Geometria na boisku

Cześć jestem Arkadiusz Malarz bramkarz Legii Warszawa. Na obrazku widzisz pole karne. Linia zaznaczona czerwoną strzałką to fragment okręgu. Czy miejsce, z którego wykonuje się rzuty karne to środek tego okręgu? Jak myślisz? Widzisz zieloną murawę. Aby stała się boiskiem muszą znaleźć się na niej białe linie które zaraz narysuję. Długość boiska piłkarskiego wynosi 105 metrów. Szerokość z kolei wynosi 68 metrów. Można więc powiedzieć, że mecze rozgrywane są w obrębie prostokąta o wymiarach 105 metrów na 68 metrów. Dwie krótsze linie nazywają się liniami końcowymi a dwie dłuższe liniami bocznymi. Przez środek boiska przechodzi linia która dzieli je na dwie połowy. Na środku tej linii znajduje się punkt z którego zaczynają się wszystkie mecze piłkarskie. Ten punkt jest zarazem środkiem tego okręgu. Jego promień czyli odległość od tego punktu do każdego miejsca na okręgu wynosi 9,15 metra. Oprócz tego na boisku są jeszcze inne elementy. Na przykład pole karne. Jego długość wynosi 16,50 metra a szerokość 40,32 metra . Wewnątrz tego pola znajduje się pole bramkowe. Długie na 5,50 metra a szerokie na 18,32 metra. Przy polu karnym znajduje się jeszcze pewien łuk. Nim zajmiemy się dokładniej w dalszej części lekcji. Każda z dwóch połów boiska piłkarskiego musi zawierać takie same elementy. Jedną z najważniejszych, jeśli nie najważniejszą rzeczą na boisku są bramki. Zawodnicy muszą przecież zdobywać jakoś punkty. Bramki na planie boiska rysuje się w taki oto sposób. Ich wymiary podam Ci w dalszej części lekcji. W odległości jedenastu metrów od linii bramkowej znajduje się punkt z którego wykonuje się rzuty karne. Taki punkt jest rzecz jasna również na drugim polu karnym. Zobacz, pole bramkowe jest prostokątem. Pole karne także jest prostokątem. Boisko również jest prostokątem. Inne figury znajdująca się na boisku to okrąg i łuk okręgu. Zwróć uwagę, że na tej ilustracji zostawiłem tylko 2 wymiary. Długość i szerokość boiska. Co możemy obliczyć znając te wielkości? Między innymi obwód i pole. Zacznę od obwodu. Jeszcze raz przypomnę że boisko ma kształt prostokąta o wymiarach 105 metrów na 68 metrów. Obwód figury to nic innego jak suma długości wszystkich jej boków. Skoro mamy do czynienia z prostokątem i ten bok ma 105 metrów to ten bok również ma 105 metrów. Skoro ten bok ma 68 metrów to ten bok również ma 68 metrów. Chcąc obliczyć obwód tego prostokąta należy dodać do siebie 105 metrów i 105 metrów a następnie dodać do tego 68 metrów i 68 metrów. Możemy to zapisać jeszcze inaczej. A jak? Za pomocą mnożenia. 105 metrów dodać 105 metrów to inaczej 2 razy 105 metrów. 68 metrów dodać 68 metrów to inaczej 2 razy 68 metrów. Obliczmy zatem. 2 razy 105 metrów to 210 metrów. 2 razy 68 metrów to 136 metrów. 210 metrów dodać 136 metrów to 346 metrów. Tyle wynosi obwód boiska. Przejdźmy zatem do obliczenia pola. Jeszcze raz przypomnę że boisko ma kształt prostokąta. Pole prostokąta obliczamy mnożąc jego długość przez szerokość. Mnożymy więc 105 metrów przez 68 metrów. Można to obliczyć w pamięci, pisemnie albo korzystając z kalkulatora. Ja żeby zaoszczędzić trochę czasu użyję kalkulatora. Obliczam zatem ile to jest 105 razy 68. Co otrzymałem? 7140 Zapiszę tę liczbę w tym miejscu. Zwróć uwagę, że wymiary boiska podano w metrach. Pole tego boiska wyrazimy więc w metrach kwadratowych. Pole boiska to 7140 metrów kwadratowych. Witaj ponownie. Teraz mam dla Ciebie zadanie. Mam 190 centymetrów wzrostu. Poprzeczka bramki jest na wysokości dwustu czterdziestu czterech centymetrów. Jaka jest różnica między moim wzrostem a wysokością na której znajduje się poprzeczka? Teraz widzisz bramkę. Ona też jest prostokątem. Zwróć uwagę, że prostokąt to bardzo popularna figura na boisku piłkarskim. Pokażę Ci, jakie są wymiary tej bramki. To prostokąt, którego dłuższy bok ma 7,32 metra, a krótszy 2,44 metra. No to poszukajmy teraz odpowiedzi na pytanie zadane przez bramkarza Legii Warszawa. Wzrost Arkadiusza Malarza wynosi 190 centymetrów. Wysokość, na której znajduje się poprzeczka to 2,44 metra. Zwróć uwagę, że tutaj mamy liczbę naturalną a tutaj liczbę dziesiętną. Można też zauważyć że wysokość, na której znajduje się poprzeczka została wyrażona w metrach a wzrost bramkarza w centymetrach. Aby znaleźć odpowiedź na zadane pytanie musimy najpierw obie wielkości wyrazić w tej samej jednostce. Możemy zamienić metry na centymetry. Możemy też zamienić centymetry na metry. Łatwiej będzie zamienić metry na centymetry bo wtedy będziemy odejmować od siebie liczby naturalne a to dużo prostsze. Zobacz. Mamy tutaj 2 metry. Oprócz tego mamy jeszcze 0,44 metra. 1 metr to inaczej 100 centymetrów. 44 części setne metra to inaczej 44 centymetry. Otrzymamy więc 2 metry i 44 centymetry. Zapiszę to tutaj. Skoro 1 metr to 100 centymetrów to 2 metry to inaczej 200 centymetrów. Do tego mamy jeszcze 44 centymetry i otrzymujemy 244 centymetry. Widać więc, że wysokość na której znajduje się poprzeczka jest większa niż wzrost bramkarza Legii Warszawa. Jak myślisz, co trzeba zrobić aby obliczyć różnicę między wysokością na której znajduje się poprzeczka a wzrostem bramkarza Legii? Od wysokości, na której znajduje się poprzeczka należy odjąć wzrost bramkarza. Od większej liczby odejmujemy więc mniejszą. 244 centymetry odjąć 190 centymetrów to 54 centymetry. Nasza odpowiedź to: różnica między wzrostem Arkadiusza Malarza a wysokością, na której znajduje się poprzeczka wynosi 54 centymetry. Teraz widzisz fragment planu boiska. To jest okrąg. Wytłumaczę Ci teraz, co to za figura. Zobacz, w tym miejscu znajduje się punkt nazywany środkiem okręgu. Musimy wiedzieć gdzie on jest gdy chcemy zbadać czy dana figura naprawdę jest okręgiem. Zaraz pokażę Ci, jak to sprawdzić. Ustawmy na tym okręgu piłkę w dowolnym miejscu. Na przykład tutaj. Zmierzę teraz odległość tej piłki od środka okręgu. Wykorzystam do tego linijkę. Ustawiłem ją w taki sposób że środek okręgu znajduje się równo na początku podziałki. Tutaj mamy 1 centymetr a tutaj mamy 2 centymetry. Można więc powiedzieć że piłka znajduje się w odległości dwóch centymetrów od środka okręgu. Weźmy teraz drugą piłkę i ustawmy ją w innym miejscu na okręgu. Zmierzę teraz odległość tej piłki od środka okręgu. Ponownie wykorzystam do tego linijkę. Odległość tej piłki od środka okręgu również wynosi 2 centymetry. Tyle samo co odległość tej piłki od tego miejsca. Weźmy teraz trzecią piłkę i ustawmy ją na okręgu w jeszcze innym miejscu. Na przykład tutaj. Co teraz robimy? Mierzymy odległość tej piłki od środka okręgu. Jak myślisz, ile będzie ona wynosiła? Sprawdźmy to. Znowu otrzymaliśmy 2 centymetry. Schowam teraz linijkę bo nie będzie nam na razie potrzebna. Okrąg to nic innego jak zbiór punktów które znajdują się w tej samej odległości od środka. Odległość każdej piłki położonej na okręgu od jego środka na tym rysunku będzie wynosiła dokładnie 2 centymetry. Znowu widzisz fragment planu boiska. Tym razem interesuje nas ten łuk i ten punkt. Przeczucie może podpowiadać nam że ten łuk jest fragmentem pewnego okręgu. Mało tego, okręgu którego środkiem jest ten punkt. Jak możemy to sprawdzić? Ustawmy na tym łuku piłkę. W dowolnym miejscu, na przykład tutaj. Zmierzymy teraz odległość między tymi dwoma obiektami. Ponownie posłużę się linijką. Ustawiamy ją w taki sposób aby zero znajdowało się w tym punkcie. Tutaj mamy 1 centymetr i do tego mamy jeszcze 5 milimetrów. Ta piłka znajduje się w odległości 1,5 centymetra od tego miejsca. Weźmy teraz kolejną piłkę i ustawmy ją na przykład tutaj. Teraz zmierzymy odległość tej piłki od tego punktu. Znowu otrzymaliśmy 1,5 centymetra. Odległość tej piłki od tego miejsca jest taka sama jak odległość tej piłki od tego miejsca. Ustawmy na tym łuku trzecią piłkę i zmierzmy jej odległość od naszego punktu. Ta odległość również wynosi 1,5 centymetra. Oznacza to, że ten łuk jest fragmentem okręgu którego środkiem jest to miejsce. Ciekawi Cię jak wygląda ten okrąg? Już Ci pokazuję. Wygląda on właśnie tak. Jego niewidzialną część narysowałem przerywaną linią. Jeśli ktoś ma wątpliwości że ta przerywana linia jest na pewno częścią tego okręgu to oczywiście możemy to sprawdzić. Ustawiamy kolejną piłkę na przerywanej linii na przykład w tym miejscu. Domyślasz się pewnie że będziemy mierzyli jej odległość od tego miejsca. I słusznie. Ta odległość również wynosi 1,5 centymetra. Ta odległość jest taka sama jak ta odległość ta odległość i ta odległość. Schowajmy linijkę i podsumujmy. Ten łuk jest na pewno częścią okręgu. Jego środkiem jest miejsce z którego strzela się rzuty karne. Spójrz raz jeszcze na te rysunki. Do obliczeń wykonywanych w tej lekcji wykorzystywaliśmy linijkę bo oba były tylko ilustracją prawdziwego boiska. W rzeczywistości potrzebowalibyśmy o wiele dłuższej miarki. Promienie rysowanych na murawie okręgów to w obu przypadkach 9,15 metra. Na boisku są prostokąty, okrąg a samo boisko też jest prostokątem. Znajdziesz na nim także fragment pewnego okręgu. Obwód prostokąta jest sumą długości wszystkich jego boków. Pole z kolei to iloczyn jego długości i szerokości. Możesz też sprawdzić czy dany punkt jest środkiem okręgu. Jest nim, jeśli odległość od niego do każdego miejsca na okręgu jest dokładnie taka sama. Po więcej matematyki zapraszamy na stronę pi-stacja.tv i na stronę gotowidopomocy.pl. Serdecznie dziękujemy Fundacji Legii i Arkadiuszowi Malarzowi za pomoc w realizacji tej lekcji.