Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Playlista: Działania na liczbach całkowitych

Z tego filmu dowiesz się:


  • jak mnożyć liczby całkowite,
  • jak dzielić liczby całkowite.

Podstawa programowa


Autorzy i materiały

Lista wszystkich autorów


Tutor: Krzysztof Chojecki

Konsultacja: Anna Grabek

Grafika podsumowania: Agnieszka Opalińska

Materiały: Agnieszka Opalińska

Korekta: Małgorzata Załoga

Produkcja


Katalyst Education

Lista materiałów wykorzystanych w filmie


geralt (CC 0)
Katalyst Education (CC-BY)

Wiedza niezbędna do zrozumienia tematu

Aby w pełni zrozumieć materiał zawarty w tej playliście, upewnij się, że masz opanowane poniższe zagadnienia.

Udostępnianie w zewnętrznych narzędziach

Korzystając z poniższych funkcjonalności możesz dodać ten zasób do swoich narzędzi.

Kliknij w ikonkę, aby udostępnić ten zasób

Google Classroom
Microsoft Teams

Kliknij w ikonkę, aby skopiować link do tego zasobu

Link do tej strony
Link do filmu na YouTube

Transkrypcja

Kliknij na zdanie, aby przewinąć wideo do tego miejsca.

Czy wiesz, że większość europejskich matematyków odrzucała koncepcję liczb ujemnych aż do XVII wieku chociaż Fibonacci akceptował ujemne rozwiązania w zagadnieniach finansowych, gdzie reprezentowały one ujemne salda oraz straty. W tym samym czasie Chińczycy oznaczali liczby ujemne przez przekreślenie ostatniej niezerowej cyfry w liczbie. Dzięki tej lekcji dowiesz się jak mnożyć i dzielić liczby całkowite. Zaczniemy od takiego prostego przykładu: 3 razy 2. Na pewno bez problemu powiesz że 3 razy 2 to 6. Możemy to obliczyć trzykrotnie dodając do siebie liczbę 2. 3 razy 2 to inaczej 2 dodać 2 dodać 2, czyli 6. Teraz obliczymy, ile to jest 3 razy minus 2. Masz jakiś pomysł, jak można obliczyć to mnożenie korzystając z dodawania? Aby obliczyć, ile to jest 3 razy minus 2 wystarczy trzykrotnie dodać do siebie liczbę minus 2. Otrzymamy minus 2 dodać minus 2 dodać minus 2. Pamiętaj o tym, że gdy mamy obok siebie dwa znaki, to liczbę ze znakiem przy tej liczbie umieszczamy w nawiasie. Wiesz już, że plus i minus to inaczej minus. Otrzymujemy minus 2 minus 2 minus 2. Minus 2 minus 2 to minus 4 a minus 4 minus 2 to minus 6. To jest nasz wynik. Teraz obliczymy, ile to jest minus 3 razy 2. Nie da się minus 3 razy dodać do siebie liczbę 2. Co zatem możemy zrobić? Wiemy, że mnożenie jest przemienne. To znaczy, że możemy zamieniać czynniki miejscami. Minus 3 razy 2 to jest przecież to samo co 2 razy minus 3. Teraz dwukrotnie dodamy do siebie minus 3. Otrzymamy minus 3 dodać minus 3. Wiesz już, że plus i minus to minus. Minus 3 minus 3 to minus 6. Jakie wnioski możemy wyciągnąć z obliczeń które przeprowadziliśmy do tej pory? Zwróć uwagę, że cały czas mnożyliśmy liczby 3 i 2. Różniły się one tylko znakami. Spójrz teraz na wyniki. Zwróć uwagę, że różnią się one również tylko znakami. Możemy stwierdzić, że mnożąc dwie liczby dodatnie zawsze otrzymamy wynik dodatni. Mnożąc liczbę dodatnią i ujemną zawsze otrzymamy wynik ujemny. Za chwilę pokażę, ci jaki wynik otrzymamy mnożąc liczbę minus 3 i minus 2. Zauważ, że tutaj mamy dwie liczby ujemne. Naszym zadaniem jest obliczenie ile to jest minus 3 razy minus 2. Zanim dojdziemy do poprawnego wyniku pokażę ci trochę matematycznej magii. Zacznijmy nasze rozważania od takiego mnożenia: minus 3 razy 0. Mnożąc dowolną liczbę przez 0 zawsze otrzymamy zero. Minus 3 razy 0 to 0. My chcemy dowiedzieć się, ile to jest minus 3 razy minus 2. Zastanów się teraz, jaką liczbę należy dodać do minus 2, aby otrzymać 0? Taką liczbą jest liczba 2. Minus 2 dodać 2 to właśnie 0. Zastanawiasz się pewnie, po co to robimy. Skoro 0 to jest to samo, co minus 2 dodać 2 to to 0 możemy zastąpić tym działaniem. Minus 2 dodać 2 to 0. Co zatem otrzymamy? Najpierw przepisujemy liczbę minus 3. Skoro liczbę 0 zastępujemy takim działaniem to to działanie musimy zapisać w nawiasie. Liczbę 3 mnożymy zatem przez nawias i w nawiasie mamy minus 2 dodać 2. Skoro minus 2 dodać 2 to 0 to minus 3 razy 0 to też 0. Sięgnijmy teraz pamięcią do własności mnożenia i dodawania. Czy pamiętasz, czym jest rozdzielność mnożenia względem dodawania? Rozdzielność mnożenia względem dodawania mówi o tym, że to wyrażenie możemy zapisać w innej postaci. W jakiej? Możemy pomnożyć minus 3 przez minus 2 i dodać do tego iloczyn liczb minus 3 i 2. Zapiszmy to. Najpierw mnożymy liczbę minus 3 przez minus 2 i do tego dodajemy iloczyn liczb minus 3 i 2. Skoro to wyrażenie jest inną postacią tego wyrażenia a to wyrażenie jest równe zeru to tutaj również możemy zapisać: równa się 0. Powoli dochodzimy do sedna sprawy. Najpierw przepiszę prawą stronę tego zapisu czyli „równa się zeru”. Czy pamiętasz, ile to jest minus 3 razy 2? Minus 3 razy 2 to minus 6. Do tego dodajemy wynik tego mnożenia. Zapiszę najpierw w tym miejscu plus a tę liczbę umieszczę w nawiasie. Czy pamiętasz, jaką liczbę należy dodać do liczby minus 6, aby otrzymać 0? Suma liczb przeciwnych jest zawsze równa 0. Skoro tutaj mamy minus 6 to liczbą przeciwną do minus 6 jest liczba 6. Co to oznacza? Oznacza to że minus 3 razy minus 2 to 6. Wykonaliśmy nasze zadanie. Dowiedzieliśmy się, ile to jest minus 3 razy minus 2. Minus 3 razy minus 2 to 6. Chciałbym jeszcze zwrócić uwagę na jedną bardzo ważną rzecz: Tutaj liczba minus 3 nie jest umieszczona w nawiasie. Tutaj z kolei jest. Istnieją różne podejścia do zapisywania liczb ujemnych. Niektórzy wszystkie liczby ujemne zapisują w nawiasie, a niektórzy tylko te, przy których obok jest drugi znak. Tak, jak tutaj. Zapisanie tej liczby ujemnej w nawiasie nie jest błędem. Pozwala to czasami lepiej odczytać obliczenia. Mnożąc dwie liczby ujemne otrzymamy liczbę dodatnią. Ten zapis ułatwi ci zapamiętanie. Liczba ujemna razy liczba ujemna to liczba dodatnia. Mnożąc liczbę ujemną i dodatnią otrzymamy liczbę ujemną. Liczba ujemna razy liczba dodatnia to liczba ujemna. Mnożąc liczbę dodatnią i ujemną zawsze otrzymamy liczbę ujemną. Liczba dodatnia razy liczba ujemna to liczba ujemna. Mnożąc dwie liczby dodatnie zawsze otrzymamy liczbę dodatnią. Liczba dodatnia razy liczba dodatnia to liczba dodatnia. Mało tego. Te same zasady działają również w dzieleniu. Gdy podzielimy liczbę ujemną przez ujemną otrzymamy liczbę dodatnią. Dzieląc liczbę ujemną przez dodatnią otrzymamy liczbę ujemną. Dzieląc liczbę dodatnią przez ujemną otrzymamy liczbę ujemną. Gdy podzielimy dwie liczby dodatnie zawsze otrzymamy liczbę dodatnią. Teraz przećwiczymy sobie poznane zasady na konkretnych przykładach. Mam teraz zadanie dla ciebie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć ile to jest minus 5 razy 4. Zobacz: mnożymy liczbę ujemną i dodatnią. Wynik na pewno będzie ujemny. Ile to jest 5 razy 4? Dwadzieścia. Otrzymujemy minus dwadzieścia. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć ile to jest minus 16 podzielić przez 2. W tym przypadku liczbę ujemną dzielimy przez dodatnią. Wynik również będzie ujemny. Ile to jest 16 podzielić przez 2? Osiem. Otrzymujemy minus osiem. Teraz oblicz, ile to jest minus 3 razy minus 10. Tutaj mnożymy dwie liczby ujemne. Wynik zatem będzie dodatni. Ile to jest 3 razy 10? Trzydzieści. Wynikiem tego mnożenia jest liczba 30. A ile to jest minus 30 podzielić przez minus 6? W tym przypadku dzielimy dwie liczby ujemne. Wynik będzie zatem dodatni. Ile to jest 30 podzielić przez 6? Pięć. Otrzymujemy 5. Spójrz teraz na taki przykład. Chcemy obliczyć, ile to jest minus 6 razy 2 razy minus 3. Najpierw sprawdżmy, jakiego znaku będzie wynik. Jeśli liczbę ujemną pomnożymy przez dodatnią otrzymamy liczbę ujemną. Jeśli liczbę ujemną pomnożymy przez ujemną otrzymamy liczbę dodatnią. Teraz mnożymy liczby z pominięciem znaków. Sześć razy dwa to dwanaście. Dwanaście razy trzy to trzydzieści sześć. Otrzymujemy trzydzieści sześć. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć ten przykład. Najpierw sprawdzamy, jaki będzie znak wyniku. Liczba ujemna razy liczba ujemna to liczba dodatnia. Liczba dodatnia razy liczba ujemna to liczba ujemna. Wynik zatem będzie ujemny. Teraz mnożymy liczby z pominięciem znaków. 10 razy 2 to 20. 20 razy 5 to 100. Otrzymujemy minus sto. Mnożąc lub dzieląc dwie liczby tych samych znaków otrzymujemy liczbę dodatnią. Mnożąc lub dzieląc liczby różnych znaków otrzymujemy liczbę ujemną. W tym dziale znajdziesz informacje dotyczące dodawania, odejmowania, mnożenia dzielenia i potęgowania liczb całkowitych. Wszystkie działy znajdziesz na naszej stronie internetowej pistacja.tv

Pobieranie materiałów

Poniższe materiały są udostępniane na otwartej licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0.

cc-by

Ćwiczenia

Interaktywne ćwiczenia związane z tą wideolekcją.