Zapisywanie dużych liczb w notacji wykładniczej

Najbliższą naszego słońca gwiazdą jest Proxima Centauri. Jej odległość od ziemi wynosi około 40 bilionów kilometrów – koszmarna liczba. Aby to uprościć, naukowcy wprowadzili jednostkę długości o nazwie parsek. Ta sama odległość podana w parsekach to 1 i 29 setnych. Od razu lepiej, prawda? Pozostańmy jeszcze w kosmosie i porozmawiajmy o gwiazdach. Najjaśniejszą gwiazdą na nocnym niebie jest Syriusz. Drugą najjaśniejszą gwiazdą jest Kanopus, widoczny tutaj, w otoczeniu milionów innych gwiazd. Tutaj podane są ich odległości od Ziemi. Która z tych dwóch gwiazd znajduje się bliżej naszej planety? W jaki sposób można porównać te dwie bardzo duże liczby? Możemy na przykład porównać liczbę cyfr w każdej liczbie. Sprawdźmy, ile cyfr jest tutaj. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Ta liczba składa się z 14 cyfr. A ta liczba? Zatrzymaj teraz film i samodzielnie policz, ile cyfr składa się na tę liczbę. Ta liczba składa się z 16 cyfr. Która z tych dwóch liczb jest większa? Ta, która ma więcej cyfr – czyli ta. To oznacza, że odległość Kanopusa od Ziemi jest większa niż odległość Syriusza, czyli Syriusz znajduje się bliżej. Jak widzisz, w astronomii porównywanie tak wielkich wartości jest bardzo kłopotliwe. Czy istnieje jakiś prostszy sposób? Pewnie się domyślasz, że tak. W zapisywaniu dużych liczb pomocna jest notacja wykładnicza. Polega ona na zapisie liczby w postaci pewnego iloczynu. Pierwszym czynnikiem tego mnożenia jest liczba nie mniejsza niż 1 i nie większa od 10. Jest ona przemnożona przez 10 podniesione do odpowiedniej potęgi. Sprawdźmy, jak to się robi. Na samym początku musimy znaleźć pierwszą niezerową cyfrę licząc od lewej strony. To oczywiście 8 – pierwsza niezerowa cyfra. Następnie tuż za tą cyfrą stawiamy przecinek. Żeby ta liczba była równa tej liczbie musimy ją pomnożyć przez 10 podniesione do pewnej potęgi. Liczymy, ile cyfr znajduje się za przecinkiem, albo inaczej, ile cyfr znajduje się na prawo od pierwszej niezerowej cyfry. Jest ich 13. 10 podnosimy do 13. potęgi. Zauważ, że po wymnożeniu tej liczby przez 10 do potęgi 13., przesunęlibyśmy przecinek o 13 miejsc w prawo, czyli otrzymalibyśmy tę liczbę. Na samym końcu pozbywamy się tych niepotrzebnych zer. Ostatecznie odległość Syriusza od Ziemi w notacji wykładniczej jest zapisana w taki sposób. Zapiszmy teraz odległość Kanopusa od Ziemi w notacji wykładniczej. Pamiętasz, co robiliśmy najpierw? Szukaliśmy pierwszej niezerowej cyfry. Jaka to cyfra? To dwójka. Następnie tuż za tą cyfrą stawialiśmy przecinek i mnożyliśmy tę liczbę przez 10 do pewnej potęgi. Za tą cyfrą znajduje się jeszcze 15 cyfr, czyli 10 podnosimy do potęgi 15. Pozbywamy się niepotrzebnych zer i otrzymujemy odległość Kanopusa od Ziemi w notacji wykładniczej. Jak porównywać takie liczby? Zauważ, że jeżeli poprawnie zapisaliśmy nasze liczby w notacji wykładniczej, czyli w obu przecinek jest po pierwszej niezerowej cyfrze, to wystarczy porównać jej wykładniki. 10 do 15. jest na pewno większe niż 10 do 13. Gdybyśmy jednak nie dbali o odpowiednie postawienie przecinka, to porównanie wykładników niewiele by nam dało. O wiele szybciej, prawda? Zajmijmy się jeszcze jedną gwiazdą – Gwiazdą Barnarda. Oto jej odległość od Ziemi zapisana w notacji wykładniczej. Czy znajduje się ona bliżej Ziemi niż Syriusz? Sprawdźmy wykładniki. Tutaj mamy 10 do 13. i tutaj również 10 do 13. Co robić w takiej sytuacji? Porównujemy te dwie liczby przed dziesiątkami. Która jest mniejsza? Ta czy ta? Mniejsza jest oczywiście ta liczba, czyli Gwiazda Barnarda znajduje się bliżej Ziemi niż Syriusz. Oto notacja wykładnicza. Czas na zadania. Teraz naszym celem jest zapisanie temperatury wnętrza Słońca w notacji wykładniczej. Pamiętasz, jaki był pierwszy krok? Szukamy pierwszej niezerowej cyfry – tutaj jest to jedynka – i stawiamy za nią przecinek. Następnie liczymy, ile cyfr jest za tym przecinkiem. Tutaj jest 7 cyfr, czyli 10 podnosimy do potęgi 7. Pozbywamy się niepotrzebnych zer i otrzymujemy temperaturę w notacji wykładniczej. Spróbuj teraz samodzielnie zapisać średnią odległość Ziemi od Słońca w notacji wykładniczej. Pierwszą niezerową cyfrą jest 1. Po prawej stronie od przecinka znajduje się 8 cyfr, czyli 10 do potęgi 8. Pozbywamy się tych zer i otrzymujemy taki zapis w notacji wykładniczej. To jeszcze 2 przykłady z kosmosu: szacowany wiek naszego Wszechświata oraz masa Księżyca. Spróbuj samodzielnie zapisać te liczby w notacji wykładniczej. Tutaj pierwszą niezerową cyfrą jest 1, a na prawo od niej znajduje się 10 dodatkowych cyfr. Zapisujemy 10 do potęgi 10. Oto szacowany wiek Wszechświata zapisany w notacji wykładniczej. A jak z masą Księżyca? W tej liczbie jest bardzo dużo cyfr. Powinno ci wyjść, że na prawo od 7, czyli pierwszej niezerowej cyfry, jest ich aż 19. Oto masa Księżyca zapisana w notacji wykładniczej. Kosmiczne liczby nie mają już przed nami tajemnic. Oto nasze kolejne zadanie. Mamy zapisać parę liczb w notacji wykładniczej. Może cię to zaskoczyć. Przecież są one zapisane w postaci iloczynu i przemnożone przez 10 podniesione do pewnej potęgi. Zawsze pamiętaj, że pierwsza liczba w notacji wykładniczej musi być nie mniejsza niż 1 i mniejsza od 10. Trzeba te liczby „naprawić”. W jaki sposób? Zapiszmy tę liczbę w notacji wykładniczej. 103 to inaczej 1,03 razy 10 do potęgi 2. Pamiętajmy jeszcze o tej liczbie. Jaką liczbę ostatecznie otrzymamy? Mnożymy 10 do potęgi 2. razy 10 do potęgi 2. Mamy potęgę o takiej samej podstawie; wystarczy dodać wykładniki. Otrzymujemy 10 do potęgi 2 plus 2, czyli 10 do potęgi 4. Ostatecznie otrzymujemy daną liczbę w poprawnej notacji wykładniczej. A jak byśmy zapisali tę liczbę? Zaczynamy tak samo, od tej liczby po lewej stronie. W notacji wykładniczej jest ona zapisana w taki sposób: 10 do 3. razy 10 do 4. to 10 do potęgi 3 plus 4, czyli 10 do 7. Spróbuj samodzielnie zapisać pozostałe liczby w pełnej notacji wykładniczej. W tym przypadku mamy już przecinek, ale musimy go postawić za pierwszą niezerową cyfrą, czyli tutaj. Przestawimy go o 2 miejsca w lewo, dlatego tę liczbę z nowo postawionym przecinkiem musimy pomnożyć przez 10 do 2., by otrzymać tę samą liczbę, co tutaj. 10 do potęgi drugiej razy 10 do potęgi 7. to 10 do 9. A tutaj? Tutaj za przecinkiem będą stały 4 cyfry. Mamy 10 do 4 razy 10 do 4, co ostatecznie daje 10 do 8. Na samym końcu ten przykład. Tutaj, po postawieniu przecinka, z prawej strony mamy 2 cyfry, czyli 10 do 2. 10 do 2 razy 10 do 3 daje 10 do 5. Na koniec zróbmy jeszcze jedną rzecz. Do tych pięciu liczb dopisałem jeszcze jedną: 7 razy 10 do 7. Spróbuj teraz samodzielnie uszeregować wszystkie te liczby zapisane w notacji wykładniczej, w kolejności malejącej. Tak jak mówiliśmy na początku, gdy mamy liczby zapisane w notacji wykładniczej wystarczy porównać wykładniki. Największy wykładnik jest tutaj. to 10 do 9. Następnie tutaj mamy 10 do 8. Ta liczba oraz ta są pomnożone przez 10 do 7. Musimy porównać liczbę przed 10. 7 jest większe od 5,601, czyli ta liczba jest większa od tej liczby. Potem mamy 10 do potęgi 5 i najmniejsza jest ta liczba pomnożona przez 10 do potęgi 4. Gratulacje! Zapisywanie dużych liczb w notacji wykładniczej nie powinno ci już sprawiać problemów. Notacja wykładnicza pozwala nam zapisywać duże liczby w wygodny sposób. Liczby zapisane w notacji wykładniczej łatwo jest porównywać. Najpierw porównujemy wykładniki. Jeżeli wykładniki są równe, to porównujemy czynniki. Zobaczyłeś właśnie film z playlisty o notacji wykładniczej. Zachęcam cię do zobaczenia innych filmów z tej playlisty, a także do odwiedzenia naszej strony internetowej, pistacja.tv.