1
00:00:00,512 --> 00:00:03,753
Można opisać mapę, czyli opatrzeć ją legendą.

2
00:00:03,853 --> 00:00:06,678
Można opisać czyjś wygląd albo charakter

3
00:00:06,778 --> 00:00:09,214
szczegółowo podając kolejne cechy.

4
00:00:09,472 --> 00:00:12,544
Ale można także opisać na czymś okrąg

5
00:00:12,800 --> 00:00:15,310
a zasady rządzące takim opisywaniem

6
00:00:15,410 --> 00:00:17,453
poznasz w tym filmie.

7
00:00:28,160 --> 00:00:30,720
Pamiętasz, czym jest symetralna odcinka?

8
00:00:31,232 --> 00:00:33,876
To prosta, która przechodzi przez środek

9
00:00:33,976 --> 00:00:36,351
odcinka i jest do niego prostopadła.

10
00:00:36,608 --> 00:00:39,771
Można też powiedzieć, że jest to zbiór punktów

11
00:00:39,871 --> 00:00:42,965
które są równo odległe od obu końców odcinka.

12
00:00:45,056 --> 00:00:46,926
Załóżmy, że nasz odcinek

13
00:00:47,026 --> 00:00:48,896
jest bokiem AB trójkąta.

14
00:00:49,408 --> 00:00:52,080
Wtedy każdy punkt leżący na symetralnej

15
00:00:52,180 --> 00:00:54,783
jest tak samo odległy od wierzchołka A

16
00:00:55,040 --> 00:00:56,532
i od wierzchołka B.

17
00:00:57,088 --> 00:00:59,392
Narysujmy symetralną boku BC.

18
00:00:59,904 --> 00:01:02,720
Ona też musi być prostopadła do swojego boku

19
00:01:02,976 --> 00:01:05,024
i przechodzić przez jego środek.

20
00:01:05,536 --> 00:01:09,398
Boki AB i BC nie są równoległe 

21
00:01:09,551 --> 00:01:12,191
więc nasze symetralne muszą się przeciąć.

22
00:01:12,704 --> 00:01:15,520
Oznaczmy ten punkt przecięcia literą O.

23
00:01:17,152 --> 00:01:19,009
Co możemy o nim powiedzieć?

24
00:01:19,360 --> 00:01:24,480
Skoro leży na symetralnej boku AB, to OA = OB.

25
00:01:24,992 --> 00:01:28,576
Skoro punkt ten leży na symetralnej boku BC

26
00:01:28,832 --> 00:01:31,136
to OB = OC.

27
00:01:31,392 --> 00:01:33,011
Jaki z tego wniosek?

28
00:01:33,440 --> 00:01:36,964
Po pierwsze, odcinki OA, OB i OC 

29
00:01:37,064 --> 00:01:39,071
są równej długości.

30
00:01:39,328 --> 00:01:41,959
Po drugie, punkt O musi leżeć 

31
00:01:42,059 --> 00:01:44,959
na symetralnej boku AC. Dlaczego?

32
00:01:45,216 --> 00:01:47,435
Bo symetralna boku AC zawiera 

33
00:01:47,535 --> 00:01:50,536
wszystkie punkty, które są równo odległe 

34
00:01:50,636 --> 00:01:52,956
od wierzchołka A i wierzchołka C

35
00:01:53,056 --> 00:01:55,445
a punkt O jest jednym z nich.

36
00:01:56,224 --> 00:01:58,528
Mamy to zapisane w naszej równości.

37
00:01:59,040 --> 00:02:02,128
Po trzecie, jeśli narysujemy okrąg o środku

38
00:02:02,228 --> 00:02:05,193
w punkcie O i promieniu równym długości OA

39
00:02:05,293 --> 00:02:08,039
to okrąg ten przejdzie przez wszystkie 

40
00:02:08,139 --> 00:02:11,104
wierzchołki trójkąta, czyli będzie opisany

41
00:02:11,204 --> 00:02:14,169
na tym trójkącie, bo każdy z tych odcinków

42
00:02:14,269 --> 00:02:15,678
jest jego promieniem.

43
00:02:16,448 --> 00:02:18,606
Rozumowanie, które przeprowadziliśmy

44
00:02:18,706 --> 00:02:20,139
jest dowodem twierdzenia 

45
00:02:20,239 --> 00:02:22,335
o przecięciu symetralnych trójkąta.

46
00:02:22,848 --> 00:02:25,829
Mówi ono, że symetralne trzech boków trójkąta

47
00:02:25,929 --> 00:02:27,967
przecinają się w jednym punkcie

48
00:02:28,224 --> 00:02:31,028
który jest równo odległy od jego wierzchołków.

49
00:02:31,552 --> 00:02:33,045
Z tego twierdzenia wynika 

50
00:02:33,145 --> 00:02:35,647
że na każdym trójkącie da się opisać okrąg.

51
00:02:36,160 --> 00:02:39,215
Jeśli się zastanowisz, dojdziesz też do wniosku

52
00:02:39,315 --> 00:02:41,725
że dla każdego trójkąta istnieje tylko

53
00:02:41,825 --> 00:02:44,351
jeden okrąg, który jest na nim opisany.

54
00:02:44,864 --> 00:02:47,222
Schrup orzeszka, a po nim rozważymy

55
00:02:47,322 --> 00:02:49,424
jeszcze inne własności trójkąta 

56
00:02:49,524 --> 00:02:51,263
i opisanego na nim okręgu.

57
00:02:55,104 --> 00:02:57,775
Jak myślisz, czy zawsze środek okręgu

58
00:02:57,875 --> 00:02:59,393
opisanego na trójkącie

59
00:02:59,493 --> 00:03:01,502
leży wewnątrz tego trójkąta?

60
00:03:03,552 --> 00:03:04,832
Narysujmy okrąg.

61
00:03:05,344 --> 00:03:07,022
Czy jego środek może leżeć 

62
00:03:07,122 --> 00:03:08,672
na którymś boku trójkąta?

63
00:03:09,184 --> 00:03:11,017
Narysujmy bok trójkąta tak

64
00:03:11,117 --> 00:03:13,023
aby zawierał środek okręgu.

65
00:03:13,536 --> 00:03:15,150
Zauważ, że końce tego boku

66
00:03:15,250 --> 00:03:17,120
muszą znajdować się na okręgu.

67
00:03:17,376 --> 00:03:19,936
Inaczej nie będzie to trójkąt wpisany.

68
00:03:20,448 --> 00:03:23,934
W takim przypadku ten bok trójkąta jest...

69
00:03:25,056 --> 00:03:28,384
Tak, dobrze kombinujesz, średnicą tego okręgu.

70
00:03:28,896 --> 00:03:31,074
Wybierzmy teraz na okręgu jakiś punkt

71
00:03:31,174 --> 00:03:33,664
który będzie trzecim wierzchołkiem trójkąta

72
00:03:33,764 --> 00:03:35,402
i narysujmy tę figurę.

73
00:03:35,686 --> 00:03:37,106
Gładko poszło.

74
00:03:37,344 --> 00:03:40,050
Pokazaliśmy, że istnieje trójkąt wpisany

75
00:03:40,150 --> 00:03:43,013
w okrąg w ten sposób, że jeden z jego boków

76
00:03:43,113 --> 00:03:44,510
jest średnicą okręgu.

77
00:03:45,024 --> 00:03:48,781
Jeśli pamiętasz twierdzenie o kątach w okręgu

78
00:03:48,881 --> 00:03:52,165
to wiesz, że jeśli ten kąt ma 180 stopni

79
00:03:52,265 --> 00:03:55,007
to kąt oparty na średnicy jest...

80
00:03:58,848 --> 00:04:00,640
Tak, kątem prostym.

81
00:04:01,152 --> 00:04:04,224
A więc nasz trójkąt jest prostokątny.

82
00:04:04,480 --> 00:04:07,040
Spójrzmy jeszcze na symetralne jego boków.

83
00:04:08,320 --> 00:04:10,494
Wszystko się zgadza, przecinają się 

84
00:04:10,594 --> 00:04:11,903
dokładnie w punkcie O.

85
00:04:12,672 --> 00:04:16,727
A gdybyśmy punkt C umieścili nie tu

86
00:04:16,827 --> 00:04:18,588
a tu albo tu?

87
00:04:18,815 --> 00:04:22,109
Otrzymamy różne trójkąty, jednak każdy z nich

88
00:04:22,209 --> 00:04:25,884
jest oparty na średnicy, czyli jest prostokątny.

89
00:04:26,239 --> 00:04:27,981
Aż się prosi o zastosowanie 

90
00:04:28,081 --> 00:04:30,847
twierdzenia Pitagorasa, ale o tym za chwilę.

91
00:04:31,103 --> 00:04:33,391
Zwróć jeszcze uwagę, że środek okręgu

92
00:04:33,491 --> 00:04:36,222
leży dokładnie w połowie przeciwprostokątnej

93
00:04:36,479 --> 00:04:37,950
a więc znając promień

94
00:04:38,050 --> 00:04:40,318
łatwo ten bok trójkąta obliczyć.

95
00:04:40,575 --> 00:04:42,200
Wykorzystamy to w praktyce 

96
00:04:42,300 --> 00:04:44,975
ale przed nami jeszcze jeden przypadek.

97
00:04:49,023 --> 00:04:51,031
Teraz rozpatrzmy możliwość 

98
00:04:51,131 --> 00:04:53,852
że środek okręgu leży poza trójkątem.

99
00:04:53,952 --> 00:04:55,655
Narysujmy taki trójkąt.

100
00:04:55,935 --> 00:04:57,215
Najpierw okrąg.

101
00:04:57,727 --> 00:04:59,436
Potem jeden bok.

102
00:04:59,775 --> 00:05:02,626
To musi być cięciwa, bo wierzchołki trójkąta

103
00:05:02,726 --> 00:05:04,126
muszą leżeć na okręgu.

104
00:05:04,895 --> 00:05:07,685
Teraz wybieramy trzeci wierzchołek, ale tak

105
00:05:07,785 --> 00:05:09,600
by środek okręgu znalazł się 

106
00:05:09,700 --> 00:05:11,406
na zewnątrz trójkąta.

107
00:05:12,319 --> 00:05:15,098
Łączymy wierzchołki i... mamy trójkąt.

108
00:05:15,391 --> 00:05:17,718
Czy i w tym przypadku symetralne boków 

109
00:05:17,818 --> 00:05:19,230
przetną się w punkcie O?

110
00:05:21,023 --> 00:05:23,327
Tak, to uniwersalna zasada.

111
00:05:24,095 --> 00:05:25,832
Wiesz już, że to tylko jeden 

112
00:05:25,932 --> 00:05:27,422
z wielu takich trójkątów.

113
00:05:27,935 --> 00:05:29,250
A czy umiesz powiedzieć 

114
00:05:29,350 --> 00:05:31,518
jaka jest wspólna cecha ich wszystkich?

115
00:05:32,543 --> 00:05:34,779
Wszystkie są rozwartokątne.

116
00:05:35,103 --> 00:05:36,895
Możemy to nawet udowodnić.

117
00:05:37,407 --> 00:05:39,033
W tym celu znów powołamy się 

118
00:05:39,133 --> 00:05:40,990
na twierdzenie o kątach w okręgu.

119
00:05:41,503 --> 00:05:43,315
Mówi ono, że kąt wpisany 

120
00:05:43,415 --> 00:05:46,369
jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego

121
00:05:46,469 --> 00:05:48,430
opartego na tym samym łuku.

122
00:05:48,671 --> 00:05:51,906
Jeśli na naszym rysunku poprowadzimy

123
00:05:52,006 --> 00:05:55,282
promienie OA i OB, powstanie nam kąt 

124
00:05:55,382 --> 00:05:59,165
środkowy AOB, oparty na tym dużym łuku AB.

125
00:05:59,935 --> 00:06:02,957
Uwaga, kąt wpisany i środkowy muszą być

126
00:06:03,057 --> 00:06:06,079
mówiąc potocznie, po tej samej stronie.

127
00:06:06,335 --> 00:06:09,817
Jeśli to jest kąt środkowy, to odpowiadające mu

128
00:06:09,917 --> 00:06:13,443
kąty wpisane są tu i tu.

129
00:06:14,015 --> 00:06:17,030
Widzisz, że kąt środkowy jest większy 

130
00:06:17,130 --> 00:06:20,579
niż 180 stopni, a skoro tak, to kąty wpisane

131
00:06:20,679 --> 00:06:22,837
dwukrotnie mniejsze od niego

132
00:06:22,937 --> 00:06:25,579
też będą większe od kąta prostego.

133
00:06:25,679 --> 00:06:29,017
Czyli nasz trójkąt musi być rozwartokątny.

134
00:06:29,119 --> 00:06:30,655
Teraz chwila na orzeszka.

135
00:06:30,911 --> 00:06:33,190
Po nim będziemy rozgryzać zadania.

136
00:06:37,567 --> 00:06:38,847
A oto nasze zadanie.

137
00:06:39,103 --> 00:06:41,971
Obliczyć mamy długość okręgu opisanego

138
00:06:42,071 --> 00:06:43,967
na trójkącie prostokątnym 

139
00:06:44,067 --> 00:06:46,013
o przyprostokątnych 6 i 8.

140
00:06:46,527 --> 00:06:48,757
Przypomnijmy wzór na długość okręgu

141
00:06:48,857 --> 00:06:50,447
którą mamy obliczyć.

142
00:06:50,623 --> 00:06:53,439
To L równa się 2 pi r.

143
00:06:53,695 --> 00:06:55,487
Czego więc potrzebujemy?

144
00:06:58,616 --> 00:07:00,351
Tak, promienia okręgu.

145
00:07:00,607 --> 00:07:04,191
Dwa już mamy narysowane. Tu i tu.

146
00:07:04,447 --> 00:07:06,751
Pomyśl, jak możemy go obliczyć?

147
00:07:10,079 --> 00:07:13,272
Nasz trójkąt jest prostokątny, czyli możemy tu

148
00:07:13,372 --> 00:07:15,719
zastosować twierdzenie Pitagorasa.

149
00:07:15,967 --> 00:07:18,015
Ten bok oznaczmy jako c.

150
00:07:18,527 --> 00:07:21,545
Sześć do kwadratu dodać osiem do kwadratu

151
00:07:21,645 --> 00:07:23,390
równa się c do kwadratu.

152
00:07:23,903 --> 00:07:28,193
C do kwadratu to więc 36 dodać 64

153
00:07:28,302 --> 00:07:29,984
 co daje nam 100.

154
00:07:30,815 --> 00:07:33,375
Brakujący bok ma długość 10.

155
00:07:33,887 --> 00:07:37,983
A promień? To połowa, czyli r równa się 5.

156
00:07:38,239 --> 00:07:40,456
Ostatni krok: wracamy do wzoru 

157
00:07:40,556 --> 00:07:41,822
na długość okręgu.

158
00:07:42,335 --> 00:07:45,407
L równa się 2 pi razy 5

159
00:07:45,663 --> 00:07:48,479
a więc nasz wynik to 10 pi.

160
00:07:48,991 --> 00:07:51,304
Po orzeszku kolejne zadanie.

161
00:07:56,671 --> 00:07:59,486
W okrąg o promieniu równym 13 wpisano

162
00:07:59,586 --> 00:08:03,099
trójkąt równoramienny o podstawie długości 10.

163
00:08:03,327 --> 00:08:05,631
Oblicz długość ramion trójkąta.

164
00:08:06,399 --> 00:08:07,698
W pierwszej kolejności 

165
00:08:07,798 --> 00:08:09,422
nanieśmy dane na rysunek.

166
00:08:09,522 --> 00:08:12,031
Promień okręgu jest równy 13.

167
00:08:12,287 --> 00:08:17,735
Zaznaczyć możemy go tu i tu, i tu, ale dla nas

168
00:08:17,844 --> 00:08:19,920
promień ten musi być jakoś połączony 

169
00:08:20,020 --> 00:08:22,525
z trójkątem, bo to o niego nas pytają.

170
00:08:22,783 --> 00:08:26,111
Zaznaczmy więc promień tu i tu

171
00:08:26,211 --> 00:08:27,521
i możemy też tu.

172
00:08:27,903 --> 00:08:30,463
Wszędzie wpisujemy liczbę 13.

173
00:08:32,255 --> 00:08:34,970
Wiemy też, że podstawa naszego trójkąta

174
00:08:35,070 --> 00:08:36,350
 ma długość 10.

175
00:08:36,607 --> 00:08:38,655
Obliczyć mamy długości ramion.

176
00:08:39,679 --> 00:08:41,727
Oznaczmy ramiona jako x.

177
00:08:42,495 --> 00:08:44,799
Przyjrzyj się rysunkowi przez chwilę.

178
00:08:45,055 --> 00:08:47,290
Może coś Ci przychodzi do głowy?

179
00:08:49,977 --> 00:08:52,203
Gdyby przedłużyć ten promień 

180
00:08:52,303 --> 00:08:55,393
rysując tym samym całą wysokość trójkąta

181
00:08:55,551 --> 00:08:59,391
nasz x stałby się częścią trójkąta prostokątnego

182
00:08:59,647 --> 00:09:02,297
a trójkąt prostokątny aż się prosi 

183
00:09:02,397 --> 00:09:05,278
o zastosowanie twierdzenia Pitagorasa.

184
00:09:05,535 --> 00:09:07,848
Długość tego boku do kwadratu 

185
00:09:07,948 --> 00:09:10,654
dodać długość tego boku do kwadratu

186
00:09:10,911 --> 00:09:12,703
to nasz x do kwadratu.

187
00:09:12,959 --> 00:09:15,519
Ale brakuje nam tego fragmentu.

188
00:09:15,775 --> 00:09:17,456
Czy możemy go obliczyć?

189
00:09:20,536 --> 00:09:21,559
Tak, tu znowu 

190
00:09:21,659 --> 00:09:23,966
z pomocą przychodzi nam Pitagoras.

191
00:09:24,223 --> 00:09:27,039
Ten fragment oznaczmy na przykład jako y.

192
00:09:27,807 --> 00:09:30,879
Wiemy też, że ten odcinek ma długość 5.

193
00:09:31,305 --> 00:09:33,730
W takim razie y do kwadratu 

194
00:09:33,830 --> 00:09:37,278
dodać 5 kwadratu to 13 do kwadratu.

195
00:09:38,303 --> 00:09:44,191
Y do kwadratu to więc 169 odjąć 25, czyli...

196
00:09:45,286 --> 00:09:47,007
sto czterdzieści cztery.

197
00:09:47,263 --> 00:09:52,127
Y jest więc równy pierwiastkowi ze 144, czyli 12.

198
00:09:53,151 --> 00:09:55,201
Twierdzenie Pitagorasa powtórzone.

199
00:09:55,301 --> 00:09:56,734
Teraz chwila dla Ciebie.

200
00:09:56,991 --> 00:09:58,893
Masz już wszystkie dane.

201
00:09:58,993 --> 00:10:02,847
Ułóż zależność dla drugiego trójkąta i oblicz x.

202
00:10:06,207 --> 00:10:09,023
Twierdzenie dla tego trójkąta przyjmuje postać:

203
00:10:09,535 --> 00:10:13,119
5 do kwadratu dodać 25 do kwadratu

204
00:10:13,375 --> 00:10:15,167
równa się x do kwadratu.

205
00:10:17,215 --> 00:10:19,056
Po przeprowadzeniu obliczeń 

206
00:10:19,156 --> 00:10:23,359
wynik to x równy pierwiastkowi z 650

207
00:10:23,665 --> 00:10:26,332
a to, po wyciągnięciu czynnika 

208
00:10:26,432 --> 00:10:30,239
przed znak pierwiastka, 5 pierwiastków z 26.

209
00:10:30,783 --> 00:10:33,599
Nie pamiętasz, jak się to robiło? Nic nie szkodzi.

210
00:10:33,855 --> 00:10:37,183
Na pistacja.tv znajdziesz odpowiedni film.

211
00:10:42,102 --> 00:10:44,570
Kolejne zadanie, tym razem dla Ciebie.

212
00:10:44,670 --> 00:10:47,810
W okrąg o promieniu 13 wpisano trójkąt

213
00:10:47,910 --> 00:10:49,981
równoramienny rozwartokątny.

214
00:10:50,239 --> 00:10:53,311
Jego najdłuższy bok ma długość 24.

215
00:10:53,567 --> 00:10:55,359
Oblicz pole tego trójkąta.

216
00:10:55,871 --> 00:10:58,154
Wstrzymaj film i rozwiąż to zadanie

217
00:10:58,254 --> 00:11:00,287
samodzielnie, a później sprawdź 

218
00:11:00,387 --> 00:11:02,270
naszą propozycję rozwiązania.

219
00:11:02,373 --> 00:11:05,309
Podpowiedź? Zacznij od narysowania promieni

220
00:11:05,409 --> 00:11:08,414
które mają coś wspólnego z naszym trójkątem.

221
00:11:11,743 --> 00:11:13,791
Udało się? To sprawdzamy.

222
00:11:14,047 --> 00:11:16,004
Promienie najwygodniej było 

223
00:11:16,104 --> 00:11:17,630
narysować tu, tu i tu.

224
00:11:17,887 --> 00:11:20,447
Każdy z nich ma długość 13.

225
00:11:20,959 --> 00:11:22,996
Ten promień pokrywa nam się częściowo

226
00:11:23,096 --> 00:11:24,286
z wysokością trójkąta.

227
00:11:24,543 --> 00:11:27,293
Gdybyśmy znali długość tego odcinka

228
00:11:27,393 --> 00:11:29,663
wystarczyłoby ją odjąć od 13.

229
00:11:30,431 --> 00:11:33,107
Można go obliczyć z twierdzenia Pitagorasa.

230
00:11:33,207 --> 00:11:36,830
To pięć, czyli ten odcinek jest równy pięciu.

231
00:11:37,343 --> 00:11:41,932
Obliczamy wysokość. Odejmujemy: 13 odjąć 5

232
00:11:42,172 --> 00:11:45,534
to 8 i mamy wysokość naszego trójkąta.

233
00:11:45,791 --> 00:11:48,488
Ostatni krok to obliczenie pola

234
00:11:48,588 --> 00:11:50,398
i zadanie rozwiązane.

235
00:11:57,311 --> 00:11:59,754
Środek okręgu opisanego na trójkącie 

236
00:11:59,854 --> 00:12:02,247
to punkt przecięcia się symetralnych 

237
00:12:02,347 --> 00:12:03,644
boków tego trójkąta.

238
00:12:03,967 --> 00:12:07,151
Może się on znajdować wewnątrz trójkąta

239
00:12:07,251 --> 00:12:09,854
na jego boku lub poza trójkątem.

240
00:12:12,159 --> 00:12:13,819
Na dzisiaj to już wszystko.

241
00:12:13,919 --> 00:12:16,352
Obejrzyj pozostałe filmy z tej playlisty

242
00:12:16,452 --> 00:12:18,302
a po więcej materiałów zajrzyj

243
00:12:18,559 --> 00:12:22,780
na naszą stronę pistacja.tv