --> 00:08:59,391
X razy 3x kwadrat to 3x do trzeciej

178
00:08:59,647 --> 00:09:03,743
a 3 razy 3x kwadrat to 9x kwadrat.

179
00:09:04,511 --> 00:09:06,474
Teraz jeszcze trzeba zredukować

180
00:09:06,574 --> 00:09:09,596
wyrazy podobne w liczniku i mamy to!

181
00:09:14,239 --> 00:09:17,150
Zadanie 4. Dane są wyrażenia a i b

182
00:09:17,250 --> 00:09:19,240
o następującej postaci. 

183
00:09:19,340 --> 00:09:22,686
Wyznacz dziedzinę oraz oblicz a razy b.

184
00:09:23,711 --> 00:09:26,147
Na początku, jak zwykle, dziedzina. 

185
00:09:26,247 --> 00:09:29,342
Każdy z mianowników musi być różny od zera.

186
00:09:29,599 --> 00:09:31,903
Przyjrzyjmy się pierwszemu mianownikowi.

187
00:09:32,415 --> 00:09:35,020
Można tu wyciągnąć x przed nawias

188
00:09:35,120 --> 00:09:38,046
a z liczb? Tak, liczbę 5.

189
00:09:38,303 --> 00:09:41,119
Wyciągamy więc 5x przed nawias.

190
00:09:41,375 --> 00:09:43,519
W nawiasie zostaje nam wyrażenie 

191
00:09:43,619 --> 00:09:46,494
z którym już sobie poradzimy używając delty.

192
00:09:47,007 --> 00:09:48,769
A czy dałoby się to zrobić 

193
00:09:48,869 --> 00:09:51,102
stosując wzór skróconego mnożenia?

194
00:09:54,687 --> 00:09:55,967
W tym przypadku nie.

195
00:09:56,223 --> 00:09:59,295
Wstrzymaj film i dokończ obliczanie dziedziny.

196
00:10:03,647 --> 00:10:06,719
Tu wyszło nam, że x musi być różne od zera.

197
00:10:06,975 --> 00:10:09,279
Tu otrzymaliśmy ujemną deltę.

198
00:10:09,535 --> 00:10:11,177
To znaczy, że to wyrażenie 

199
00:10:11,277 --> 00:10:12,606
nie ma miejsc zerowych

200
00:10:12,863 --> 00:10:14,911
a więc zawsze jest różne od zera.

201
00:10:15,423 --> 00:10:17,694
Z drugiego mianownika otrzymujemy 

202
00:10:17,794 --> 00:10:20,542
że x do kwadratu nie może być równy trzem

203
00:10:21,055 --> 00:10:24,591
a więc x nie może być równy pierwiastkowi z 3 

204
00:10:24,775 --> 00:10:27,503
ale też minus pierwiastkowi z 3, bo obie 

205
00:10:27,603 --> 00:10:30,010
te liczby po podniesieniu do kwadratu

206
00:10:30,110 --> 00:10:31,550
dadzą dodatnią trójkę.

207
00:10:32,319 --> 00:10:33,855
A oto nasza dziedzina.

208
00:10:34,367 --> 00:10:37,263
Dziedzina za nami. Teraz ty trochę popracujesz. 

209
00:10:37,363 --> 00:10:39,998
W pierwszej kolejności rozłóż mianowniki.

210
00:10:40,511 --> 00:10:42,285
Część pracy już wykonaliśmy 

211
00:10:42,385 --> 00:10:44,094
przy wyznaczaniu dziedziny.

212
00:10:49,215 --> 00:10:52,543
W pierwszym 5x już wyciągnęliśmy wcześniej.

213
00:10:52,799 --> 00:10:55,359
W drugim wyciągamy trójkę przed nawias

214
00:10:55,615 --> 00:10:58,541
a resztę już zapisaliśmy w postaci iloczynowej

215
00:10:58,641 --> 00:11:00,352
dzięki obliczonym wcześniej 

216
00:11:00,452 --> 00:11:01,501
miejscom zerowym.

217
00:11:02,271 --> 00:11:03,501
Teraz liczniki. 

218
00:11:03,601 --> 00:11:06,111
W obu mamy wyrażenia kwadratowe.

219
00:11:06,367 --> 00:11:08,159
Przeanalizuj je samodzielnie.

220
00:11:08,415 --> 00:11:10,728
Pamiętaj, że w pierwszej kolejności

221
00:11:10,828 --> 00:11:12,213
wyciągamy przed nawias

222
00:11:12,313 --> 00:11:14,509
a później możemy zastosować zapis 

223
00:11:14,609 --> 00:11:16,602
w postaci iloczynowej lub użyć 

224
00:11:16,702 --> 00:11:19,420
wzorów skróconego mnożenia, jeśli pasują.

225
00:11:22,751 --> 00:11:23,782
Gotowe?

226
00:11:24,031 --> 00:11:26,751
W drugim liczniku można wyciągnąć trójkę

227
00:11:26,851 --> 00:11:29,591
przed nawias. Wtedy otrzymujemy wyrażenie

228
00:11:29,691 --> 00:11:32,431
które już znasz z pierwszego mianownika. 

229
00:11:32,531 --> 00:11:34,647
Nie da się go bardziej rozłożyć.

230
00:11:34,747 --> 00:11:36,655
A w pierwszym liczniku można 

231
00:11:36,755 --> 00:11:39,148
zastosować wzór skróconego mnożenia 

232
00:11:39,248 --> 00:11:41,691
lub obliczyć deltę i miejsce zerowe.

233
00:11:42,463 --> 00:11:48,579
Czas na skracanie: tu, tu i tu.

234
00:11:50,143 --> 00:11:54,751
Za dużo nam do mnożenia nie zostało. Gotowe.

235
00:11:55,007 --> 00:11:58,591
Po orzeszku zadania już w 100% dla Ciebie.

236
00:12:03,199 --> 00:12:06,271
Czas na Ciebie. Rozwiąż poniższe zadanie.

237
00:12:06,527 --> 00:12:08,525
Dane są wyrażenia a i b.

238
00:12:08,625 --> 00:12:11,647
Wyznacz dziedzinę i oblicz a razy b.

239
00:12:15,932 --> 00:12:18,716
Jeśli Twoja odpowiedź jest taka, jak moja 

240
00:12:18,816 --> 00:12:21,550
- gratulacje! Mnożenie wyrażeń wymiernych 

241
00:12:21,650 --> 00:12:23,422
nie ma przed Tobą tajemnic.

242
00:12:28,799 --> 00:12:31,451
Zapamiętaj: mnożenie wyrażeń wymiernych

243
00:12:31,551 --> 00:12:33,114
tak jak zwykłe mnożenie 

244
00:12:33,214 --> 00:12:35,955
polega na mnożeniu licznika przez licznik

245
00:12:36,055 --> 00:12:38,014
a mianownika przez mianownik.

246
00:12:38,271 --> 00:12:41,246
Zanim jednak to zrobisz, musisz sprowadzić

247
00:12:41,346 --> 00:12:43,767
ułamki do jak najprostszej postaci 

248
00:12:43,867 --> 00:12:46,720
i określić dziedzinę. Pomoże Ci znajomość

249
00:12:46,820 --> 00:12:49,457
wzorów skróconego mnożenia, delty oraz

250
00:12:49,557 --> 00:12:52,604
wyciągania wspólnego czynnika przed nawias.

251
00:12:56,447 --> 00:12:58,674
Wyrażenia wymierne można mnożyć 

252
00:12:58,774 --> 00:13:01,093
przez siebie, a z pi-stacją można 

253
00:13:01,193 --> 00:13:02,922
mnożyć wiedzę. Wymiernie.

254
00:13:03,103 --> 00:13:05,663
Zapraszamy na pistacja.tv