Ułamki w starożytności zapisywano za pomocą symboli graficznych. W języku staro-sumeryjskim symbol po lewej oznacza jedną drugą, a po prawej jedną trzecią. Już na samym początku mam dla ciebie zadanie: zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie zapisać oba iloczyny w postaci potęgi. Zacznijmy od tego iloczynu. Tutaj mnożymy przez siebie liczbę 4. Ten iloczyn możemy zapisać jako 4 do potęgi drugiej. Tutaj z kolei mamy trzykrotne mnożenie liczby 4, więc ten iloczyn możemy zapisać jako cztery do potęgi trzeciej. Teraz mam dla ciebie kolejne zadanie. Zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie przeczytać oba zapisy. Każdy możemy przeczytać na trzy sposoby. Zacznijmy od tego: cztery do potęgi drugiej, kwadrat liczby cztery i cztery do kwadratu. A ten zapis? 4 do potęgi trzeciej, sześcian liczby 4 i 4 do sześcianu. Tutaj mamy sześcian liczby cztery, bo trzykrotnie mnożyliśmy czwórkę. Tutaj mamy kwadrat liczby 4, bo dwukrotnie mnożyliśmy przez siebie czwórkę. Spójrz teraz na taki iloczyn: tutaj dwukrotnie mnożymy przez siebie ułamek 1/4. Skoro mnożymy tutaj przez siebie dwukrotnie tę samą liczbę, to możemy ten iloczyn zapisać w postaci kwadratu liczby. A jakiej? Ułamka 1/4. Brakuje jeszcze drugiej potęgi. Zwróć uwagę na ten zapis. Można by pomyśleć, że tylko licznik podnosimy do potęgi drugiej, my chcemy podnieść jednak cały ułamek, czyli licznik i mianownik. Aby to odpowiednio zapisać umieszczamy ułamek 1/4 w nawiasie. Otrzymaliśmy jedną czwartą do kwadratu. Zatrzymaj teraz lekcję i spróbuj samodzielnie zapisać w postaci potęgi ten iloczyn. Tutaj trzykrotnie mnożymy ułamek 1/4. Zapisujemy więc tę liczbę i umieszczamy ją w nawiasie. Po prawej stronie, nad nawiasem zapisujemy trójkę. Jest ona nieco mniejsza. Otrzymaliśmy sześcian liczby 1/4. Spójrz teraz na taki przykład. Widzisz kwadratowy kafelek. Długość jego boku to 3/4 dm. Co należy zrobić, aby obliczyć pole tego kwadratowego kafelka? Aby to zrobić, należy długość jego boku podnieść do kwadratu. Podnosimy więc 3/4 dm do potęgi drugiej. 3/4 decymetra do potęgi drugiej, to inaczej 3/4 decymetra razy 3/4 decymetra. Zobacz: mamy tutaj mnożenie dwóch ułamków. Jak mnożymy dwa ułamki? Oddzielnie mnożymy liczniki i oddzielnie mianowniki. Decymetr razy decymetr to inaczej decymetr kwadratowy. Pole kwadratu, którego długość boku wyrażono w decymetrach, wyrażamy w decymetrach kwadratowych. Wykonajmy teraz obliczenia. 3 razy 3 to 9. 4 razy 4 to 16. Obok zapisujemy decymetry kwadratowe. Pole kwadratowego kafelka o boku długości 3/4 dm to 9/16 decymetra kwadratowego. Pokażę ci teraz, jak fajnie w pamięci obliczać kwadraty liczb. Znów zapiszę 3/4 do kwadratu. 3/4 do kwadratu to inaczej 3/4 razy 3/4. Mnożąc ułamki, oddzielnie mnożymy liczniki i oddzielnie mianowniki. W liczniku otrzymamy więc trzy razy trzy, a w mianowniku cztery razy cztery. 3 razy 3 to inaczej 3 do kwadratu. 4 razy 4 to inaczej 4 do kwadratu. Zobacz: aby podnieść ułamek do potęgi drugiej, należy osobno podnieść licznik do potęgi drugiej i oddzielnie mianownik do potęgi drugiej. Trzy do kwadratu to dziewięć. Cztery do kwadratu to 16. Trzy czwarte do kwadratu to 9/16. Znowu zadanie dla ciebie: zatrzymaj lekcję i spróbuj samodzielnie obliczyć, ile to jest jedna druga do potęgi drugiej. Aby podnieść ułamek do potęgi drugiej, podnosimy osobno licznik do potęgi drugiej i osobno mianownik do potęgi drugiej. Otrzymujemy jeden do kwadratu podzielić przez dwa do kwadratu. 1 do kwadratu to 1. 2 do kwadratu to 4. 1/2 do kwadratu to 1/4. Spróbuj teraz podnieść ułamek dwie piąte do potęgi drugiej. Aby to zrobić, należy osobno podnieść licznik do potęgi drugiej i osobno mianownik. Zróbmy to w pamięci. 2 do potęgi drugiej to 4. 5 do potęgi drugiej to 25. 2/5 do kwadratu to 4/25. A jak najszybciej obliczyć, ile to jest 2/3 do potęgi trzeciej? Należy podnieść licznik do potęgi trzeciej i osobno podnieść mianownik do potęgi trzeciej. Obliczmy to w pamięci. 2 do potęgi trzeciej to 8. 3 do potęgi trzeciej to 27. 2/3 do sześcianu to 8/27. Spójrz teraz na takie polecenie: mamy obliczyć, ile to jest 3 i 1/2 do potęgi drugiej. Zwróć uwagę, że tutaj mamy liczbę mieszaną. Liczby mieszane możemy zamieniać na ułamki niewłaściwe. Zróbmy to. 2 razy 3 to 6, a 6 dodać 1 to 7. 3 i 1/2 to inaczej siedem drugich. Skoro trzy całe i jedna druga to jest to samo, co 7/2, a 3 i 1/2 podnosimy do potęgi drugiej, to również ten ułamek należy podnieść do potęgi drugiej. Obliczmy to w pamięci. 7 do potęgi drugiej to 49. 2 do potęgi drugiej to 4. W wyniku otrzymaliśmy ułamek niewłaściwy. Zamieniamy go na liczbę mieszaną. 49/4 to 12 całych i 1/4. Aby podnieść liczbę mieszaną do kwadratu, zamień ją najpierw na ułamek niewłaściwy, który jest ułamkiem zwykłym. Ułamki zwykłe potrafimy już podnosić do kwadratu i sześcianu. Spróbuj teraz samodzielnie obliczyć, ile to jest 3 i 1/2 do potęgi trzeciej. Tak jak powiedziałem przed chwilą, najpierw liczbę mieszaną zapisujemy w postaci ułamka niewłaściwego, który jest ułamkiem zwykłym. Wiesz już, że 3 całe i 1/2, to inaczej 7/2. Tym razem 7/2 podniesiemy do potęgi trzeciej. Najpierw podniesiemy licznik do potęgi trzeciej, a następnie mianownik, też do potęgi trzeciej. Ile to jest siedem do sześcianu? Siedem do sześcianu to inaczej 7 razy 7 razy 7. Ciężko wykonać takie mnożenie w pamięci. Gdy obliczenia stają się trudne do wykonania w pamięci, możemy je wykonywać pisemnie lub skorzystać z kalkulatora. Ja skorzystam z tego ostatniego. Obliczę, ile to jest 7 razy 7 razy 7. 7 do potęgi trzeciej to 343. A ile to jest dwa do sześcianu? Osiem. Otrzymaliśmy 343/8, czyli ułamek niewłaściwy. Zamieńmy go na liczbę mieszaną. Ciężko obliczyć w pamięci, ile razy liczba 8 mieści się w liczbie 343. Znowu pomoże nam kalkulator. Wykonajmy na nim działanie, które mamy tutaj zapisane: podzielmy liczbę 343 przez 8. Co otrzymamy? Kalkulator pokazał nam liczbę dziesiętną: 42 i 875 tysięcznych. Potrafimy już zapisać taką liczbę dziesiętną w postaci liczby mieszanej. Mamy 42 całe i do tego 875 tysięcznych. Ten ułamek możemy skrócić dzieląc licznik i mianownik przez 125. Otrzymamy 42 i 7/8. Aby podnieść do kwadratu lub do sześcianu ułamek zwykły, należy pomnożyć przez siebie odpowiednią ilość razy zarówno licznik jak i mianownik tego ułamka. Można też podnieść osobno licznik i osobno mianownik ułamka do potęgi drugiej lub trzeciej. Podnosząc liczbę mieszaną do kwadratu lub do sześcianu, zamieniamy ją na ułamek niewłaściwy i postępujemy tak, jak z ułamkiem zwykłym. Zapisując kwadrat lub sześcian ułamka lub liczby mieszanej, pamiętaj o nawiasie. Zapraszam cię do obejrzenia pozostałych lekcji o mnożeniu i dzieleniu ułamków zwykłych, a także do zasubskrybowania naszego kanału.