1
00:00:00,512 --> 00:00:02,294
Pewnie wiesz, że równowagę

2
00:00:02,394 --> 00:00:05,375
na przykład na slacklinie, trudno utrzymać.

3
00:00:05,632 --> 00:00:07,794
Trzeba cały czas balansować ciałem

4
00:00:07,894 --> 00:00:09,471
żeby nie spaść na ziemię.

5
00:00:09,728 --> 00:00:12,108
My pokażemy Ci trik, dzięki któremu 

6
00:00:12,208 --> 00:00:14,133
równowagę w powietrzu utrzyma 

7
00:00:14,233 --> 00:00:15,870
zwykły, papierowy trójkąt.

8
00:00:16,128 --> 00:00:19,618
Weź taką tekturkę i wytnij z niej trójkąt.

9
00:00:19,718 --> 00:00:23,039
Dowolny. Zaznacz środek każdego z boków.

10
00:00:23,552 --> 00:00:26,427
Teraz z każdego środka poprowadź odcinek

11
00:00:26,527 --> 00:00:28,671
do przeciwległego wierzchołka.

12
00:00:29,440 --> 00:00:31,718
Ustaw pionowo słomkę albo ołówek 

13
00:00:31,818 --> 00:00:33,622
i połóż na nim trójkąt tak 

14
00:00:33,722 --> 00:00:36,373
żeby jego punkt podparcia był w miejscu

15
00:00:36,473 --> 00:00:38,398
gdzie odcinki się przecięły.

16
00:00:38,656 --> 00:00:41,456
Jeśli zrobisz to dokładnie, twój trójkąt

17
00:00:41,556 --> 00:00:43,807
powinien się utrzymać w poziomie 

18
00:00:43,907 --> 00:00:45,567
nawet na igle od cyrkla.

19
00:00:57,856 --> 00:01:00,578
Odcinek łączący wierzchołek trójkąta 

20
00:01:00,678 --> 00:01:03,575
ze środkiem przeciwległego boku nazywamy

21
00:01:03,675 --> 00:01:06,422
środkową trojkąta, a skoro trójkąt ma 

22
00:01:06,522 --> 00:01:10,143
trzy wierzchołki i trzy boki, to musi też mieć...

23
00:01:11,680 --> 00:01:13,984
Tak, trzy środkowe.

24
00:01:14,157 --> 00:01:16,477
Tu, tu i tu.

25
00:01:17,056 --> 00:01:19,666
Z pokazanego na początku doświadczenia

26
00:01:19,766 --> 00:01:22,956
wiesz też, że środkowe trójkąta przecinają się 

27
00:01:23,056 --> 00:01:26,016
w jednym punkcie leżącym wewnątrz trójkąta.

28
00:01:26,528 --> 00:01:28,797
To prawda dla każdego trójkąta 

29
00:01:28,897 --> 00:01:31,391
niezależnie od tego, jaki on jest.

30
00:01:32,416 --> 00:01:34,670
Punkt ten ma bardzo ciekawą własność

31
00:01:34,770 --> 00:01:37,536
którą też odkryliśmy w naszym doświadczeniu.

32
00:01:37,792 --> 00:01:40,308
Każdy trójkąt podparty w tym punkcie

33
00:01:40,408 --> 00:01:43,423
albo zawieszony w nim, na przykład na nitce

34
00:01:43,680 --> 00:01:46,797
pozostaje w równowadze. Dlatego nazywamy

35
00:01:46,897 --> 00:01:49,251
go środkiem ciężkości trójkąta 

36
00:01:49,351 --> 00:01:51,359
albo barycentrum trójkąta.

37
00:01:52,128 --> 00:01:53,772
A jakie jeszcze własności 

38
00:01:53,872 --> 00:01:55,711
ma środek ciężkości trójkąta?

39
00:01:56,224 --> 00:01:59,160
Otóż dzieli on każdą ze środkowych 

40
00:01:59,260 --> 00:02:03,135
w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka trójkąta.

41
00:02:03,904 --> 00:02:05,696
Zobaczmy to na rysunku.

42
00:02:06,208 --> 00:02:10,816
Odcinek SA jest dwa razy dłuższy od odcinka SF.

43
00:02:11,328 --> 00:02:15,936
Odcinek SB jest dwa razy dłuższy od SD

44
00:02:16,192 --> 00:02:20,544
a odcinek SC - 2 razy dłuższy od SE.

45
00:02:20,800 --> 00:02:24,091
Wiedząc to, możesz już rozwiązywać zadania

46
00:02:24,191 --> 00:02:26,687
o środkowej, ale to po orzeszku.

47
00:02:31,040 --> 00:02:34,201
Dany jest trójkąt prostokątny ABC

48
00:02:34,301 --> 00:02:41,535
w którym bok AB ma długość 15, AC 12, a BC 9.

49
00:02:41,792 --> 00:02:45,465
Mamy obliczyć odległość środka ciężkości

50
00:02:45,565 --> 00:02:48,257
tego trójkąta od wierzchołka B

51
00:02:48,357 --> 00:02:52,030
czyli długość odcink... BS. Zapiszmy to.

52
00:02:54,336 --> 00:02:56,128
Co o tym odcinku wiemy?

53
00:02:56,640 --> 00:03:00,736
Jest częścią środkowej BD. Jaką częścią?

54
00:03:01,248 --> 00:03:05,344
Tą dłuższą, czyli stanowi 2/3 tej środkowej.

55
00:03:06,112 --> 00:03:08,110
Coś już mamy. Gdybyśmy znali 

56
00:03:08,210 --> 00:03:11,217
długość środkowej, sprawa byłaby załatwiona.

57
00:03:11,317 --> 00:03:12,661
Skąd ją wziąć?

58
00:03:13,536 --> 00:03:16,864
Podświetlmy te odcinki, których długości znamy.

59
00:03:17,376 --> 00:03:21,079
Wiemy też, że punkt D dzieli odcinek AC

60
00:03:21,179 --> 00:03:24,537
na dwie połowy, z których każda ma długość 6

61
00:03:24,657 --> 00:03:29,406
a punkt E dzieli odcinek BC na dwa po 4,5.

62
00:03:32,480 --> 00:03:33,760
Co z tego wynika?

63
00:03:35,040 --> 00:03:37,052
Tak, tu wystarczy skorzystać 

64
00:03:37,152 --> 00:03:38,879
z twierdzenia Pitagorasa.

65
00:03:39,392 --> 00:03:42,617
Zapisujemy: dziewięć do kwadratu dodać

66
00:03:42,717 --> 00:03:45,030
sześć do kwadratu równa się 

67
00:03:45,130 --> 00:03:47,838
długości odcinka BD do kwadratu.

68
00:03:48,096 --> 00:03:50,912
Podnosimy do kwadratu liczby po lewej

69
00:03:55,008 --> 00:03:58,848
dodajemy i otrzymujemy 117.

70
00:04:01,664 --> 00:04:06,272
Stąd długość odcinka BD to pierwiastek ze 117.

71
00:04:08,064 --> 00:04:10,624
Czy da się ten pierwiastek jakoś uprościć?

72
00:04:10,880 --> 00:04:14,533
Pomyślmy, tak wygląda liczba 117 

73
00:04:14,737 --> 00:04:16,767
po rozłożeniu na czynniki pierwsze.

74
00:04:17,280 --> 00:04:21,008
Mamy tu dwie trójki, które po wymnożeniu 

75
00:04:21,108 --> 00:04:24,190
dają 9, a pierwiastek z 9 to trzy.

76
00:04:25,983 --> 00:04:28,334
Z liczbą 13 już nic nie zrobimy.

77
00:04:28,434 --> 00:04:30,334
Zostaje pod pierwiastkiem.

78
00:04:31,871 --> 00:04:33,473
Po obliczeniach dostajemy 

79
00:04:33,573 --> 00:04:38,097
że długość odcinka BD to 3 pierwiastki z 13.

80
00:04:39,295 --> 00:04:42,522
Zostaje nam do obliczenia długość odcinka BS.

81
00:04:42,622 --> 00:04:45,362
 To już spacerek, bo wiemy, że stanowi 

82
00:04:45,462 --> 00:04:47,742
dwie trzecie całej środkowej BD.

83
00:04:47,999 --> 00:04:53,598
Liczymy: BS to 2/3 z 3 pierwiastków z 13

84
00:04:53,698 --> 00:05:00,286
czyli po skróceniu 2 pierwiastki z 13. Mamy to!

85
00:05:09,247 --> 00:05:10,783
Czas na kolejne zadanie.

86
00:05:11,039 --> 00:05:13,885
W trójkącie równoramiennym o ramieniu

87
00:05:13,985 --> 00:05:16,859
równym 10, odległość środka ciężkości 

88
00:05:16,959 --> 00:05:18,581
od podstawy wynosi 2. 

89
00:05:18,681 --> 00:05:20,509
Oblicz długość podstawy.

90
00:05:21,023 --> 00:05:23,886
Oprócz długości odcinków mamy tu jeszcze

91
00:05:23,986 --> 00:05:26,726
jedną ważną informację: że nasz trójkąt

92
00:05:26,826 --> 00:05:29,470
jest równoramienny. Co z tego wynika?

93
00:05:29,983 --> 00:05:32,655
Otóż zaznaczona środkowa dzieli go 

94
00:05:32,755 --> 00:05:36,126
dokładnie na pół, czyli mówiąc matematycznie

95
00:05:36,383 --> 00:05:38,431
na dwa trójkąty przystające.

96
00:05:38,687 --> 00:05:42,294
Tu musi więc być kąt prosty, a odcinek CD

97
00:05:42,394 --> 00:05:44,574
jest wysokością trójkąta.

98
00:05:45,087 --> 00:05:47,339
Wiedząc to wszystko wstrzymaj film 

99
00:05:47,439 --> 00:05:49,575
i rozwiąż to zadanie samodzielnie.

100
00:05:49,675 --> 00:05:52,535
A jeśli napotkasz problemy, nie przejmuj się.

101
00:05:52,635 --> 00:05:54,558
Za chwilę rozwiążemy je razem.

102
00:05:58,399 --> 00:06:01,237
Tak jak poprzednio, podświetlmy odcinki 

103
00:06:01,337 --> 00:06:04,030
o znanej długości. Popatrz na planszę.

104
00:06:04,287 --> 00:06:06,079
Coś Ci przychodzi do głowy?

105
00:06:07,103 --> 00:06:09,883
Ten odcinek to 1/3 tego. 

106
00:06:09,983 --> 00:06:12,990
Cały odcinek CD ma zatem...

107
00:06:13,247 --> 00:06:16,063
2 razy 3, czyli 6.

108
00:06:16,319 --> 00:06:18,091
Teraz wystarczy skorzystać 

109
00:06:18,191 --> 00:06:20,994
z twierdzenia Pitagorasa i obliczyć długość

110
00:06:21,094 --> 00:06:23,492
połowy podstawy. My robimy to trochę 

111
00:06:23,592 --> 00:06:26,800
na skróty, ale jeśli potrzebujesz, zatrzymaj film

112
00:06:26,900 --> 00:06:28,605
i przelicz w swoim tempie.

113
00:06:29,375 --> 00:06:33,070
Cała podstawa trójkąta, czyli odcinek AB

114
00:06:33,170 --> 00:06:37,055
ma 8 razy 2, czyli 16.

115
00:06:37,311 --> 00:06:40,333
Możemy podać odpowiedź: szukana długość

116
00:06:40,433 --> 00:06:43,837
podstawy to 16. Drugie zadanie za nami.

117
00:06:50,367 --> 00:06:53,436
Kolejne zadanie to zadanie dowodowe.

118
00:06:53,536 --> 00:06:55,998
Dany jest równoległobok ABCD.

119
00:06:56,255 --> 00:06:58,051
Przekątne równoległoboku 

120
00:06:58,151 --> 00:07:00,094
przecinają się w punkcie S.

121
00:07:00,351 --> 00:07:03,310
Punkt K jest środkiem boku AB 

122
00:07:03,410 --> 00:07:07,774
odcinek DK przecina przekątną AC w punkcie P.

123
00:07:08,031 --> 00:07:10,974
Wykaż, że odcinek AC jest równy 

124
00:07:11,074 --> 00:07:13,100
sześciu odcinkom PS.

125
00:07:13,663 --> 00:07:15,455
Co konkretnie mamy wykazać?

126
00:07:15,967 --> 00:07:19,807
Że ten odcinek jest 6 razy dłuższy od tego.

127
00:07:20,319 --> 00:07:22,484
Przyjrzyj się dokładnie rysunkowi.

128
00:07:22,584 --> 00:07:23,902
Może już masz pomysł?

129
00:07:27,231 --> 00:07:29,593
Skoro to równoległobok, to wiadomo 

130
00:07:29,693 --> 00:07:32,740
że jego przekątne przecinają się w połowie.

131
00:07:32,863 --> 00:07:36,583
Czyli te dwa odcinki są takiej samej długości

132
00:07:36,683 --> 00:07:37,842
 i te też.

133
00:07:37,983 --> 00:07:41,311
Spójrzmy teraz na trójkąt ABD, czyli ten.

134
00:07:41,823 --> 00:07:43,729
Czy oba zaznaczone odcinki 

135
00:07:43,829 --> 00:07:45,662
to środkowe tego trójkąta?

136
00:07:45,964 --> 00:07:50,144
Tak. Punkt S jest środkiem odcinka BD

137
00:07:50,244 --> 00:07:53,624
a punkt K środkiem odcinka AB.

138
00:07:54,111 --> 00:07:56,159
Zabierzmy się za nasz odcinek.

139
00:07:56,415 --> 00:07:59,593
Oznaczamy go jako x na rysunku 

140
00:07:59,693 --> 00:08:02,558
ale też zapiszmy, że SP = x.

141
00:08:03,071 --> 00:08:05,236
To ważne w zadaniach dowodowych. 

142
00:08:05,336 --> 00:08:07,166
Trzeba zapisywać każdy krok.

143
00:08:07,679 --> 00:08:11,626
Odcinek x to 1/3 środkowej AS

144
00:08:11,726 --> 00:08:14,846
czyli odcinek AP to 2x.

145
00:08:15,103 --> 00:08:16,639
To też zapisujemy.

146
00:08:21,247 --> 00:08:24,557
Druga część naszej przekątnej AC 

147
00:08:24,657 --> 00:08:28,120
jest tej samej długości co pierwsza

148
00:08:28,220 --> 00:08:30,206
czyli ma... Tak. 3x.

149
00:08:30,463 --> 00:08:31,830
Zapisujemy.

150
00:08:35,327 --> 00:08:38,911
Całość, czyli odcinek AC, to...

151
00:08:40,703 --> 00:08:43,007
Zgadza się, 6x.

152
00:08:43,775 --> 00:08:46,964
Ten odcinek to x, a ten to 6x

153
00:08:47,064 --> 00:08:49,918
czyli jest 6 razy dłuższy.

154
00:08:50,175 --> 00:08:51,789
O to nam właśnie chodziło.

155
00:08:51,889 --> 00:08:54,271
Zapiszmy to tak, jak w treści zadania.

156
00:08:54,527 --> 00:08:58,879
Odcinek AC równa się 6 razy odcinek PS.

157
00:08:59,135 --> 00:09:01,439
A tego właśnie należało dowieść.

158
00:09:10,399 --> 00:09:13,223
Środkowe trójkąta zawsze przecinają się

159
00:09:13,323 --> 00:09:15,581
w jednym punkcie, który nazywamy

160
00:09:15,681 --> 00:09:17,718
środkiem ciężkości trójkąta. 

161
00:09:17,818 --> 00:09:20,592
Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą 

162
00:09:20,692 --> 00:09:22,655
z środkowych w stosunku 2:1 

163
00:09:22,755 --> 00:09:24,989
licząc od wierzchołka trójkąta.

164
00:09:29,087 --> 00:09:32,142
Na dzisiaj to już wszystko. Obejrzyj pozostałe

165
00:09:32,242 --> 00:09:35,230
filmy z tej playlisty, a po więcej materiałów

166
00:09:35,487 --> 00:09:38,906
zajrzyj na naszą stronę pistacja.tv