Poszukiwanie dzielników danej liczby

Wiesz już, co to są dzielniki liczb. Dzięki tej lekcji nauczysz się ich szukać. Zacznijmy lekcję od takiego polecenia: Znajdź wszystkie dzielniki liczby 6. Dzielnikami liczby 6 są takie liczby które dzielą ją bez reszty. Wyobraź sobie. że masz 6 długopisów. Dajesz te wszystkie długopisy jednej osobie. Otrzyma ona 6 długopisów. Przypomnę, że dzieląc dowolną liczbę przez 1 zawsze otrzymamy tę samą liczbę. Oznacza to, że liczba 1 jest dzielnikiem każdej liczby, w tym szóstki. Wyobraź sobie teraz, że masz 6 długopisów i chcesz je rozdać po równo dwóm osobom. Każda z tych osób otrzyma po 3 długopisy i żaden nie zostanie. Liczba 2 jest dzielnikiem liczby 6. Sprawdźmy teraz, czy 6 czy długopisów da się rozdać po równo 3 osobom? Da się. Każda z nich otrzyma po dwa długopisy. Znaleźliśmy kolejny dzielnik liczby 6. Jest nim trójka. Szukajmy dalej. Sprawdźmy, co by było, gdybyśmy mieli 6 długopisów i 4 osoby. Każda z nich otrzymałaby po jednym długopisie, ale 2 by zostały. Zwróć uwagę, że mamy tutaj dzielenie z resztą. Oznacza to, że 4 nie jest dzielnikiem liczby 6. Sprawdźmy, co by było, gdybyśmy mieli sześć długopisów i 5 osób. Każda z nich otrzymałaby po jednym długopisie i jeden długopis by został. Znowu mamy dzielenie z resztą czyli liczba 5 nie jest dzielnikiem szóstki. Sprawdźmy jeszcze jeden przypadek. Wyobraźmy sobie, że mamy 6 długopisów i chcemy je rozdać po równo sześciu osobom. Każda z nich otrzyma po jednym długopisie. Mamy tutaj dzielenie bez reszty, czyli liczba 6 jest dzielnikiem liczby 6. Przypomnę, że każda liczba dzieli się przez samą siebie bez reszty. Oznacza to, że liczba 6 jest dzielnikiem liczby 6. I na tym kończymy poszukiwania dzielników liczby 6. A dlaczego? Gdybyśmy mieli więcej osób niż długopisów, to na pewno jakaś osoba zostałaby pominięta. Dlatego liczby 6 nie dzielimy przez 7, 8, 9 i tak dalej. Zwróć uwagę, że 6 długopisów to nie jest wcale aż tak dużo. W tym przypadku poszukiwania dzielników liczby 6 sprowadziły się do tego, że liczbę 6 dzieliliśmy przez kolejne liczby naturalne zaczynając od jedynki i kończąc na szóstce. Musieliśmy wykonać aż 6 działań. Ten sposób jest więc dość czasochłonny. Wyobraź sobie na przykład, że zamiast sześciu długopisów masz 96 sztuk. Co byśmy wtedy zrobili? Wykonywalibyśmy 96 działań? Pokażę ci teraz inną metodę. Zanim do tego przejdziemy, przypomnę ci co to oznacza, że dzielenie i mnożenie to działania odwrotne. Zobacz: 6 podzielić przez 1 równa się 6. Jeśli liczbę 6 pomnożymy przez 1 to również otrzymamy liczbę 6. Zapiszę to w tym miejscu. 6 razy 1 równa się 6. Spójrz na kolejne dzielenie. 6 podzielić przez 2 równa się 3. Jeśli liczbę 3 pomnożymy przez 2 to otrzymamy liczbę 6. Zapiszę to w tym miejscu. 3 razy 2 równa się 6. Podkreślę teraz czynniki, których iloczyn daje liczbę 6. Są to liczby 6 i 1 oraz 3 i 2. Zauważ, że te liczby, które tutaj podkreśliłem to nic innego, jak dzielniki liczby 6. Szukając dzielników liczby 6 można więc skorzystać z mnożenia. Wystarczy znaleźć czy dwie takie liczby których iloczyn da liczbę 6. 6 razy 1 równa się 6 i 3 razy 2 równa się 6. W tym przypadku nie znajdziemy innych liczb których iloczyn da liczbę 6. Oto wszystkie dzielniki szóstki. Zapiszmy je. Robimy to w taki sposób: Dzielnikami liczby 6 są liczby: 1… 2… 3… i 6. Teraz zajmiemy się nieco większą liczbą niż 6 i mamy tutaj takie polecenie: Znajdź wszystkie dzielniki liczby 15. Tym razem poszukamy tych dzielników korzystając wyłącznie z mnożenia. W tym miejscu zapiszę liczbę 15. Mnożąc dowolną liczbę przez 1 zawsze otrzymamy tę samą liczbę. 1 razy 15 to 15. To są dwa pierwsze dzielniki liczby 15. Szukamy dalej. Zastanówmy się teraz, czy istnieje liczba która pomnożona przez 2 da liczbę 15. 2 razy 7 to 14, a 2 razy 8 to 16. 2 nie jest dzielnikiem liczby 15. A czy jest nim liczba 3? Tak! Dlaczego? Bo 3 razy 5 równa się 15. Liczba 3 jest dzielnikiem liczby 15. Mało tego, liczba 5 również jest dzielnikiem liczby 15. Mam teraz dla ciebie zadanie: Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie zastanowić się, czy istnieją inne liczby niż 1, 15, 3 i 5, które po pomnożeniu przez siebie dadzą liczbę 15? Nie znajdziemy innych liczb, które po pomnożeniu przez siebie dadzą liczbę 15. Oznacza to, że tylko te cztery liczby są dzielnikami liczby 15. Zapiszmy to w tym miejscu. Dzielnikami liczby 15 są liczby: 1, 3, 5 i 15. Teraz zajmiemy się ostatnim poleceniem. Znajdź wszystkie dzielniki liczby 96. 96 to naprawdę niemała liczba. W tym przypadku szczególnie przyda nam się mnożenie. W tym miejscu zapiszę liczbę 96. 1 razy 96 to 96. Znaleźliśmy dwa pierwsze dzielniki liczby 96. Szukamy dalej. Znowu zapiszę tutaj liczbę 96. Zastanówmy się teraz, czy istnieje taka liczba która po pomnożeniu przez 2 da liczbę 96? Czy wiesz, że możemy poszukać odpowiedzi na to pytanie korzystając z cech podzielności? Zatrzymaj lekcję i spróbuj powiedzieć jak rozpoznać, czy dana liczba dzieli się przez 2? Aby sprawdzić, czy dana liczba dzieli się przez 2 wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę. W tym przypadku jest to cyfra 6. 6 dzieli się przez 2, czyli liczba 96 również dzieli się przez 2. Oznacza to, że znajdziemy taką liczbę która po pomnożeniu przez 2 da liczbę 96. Ta liczba to 48. 2 razy 40 to 80 a 2 razy 8 to 16. 80 i 16 to 96. Znaleźliśmy dwa kolejne dzielniki liczby 96. Szukamy dalej. Znowu zapiszę tutaj liczbę 96. Zastanówmy się teraz, czy istnieje taka liczba która po pomnożeniu przez 3 da liczbę 96? Zatrzymaj lekcję i spróbuj powiedzieć jak możemy sprawdzić, czy dana liczba dzieli się przez 3? Aby to zrobić, należy najpierw dodać do siebie cyfry z których zbudowana jest dana liczba. 9 dodać 6 to 15. Czy liczba 15 dzieli się przez 3? Tak. Oznacza to, że cała liczba też dzieli się przez 3. Znajdziemy więc taką liczbę która po pomnożeniu przez 3 da liczbę 96. 3 razy 30 to 90. 3 razy 2 to 6. Ta liczba to 32. Mamy dwa kolejne dzielniki liczby 96. Szukamy dalej. Zastanówmy się teraz, czy istnieje taka liczba która po pomnożeniu przez 4 da liczbę 96? 4 razy 20 to 80. 4 razy 4 to 16. 20 i 4 to 24. 4 razy 24 to 96. Mamy tutaj dwa kolejne dzielniki liczby 96. Szukamy dalej. Czy istnieje taka liczba, która po pomnożeniu przez 5 da liczbę 96? Nie. A skąd to wiem? Liczba dzieli się przez 5 jeśli jej ostatnia cyfra to 0 lub 5. Tutaj mamy 6. Oznacza to, że liczba 96 nie dzieli się przez 5. Co za tym idzie? Nie znajdziemy takiej liczby która po pomnożeniu przez 5 da liczbę 96. Zmazuję więc piątkę. A czy jest liczba, która po pomnożeniu przez 6 da liczbę 96? Zatrzymaj lekcję i spróbuj odpowiedzieć. 6 razy 10 to 60. Do liczby 96 brakuje 36. 6 razy 6 to właśnie 36. 10 i 6 to 16. Oznacza to, że 6 razy 16 to 96. To są dwa kolejne dzielniki liczby 96. Widać, że mamy ich dość sporo. No, to szukamy dalej. Czy istnieje taka liczba, która po pomnożeniu przez 7 da liczbę 96? Nie ma takiej liczby naturalnej która po pomnożeniu przez 7 da liczbę 96. Oznacza to, że 7 nie jest dzielnikiem 96. Sprawdźmy zatem, czy istnieje taka liczba która pomnożona przez 8 da liczbę 96? Wiemy, że 10 razy 8 to 80. Do liczby 96 brakuje 16. 8 razy 2 to 16. Dziesięć i dwa to 12. 8 razy 12 to właśnie 96. Znaleźliśmy dwa kolejne dzielniki liczby 96. Szukajmy dalej. Czy istnieje taka liczba, która pomnożona przez 9 da liczbę 96? Nie istnieje. 9 razy 10 to 90. Do liczby 96 brakuje 6. 6 nie dzieli się przez 9. Liczba 9 nie jest więc dzielnikiem liczby 96. Zmażę ją. A czy jest taka liczba, która pomnożona przez 10 da liczbę 96? Nie. 10 razy 9 to 90 a 10 razy 10 to 100. Liczba 10 nie jest dzielnikiem tej liczby. Można by to sprawdzić również korzystając z cech podzielności liczb. Liczba dzieli się przez 10 jeśli jej ostatnią cyfrą jest zero. Tutaj mamy 6. Liczba 10 nie jest dzielnikiem tej liczby. Zmażę ją. Sprawdźmy jeszcze, czy liczba 11 jest dzielnikiem liczby 96. Czy istnieje taka liczba, która pomnożona przez 11 da nam liczbę 96? Zobacz: 11 razy 8 to 88. Za mało. 11 razy 9 to 99. Za dużo. Oznacza to, że nie istnieje taka liczba która pomnożona przez 11 da nam 96. I na tym kończymy nasze poszukiwania. A skąd to wiem? Kolejną liczbą do sprawdzenia byłaby liczba 12. Ale zwróć uwagę, że liczba 12 znajduje się już w tym miejscu. Znaleźliśmy wszystkie dzielniki liczby 96. Zapiszę je w tym miejscu. Zwróć uwagę, że te liczby są zapisane rosnąco. Pokażę ci teraz, w jaki sposób odczytywałem je z tych zapisków. Można to przyrównać do takiego wężyka: Najpierw mamy liczbę 1. Później 2, 3, 4, 6 i 8. Później przeszedłem do liczby 12. Następnie do liczby 16, 24, 32, 48 i 96. Widzisz, że dokładnie w takiej kolejności zapisałem liczby w tym nawiasie. To są wszystkie dzielniki liczby 96. Jeżeli dana liczba dzieli inną liczbę bez reszty to nazywamy ją dzielnikiem tej liczby. Każda liczba dzieli się przez 1 i samą siebie. Żadna liczba nie dzieli się przez 0. Zero nie może być dzielnikiem żadnej liczby. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji o wielokrotnościach i dzielnikach liczb a także do polubienia naszej strony na Facebooku.