Twierdzenie Pitagorasa: wprowadzenie

Cześć, mam na imię Łukasz jestem trenerem Legia Soccers. Prowadzę też zajęcia edukacyjne w Fundacji Legii. Jako trener, doskonale rozumiem że gra w meczu poprzedzona jest wieloma przygotowaniami. Każdy trening to różnorodne ćwiczenia. Jednym z nich jest gra w siatkonogę. Siatkonoga pomaga rozwijać umiejętności techniczne piłkarzy. W tej lekcji dowiecie się co wspólnego ma siatkonoga i twierdzenie Pitagorasa. Widzisz plan boiska do siatkonogi. To boisko ma kształt prostokąta. Jego rzeczywiste wymiary to 4 metry na 6 metrów. Ta linia oznacza siatkę która dzieli boisko na dwie jednakowe części. Połowa tego boiska jest zatem prostokątem o wymiarach 4 metry na 3 metry. Zawodnicy Legii Warszawa często grają w siatkonogę na treningach aby zwiększać umiejętności panowania nad piłką. Przed rozpoczęciem treningu jedna z drużyn która składała się z trzech zawodników ustawiła się w taki oto sposób. Łatwo zauważyć, że zawodnicy znajdują się na przekątnej swojej połowy. W jakiej odległości od siebie znajdują się zawodnicy stojący na końcach przekątnej swojej połowy boiska? Zastanawia Cię czy da się znaleźć odległość między tymi dwoma zawodnikami bez korzystania z przyrządów do mierzenia? Okazuje się, że tak. Sposób na to wynalazł w VI wieku przed naszą erą grecki matematyk Pitagoras. Ten sposób nazywa się twierdzeniem Pitagorasa. Właśnie w tej lekcji poznasz to twierdzenie. Dowiesz się również kiedy i jak je stosować. Przypomnę, że przekątna prostokąta dzieli go na dwa identyczne trójkąty prostokątne. Skupmy się na jednym z nich. W tym miejscu znajduje się kąt prosty. Zauważ, że znamy długości dwóch przyprostokątnych. Odległość między tymi dwoma zawodnikami jest niczym innym jak długością przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wykonajmy teraz pewien eksperyment. Zbudujmy kwadrat na boku o długości trzech metrów. Teraz zbudujmy kwadrat na boku o długości czterech metrów. Zbudujmy jeszcze kwadrat na przeciwprostokątnej której długości nie znamy. Pitagoras zauważył, że suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest taka sama jak pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Obliczmy najpierw pole tego kwadratu. Skoro długości jego boku to 4 metry to pole tego kwadratu wynosi 4 metry do kwadratu czyli 16 metrów kwadratowych. A ile wynosi pole tego kwadratu? Długość jego boku to 3 metry. Pole tego kwadratu wynosi zatem 3 metry do kwadratu czyli 9 metrów kwadratowych. Skoro pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych to pole tego kwadratu wynosi 16 metrów kwadratowych dodać 9 metrów kwadratowych czyli 25 metrów kwadratowych. Jeszcze raz powtórzę, że taką zależność geometryczną odkrył Pitagoras już w VI wieku przed naszą erą. Skoro znamy pole tego kwadratu to czy jesteśmy w stanie podać długość jego boku? Spróbuj odpowiedzieć samodzielnie. Aby powiedzieć jaką długość ma bok tego kwadratu wystarczy zastanowić się jaką długość należy podnieść do kwadratu aby otrzymać 25 metrów kwadratowych. Tą długością jest 5 metrów. Oznacza to, że długość boku tego kwadratu to 5 metrów. Zauważ, że znaleźliśmy przy okazji długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. Wynosi ona 5 metrów. Co to oznacza? Odległość między tymi zawodnikami wynosi 5 metrów. Pokażę Ci teraz jak swoje przemyślenia sformułował Pitagoras. W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Twierdzenie Pitagorasa można opisać jednym równaniem. Oznaczmy długość tej przyprostokątnej literą a a długość tej przyprostokątnej literą b. Długość przeciwprostokątnej oznaczmy literą c. Jeszcze raz przeczytam twierdzenie Pitagorasa. W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Jak zatem możemy zapisać sumę kwadratów długości przyprostokątnych? Kwadrat długości tej przyprostokątnej to a do kwadratu. Do tego dodajemy kwadrat długości tej przyprostokątnej, czyli b do kwadratu. Suma kwadratów długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Skoro ta przeciwprostokątna ma długość c c to kwadrat w tej długości to c do kwadratu. Jak łatwo zapamiętać to równanie? a do kwadratu oznacza pole kwadratu zbudowanego na tej przyprostokątnej. b do kwadratu oznacza pole kwadratu zbudowanego na tej przyprostokątnej. Suma pól tych dwóch kwadratów jest taka sama jak pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Pole tego kwadratu to c do kwadratu. Zwróć uwagę na ten fragment twierdzenia Pitagorasa. W dowolnym trójkącie prostokątnym. To równanie zachodzi w każdym trójkącie prostokątnym. Pokażę Ci jeden z wielu dowodów twierdzenia Pitagorasa. Spójrz na tę ilustrację. Cztery identyczne trójkąty prostokątne ustawiono w taki sposób że otrzymano kwadrat. Wewnątrz mamy drugą figurę. Zaraz dowiemy się jaka to figura. Długość dłuższej przyprostokątnej każdego z czterech identycznych trójkątów prostokątnych oznaczmy literą a. Długość krótszej przyprostokątnej każdego z czterech identycznych trójkątów prostokątnych oznaczmy literą b. Długość przeciwprostokątnej oznaczymy literą c. Figura, która znajduje się wewnątrz dużego kwadratu ma wszystkie boki tej samej długości. A czy ma wszystkie kąty identyczne? Sprawdźmy to. Spójrzmy na taki jeden trójkąt prostokątny. Jeden z kątów ma 90 stopni. Oznacza to, że suma miar pozostałych kątów ma również 90 stopni. A dlaczego? Pamiętaj, że suma miar kątów w trójkącie zawsze wynosi 180 stopni. Skoro ten kąt ma 90 stopni to te dwa muszą mieć 90 stopni. Narysuję teraz tutaj taki kąt. Zwróć uwagę, że te trzy kąty tworzą razem kąt półpełny czyli taki, który ma 180 stopni. Skoro kąty czerwony oraz różowy razem mają 90 stopni to ten kąt również musi mieć 90 stopni. Tutaj mamy kąt prosty. Ta sama sytuacja zachodzi w tym miejscu. W tym miejscu. I w tym miejscu. Dowiedzieliśmy się zatem, że ta figura która znajduje się wewnątrz dużego kwadratu jest również kwadratem. Skoro długość boku tego kwadratu wynosi c to pole tego kwadratu wynosi c do kwadratu. Spójrz teraz na identyczną ilustrację jak tutaj, tylko bez zapisów które wykonałem samodzielnie. Zastanów się teraz czy da się wewnątrz tego kwadratu zmienić położenie tych czterech trójkątów prostokątnych w taki sposób, aby tę kwadratową murawę podzielić na dwie mniejsze kwadratowe murawy. Spójrz na animację, która pokażę Ci jak to zrobić. Zobacz. Z takiego kwadratowego boiska zrobiliśmy dwa mniejsze boiska. Widzimy, że wewnątrz tych dwóch boisk znajdują się kąty proste. Nie zaznaczę ich żeby dalsze zapisy były bardziej czytelne. To na nich się skupimy. Przypomnę, że mamy do czynienia z czterema identycznymi trójkątami prostokątnymi. Długość dłuższej przekątnej oznaczyliśmy literą a. Oznaczmy to również na tym rysunku. Tutaj mamy bok, którego długość wynosi a. I tutaj również mamy bok którego długość wynosi a. Co za tym idzie? Ten odcinek ma również długość równą a. I ten odcinek ma również długość równą a. To boisko jest zatem kwadratem o długości boku równej a. Oznacza to, że jego pole wynosi a do kwadratu. Poszukajmy teraz pola drugiego boiska. Długość krótszej przyprostokątnej oznaczyliśmy literą b. Tutaj mamy krótszą przyprostokątną. Jej długość wynosi b. Tutaj również mamy krótszą przyprostokątną której długość wynosi b. Co za tym idzie? Tutaj również mamy odcinek którego długość to b. I tutaj mamy taki sam odcinek. Mamy tutaj kwadrat którego długość boku wynosi b. To Jakie jest pole tego kwadratu? b do kwadratu. Teraz przyszła pora na wyciągnięcie wniosków. Pole tego kwadratowego boiska to c do kwadratu. Zapiszę tutaj c do kwadratu. Zmieniając położenie tych czterech identycznych trójkątów prostokątnych wewnątrz tego kwadratu otrzymałem dwa mniejsze boiska. Pole jednego z nich to a do kwadratu a pole drugiego to b do kwadratu. Suma pól tych dwóch boisk jest taka sama jak pole tego boiska. Oznacza to, że c do kwadratu to jest to samo co a do kwadratu dodać b do kwadratu. Ciekawostką jest, że opublikowano przynajmniej 118 geometrycznych dowodów twierdzenia Pitagorasa a jeden z niemieckich matematyków udowodnił, że jest ich nieskończenie wiele. Teraz pokażę Ci praktyczne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa w piłce nożnej. Boisko Legii Warszawa jest prostokątem o wymiarach 68 metrów na 105 metrów. Jaka jest odległość między tymi dwiema chorągiewkami znajdującymi się na boisku? Odpowiedź na to pytanie możemy uzyskać stosując twierdzenie Pitagorasa. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć tę odległość. Odległość między tymi dwiema chorągiewkami to inaczej długość tego odcinka który jest przekątną boiska. Ta przekątna dzieli boisko na dwa identyczne trójkąty prostokątne. Ten odcinek jest zatem przeciwprostokątną tego trójkąta prostokątnego. Oznaczmy długość tej przeciwprostokątnej literą c. Twierdzenie Pitagorasa mówi nam że suma kwadratów długości przyprostokątnych jest taka sama jak kwadrat długości przeciwprostokątnej. Zapisujemy to w ten sposób. c do kwadratu równa się 68 metrów do kwadratu dodać 105 metrów do kwadratu. Przepisujemy c do kwadratu. 68 metrów do kwadratu to 4624 metry kwadratowe. Do tego dodajemy 105 metrów do kwadratu czyli 11 025 metrów kwadratowych. Wiemy zatem, że c do kwadratu to 15 649 metrów kwadratowych. Aby dowiedzieć się, ile wynosi c należy zastanowić się ile metrów należy podnieść do kwadratu aby otrzymać 15 649 metrów kwadratowych. Możemy też skorzystać z kalkulatora i obliczyć ile wynosi pierwiastek z tej liczby. Pierwiastek z 15 649 to 125,0959 i tak dalej. Otrzymaliśmy tutaj liczbę dziesiętną z rozwinięciem dziesiętnym nieskończonym. W takim przypadku warto zatem podać przybliżoną wartość c. Zaokrąglając do pierwszego miejsca po przecinku otrzymujemy 125,1 metra. Odległość między tymi dwiema chorągiewkami wynosi zatem w przybliżeniu 125,1 metra. To jest zarazem długość przekątnej boiska Legii Warszawa. Czy masz jeszcze jakiś pomysł gdzie w piłce nożnej możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa? Jeśli tak, to napisz w komentarzu. Zapamiętaj! Twierdzenie Pitagorasa mówi o tym że jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. Dzięki temu twierdzeniu znając długości dwóch boków trójkąta prostokątnego możemy obliczyć długość trzeciego boku. Po więcej matematyki zajrzyj na stronę internetową pi-stacja.tv oraz gotowidopomocy.pl. Serdecznie dziękujemy Fundacji Legii oraz Łukaszowi Wawerowi za pomoc w realizacji tej lekcji.